Statistik II Übung 2: Multivariate lineare Regression

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1 Statistik II Übung 2: Multivariate lineare Regression Diese Übung beschäftigt sich mit dem Zusammenhang zwischen Flugpreisen und der Flugdistanz, dem Passagieraufkommen und der Marktkonzentration. Verwenden Sie dazu den Datensatz Flugpreise.sav. Die abhängige Variable Preis misst den durchschnittlichen Flugpreis einer bestimmten Strecke in den USA im Jahr 2000, die unabhängigen Variablen Passagiere, Distanz und Konzentration messen das durchschnittliche Passagieraufkommen (2000), die Distanz in Meilen bzw. die Marktkonzentration für eine bestimmte Strecke. Bitte bearbeiten Sie Aufgaben 1-5 in Gruppen von bis zu 4 Studierenden (vergessen Sie nicht die Namen!) und reichen Sie die Lösungen VOR der 2. PC Übung ein. 1. Argumentieren Sie, warum die unabhängigen Variablen einen Einfluss auf den Flugpreis haben könnten. (Hinweis: es gibt hier keine strikt richtigen oder falschen Antworten.) Je weiter die Flugdistanz, desto teurer der absolute Flugpreis. Je weiter die Flugdistanz, desto günstiger der relative Flugpreis. Je mehr Passagiere, desto günstiger der Flugpreis. Je geringer die Marktkonzentration desto geringer der Flugpreis. 2. Generieren Sie deskriptive Statistiken (Mittelwert, Standardabweichung) für Preis, Passagiere, Distanz und Konzentration und kommentieren Sie diese kurz. Analysieren> Deskriptive Statistiken> Deskriptive Statistik Deskriptive Statistik N Minimum Maximum Mittelwert Standardabweic hung Distanz Passagiere Preis Konzentration Gültige Werte (Listenweise) 1146 Interpretation: In diesem Datensatz beträgt die durchschnittliche Distanz für eine Flugstrecke 989,93 Meilen. Die Standardabweichung der Distanz entspricht 612,539 Meilen. Pro Flug waren durchschnittlich 671 Passagiere an Bord, wobei die Standardabweichung 849 Passagieren aufweist. Die Marktkonzentration liegt im Durchschnitt bei 0,6 und hat eine Standardabweichung von 0,197. 1

2 Ein Passagier bezahlte durchschnittlich 188,05 US Dollar, mit einer Standardabweichung von 77 US Dollar, für einen Flug. 3. Untersuchen Sie den Zusammenhang zwischen Preis und Distanz visuell anhand eines Streudiagramms (mit Preis auf der Y-Achse und Distanz auf der X-Achse). Fügen Sie auch eine lineare Regressionslinie zu Ihrem Streudiagramm hinzu. Welchen Zusammenhang können Sie erkennen? Grafik>Alte Dialogfelder > Streu-/Punktdiagram > Definieren >Y-Achse: Preis > X-Achse: Distanz Doppelklicken mit der linken Maustaste auf das Grafikfeld, um den Diagrammeditor zu öffnen. Wählen Sie das passende Symbol für die Regressionsgerade. Schliessen Sie das Fenster des Diagrammeditors, die Regressionsgerade erscheint in der Grafik. Ein positiver Zusammenhang zwischen der Distanz und dem Preis ist zu erkennen. 2

3 4. Regressieren Sie Preis (linear) auf Distanz und interpretieren Sie die Regressionskoeffizienten. Analysieren > Regression > Linear >Abhängige Variable: Preis > Unabhängige Variable: Distanz Koeffizienten a Standardisierte Nicht standardisierte Koeffizienten Koeffizienten Modell Regressionskoef fizientb Standardfehler Beta T Sig. 1 (Konstante) Distanz a. Abhängige Variable: Preis Pro geflogene Meile nimmt der Preis um 0,075 Dollar zu. 5. Regressieren Sie Preis (linear) auf Passagiere, Distanz und Konzentration und interpretieren Sie die Regressionskoeffizienten. Interpretieren Sie die p-werte hinsichtlich statistischer Signifikanz und kommentieren Sie das R 2. Modellzusammenfassung Modell R R-Quadrat Korrigiertes R- Quadrat Standardfehler des Schätzers a a. Einflußvariablen : (Konstante), Passagiere, Distanz, Konzentration Koeffizienten a Standardisierte Nicht standardisierte Koeffizienten Koeffizienten Modell Regressionskoef fizientb Standardfehler Beta T Sig. 1 (Konstante) Distanz Konzentration Passagiere a. Abhängige Variable: Preis 3

4 Mit jeder zusätzlichen zurückgelegten Meile steigt der Preis um 0,085 US Dollar. Der Effekt ist statistisch signifikant auf dem 1% Niveau. Wenn das Passagieraufkommen um 1 Passagier steigt, sinkt der Preis um 0,005 US Dollar. Der Koeffizient ist statistisch signifikant auf dem 5% Niveau. Wenn der Marktanteil des grössten Anbieters um 1 Prozentpunkt steigt, nimmt der Flugpreis um ungefähr 0,62 US Dollar zu. Der Effekt ist statistisch signifikant auf dem 1% Niveau. Die erklärenden Variablen erklären 38,3% der Variation in den Flugpreisen. 6. Wie erklären Sie sich die Veränderung im Koeffizienten von Distanz zwischen Aufgaben 4 und 5? Durch die Korrelation von Distanz mit den anderen erklärenden Variablen. 7. Diskutieren Sie die Annahmen des multivariaten linearen Regressionsmodells. 1 (lineares Modell); 2 (zufällige Stichprobe); 3 ( E(u x)=0 - Exogenität); 4 keine perfekte Multikollinearität. Unter diesen Annahmen ist der OLS Schätzer unverzerrt. Annahme 5 (Homoskedastizität) sichert Effizienz des OLS Schätzers 8. Generieren Sie eine neue Variable Distanz 2 Transformieren > Variable berechnen > Zielvariable: Distanz2 > Numerischer Ausdruck: Distanz*Distanz (oder Distanz**2) > OK 9. Regressieren Sie Preis auf Passagiere, Distanz, Distanz 2 und Konzentration. Berechnen Sie den partiellen Effekt von Distanz. Inwiefern unterscheidet sich Ihr Modell von jenem in Aufgabe 5? Koeffizienten a Standardisierte Nicht standardisierte Koeffizienten Koeffizienten Modell Regressionskoef fizientb Standardfehler Beta T Sig. 1 (Konstante) Distanz Konzentration Distanz E Passagiere a. Abhängige Variable: Preis 4

5 Modellzusammenfassung Modell R R-Quadrat Korrigiertes R- Quadrat Standardfehler des Schätzers a a. Einflußvariablen : (Konstante), Passagiere, Distanz2, Konzentration, Distanz Nichtlinearer Zusammenhang zwischen Preis und Distanz wird angenommen. Achtung: Koeffizient von Distanz ist nicht mehr der partielle Effekt, sondern letzterer entspricht nun Koeffizient(Distanz)+ 2*Koeffizient(Distanz2)*Distanz Wenn wir für die Distanz 0 einsetzen, dann ist der partielle Effekt: *0, *0= 0,064 Wenn die Distanz = 1 ist, dann ist der partielle Effekt: *0, *1= 0, Der partielle Effekt ist nicht konstant 10. Ist der Koeffizient von Distanz 2 signifikant auf (a) dem 5% Niveau und (b) dem 10% Niveau? Was schliessen Sie daraus hinsichtlich des nichtlinearen Zusammenhangs zwischen Preis und Distanz? Koeffizient von Distanz 2 signifikant auf dem 10% Niveau. Auf dem 5% Niveau kann die Nullhypothese eines linearen Zusammenhangs nicht verworfen werden, weil der Koeffizient von Distanz2 nicht signifikant auf dem 5% Niveau ist. Auf dem 10% Niveau kann ein linearer Zusammenhang verworfen werden. 11. Was besagt das Gauss-Markov-Theorem? Unter Annahmen 1 (lineares Modell); 2 (zufällige Stichprobe); 3 ( E(u x)=0 - Exogenität); 4 keine perfekte Multikollinearität; 5 (Homoskedastizität) ist OLS der beste unverzerrte lineare Schätzer; der beste in dem Sinne, dass er die kleinstmögliche Varianz unter allen unverzerrten Schätzern hat. 12. Warum kann das R 2 nie fallen, wenn in ein bestehendes Regressionsmodell eine zusätzliche Variable aufgenommen wird (z.b. Distanz 2 zusätzlich zu Distanz )? Der Grund ist, dass wenn immer der Koeffizient einer zusätzlichen Variable ungleich Null ist, die Residuen der Minimierung kleiner werden (und ansonsten gleich bleiben wie davor). 5

6 13. Erklären Sie die Begriffe Unter- und Überspezifikation. Unterspezifikation: 1 oder mehrere erklärende Variablen wurden im Modell nicht berücksichtigt (vergessen, nicht beobachtet etc.); Überspezifikation: Variablen ohne Erklärungsgehalt werden im Modell inkludiert. 14. Welche Probleme kann Unterspezifikation hinsichtlich der Unverzerrtheit der erklärenden Variable(n) mit sich bringen? Koeffizient für erklärende Variable ist verzerrt, falls unberücksichtigte Variable mit der erklärenden Variable und der abhängigen Variable korreliert ist. 15. Sie schätzen folgende Koeffizienten in einer Regression von Stundenlohn in Dollar (y) auf Bildungsjahre (x1) und Arbeitserfahrung in Jahren (x2): β 0 = 5, β 1 = 2, β 2 = 3. Berechnen Sie den vorhergesagten (also den erwarteten) Stundenlohn für jemanden mit 10 Bildungsjahren und 3 Jahren an Arbeitserfahrung. y = β 0 + β 1x 1 + β 2x 2 = 5 + 2x 1 + 3x 2 = = 34 (Dollar) 16. Sie schätzen folgende Koeffizienten in einer Regression von Laptop-Preisen in CHF (y) auf Betriebssysteme (x1=1 wenn Windows, x1=0 wenn Mac), Bildschirmgrössen in Zoll (x2) und Batterielaufzeit in Stunden (x3): β 0 = 1300, β 1 = 300, β 2 = 7, β 3 = 20. Berechnen Sie den vorhergesagten Preis für einen Laptop mit Windows Betriebssystem, 15 Zoll Bildschirmgrösse und 10 Stunden Laufzeit. y = β 0 + β 1x 1 + β 2x 2 + β 3x 3 = = 1305 (CHF) 17. Sie schätzen folgende Koeffizienten in einer Regression von Prüfungsergebnissen in Punkten (y) auf Prüfungsvorbereitung in Stunden (x1), Anzahl der verpassten Vorlesungen (x2) und Hauptfach (x3=1 falls Mathematik, x3=0 falls ein anderes Hauptfach): β 0 = 35, β 1 = 0,7, β 2 = 3, β 3 = 5. Berechnen Sie die vorhergesagte Punkteanzahl in der Prüfung für Studierende mit Hauptfach Mathematik, die sich 70 Stunden auf die Prüfung vorbereitet haben und 6 Vorlesungen verpassten. y = β 0 + β 1x 1 + β 2x 2 + β 3x 3 = , = 71 (Punkte) 6

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