4. Parallelität ohne Metrik

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1 4. Parallelität ohne Metrik In der Euklidischen Geometrie wird nicht gemessen. as hat zwei Gründe. Erstens, gab es bei den Griechen noch kein entwickeltes Stellenwertsystem. Zweitens, haben sie ja schon früh zwingend bewiesen, dass nicht alle Strecken meßbar sind (z.., wie wir wissen, nicht die iagonale im Quadrat). as Grundproblem der antiken griechischen Mathematik bestand deshalb darin, eine Geometrie zu entwickeln in der nicht gemessen wird (d.h. eine Geometrie ohne Metrik, wie wir heute sagen würde). ies ist Geometrie auf einem theoretisch ganz fundamentalen Niveau. ie Griechen haben dann sehr früh erkannt, dass das entscheidende theoretische Problem in einer Geometrie ohne Metrik die Formulierung von Parallelität ist. Man wird erst dann in der Lage sein Gegenstände der Geometrie parallel zu verschieben, wenn man weiß was Parallelität ist. Und gibt es, so werden sich die Griechen gefragt haben, überhaupt Geometrie in einem sinnvollen Sinne, wenn man nicht weiß, wie man Gegenstände in ihr parallel verschiebt? ie Griechen haben daraus den Schluß gezogen, daß man erst theoretisch einwandfrei klären muß, was eine Parallele ist und dass man danach theoretisch einwandfrei beweisen muß, daß es Parallelen gibt. as ist es, was wir in dieser 4. Vorlesung nachvollziehen wollen. Erst sehr viel später (gegen Endes 19. Jahrhunderts) haben Mathematiker und Physiker gelernt, daß der egriff der Parallelität eigentlich noch viel fundamentaler ist als der der Existenz von Parallelen. Man kann Parallelität auch definieren, wenn man keine Parallelen im Sinne der Euklidischen Geometrie hat (man braucht stattdessen den egriff des Zusammenhangs von Levi-ivita). iese Erkenntnisse hat dann zu neuartigen, ganz fundamentalen Einsichten in Raum und Zeit geführt - bis hin zu Relativitätstheorie, Quantentheorie und (heute) Stringtheorie.

2 48. Geometrie (L2) 1. Existenz und Eindeutigkeit von Parallelen. Wir kommen nun zur Existenz von Parallelen. Nach einigen Vorbereitungen wird dies in [Euklid I 31] unten bewiesen. as Ganze was hier folgt ist ein Lehrstück in axiomatischer Mathematik, und man kann den systematischen und delikaten ufbau der Euklidischen Mathematik auch hier nur bewundern. ie ganze Herleitung der Parallelen ist nicht nur wissenschaftlich einwandfrei, sondern hat auch ein ästhetisches Moment der Schönheit. ufgabe. [Euklid, I 22] (Konstruktion eines reiecks) Seien drei Strecken a,b,c gegeben mit a + b > c,b + c > a,c + a > b. Konstruiere ein reieck mit Seiten, die den Strecken a,b,c gleich sind. K a c a F b G c H Lösung. Man ziehe eine gerade Linie E und trage [Euklid, I 3] ab. F = a, FG = b und GH = c Man ziehe (Post. 3) einen Kreis mit Mittelpunkt F und Radius a und einen Kreis mit Mittelpunkt G und Radius c. ann ist (ef. 15) FK = F = a und KG = FG = b da KF Radius des Kreises um F und KG Radius des Kreises um G. amit erfüllt das schraffierte reieck die ufgabe.

3 4 Parallelität 49 ufgabe. [Euklid, I 23] (Konstruktion eines Winkels) Es sei ein Winkel E und eine Strecke gegeben. Man trage an im Punkt einen Winkel F ab mit E = F. F E G Lösung. Man wähle auf den Schenkeln des gegebenen Winkels E beliebig zwei Punkte, E. Man trage ufgabe [Euklid I 3] auf die Strecke G ab mit G = E. Man konstruiere ufgabe [Euklid I 22] ein reieck FG mit F = und FG = E. ann ist insgesamt G = E, F =, FG = E. lso stimmen die Seiten der beiden reiecke FG und E paarweise überein Somit ist (zweiter Kongruenzsatz) [Euklid I 8] FG = E und insbesondere FG = E. emerkung. Man sieht, dass bei Euklid der gesuchte Winkel nicht einfach durch Parallelverschiebung erhalten wird. ies geht auch noch nicht, weil man dazu Parallelen braucht und man erst noch die Existenz von Parallelen beweisen muss!

4 50. Geometrie (L2) Satz. [Euklid, I 27] Wenn eine gerade Linie EF beim Schnitt mit zwei geraden Linien, einander gleiche (innere) Wechselwinkel bildet, d.h. EF = EF, dann müssen diese geraden Linien einander parallel sein. E G F ngenommen und sind nicht parallel. ann müssen sie sich nach einer Seite hin treffen, etwa im Punkt G (ef 23). ann wäre EF G ein reieck mit EF = EF G. ies aber widerspricht [Euklid I 16]. ufgabe. [Euklid 31] Sei ein Punkt und eine Strecke gegeben. Man ziehe durch eine gerade Linie die zu parallel ist. E F Lösung. Man wähle einen Punkt auf der geraden Linie beliebig. Man ziehe. Man trage an die gerade Linie im Punkte auf ihr E = an [Euklid 23]. Man verlängere E gerade um die gerade Linie F. ann ist EF parallel zu [Euklid I 27] (denn die gerade Linie bildet beim Schnitt mit den zwei geraden Linien, EF einander gleiche Wechselwinkel, nämlich E = ).

5 2. Konstruktion des Quadrats. 4 Parallelität 51 Wir haben schon gesehen, dass die Griechen das 5-Eck konstruieren konnten. Sie haben sicher nach einer systematischen Methode gesucht alle n-ecke zu konstruieren. Sie konnten aber nur noch das 3-Eck, 4-Eck, 6-Eck und das 15-Eck konstruieren. Wir behandeln hier noch die Konstruktion des Quadrats = gleichseitiges und rechtwinkliges 4-Eck (ef. 22). Satz. [Euklid I 29] Sei EF eine geraden Linie die zwei parallele Strecken, schneidet. ann gilt GH = GH, EG = GH, GH + GH = 2R. E G H ad (1) ngenommen GH GH. ann müsste einer der Winkel größer sein. Sei GH > GH. ann wäre GH + GH > GH + GH ber GH + GH = 2R [Euklid I 13]. lso wären GH + GH < 2R. Von Winkeln aus, die zusammen < 2R sind, ins unendliche verlängerte gerade Linien treffen sich aber (Post. 5). lso müßten sich,, bei Verlängerung ins Unendliche, treffen. Sie treffen sich aber nicht, da sie nach Voraussetzung parallel sind (ef. 23). lso ist F GH = GH. ad (2) Weiter ist GH = EG [Euklid I 15]; also auch EG = GH.

6 52. Geometrie (L2) ad (3) Es ist EG + GH = GH + GH ber EG + GH = 2R [Euklid I 13]. lso sind auch GH + GH = 2R ies war zu zeigen. Satz. [Euklid I 34] Im Parallelogramm ist =, = und =, =, und die iagonalen und halbieren es. Es ist [Euklid I 29] =, da und parallel sind und sie von der geraden Linie geschnitten werden. Ebenso ist =, da und parallel sind und von gschnitten werden. emnach sind, zwei reiecke mit gemeinsamer Seite und =, = lso müssen (Kongruenzsatz) [Euklid I 26] und kongruent sein. Insbesondere halbiert die iagonale das Parallelogramm. Weiter sind alle Seiten und Winkel der reiecke paarweise gleich. Insbesondere ist =, = und =. Und so (x. 2) =, da =, =.

7 4 Parallelität 53 ufgabe. [Euklid I 46] Man zeichne über einer gegebenen Strecke das Quadrat. E ad (1) Man ziehe, rechtwinklig zur Strecke [Euklid I 11] und trage = ab [Euklid I 3]. Man ziehe durch die Parallele E zu und durch die Parallele E zu [Euklid I 31]. ann ist [Euklid I 34] = E und = E, d.h. E ist ein Parallelogramm. ber lso sind (x. 1) = = = E = E. as Parallelogramm E ist somit gleichseitig. ad (2) Weiter ist [Euklid I 29] + E = 2R da,e Parallelen sind, die von der geraden Linie geschnitten werden. Weiter ist = R. lso ist auch (x. 3) ann sind weiter E = R. E = R und E = R, da im Parallelogramm die gegenüberliegenden Seiten und Winkel einander gleich sind [Euklid I 34]. as Parallelogramm E ist somit rechtwinklig. Literatur: Euklid, ie Elemente

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