WS07/08 Automaten und Formale Sprachen 5. Vorlesung

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1 WS7/8 Automaten und Formale Sprachen 5. Vorlesung Martin Dietzfelbinger 3. November 27 FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ Stichworte Induktive Definitionen: (i) Basisobjekte, (ii) Regeln, um aus schon konstruierten Objekten neue zu machen. Beispiel : Aussagenlogische Formeln, Auswertung unter einer Belegung. Beispiel 2: Korrekte Klammerausdrücke, nichtrekursive Charakterisierung. Reguläre Ausdrücke r : Induktiv definiert.,, a Σ sind reg.a. Wenn r, r,r 2 reg.a., dann auch (r + r 2 ), (r r 2 ), (r ). Sprache L(r) zu regulärem Ausdruck: Per Induktion über den Aufbau von r definiert. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ Ziel: DFA s, NFA s, reguläre Ausdrücke sind äquivalent : Mit jedem dieser Formalismen kann man genau die regulären Sprachen beschreiben. Erste Groß-Konstruktion : Von NFA M zu reg.a. r M. Zentrale Idee: Hilfssprachen L(i, j, k), Rekursion über k =,..., Q. Aus Vorlesung vom 6..: Vom regulären Ausdruck zum NFA. Zwei Abschlusseigenschaften Satz (2.3.2) L, L, L 2 regulär L und L L 2 regulär. Die Klasse der regulären Sprachen ist unter den Operationen Konkatenation und Kleene-Abschluss abgeschlossen. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/

2 Beweis: (a) (Kleene-Abschluss) L sei durch DFA M gegeben. Baue aus M einen äquivalenten reg.a. r = r M. Dann ist L(r )=L,also L regulär. (b) (Konkatenation) L,L 2 seien durch DFA s M,M 2 gegeben. Baue aus M,M 2 äquivalente reg.a.e r bzw. r 2. Dann ist L L 2 = L(r r 2 ),also L L 2 regulär. Interessante Übung: Beweise den Satz direkt mit NFA s (oder -NFA s). Zusammenfassung: (Satz 2.5.) Die Klasse der regulären Sprachen enthält alle endlichen Sprachen und ist abgeschlossen unter: Durchschnitt (DFA-Kreuzproduktkonstruktion) Komplement (Komplement-DFA) Vereinigung (Kreuzpr.-Konstr. oder reg.a.) Konkatenation (reg.a.) Kleene-Abschluss (reg.a.) FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ Das Pumping-Lemma für reguläre Sprachen Eine Methode, um Nicht-Regularität zu beweisen Wie zeigt man, dass eine gegebene Sprache L regulär ist? DFA angeben NFA angeben -NFA angeben Regulären Ausdruck angeben (Reguläre Grammatik angeben später) Zeigen, dass L = L L 2,wobeiL,L 2 regulär. Oder: Durchschnitt, Komplement, Kleene-Abschluss, usw.... NIEMALS ABER: mit dem Pumping-Lemma FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/

3 Beweis des Pumping-Lemmas: L sei reguläre Sprache. Das heißt: L = L M für einen NFA M =(Q, Σ, q, F, δ). Definiere n := Q. Betrachte ein beliebiges x = a a m L, m n. Akzeptierende Berechnung von M für x: Start p a p a 2 p a 3 p a 4... a n p... a m p 2 3 n m (p = q ) entspricht einem Weg P x =(p,...,p m ) von p = q nach p m = q, q F,inG M. Kanten mit a,...,a m markiert. Start p a p a 2 p a 3 2 p a 4 a n 3 p a m... n... p m (p = q ) Schubfachprinzip : Die n +Zustände p,p,...,p n (in Q, mitn = Q ) entlang des Weges können nicht alle verschieden sein es gibt k, l {,...,n} mit k<lund p k = p l. Definiere Teilwörter von x: u := a a k v := a k+ a l w := a l+ a m. Beobachte: (i) x = uvw; (ii) l = uv n; (iii) v = l k. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ (p ) u = a a k (p k ) v = a k+ a l (p l ) w = a l+ a m (p m ) Weg zerschneiden: Mit u von p nach p k = p l. Mit v von p k nach p l = p k. Mit w von p l = p k nach p m F. Wieder zusammensetzen, aber anders: Mit u von p nach p k. Mit w von p k nach p m F. Mit uw von p nach p m F uw L. Mit u von p nach p k. Mit v von p k nach p k. Mit v von p k nach p k. Mit w von p k nach p m F. Mit uvvw von p nach p m F uv 2 w L. (p ) u = a a k (p k ) v = a k+ a l (p l ) w = a l+ a m (p m ) Weg zerschneiden: Mit u von p nach p k = p l. Mit v von p k nach p l = p k. Mit w von p l = p k nach p m F. Wieder zusammensetzen, aber anders: Mit u von p nach p k. Mit v von p k nach p k. Mit v von p k nach p k. Mit v von p k nach p k. Mit w von p k nach p m F. Mit uvvvw von p nach p m F uv 3 w L. Und so weiter. Man sieht: (iv) Für jedes i ist uv i w L. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/

4 2.4. Satz (Pumping-Lemma für reguläre Sprachen) Wenn L eine reguläre Sprache ist, dann gibt es ein n derart dass für alle x L mit x n gilt: es gibt Wörter u, v, w Σ mit : (i) x = uvw (ii) uv n (iii) v (iv) uv i w L für alle i ( uv i w = uv v }{{} w ) i mal Eine Struktureigenschaft regulärer Sprachen Kein Bezug zu irgendeiner Darstellungsform! Behauptung (a): L = { m m m N} ist nicht regulär. Beweis: Indirekt. Annahme: L ist regulär. (Ziel: Widerspruch) Nach dem Pumping-Lemma (PL) gibt es ein n, sodass: Für jedes x L, x n, gibt es u, v, w Σ mit (i), (ii), (iii), (iv). Wir wählen nun x := n n. (Es macht nichts, dass wir nicht wissen, wie groß n ist.) Dann ist x L und x =2n n. PL es gibt u, v, w mit (i), (ii), (iii), (iv). FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ L = { m m m N} Haben schon: n, x = n n und u, v, w {, } mit (i) x = uvw, (ii) uv n, (iii) v, (iv) uv i w L für alle i. x = uvw = }{{}}{{} n mal n mal uv n uv besteht nur aus Nullen. v d.h. v uv w = uw = n v n Weil n v <n,istuv w/ L. Widerspruch zu (iv)! Also ist L nicht regulär. Behauptung (b): L 2 = { m2 m N} ist nicht regulär. Beweis: Indirekt. Annahme: L 2 ist regulär. Nach dem Pumping-Lemma (PL) gibt es ein n, sodass: Für jedes x L 2, x n, gibt es u, v, w Σ mit (i), (ii), (iii), (iv) Wir wählen x := n2. Dann ist x = n 2 >n. PL es gibt u, v, w mit (i), (ii), (iii), (iv). FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/

5 L 2 = { m2 m N}. Haben schon: n, x = n n und u, v, w {, } mit (i) x = uvw, (ii) uv n, (iii) v, (iv) uv i w L für alle i. x = uvw = }{{} n 2 mal uv n und v v n. Es ist uv 2 w = u v v w = x + v = n2 + v. Wir wählen i =2. Weil n 2 + v n 2 + n<n 2 +2n +=(n +) 2,istn 2 + v keine Quadratzahl, also uv 2 w/ L 2 Widerspruch zu (iv)! Gegeben: Sprache L. BEWEIS-SCHEMA Behauptung: L ist nicht regulär. [] (Wörtlich) Beweis indirekt. Annahme: L ist regulär. [] (Wörtlich) Dann gibt es ein n mit den im Pumping- Lemma behaupteten Eigenschaften. ( Für jedes x L mit x n gibt es u, v, w mit (i) (iv). ) [2] (Problemspezifisch) Wir wählen ein geeignetes x L, mit x n sodassschritt[4]ausführbar ist. [3] (Wörtlich) Nach dem PL gibt es u, v, w Σ mit (i) (iv). [4] (Problemspezifisch) Wir wählen (zu u, v, w) einpassendes i und zeigen, dass uv i w nicht in L sein kann. [5] (Wörtlich) Widerspruch zu (iv). FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ Äquivalent: SPIEL-SCHEMA Gegeben: Sprache L Behauptung: L ist nicht regulär. Wir (B: diebeweiser, oderdie Braven ) spielen gegen den Gegner G (wie Gemein ) Runde : G gibt uns eine Zahl n. Runde 2: B Wir wählen geschickt ein x L mit x n (sodassrunde4immergutfür uns ausgeht) Runde 3: G gibt uns u, v, w mit (i) x = uvw, (ii) uv n und (iii) v. Wir wissen nicht genau, wieu, v, w in x liegen. Runde 4: B Wir wählen, eventuell abhängig von u, v, w, eini und zeigen, dass uv i w/ L. In einem Durchlauf des Spiels gewinnt B, wennuv i w/ L ist. (Andernfalls gewinnt G.) B hat eine Gewinnstrategie, wennb in Runde 2 immer ein x wählen kann, so dass B in Runde 4 immer ein i wählen kann, das zum Gewinn führt. (Egal was G tut.) Behauptung: Wenn B eine Gewinnstrategie hat, dann ist L nicht regulär. Beweis: Kontraposition des Pumping-Lemmas. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/

6 Das Pumping-Lemma hat die Form A B wobei A bedeutet L ist regulär und B so aussieht: n x L : x n u, v, w : (i) x = uvw (ii) uv n (iii) v (iv) i : uv i w L. Dazu äquivalent ist die Kontraposition: B A. Dabei ist A: L ist nicht regulär und B ist und B ist n x L : x n ( u, v, w : ((i) x = uvw (ii) uv n (iii) v ) i : uv i w/ L). Wenn B immer gewinnen kann, d.h. eine Gewinnstrategie hat, bedeutet das genau, dass B gilt. Und aus B folgt A. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ Beh. (c): L 3 = { m l m+l m, l N} ist nicht regulär. (Die Sprache L 3 codiert die unäre Addition.) Beweis: Per SPIEL-SCHEMA... Beweis per SPIEL-SCHEMA: Runde : G gibt uns eine Zahl n Runde 2: B Wir wählen x = n n. Klar: x L 3, x >n. Runde 3: G gibt uns u, v, w mit (i) x = uvw und (ii) uv n und (iii) v. Runde 4: B x beginnt mit genau n Nullen. Wegen (ii) ist uv ein Präfix dieses Teils n, besteht also nur aus Nullen. Also: uv w = uw = n v n, nicht in L 3. Wir wählen i =.Dannistuv i w/ L 3.Fertig. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/

7 Beh. (d): L 4 = { p p N ist eine Primzahl } ist nicht regulär. Beweis per SPIEL-SCHEMA: Runde : G gibt uns eine Zahl n Runde 2: B Wir wählen x = p für eine Primzahl p n+2. Klar: x L 4 und x >n. Wir wählen: i := uw. Das ist w 2. Nun: uv i w = uw + i v = uw + uw v = uw ( + v ) Dies ist keine Primzahl, weil uw 2 und + v 2. Also: uv i w/ L 4. Wir (B) gewinnen immer. Also ist L 4 nicht regulär. Runde 3: G gibt uns u, v, w mit (i) x = uvw und (ii) uv n und (iii) v. Runde 4: B Wir müssen i so wählen, dass uv i w keine Primzahl ist. Am besten: durch uw teilbar. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ Beh. (e): L 5 = {w {, } w ist korrekter Klammerausdruck } ist nicht regulär. Beweis per SPIEL-SCHEMA: Runde : G gibt uns eine Zahl n Runde 2: B Wir wählen x = n n. Klar: x L 5, x n. Runde 3: G gibt uns u, v, w mit (i) x = uvw und (ii) uv n und (iii) v. Runde 4: B Wir wählen: i :=. Weil uv n, bestehtuv nur aus Nullen. Also: uv w = n v n / L 5. (Kein korrekter Klammerausdruck, da Anzahl der Nullen und Einsen verschieden.) 2.5 Weitere Abschlusseigenschaften Substitution, Homomorphismus, Inverser Homomorphismus, Spiegelung Substitution Hintergrund: Hierarchische Definition von (regulären) Sprachen. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/

8 Beispiel : Bezeichner in Pascal-Programmen Pascal: beginnt mit mindestens einem Buchstaben, es folgen Buchstaben und Ziffern in beliebiger Reihenfolge L = L(B(B + Z) ) über dem Alphabet Σ={B, Z} In Wort aus L möchten wir einsetzen: für jedes B einen Buchstaben aus L B = {a, b,...,z, A, B,...,Z} für jedes Z eine Ziffer aus L Z = {,,...,9} Aus BBBBB entsteht April oder IxZwo Aus BZBZZZ entsteht zx23 oder R9R294 Definition (2.5.2) Substitution Seien Σ und Δ Alphabete, L sei Sprache über Σ. Betrachte Funktion f :Σ P(Δ ), d. h. f(a) =L a ist eine Sprache über Δ,für jedes a Σ. Ein Wort w ist in f(l) falls man w = w w 2...w s schreibenkannfür ein Wort a a s L und w L a,...,w s L as. Satz (2.5.3) L, f(a ),...,f(a n ) regulär f(l) regulär. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ Die Klasse der regulären Sprachen ist unter Substitution abgeschlossen. Wenn wir Sprachen hierarchisch definieren und alle Komponenten reguläre Sprachen sind, ist auch das Ergebnis eine reguläre Sprache. Beweis: SeiM =(Q, Σ,q,F,δ) ein NFA mit L = L M. Für jedes a Σ sei M a ein NFA mit L a = L Ma. In G M, ersetze Kante von M a M a q a q durch eine Kopie q G Ma q wobei eine -Kante von q zum Startzustand von M a führt und -KantenvondenakzeptierendenZuständen von M a zu q Resultat: M. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/

9 Die -Kanten erzwingen, dass die Unter-NFA s nur in der vorgesehenen Richtung durchlaufen werden können und keine Vermengung passieren kann. Dann: w wird von M akzeptiert es gibt in M einen Weg von q zu einem q F,dessen Kanten mit den Buchstaben von w beschriftet sind es gibt in M einen Weg von q zu einem q F,dessen Kanten mit a,...,a m beschriftet sind und so dass w = w w m mit w i L Mai = L ai w f(l). Also: f(l) =L M,alsof(L) regulär. Homomorphismus: Spezielle Substitution, wo jedes L a genau ein Wort g(a) Δ enthält. Für Buchstaben a Σ setze Wort g(a) Δ ein. Dann: g(a a m ):=g(a ) g(a m ). Beispiel : g() = ara, g() = rat ; L = {, } g(l )={, ara, rat, araara, ararat, ratara, ratrat,...} Satz (2.5.5(a)) L regulär, g :Σ Δ beliebig L = {g(w) w L} regulär. (Folgt aus dem allgemeineren Ergebnis für Substitution.) FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ Diesen Satz benutzt man meistens, um Nichtregularität zu beweisen. Beispiel: DieSpracheL aller vollständig geklammerten arithmetischen Ausdrücke aus ganzen Zahlen, wobei die Zahlen in Dezimaldarstellung gegeben sind... (Beispiel: (((2+7)/(6*8))-(7*(3/(-3)))) ) ist nicht regulär. Beweis: Betrachte folgenden Homomorphismus g: Δ={, }, Σ besteht aus Dezimalziffern, Operatoren, Klammern. g(() =;g()) =;g(a) = für die anderen Zeichen. Dann: g(l) ist die Menge der korrekten Klammerausdrücke. Diese ist nicht regulär, also kann auch L nicht regulär sein. Sprach-Operation Inverser Homomorphismus: Sei g :Σ Δ ein Homomorphismus. Sei L Δ Sprache. Dann: g (L ):={w Σ g(w) L }. Sprache über Σ. Satz (2.5.5(b)) Ist L regulär, dann ist auch g (L ) regulär. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/

10 Beweis: g (L )= {w = a a m Σ g(w) =g(a ) g(a m ) L }. Sei M =(Q, Δ,q,F,δ ) DFA mit L = L M. Wir bauen neuen DFA M =(Q, Σ,q,F,δ) durch: Damit sofort: w g (L ) g(w) L δ (q,g(w)) F δ(q,w) F w L M. D.h.: g (L )=L M,alsoregulär. Q := Q,q := q,f := F, und δ(q, a) :=δ (q, g(a)), für q Q und a Σ Man zeigt dann (Induktion über m = w ): δ(q, w) =δ(q,a a m )=δ (q, g(a ) g(a m )) = δ (q,g(w)). FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ Spiegelung Beispiele : Spiegelung von Wörtern (a) (b) if fi (c) abracadabra arbadacarba (d) Beispiele : Spiegelung von Sprachen (a) {, } {, } (b) {,,,,...} {,,,,...} (c) L( )={ i j i, j } { j i i, j } = L( ) (d) {a n b n c n n } {c n b n a n n } (e) elle elle ( Palindrom ) FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/

11 . Definition (2.5.6) (a) Für w = a a 2 a n Σ setze w R := a n a 2 a (b) Für L Sprache setze L R := {w R w L} Satz (2.5.7) L regulär L R regulär. 2 Beweise, beide konstruktiv. Einer mit -NFA s, einer mit regulären Ausdrücken. Beweis: WennL = L M für einen -NFA M =(Q, Σ,q,F,δ), dann baue G M so um, dass genau ein akzeptierender Zustand q existiert, d.h. F = {q }. G M : Start, G M : Start Füge neuen Endzustand q hinzu, führe -Kanten von jedem vorherigen Endzustand nach q., FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ Liefert -NFA M für L. G M : Start, G M" :, Drehe in M alle Kanten um; vertausche Start- und Endzustand. Liefert neuen -NFA: M. Klar: Weg in G M von q zu q,mitw beschriftet Weg in G M von q zu q,mitw R beschriftet. Also: L M = L R M. Start Zweiter Beweis, mit regulären Ausdrücken. Beispiel: L = L(((a + b)(b + c)) (ab)), dann L R = L((ba)((b + c)(a + b)) ). Zu jedem reg.a. r gibt es einen reg.a. r mit L(r )=L(r) R. Induktion über den Aufbau von regulären Ausdrücken! (i) r =, r =, r = a: r =, r =, r = a. (ii) r =(r r 2 ): r =(r 2r ). r =(r + r 2 ): r =(r + r 2). r =(r): r =(r ). FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/

12 Stichworte Äquivalenz DFA, NFA, reguläre Ausdrücke. Mehrere wesentliche Konstruktionen. Das Pumping-Lemma: Eine Struktureigenschaft. Mit dem Pumping-Lemma beweist man Nichtregularität von Sprachen. Widerspruchsbeweis-Schema. Alternativ: Spiel-Schema. Abschlusseigenschaften: Vereinigung, Durchschnitt, Komplement, Konkatenation, Kleene-Abschluss, Substitution, Homomorphismus, inverser Homomorphismus, Spiegelung. Bis nächste Woche: Folien aus Netz besorgen. Skript Seiten und 45 5 (letzte Vorlesung) und 5 66 (diese Vorlesung) durcharbeiten. Definitionen lernen, Beispiele ansehen, Fragen vorbereiten. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/ FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen WS7/