Bewegung auf Paraboloid 2

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1 Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 2013 Blatt 8 vom Abgabe: Aufgabe 34 4 Punkte Bewegung auf Paraboloid 2 Ein Teilchen der Masse m bewege sich reibungsfrei unter dem Einfluss der Gravitation auf der Innenseite eines Paraboloids ρ 2 = az. (1) Im Gegensatz zu Blatt 6 soll nun mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren statt mit generalisierten Koordinaten gearbeitet werden. (a) Bestimmen Sie dazu zuerst die Lagrange-Funktion L 0 für das uneingeschränkte System (das heißt hier noch kein Paraboloid) unter Verwendung von Zylinderkoordinaten ρ, φ, z. (b) Ergänzen Sie dies nun mit der vom Paraboloid verursachten Zwangsbedingung f(ρ, φ, z) und stellen Sie die Bewegungsgleichungen für das Teilchen auf. L = L 0 + λf(ρ, φ, z) (2) (c) Was ist die Symmetrie und demnach die zyklische Koordinate im beschränkten System? Erhaltungsgröße folgt hieraus? Welche (d) Im Spezialfall z = z 0 Zwangsbedingung. = const lösen Sie die Bewegungsgleichungen unter Berücksichtigung der (a) L 0 = 1 2 m ( ρ 2 + ρ 2 φ 2 + ż 2 ) mgz (b) Mit der Zwangsbedingung erhält man sofort f(ρ, φ, z) = ρ 2 az = 0 (3) L = 1 2 m ( ρ 2 + ρ 2 φ2 + ż 2) mgz + λ(ρ 2 az). (4) 1

2 Die Bewegungsgleichungen lauten d L dt ρ L ρ = m ρ mρ φ 2 2λρ = 0 (5) d L L dt φ φ = d ( ) mρ 2 φ = 0 (6) dt d L dt ż L = m z + mg + λa = 0 z (7) Aus der Zwangsbedingung : 2ρ ρ aż = 0 (8) (c) Das System ist zylindersymmetrisch, die zyklische Koordinate ist φ. Erhalten ist demnach der entsprechende kanonisch Impuls; hier ist dies der Drehimpuls in z-richtung (d) Aus z = z 0 = const folgt mit der Zwangsbedingung sofort Wir bestimmen λ aus der 3. Bewegungsgleichung l z = L φ = mρ2 φ = const. (9) ρ = az 0 = const. (10) λ = mg a und setzen dies in die 1. Bewegungsgleichung ein Also ist und der Drehimpuls ist (11) m az 0 φ2 2 az 0 mg a = 0 φ = 2g/a. (12) ρ(t) = az 0, φ(t) = φ 0 + 2g a t, z(t) = z 0 (13) l z = mz 0 2ga. (14) Aufgabe 35 3 Punkte Kanonischer Impuls und zyklische Koordinaten Die Lagrange-Funktion für ein Teilchen mit Masse m und Ladung q in einem externen Magnetfeld lautet L = m 2 ẋ2 q (x B). (15) 2ẋ Bestimmen Sie für konstantes B = (0, 0, B) alle kanonischen Impulse und alle zyklischen Koordinaten. Gibt es erhaltene kanonische Impulse? Wenn ja, welche sind dies? Wir erhalten für die kanonischen Impulse p = L ẋ = mẋ q 2 x B = Wir berechnen nun mit Hilfe von ẋ (x B) = x (B ẋ) L x = q 2 B ẋ = mẋ 1 q 2 Bx 2 mẋ 2 + q 2 Bx 1 (16) mẋ 3 q 2 Bẋ 2 q 2 Bẋ 1 0 also ist x 3 zyklisch und demnach p 3 = L/ ẋ 3 = mẋ 3 erhalten., (17) 2

3 Aufgabe 36 4 Punkte Zeitabhängige Lagrange-Funktionen und geschwindigkeitsabhängige Kräfte Betrachten Sie zuerst die zeitabhängige Lagrange-Funktion ( m L 1 = e γt 2 q2 k ) 2 q2, γ > 0. (18) (a) Bestimmen Sie den kanonischen Impuls. Ist die Koordinate q zyklisch? (b) Bestimmen und lösen Sie die Bewegungsgleichung. Betrachten Sie im Folgenden die Lagrange-Funktion L 2 = m 2 q2 k 2 q2 (19) zusammen mit der dissipativen Funktion F = m 2 γ q2. (20) (c) Bestimmen Sie den kanonischen Impuls. Ist die Koordinate q zyklisch? (d) Bestimmen und lösen Sie die Bewegungsgleichung. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem von Teilaufgabe (b). (a) Die kanonischen Impulse für die erste Lagrange-Funktion lauten Die Koordinate q ist nicht zyklisch. (b) Für die Bewegungsgleichung erhalten wir p = L 1 q = meγt q (21) d L 1 dt q L 1 q = meγt q + mγe γt q + ke γt q = 0 (22) = q + γ q + k m q = 0 (23) Das beschreibt einen gedämpften harmonischen Oszillator. Wir verwenden den Ansatz woraus die folgende charakteristische Gleichung folgt Diese Gleichung hat abhängig von γ eine oder zwei Lösungen q(t) = A exp ωt (24) ω 2 + γω + k m = 0 (25) ω 1,2 = γ γ 2 ± 2 4 k m, γ > m ω 1,2 = γ k 2 ± ı m γ2 4, γ < m (26) (27) ω = γ 2, woraus wir die folgenden Lösungen erhalten γ = m (28) q(t) = A 1 exp ω 1 t + A 2 exp ω 2 t, q(t) = (A + Bt) exp γt 2, γ = γ m m (29) (30) 3

4 (c) Die kanonischen Impulse für die zweite Lagrange-Funktion lauten p = L 2 q = m q (31) Die Koordinate q ist nicht zyklisch. (d) Die Euler-Lagrange-Gleichungen mit dem dissipativen Term lauten d L 2 dt q L 2 q = F q (32) oder m q + kq = mγ q = q + γ q + k m q = 0 (33) Diese Bewegungsgleichung und deren Lösungen sind mit der von (b) identisch. Das Beispiel zeigt, dass zeitabhängige Lagrange-Funktionen genutzt werden können um Dissipation zu beschreiben. Aufgabe 37 3 Punkte Phasenraumtrajektorien Gegeben sei die Lagrange-Funktion L(q, q) = T ( q) V (q) = 1 2 m q2 V (q). (34) Skizzieren Sie für die folgenden Potentiale die Trajektorien im Phasenraum {(q, q) (q, q) T Q} R 2 für jeweils drei verschiedene Energiewerte E < 0, E = 0 und E > 0 (pro Teilaufgabe eine Skizze; alle Konstanten A, B > 0; (a) und (c) sind Zentralpotentiale, das heißt hier ist q R + ): (a) Das Gravitationspotential: V (q) = A/q. (b) Das Mexican hat / Higgs Potential: V (q) = Aq 2 + Bq 4. [ ( ) 12 ( ) ] 6 B (c) Das Lennard-Jones Potential: V (q) = A q 2 B q. Hinweis: Die gesuchte Lösung würde für V = A exp ( Bx 2) zum Beispiel wie folgt aussehen: (a) Für E < 0 ist die Bewegung gebunden, für E > 0 ist das Teilchen asymptotisch frei. Da das Potential für q 0 abfällt, nimmt q für einen festen Energiewert mit abfallendem q zu und divergiert bei q = 0. Ein endlicher Drehimpuls liefert das effektive Potential V eff = A q + L2 2mq und 2 damit Phasenraumtrajektorien die qualitativ mit Teilaufgabe (c) übereinstimmen (Beachte: stark unterschiedliche Potenzen). 4

5 (b) Der Mexican hat ist der Rotationskörper des gegebenen Potentials. Im 1D Fall gibt es zwei stabile Gleichgewichtslagen bei q = ± A/2B und eine instabile Gleichgewichtslage bei q = 0. bla bla Spontane Symmetriebrechung bla bla... (c) Das Lennard-Jones Potential beschreibt die Wechselwirkung zweier ungeladener Atome. Ursächlich für den repulsiven Teil ist das Pauli-Prinzip, die langreichweitige Anziehung ist die Van-der-Waals- Kraft. Für E < 0 ist die Bewegung um das Minimum des Potentials q = B gebunden. Da das Potential für q 0, q < B ansteigt, nimmt q für einen festen Energiewert mit abfallendem q < B ab. 5

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