Geldmanagement: Kelly Betting und Optimal f (Vor- und Nachteile) von Univ.-Prof. Dr. Stanislaus Maier-Paape

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1 Inhalt Kontakt: Geldmanagement: Kelly Betting und Optimal f (Vor- und Nachteile) von Univ.-Prof. Dr. Stanislaus Maier-Paape Inhalt: (RWTH Aachen und SMP Financial Engineering GmbH) I. Geldmanagement und Diversifikation II. Kelly betting III. Simulation Einzelanlage IV. Simulation diversifizierte Anlage V. Verallgemeinerung mit Optimal f Oktober 2013 VTAD Stuttgart Seite 1

2 Geldmanagement I. Geldmanagement und Diversifikation Viele Trader und Investoren wissen, dass ein diversifiziertes Depot gegenüber Einzelanlagen Vorteile bietet. Durch das Verteilen von Risiken auf vielen Schultern reduziert sich das Risiko des Portfolios bei gleichzeitig unveränderter Rendite. Umgekehrt lässt sich die Rendite des Portfolios maximieren bei vorgegebenem Risiko. In der Portfolio Theorie nach Markowitz wurden diese Erkenntnisse formal nachgewiesen. Literatur: [Klaus Spremann], Portfoliomanagement, (2008) Oktober 2013 VTAD Stuttgart Seite 2

3 Geldmanagement Als Nebenprodukt liefert dieser Ansatz genaue Positionsgrößen für die Einzelanlagen, um das optimale Portfolio umzusetzen. Unbeachtet bleibt bei diesem Ansatz jedoch der mögliche Drawdown, da das Risiko allein über die Standardabweichung gemessen wird. Wir wollen in diesen Vortrag deswegen zeigen, dass diversifikative Depots auch geeignet sind, mögliche Drawdowns, bzw. maximale Drawdowns zu reduzieren, ohne dabei Abstriche bei der Rendite machen zu müssen. Oktober 2013 VTAD Stuttgart Seite 3

4 Kelly Betting II. Kelly betting Kelly Wette: ein Trader darf immer wieder eine für ihn vorteilhafte Wette eingehen, bei der er entweder einen prozentualen Einsatz f (0,1] seines Kapitals verliert, oder das B fache seines Einsatzes gewinnt. Wir nehmen dabei, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit p (0, 1) und die Verlustwahrscheinlichkeit q = 1 p ist. Dann ergibt sich für X k, das Kapital nach k Wetten, X k 1 (1+Bf) mit Wahrscheinlichkeit p X k = X k 1 (1 f) mit Wahrscheinlichkeit q. Oktober 2013 VTAD Stuttgart Seite 4

5 Kelly betting Unter der Bedingung, dass das Kapital nach k 1 Wetten X k 1 schon bekannt ist (gleich x), erhält man als Erwartungswert von X k { E (X k X k 1 = x} ) = p x(1+bf) + q x(1 f) [ = x 1+ ( Bp q ) ] f. Eine vorteilhafte Wette ergibt sich somit nur, wenn Bp > q. Eine Gewinnmaximierung für jede dieser Wetten wird erreicht, wenn man f = 1 wählt, was aber unmittelbar zum Ruin führt, sobald auch nur eine der Wetten verloren wird. Das kann natürlich nicht sinnvoll sein. Oktober 2013 VTAD Stuttgart Seite 5

6 Kelly betting Statt das Kapital selbst zu maximieren, hat Kelly deshalb versucht, den natürlichen Logarithmus des Kapitals zu maximieren. Berechnen wir daher den Erwartungswert der logarithmischen Nutzenfunktion wieder unter der Bedingung, dass X k 1 schon bekannt ist, erhält man E (log ( ) { X k X k 1 = x} ) ( = p log x ( 1+Bf )) +q log (x ( 1 f )) [ = logx+ p log ( 1+Bf ) +q log ( 1 f )]. Betrachtet man diesen Ausdruck als Funktion von f [0,1], hat dieser sein Maximum bei f opt = p q B > 0 (Kelly Formel). (1) Oktober 2013 VTAD Stuttgart Seite 6

7 Simulation Einzelanlage III. Simulation Einzelanlage Wir wollen dazu eine Simulation durchführen. Sei im Folgenden B = 2 und p = 0.4. Das optimale f nach Kelly wäre demnach f opt = p q B = = 0.1 = 10%. Das heißt, um langfristig optimales Wachstum der logarithmischen Nutzenfunktion zu gewährleisten, muss jeweils 10% des Kapitals eingesetzt werden. Oktober 2013 VTAD Stuttgart Seite 7

8 Simulation Einzelanlage Eine Simulation über Wetten ergibt bei einem Startkapital von X 0 = 1000 folgendes Ergebnis (Abb. 1): 120 Equity log scale: steps = 10000, B = 2, p = 0.4, f = Abbildung 1: Wetten mit f opt : y = log ( X k ) für k = 1,...,10000 Auf der x Achse sind die Wetten k = 1,...,10000 aufgetragen. Die gestrichelte Linie in Abbildung 1 zeigt für f=f opt = 10%, k = 1,...,10000, den Erwartungswert E ( log(x k ) ) eine Gerade mit Steigung p log ( 1+Bf ) +q log ( 1 f ) Dies wird von der Simulation in etwa realisiert. Oktober 2013 VTAD Stuttgart Seite 8

9 Simulation Einzelanlage Hier sehen wir die negativen Drawdowns ( drawdown(k), k = 1,...,10000) dieser Simulation und gestrichelt den maximalen Drawdown. 7 verteilung drawdown: steps = 10000, B = 2, p = 0.4, f = Abbildung 2: neg. Drawdown für f opt (links) und Drawdown Verteilung / ) Hierbei ist drawdown(k) = 1 (X k equitymax(k) [0,1] und equitymax(k) = max 1 j k X j. Oktober 2013 VTAD Stuttgart Seite 9

10 Simulation Einzelanlage Abbildung 2 zeigt klar, dass bei f = f opt massive Drawdowns zu erwarten sind. Die Drawdowns wären eine große psychische Belastung für jeden Trader oder Investor! Setzt man dagegen nur f = 1% von seinem Kapital, wie es viele Experten empfehlen, lassen sich derart große Drawdowns vermeiden: blood curve(neg drawdown): steps = 10000, B = 2, p = 0.4, f = verteilung drawdown: steps = 10000, B = 2, p = 0.4, f = Abbildung 3: negativer Drawdown für f = 0.01 (links) und Verteilung Oktober 2013 VTAD Stuttgart Seite 10

11 Simulation Einzelanlage Bei einem Einsatz von nur noch jeweils f = 1% von seinem Kapital leidet aber das Kapitalwachstum. Der Erwartungswert (gestrichelte Linie in Abbildung 4 (links)) und das Ergebnis der Simulation sind deutlich niedriger (rechts zum Vergleich das optimale Wachstum). 30 Equity log scale: steps = 10000, B = 2, p = 0.4, f = Equity log scale: steps = 10000, B = 2, p = 0.4, f = Abbildung 4: y = log(x k ) für f = 0.01 (links) und f opt = 0.1 (rechts) Oktober 2013 VTAD Stuttgart Seite 11

12 Simulation Einzelanlage Man sieht, dass sich die größeren Drawdowns bei suboptimalem f f opt vermeiden lassen, was aber auf Kosten der Kapitalentwicklung geht. Es bleibt die Frage, ob man beides, also optimale Kapitalentwicklung bei gleichzeitig beschränkten Drawdowns haben kann? Hier kommt die Diversifikation ins Spiel. Das Ziel der Diversifikation ist es, das Depotkapital auf mehrere Schultern (virtuelle Teildepots) zu verteilen. Hat jedes der Teildepots einen positiven Erwartungswert, erhält das Gesamtdepot ebenfalls einen positiven Erwartungswert (durch Mittelung). Oktober 2013 VTAD Stuttgart Seite 12

13 Simulation diversifizierte Anlage IV. Simulation diversifizierte Anlage Dazu betrachten wir nochmal die Kelly betting Variante mit B = 2, p = 0.4, f opt = 10%. Allerdings werden wir vor jeder Wette das Kapital auf M = 10 bzw. M = 25 virtuelle Teildepots gleichmäßig aufteilen und jedes Teildepot wettet (stochastisch unabhängig) mit einem f opt Anteil von seinem Teilkapital. Equity log scale: steps = 10000, B = 2, p = 0.4, M = 10, f = Equity log scale: steps = 10000, B = 2, p = 0.4, M = 25, f = Abbildung 5: y = log ( X k ) bei M = 10 (links) bzw. M = 25 (rechts) Teildepots mit f opt Die untere gestrichelte Linie in Abbildung 5 zeigt wie in Abbildung 1 den Erwartungswert, wenn man nur ein Depot hat. Oktober 2013 VTAD Stuttgart Seite 13

14 Simulation diversifizierte Anlage Beobachtungen: Das Kapital wächst noch schneller als bei nur einem Depot zu erwarten war. Der Drawdown (Abbildung 6 und Abbildung 7) geht merklich zurück. blood curve(neg drawdown): steps = 10000, B = 2, p = 0.4, M = 10, f = verteilung drawdown: steps = 10000, B = 2, p = 0.4, M = 10, f = Abbildung 6: M = 10 Drawdown (links) und Verteilung (rechts) Oktober 2013 VTAD Stuttgart Seite 14

15 Simulation diversifizierte Anlage In Abbildung 7 sieht man, dass für M = 25 Teildepots der Drawdown nochmal deutlich abnimmt (trotz leicht höherer Equitykurve in Abb. 5 (rechts)). blood curve(neg drawdown): steps = 10000, B = 2, p = 0.4, M = 25, f = verteilung drawdown: steps = 10000, B = 2, p = 0.4, M = 25, f = Abbildung 7: M = 25 Drawdown (links) und Verteilung (rechts) Oktober 2013 VTAD Stuttgart Seite 15

16 Simulation diversifizierte Anlage Das Kapital nach k Schritten, X k, ergibt sich demnach als Summe über die Kapitalstände der Teildepots X k = M i=1 Y k i, wobei das Teildepot i vor der k ten Wette mit X k 1 M und nach der Wette das Kapital Y k zeigt, dass ( E log(x k ) log(x) + ) {X k 1 = x} ( M j=0 M j = kapitalisiert wird i haben soll. Eine leichte Rechnung )p j( 1 p ) M j log ( 1+f [ j B +1 ]) M 1. (2) Oktober 2013 VTAD Stuttgart Seite 16

17 Simulation diversifizierte Anlage Bemerkung: Für M = 1 erhält man die alte Formel aus (1). ( E log ( ) { X k Xk 1 = x }) = log(x)+p log(1+bf)+(1 p) log(1 f). Insbesondere ist f = f opt vermutlich nicht mehr optimal bezüglich der Maximierung der log Nutzenfunktion aus (2). Trotzdem ergibt sich eine Art Win Win Situation: Vorteile: Man bekommt jetzt den Drawdown in den Griff. Der erwartete Gewinn wächst gegenüber dem Einzeldepot enorm an. Oktober 2013 VTAD Stuttgart Seite 17

18 Simulation diversifizierte Anlage Allerdings sollen auch die Nachteile nicht unerwähnt bleiben: Nachteile: Man braucht mehr Signale (möglichst stochastisch unabhängig bzw. wenig korreliert) Die Gebühren nehmen zu. Die Nachteile erscheinen eher von technischer Art, sind aber tatsächlich einschränkend, bzw. schwer zu realisieren. Die Annahme, dass die Investments der Einzeldepots stochastisch unabhängig möglich sind, ist bei den heutigen globalen Finanzmärkten vermutlich nicht realisierbar. Als Abschwächung dieser Voraussetzung könnte man annehmen, dass die Korrelation zwischen den Renditen der Einzeldepots gleich Null, oder zumindest betragsmäßig klein, ist. Das lässt sich sicher über übliche Korrelationsschätzer realisieren. Literatur: [Wied], TU Dortmund, statistische Tests ob sich die Korrelation geändert hat Oktober 2013 VTAD Stuttgart Seite 18

19 Optimal f V. Verallgemeinerung mit Optimal f Um für reale Investments anwendbar zu sein, müsste man das einfache Kelly betting Beispiel durch eine realistische Renditeverteilung ersetzen und mit optimal f von Ralph Vince a in den Teildepots arbeiten, was aber wahrscheinlich zu ähnlichen Ergebnissen führen würde. Eine eigene Drawdown Kontrolle, wie im Leverage Space Trading Modell in Vinceb vorgeschlagen, wäre gar nicht nötig. a [Vince], The Mathematics of Money Management, Risk Analysis Techniques for Traders, (1992). b [Vince],TheLeverageSpaceTradingModel:ReconcilingPortfolioManagement Strategies and Economic Theory, (2009). Oktober 2013 VTAD Stuttgart Seite 19

20 Optimal f Vince Situation: Seien t 1,t 2,..., t N R eine Serie von N historischen Trading Resultaten. Wir nehmen an, dass es wenigstens einen Verlusttrade gibt. Setze ˆt := max { t i : t i < 0 } > 0 (den betragsmäßig größten Verlusttrade). Sei HPR i (f) := 1+f ti ˆt 0, f [0,1] (holding period return). (3) Dies ist der Faktor um den sich das Vermögen verändert, wenn der Einsatz für den i ten Trade ein fester Bruchteil f [0,1] des verfügbaren Vermögens ist (fixed fraction trading). Oktober 2013 VTAD Stuttgart Seite 20

21 Optimal f Ist z.b. t i0 = ˆt < 0 eine Realisierung des größten Verlusts, ergibt sich HPR i0 (f) = 1+f t i 0 = 1 f. D.h. im schlimmsten Fall verliert ˆt man den Bruchteil f des verfügbaren Kapitals. Mit TWR(f) := N i=1 HPR i (f) (terminal wealth relative) (4) erhält man den Quotienten aus neuem und altem Kapital nach den N Trades, wenn man immer den festen Bruchteil f (0,1] wettet. Oktober 2013 VTAD Stuttgart Seite 21

22 Optimal f Nach Vince ist der optimale Bruchteil f = f opt dadurch zu erreichen, dass man den TWR maximiert TWR(f)! = max, f [0,1]. (5) Bemerkung: Bei N = 2 Trading Resultaten ist das äquivalent zur Maximierung von (1) mit p = q = 1 2 (Kelly betting mit Gewinn WS = Verlust WS). Beispiel: Excel Tabelle, optimal f Berechnung Literatur: [Maier Paape], Existence Theorems for optimal fractional trading, Preprint, Institut für Mathematik, RWTH Aachen, (2013) [Maier Paape], Optimal f and diversification, Preprint, Institut für Mathematik, RWTH Aachen, (2013) aachen.de/preprints/home Oktober 2013 VTAD Stuttgart Seite 22

23 Fazit Fazit Mit Hilfe von Monte Carlo Simulationen war es möglich nachzuweisen, dass der Einsatz von optimal f Positionsgrößen in Zusammenhang mit diversifizierenden Teildepots eine deutliche Reduzierung des maximalen Drawdowns gegenüber Einzelanlagen zulässt, und das bei gleichzeitiger Steigerung der Gewinnerwartung. Suboptimale fractional trading Ansätze werden geradezu deklassifiziert. Eine Schwierigkeit bei der Anwendung der Methode ist es, viele unkorrelierte Investitionsmöglichkeiten bereitzustellen. Die konsequente Umsetzung einer solchen Strategie führt zu einer win win Situation und macht einmal mehr deutlich, warum seit langem viele Profis die Diversifikation als einzigen free lunch an der Wall Street bezeichnen. Oktober 2013 VTAD Stuttgart Seite 23

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