Arithmetische Reihen Geometrische Reihen. Theorie und Musterbeispiele. Es wird auch das Arbeiten mit dem Summenzeichen geübt! Datei Nr.
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- Adam Langenberg
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1 Zahlefolge Teil 3: Reihe Arithmetiche Reihe Geometriche Reihe Theorie ud Muterbeipiele E wird auch da Arbeite mit dem Summezeiche geübt! Datei Nr Stad 7. September 06 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
2 40050 Arithmetiche. ud geometriche Reihe Vorwort Hier die wichtige Texte über Folge ud Reihe: 400 Eiführug Rekurive ud explizite Berechugformel Grudlage zu arithmetiche ud geometriche Folge (Die wird i vorliegedem Text wiederholt! Geometriche Folge al Wachtumfolge (kurze Eiführug) 400 Arithmetiche ud Geometriche Folge 4003 Arithmetiche Folge. Ordug Die wurde auch cho i 400 ageproche 4009 Geometriche Folge: Prozetuale Wachtum Prozetuale (expoetielle) Wachtum ud Abahme (wie Ziezirechug, radioaktiver Zerfall). Hier wird och eimal beproche, wa kurz i 400 gezeigt worde it. Wer e alo auführlicher braucht, lee hier ach! 4000 Spezielle Wachtumfolge Hier geht e um die rekurive Formel u u q r. ud die explizite Berechug der Formel. Zu de Aweduge gehöre auch chwierigere fiazmathematiche Vorgäge wie Ratepare, Retezahlug, Darlehefiazierug. Allgemei bechreibe diee Folge da bechräkte Wachtum. Dazu gehört auch die bechräkte Abahme (Abkühlugvorgäge u.a.) Arithmetiche ud geometriche Reihe (dieer Text) Geometriche Figure al geometriche Folge E komme auch Teilaufgabe zu Reihe vor Fiboacci-Folge, Goldeer Schitt 4000 Bruchreihe 4000 Aufgabeammlug zu ar./geom. Folge ud Reihe uw.
3 40050 Arithmetiche. ud geometriche Reihe 3 Ihalt Au Folge werde Reihe Eiführug 4 Eiführugbeipiel 4 Arithmetiche Reihe 6. Summeformel 6. 0 Muteraufgabe zur arithmetiche Reihe 8.3 Arbeite mit dem Summezeiche 3 Geometriche Reihe 5 3. Eiführugbeipiel 5 3. Herleitug der Summeformel Muterbeipiele Arbeite mit dem Summezeiche Uedliche geometriche Reihe 0 Arbeite mit der Schreibweie ai i 3.6 Periodiche Dezimalzahle 3 4 Schwere Aufgabe zu arithmetiche ud geometriche Folge ud Reihe 6 bi 36 Traiigaufgabe dazu i der Datei 4000
4 40050 Arithmetiche. ud geometriche Reihe 4 Au Folge werde Reihe - Eiführug Eiführugbeipiel Gegebe it eie Zahlefolge, etwa diee: a, a 3, a3 5, a4 8, a5, Daruter ka ma ich etwa vortelle, da e ich dabei um Läge a eier rechtwiklige Spirale hadelt. Ma ka jetzt frage: Wie lag id diee erte 5 Strecke zuamme? Da wäre da die Summe 5 aa a3 a4 a5. Augerechet: Ma ka diee Spirale verläger. Erket du da Bilduggeetz der Folge? Wie groß it die Summe 8 der erte 8 Strecke? a a a a a a a a Für die Folge der Teilumme,, 3 ka ma eie Formel auftelle. Die tu wir jetzt. MERKE: Eie Folge vo Teilumme (= Partialumme) et ma eie Reihe. So ieht die Folge der Teilumme, alo die zur Folge a gehörede Reihe au:. Teilumme: a. Teilumme: a a Teilumme: 3 aa a Teilumme: 4 aa a3 a te Teilumme: aa... a a? Hier die dazu gehörede Formel i eier Übericht: Die rekurive Bildugvorchrift der Folge a : a etteht au a durch Additio der, a 3 etteht au a durch Additio der, a 4 etteht au a 3 durch Additio der 3, a etteht au a durch Additio der Zahl. Alo: a a Hiwei: I 400 Abchitt 5.3 ud i 4003 id olche Folge erklärt. Sie heiße arithmetiche Folge. Ordug. a 5 a a a 3 a 4 Ihre explizite Bildugvorchrift lautet: a
5 40050 Arithmetiche. ud geometriche Reihe 5 Ud hier die REKURSIVE BERECHUNGSMETHODE FÜR REIHEN Allgemei Beipiel a a a a a a ` ` 3 ` a a a a Ma ka alo die jeweil ächte Teilumme au der voragegage bereche, idem ma eifach da ächte Glied der urprügliche Folge addiert. Uter eier Reihe verteht ma die Folge der Teilumme eier Folge. Diee Teilumme begie tet beim Afaglied a oder a o : = a = a + a d. h. = + a 3 = a + a + a 3 d. h. 3 = + a = a + a a - + a d. h. + = + a a+ Ma ka damit auch beliebige Abchitte der Reihe auummiere. I jeder Teilumme tecke frühere Teilumme, dere Ergebie ma verwede ka: a a... a a a a a a Darau folgt a... a 7 8 ud erhalte darau: a8 a 9... a Oder: a a... a (voraugeetzt ma ket cho 6 ud 3 ) Dazu braucht ma die explizite Bildugvorchrift für die zugehörige Reihe: (Ohe Begrüdug hier) Wir tete ie: Die Formel liegfert: Oder: Die Formel liefert: () Damit klappt die: Oder 3 3 a 4 a 5... a a 4 a 5... a (TR.)
6 40050 Arithmetiche. ud geometriche Reihe 6. Summeformel ARITHMETISCHE REIHEN Beipiel : Spieleriche Herleitug eier Formel Die berühmtete arithmetiche Reihe geht auf eie Gechichte de 9-jährige Schüler Carl Friedrich Gauß ( ) zurück. Dieer erhielt vo eiem Schulleiter Bütter ud eiem Aitet Bartel die Aufgabe, die Zahle vo bi 00 zu addiere. Er chaffte die i o kurzer Zeit, da die beide auf eie mathematiche Begabug aufmerkam wurde. Er hatte ämlich erkat, da ma ur 50-mal die Summe 0 reche mute: 00 = ud umgekehrt: 00 = vertikal addiert: 00 = So ettad die Gleichug Al Formel ieht da da o au: a a 00 a a Allgemei: a a a a Diee Prizip der Aufummierug ka auf jede arithmetiche Folge agewedet werde! Beipiel : Eie adere arithmetiche Reihe Die Folge ei Die zu eier arithmetiche Folge gehörede Folge der Teilumme heißt eie arithmetiche Reihe. a 4, alo 5 ; 9 ; 3 ; 7 ; ;... Da it eie arithmetiche Folge mit d = 4. Wir wolle die erte 30 Glieder dieer Folge addiere, d.h. 30 it geucht. Dazu müe wir laut Formel zuert a 4 30 bereche. 30 Da wird die Teilumme 30 -mal gegeläufig aufchreibe ud da vertikal addiert: E folgt da: 30 = = a a Diee Summeformel gilt atürlich auch allgemei:
7 40050 Arithmetiche. ud geometriche Reihe 7 MERKE: Für eie arithmetiche Reihe gilt: a a () Bewei der Formel () Ich wede dieelbe Methode a wie i de beide Beipiele zuvor: Ma chreibt die Teilumme zweimal gegeläufig auf ud addiert vertikal: a a a... a a a 3 a a a... a a a 3 a a a a... a a a a () Ma ollte jetzt erkee, da alle Summade gleich groß id: Jedemal it diee Summe = a + a. a a a (a d) a d a a a d a d a a a a a d a d a a 3 Damit wird i Gleichug () recht mal derelbe Summad (a + a ) addiert: Zwicheergebi: a a a a Diee Formel ka ma auführlicher getalte: a a d Eretzt ma a i () durch () folgt: a a a d a Diee Formel merkt ich iemad. a d d a d (a d) (3) E it gütiger, ich zuert a zu bereche ud da mit () die Summe. Ma ollte jedoch wie, da die it. Summeformel für eie arithmetiche Folge ei quadraticher Term d
8 40050 Arithmetiche. ud geometriche Reihe 8. Muteraufgabe zur arithmetiche Reihe TRAINING Beipiel Gegebe it die arithmetiche Folge a 3 4. a) Bereche die erte 5 Glieder dieer Folge ud die zugehörige 5 Teilumme. b) Wie lautet die Formel für die Teilumme dieer Folge ( = )? c) Bereche die Partialumme 00. Löug: a) Die arithmetiche Folge lautet a 3 4. Die kotate Differez it alo d = 3. Folge: Teilumme: a 34 7 a 7 a 73 0 a a a a a a a Oder gaz auführlich: aa a a a b) Formel für die Teilumme: a a a a ` 4 3 a a a a a a 7 a Ma hätte alo auch mit dieer Formel die 5 Teilumme bereche köe: a 3 67 a a a a a3 uw. c)
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(8) FOLGEN und REIHEN
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