Was haben Schüler und Großbanken gemein?

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Was haben Schüler und Großbanken gemein?"

Transkript

1 Armn Fügenschuh Aleander Martn Was haben Schüler und Großbanken gemen? Mathematsche Modellerung Analyse und Lösung am Bespel des Rucksackproblems Unter gegebenen Randbedngungen optmale Entschedungen zu treffen st ene zentrale Herausforderung enes Unternehmensmanagements. Be den Randbedngungen handelt es sch zum Bespel um enzuhaltende Leferverträge Maschnenlaufzeten oder Ressourcen an Rohstoffen Kaptal und Arbetskräften. Innerhalb des dadurch abgesteckten Rahmens müssen auf verschedenen Ebenen des Unternehmens Entschedungen getroffen werden bespelswese: welche Arbetskraft wrd we lange an welcher Maschne engesetzt welche und we vele Rohstoffe werden m nächsten Quartal engekauft. Dese Entschedungen haben Auswrkungen auf das gewünschte Zel zum Bespel de Mamerung des Profts oder de Mnmerung von Betrebskosten. Typscherwese snd de enzelnen Entschedungen ncht vonenander unabhängg sondern bedngen enander oder schleßen sch gegensetg aus. Bespel: um ene große Maschne zu bedenen müssen mehrere Arbeter glechzetg engesetzt werden de n deser Zet kene andere Arbet erledgen können. Komplee Prozesse können aus ener Velzahl von Randbedngungen und Entschedungen bestehen so dass en Mensch der nach ener Lösung mttels Erfahrung und Intuton sucht den Überblck verlert und kene oder oftmals ncht de best möglche (optmale) Lösung fndet. Mtunter kann es vorkommen dass de Anzahl der möglchen Lösungen derart groß st dass das vollständge Durchproberen aller möglchen Entschedungskombnatonen selbst für sehr schnelle Computer unmöglch st. An deser Stelle können Methoden der Dskreten Optmerung engesetzt werden. Ausgehend von enem praktschen Problem der realen Welt müssen zunächst Entschedungsmöglchketen Randbedngungen und Zele dentfzert und n ene mathematsche Beschrebungen (Modelle) umgewandelt werden. Ist dese Hürde genommen steht de Lösung des Modells m Blckpunkt. Das heßt es wrd de Struktur des Modells analysert und nach geegneten Modellreduktonen und Modellverbesserungen gesucht mt dem Zel Verfahren zu entwckeln de schnell und zuverlässg gute wenn möglch optmale Lösungen fnden. Deses generelle Vorgehen erläutern wr m Folgenden an zwe Prasbespelen. Andrea und Beate unterhalten sch über de bevorstehende Klassenfahrt. Ich nehme menen Dscman mt dann können wr abends en weng Musk hören sagte Andrea. Klasse. Ich würde gerne en paar Scheben mtbrngen aber ch habe schon so vel Zeugs dabe. Das passt kaum n mene Tasche sagte Beate. Geht mr genauso entgegnete Andrea ch habe auch vor nur ene enzge CD mtzunehmen. Ich brenne mene Leblngsstücke und habe so mene egene Htparade. Auf mener CD habe ch noch

2 Mnuten fre de kannst du haben. Das st ene gute Idee. De Mnuten werde ch locker füllen. Zu Zet habe ch absolute Leblngshts. L st Mnuten lang L L L und L jewels und L Mnuten lang. Das snd Mnuten zusammen. Da wrst du dch entscheden müssen. Zur selben Zet n der Kredtabtelung ener Großbank. Frau Classen und Herr Drewtz planen de Vergabe von Großkredten an Frmenkunden. Frau Classen sortert gerade de Anfragen: Wr haben Anträge für Kredte. Frma F möchte Mllonen F F F und F jewels und Frma F Mllonen Euro. Dann haben wr en Problem entgegnete Herr Drewtz de Geschäftsletung hat uns nur de Vergabe von Mllonen fregegeben und mehr st gegenwärtg auch ncht zu bekommen. Da müssen wr fast de Hälfte zurückwesen. Auch wenn de Anwendungshntergründe n desen beden Szenen unterschedlcher kaum sen können snd se unter enem mathematschen Blckwnkel ncht nur ähnlch sondern sogar dentsch. De Übersetzung der jewelgen Fragestellung n de Sprache der Mathematk wrd als Modellerung bezechnet. Das Modelleren hat den Vortel dass der abstrakte Kern hnter den Problemen zu Tage trtt. Ist en Modell gefunden so muss man sch m nächsten Schrtt über de Lösung des Modells Gedanken machen. Merke: Modellerung und Lösung enes Modells snd zwe unterschedlche Schrtte auch wenn se we wr noch sehen werden eng mtenander verwoben snd Um en Modell für de zwe gegebenen Probleme zu fnden brauchen wr aber noch en paar mehr Daten. Hören wr we es wetergeht. Ich kann mch enfach ncht entscheden se snd alle rgendwe gut sagte Beate. Ich versuche dr zu helfen sagte Andrea du machst dene persönlche Htparade und vergbst Punkte von bs 0. Je mehr Punkte desto besser der Song. Das könnte funktoneren sagte Beate und nahm sch enen Stft und en Blatt Paper. Ich denke ch hab s sagte se nachdem se de Songs geordnet hat ch gebe L ene 7 und L ene. Men absoluter Favort st L der kregt 9 Punkte. L bekommt L und L st auch schön aber ncht sooo we de anderen also nur Punkt. Und we geht s jetzt weter? Und we wollen wr vorgehen? Deses snd schleßlch Kunden zu denen unser Haus ene langjährge Bezehung pflegt. Da müssen wr schon handfeste Gründe für de Kredtvergabe haben. Übrgens: morgen Nachmttag wll der Chef unseren Bercht sehen. Ich habe ene Idee sagte Herr Drewtz es hat doch kürzlch en Rankng durch unsere Kollegen vom Research über de Kredtwürdgket unserer Kunden gegeben. De haben alles durchleuchtet unter anderem Egenkaptal Verschuldung Frmenstratege und Konkurrenzstuaton. Herausgekommen st ene Bewertungszahl von bs 0. De können wr doch als Grundlage nehmen. Gute Idee. Mal sehen sagte Frau Classen de den Bercht noch auf hrem Schrebtsch hatte her st es. Frma F bekam 7 Punkte F F der unangefochtene Markführer glatte 9 Punkte. F bekam F bekam und F nur enen Punkt. Ken Wunder de snd ja fast plete. Jetzt snd alle notwendgen Daten bekannt: Wr kennen de Entschedungsmöglchketen (sechs Leder bzw. Kredtanträge) de Gesamtressourcen (Zet bzw. Geld) den Ressourcenverbrauch den de enzelnen Entschedungen zur Folge haben sowe ene Bewertung der Auswrkung ener jeden Entschedung. Abstrakt formulert lautet das Zel den egenen Nutzen aus den Entschedungen zu mameren. Wr können damt den Übergang zur Mathematk wagen.

3 Für jede der sechs Entschedungsmöglchket führen wr ene Varable en: für { K}. De enzelnen Varablen werden n enem Lösungsvektor = ) zusammengefasst. Der Werteberech jeder Varablen st ( beschränkt durch 0. Der Wert der Varablen gbt dabe an zu welchem Antel de jewelge Entschedung umgesetzt wrd. So bedeutet zum Bespel = 0. dass Led zu 0% aufgenommen wrd bzw. 0% der beantragten Kredtsumme an Frma ausbezahlt wrd. De enzge Nebenbedngung des Modells lautet dass n kenem Fall mehr als de gegebenen Ressourcen verbraucht werden dürfen. In der Sprache der Mathematk seht das so aus: En Lösungsvektor heßt zulässge Lösung wenn de enzelnen Varablen Werte zwschen 0 und haben und er überdes de Nebenbedngung erfüllt. Des Weteren haben wr ene Zelfunkton de de Präferenzen beschrebt: f ( ) = und de es zu mameren glt. Offenschtlch gbt es mehr als ene zulässge Lösung denn wr könnten uns zum Bespel dafür entscheden überhaupt ken Led aufzunehmen bzw. gar kenen Kredt zu vergeben oder aber auch nur en Led aufzunehmen bzw. nur enen Kredt zu vergeben auch wenn das zunächst ncht snnvoll erschenen mag. Unter allen zulässgen Lösungen suchen wr dejenge mt mamalem Zelfunktonswert de Optmallösung. Zusammengefasst seht das Modell we folgt aus: ma s.t " " 0 Und we rechnet man das jetzt aus? wollte Beate wssen In Mathe hab ch so etwas noch ncht gesehen. Nach der Modellentwcklung st de Lösung des Modells der nächste wchtge Schrtt. En Verfahren welches en gegebenes Modell löst wrd Algorthmus genannt. Es st durchaus denkbar dass es zu en und demselben Modell mehrere verschedene Lösungsalgorthmen gbt. Hat man verschedene Algorthmen zur Auswahl kann man sch fragen: Welcher löst men Problem am schnellsten? We vel Specherplatz m Rechner braucht der Algorthmus? Lefert der Algorthmus garantert ene Optmallösung oder nur rgendene zulässge Lösung? Auch für unser Modell gbt es vele Möglchketen be der Entwcklung enes Algorthmus der deses Problem best möglch löst. Ene könnte sen dass man sch enfach überlegt: Welcher Song oder welcher Kunde st mr am Wchtgsten? Desen nmmt man dann zuerst. Dann überlegt man sch: Welcher Song/Kunde st mr der Zwetwchtgste? Desen nmmt man dazu und fährt so fort bs de Ressourcen aufgebraucht snd. Was wchtg st hängt natürlch stark von den egenen Interessen ab. Wr wollen desen Lösungsansatz m Folgenden für en weteres möglches Wchtgketskrterum enmal durchspelen und anschleßend dskuteren we gut de damt gefundene zulässge Lösung st. Um vom jewelgen Anwendungskontet unabhängg zu sen nennen wr de Faktoren vor den Varablen n der Zelfunkton Nutzen c und de Faktoren vor den Varablen n der Nebenbedngung Kosten a. Wr berechnen für jede Varable den Wert der Wchtgket Nutzen pro Kosten und sorteren de Varablen nach abstegendem Nutzen/Kosten-Werten. In anderen Worten uns st der

4 Song/Kunde der wchtgste der uns pro Kostenenhet den mesten Nutzen brngt. Für unsere Bespele erhalten wr dann dese Rehenfolge: c a c a Beachte dass wr das Problem berets zufällg so formulert haben dass de Varablen n der rchtgen Rehenfolge nummerert snd. Dese Rehenfolge wrd nun von lnks nach rechts (von den besten zu den schlechtesten ) abgearbetet. So lange noch Ressourcen verfügbar snd (freer Platz auf der CD bzw. Geld zum Verlehen) wrd de jewelge Entschedungsvarable auf gesetzt. Anfangs stehen Enheten der Ressource zur Verfügung. Das beste Nutzen/Kosten-Verhältns lefert = (Led L bzw. Frma F). Ene 00%-Entschedung zugunsten von L bzw. F verbraucht Enheten der Ressource. Wr setzen also = und haben noch 8 Enheten übrg. Als nächstes steht = Led L bzw. Frma F n der Rehe. Auch her können wr noch = setzen was Enheten der Ressource belässt. Dadurch st für = kene 00%-Entschedung mehr möglch da Led L bzw. Frma F Enheten verbraucht. Es können noch mamal der Enheten genommen werden d.h. = Damt snd de gesamte Ressourcen verbraucht = und alle weteren Entschedungsvarablen werden auf 0 gesetzt = = 0. Wr = erhalten damt den folgenden Lösungsvektor: = (0.8000). Da alle Varablen zwschen 0 und legen und auch de Nebenbedngung erfüllt st " + " + " " 0 + " 0 + " 0 = handelt es sch dabe um ene zulässge Lösung. Als Zelfunktonswert deser Lösung erhalten wr f ( ) = = 9.. Nun glt es de Lösung des Modells n der Pras umzusetzen. Frau Classen und Herr Drewtz präsenteren hren Kredtvergabeplan hrem Chef Dr. Eckhard. Auf der Bass der Kredtratngs unserer Kunden und unter Berückschtgung der uns zur Verfügung stehenden Mttel st es somt möglch schloss Frau Classen ab der Frma F und F de beantragten Kredte n voller Höhe zu genehmgen und Frma F 8% der beantragten Summe zu gewähren. Nach kurzem Nachdenken entgegnete hr Dr. Eckhard: Ihr Vorgehen de Kredtvergabe an das Ratng zu koppeln hat mch grundsätzlch überzeugt. Aber we können Se scher sen dass es kene bessere Lösung gbt? Ratlos sehen sch Frau Classen und Herr Drewtz an. Schleßlch brngt Herr Drewtz raus: Nun wr haben lange gesucht aber kene bessere gefunden. Das überzeugt mch ncht schoss Dr. Eckhard zurück das bedeutet nur dass Se sch ncht genügend bemüht haben. Da müssen Se schon mt enem besseren Argument kommen. Ich gebe Ihnen bs morgen Zet enen besseren Plan zu entwckeln. Jetzt entschuldgen Se mch btte. Und damt war de Stzung beendet. Weder zurück an hrem Schrebtsch proberten de beden zahlreche andere Möglchketen der Kredtvergabe durch aber jedes Mal war der Kredtwürdgket des Portfolos (d.h. der Zelfunktonswert) nedrger. Ich glaube wr müssen de Sache anders angehen sagte Herr Drewtz erschöpft nach engen Stunden es gbt vermutlch kene bessere Lösung. Wr müssen nur en überzeugendes Argument fnden dass unser Chef ensehen muss.

5 We wr gesehen haben snd zulässge Lösungen gut aber noch besser st es ene Gütegarante mtlefern zu können. Was heßt das? De Idee st den Zelfunktonswert nach oben abzuschätzen. Hat man ene solche obere Schranke dann kann man lecht angeben um we vel sch ene gefundene Lösung mamal noch verbessern könnte. Bezogen auf de Lösung unseres Modells bedeutet das: Angenommen wr wüssten (aus rgendwelchen Gründen) dass de Lösung egal welche Entschedungen getroffen werden ne besser sen kann als. Dann wüssten wr dass sch unsere Lösung mt 9. Zelfunktonswert 9. mamal noch um = 0. also % verbessern könnte. De Frage st: We erhält man ene solche obere Schranke ohne alle möglchen Lösungen der Rehe nach auszuproberen? Da habe ch ene Idee sagt Frau Classen wr tun so als gäbe es de Ressourcenbeschränkung gar ncht. Dann könnten alle Kredte vergeben werden. In desem Fall wäre unser Nutzen = 8. Wr wssen also dass wr kene Kredtvergabe mt enem Zelfunktonswert von mehr als 8 bekommen. Deshalb erhalten 8 9. wr ene Gütegarante von = 0. 0 also 0% für unsere Lösung. Aber das wrd 8 unseren Chef ncht gerade überzeugen entgegnete Herr Drewtz denn en Verbesserungspotenzal von 0% st gewaltg vel. Außerdem st es doch nur theoretsch so dass man de Ressourcenbeschränkung ncht berückschtgt. Können wr ncht ene bessere obere Schranke bekommen wenn wr de Ressourcenbeschränkung enbezehen? Schade dass de Faktoren vor den Varablen n der Zelfunkton andere snd als de Faktoren n der Nebenbedngung überlegte Frau Classen weter denn andernfalls wüssten wr sofort dass de rechte Sete der Nebenbedngung de ene obere Schranke st. Klasse Idee Herr Drewtz grff den Gedanken auf de Koeffzenten müssen gar ncht glech sen. Entschedend st nur dass jeder Faktor vor den Varablen n deser Unglechung größer oder glech dem jewels entsprechenden Faktor n der Zelfunkton st. Wenn wr de Unglechung dremal zur Nebenbedngung adderen so haben wr des für den ersten Koeffzenten errecht. Dasselbe machen wr zwemal für de zwete Unglechung dremal für de drtte enmal für de verte na und für alle anderen st de Bedngung ohnehn schon erfüllt. Wenn wr das zusammen zählen erhalten wr " = Daher kann de Zelfunkton abgeschätzt werden: Cool entgegnet Frau Classen damt snd wr nur noch = also 8% von unserer Lösung weg. Da fällt mr auf fährt Frau Classen fort da steckt en neues Optmerungsproblem dahnter. Wr müssen jede der seben Unglechungen mt enem ncht-negatven Faktor y = y y y y y y ) skaleren und adderen so dass de ( y7 resulterenden Koeffzenten größer snd als de n der Zelfunkton und de aufadderte rechte Sete möglchst klen st. 9.

6 ma s.t Bslang hatten wr y = (0 ) mt oberer Schranke 8 und y = (00 ) mt oberer Schranke probert. Aber vellecht gbt es ja noch andere Skalerungsmöglchketen? Ich hab es ref Herr Drewtz nachdem de beden ene wetere Stunde nach geegneten Abschätzungen gesucht hatten wenn wr y = ( ) nehmen dann erhalten wr: Also war unsere Lösung n der Tat optmal Sehr gut Herr Kollege. Da haben wr ja noch mal Glück gehabt und unser Chef wrd hoffentlch endlch zufreden sen. In der Tat haben de beden gut gearbetet. Durch hre epermentelle Suche nach ener oberen Schranke haben se enen mathematschen Satz bestätgt der besagt dass der Zelfunktonswert der besten Lösung stets glech der besten (klensten) oberen Schranke st. Deses Theorem st auch bekannt als der Dualtätssatz der lnearen Programmerung aber das st Stoff für das fortgeschrttene Mathematk-Studum. Das gefällt mr rgendwe ncht mente Beate ch möchte ncht dass men absoluter Leblngssong kurz vor dem Ende abgeschntten wrd. Dann höre ch hn leber gar ncht. Auch n der Bank tauchen neue Probleme auf. Ihre Lösung st theoretsch ncht schlecht se haben mch überzeugt lobte Dr. Eckhard sene beden Mtarbeter. Es gbt aber leder ene schlechte Nachrcht. Ich habe gerade mt dem Fnanzvorstand von F gesprochen. Se wollen das Geschäft mt uns ganz oder gar ncht machen. Entweder se bekommen von uns de vollen Mo. oder se gehen zur Konkurrenz. Arbeten Se btte n Ihren Entwurf en dass nur vollständge Kredtvergaben erfolgen. Wr sehen uns dann morgen weder. Bslang hatten wr den kontnuerlchen Fall des Problems betrachtet. Jede Entschedungsvarable konnte enen belebgen reellen Wert zwschen 0 und annehmen. In der Pras kommt es aber häufg vor dass harte dskrete Entschedungen getroffen werden müssen: ja oder nen? Anstelle von 0 K verlangen wr jetzt de für { } Enhaltung der Ganzzahlgketsbedngung { 0}. Dese Änderung am Modell hat zur Folge dass wr enen anderen Algorthmus zur Lösung verwenden müssen. Natürlch st es theoretsch mmer möglch alle möglchen Kombnatonen der Rehe nach auf Zulässgket zu testen und danach hren Zelfunktonswert zu bestmmen. Im Falle von

7 den Entschedungen snd das berets = verschedene Kombnatonen. Dese Menge st zur Not noch von Hand zu bewältgen. Hat man jedoch mehr Entschedungen so stößt dese Vorgehenswese auf Grund der so genannten kombnatorschen Eploson schnell an hre Grenzen we de folgende Rechnung belegt. Nehmen wr an uns stehen schnelle Rechner zur Verfügung von denen jeder pro Sekunde 0 (ene Mllarde) Möglchketen durchtesten kann. Das gesamte Rechnernetz könnte dann pro Sekunde 0 (ene Bllon) Kombnatonen evalueren. Auch wenn dese Rechenlestung ggantsch erschenen mag so bedeutet es dass nnerhalb ener Sekunde nur Probleme mt mamal 9 Entschedungen gelöst werden können. Nach enem Tag Rechenzet hätte man en Problem mt mamal Entschedungen gelöst. Ist man an Lösungen n kurzer Zet nteressert so entzehen sch größere Probleme deser Vorgehenswese völlg. Das folgende Verfahren führt schnell zu ener zulässgen Lösung. Wr starten weder mt der obgen Sorterung der Varablen nach Nutzen/Kosten-Verhältns. Es snd aber nur noch 0/-Zuordnungen zulässg. Nachdem = und = gesetzt wurden st noch ene Restressource von vorhanden. Damt kann = ncht mehr vollständg genommen werden und es muss 0 gesetzt werden. Als nächstes steht de Entschedung über = Led L bzw. Frma F an. Deses verbraucht nur Enheten der Ressource und es wrd daher = gesetzt. Damt kann = ncht mehr vollständg gewählt werden und es wrd = 0 gesetzt. Das letzte Led L bzw. Frma F kann passt genau zur verblebenen Ressource von Enheten daher setzen wr. Der daraus resulterende Lösungsvektor = (00) st ene zulässge Lösung für das Problem mt Ganzzahlgketsbedngungen und Zelfunktonswert f ( 00) = 7. Ist dese Lösung optmal? Da de Faktoren n der Zelfunkton alle ganzzahlg snd kann es kene Lösung mt Zelfunktonswert 9. geben we m kontnuerlchen Fall. Damt st 9 ene obere Schranke. Ich habe ene bessere Lösung sagte Beate wenn wr L L und L nehmen de zusammen auch genau Mnuten lang snd dann hat dese Lösung 8 Htpunkte. Nehmen wr also dese dre. Und so wurde de CD von Andrea dann gebrannt. Wenn ch mr hre beden Lösungen ansehe mente Dr. Eckhard so snd se mt 7 und 8 Gesamtpunkten m Rankng schon sehr ähnlch. In der vermentlch schlechteren Lösung bedenen wr aber ver Kunden anstelle von nur dreen. Wr verleren also enen Kunden wenger an de Konkurrenz. Und das halte ch her für entschedender. Und so wurden de Kredte an de Frmen F F F und F vergeben. Es gbt übrgens kene Lösung mt Zelfunktonswert 9. Um zu bewesen das de Lösung mt Wert 8 n der Tat optmal st (ohne alle verschedenen Kombnatonsmöglchketen durchzuproberen) bedarf es allerdngs der Anwendung von tefgründgen mathematschen Methoden de m Mathe-Studum ab dem. Semester vermttelt werden. = Aufgaben. ) Das obge Problem am Bespel des CD-Brennens bzw. der Kredtvergabe erläutert st n der Lteratur als Rucksackproblem bekannt. Geben Se wetere möglchst

8 unterschedlche Anwendungskontete für das Rucksackproblem an. Überlegen Se ob n Ihren jewelgen Anwendungen de Ganzzahlgket der Lösung notwendg st. ) Beschreben Se für ene Ihrer Anwendungen enen möglchen Datensatz. ) Lösen Se das kontnuerlche Problem. ) Bewesen Se de Optmaltät Ihrer Lösung. ) Fnden Se für Ihren Datensatz ene gute zulässge Lösung des ganzzahlgen Problems. ) Beschreben Se das von Frau Classen angedeutete Optmerungsproblem n Form enes mathematschen Modells. 7) Fnden Se enen Datensatz für den das kontnuerlche und das ganzzahlge Problem den glechen optmalen Zelfunktonswert lefern. 8) Erarbeten Se Merkmale de en Datensatz erfüllen muss damt er de n 7) genannte Egenschaft hat.

nonparametrische Tests werden auch verteilungsfreie Tests genannt, da sie keine spezielle Verteilung der Daten in der Population voraussetzen

nonparametrische Tests werden auch verteilungsfreie Tests genannt, da sie keine spezielle Verteilung der Daten in der Population voraussetzen arametrsche vs. nonparametrsche Testverfahren Verfahren zur Analyse nomnalskalerten Daten Thomas Schäfer SS 009 1 arametrsche vs. nonparametrsche Testverfahren nonparametrsche Tests werden auch vertelungsfree

Mehr

Netzwerkstrukturen. Entfernung in Kilometer:

Netzwerkstrukturen. Entfernung in Kilometer: Netzwerkstrukturen 1) Nehmen wr an, n enem Neubaugebet soll für 10.000 Haushalte en Telefonnetz nstallert werden. Herzu muss von jedem Haushalt en Kabel zur nächstgelegenen Vermttlungsstelle gezogen werden.

Mehr

Grundlagen der Mathematik I Lösungsvorschlag zum 12. Tutoriumsblatt

Grundlagen der Mathematik I Lösungsvorschlag zum 12. Tutoriumsblatt Mathematsches Insttut der Unverstät München Wntersemester 3/4 Danel Rost Lukas-Faban Moser Grundlagen der Mathematk I Lösungsvorschlag zum. Tutorumsblatt Aufgabe. a De Formel besagt, daß de Summe der umrahmten

Mehr

Methoden der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung

Methoden der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung Methoden der nnerbetreblchen Lestungsverrechnung In der nnerbetreblchen Lestungsverrechnung werden de Gemenosten der Hlfsostenstellen auf de Hauptostenstellen übertragen. Grundlage dafür snd de von den

Mehr

18. Dynamisches Programmieren

18. Dynamisches Programmieren 8. Dynamsches Programmeren Dynamsche Programmerung we gerge Algorthmen ene Algorthmenmethode, um Optmerungsprobleme zu lösen. We Dvde&Conquer berechnet Dynamsche Programmerung Lösung enes Problems aus

Mehr

Lineare Regression (1) - Einführung I -

Lineare Regression (1) - Einführung I - Lneare Regresson (1) - Enführung I - Mttels Regressonsanalysen und kompleeren, auf Regressonsanalysen aserenden Verfahren können schenar verschedene, jedoch nenander üerführare Fragen untersucht werden:

Mehr

Versicherungstechnischer Umgang mit Risiko

Versicherungstechnischer Umgang mit Risiko Verscherungstechnscher Umgang mt Rsko. Denstlestung Verscherung: Schadensdeckung von für de enzelne Person ncht tragbaren Schäden durch den fnanzellen Ausglech n der Zet und m Kollektv. Des st möglch über

Mehr

Die Ausgangssituation... 14 Das Beispiel-Szenario... 14

Die Ausgangssituation... 14 Das Beispiel-Szenario... 14 E/A Cockpt Für Se als Executve Starten Se E/A Cockpt........................................................... 2 Ihre E/A Cockpt Statusüberscht................................................... 2 Ändern

Mehr

4. Musterlösung. Problem 1: Kreuzende Schnitte **

4. Musterlösung. Problem 1: Kreuzende Schnitte ** Unverstät Karlsruhe Algorthmentechnk Fakultät für Informatk WS 05/06 ITI Wagner 4. Musterlösung Problem 1: Kreuzende Schntte ** Zwe Schntte (S, V \ S) und (T, V \ T ) n enem Graph G = (V, E) kreuzen sch,

Mehr

Wie eröffne ich als Bestandskunde ein Festgeld-Konto bei NIBC Direct?

Wie eröffne ich als Bestandskunde ein Festgeld-Konto bei NIBC Direct? We eröffne ch als Bestandskunde en Festgeld-Konto be NIBC Drect? Informatonen zum Festgeld-Konto: Be enem Festgeld-Konto handelt es sch um en Termnenlagenkonto, be dem de Bank enen festen Znssatz für de

Mehr

Wie eröffne ich als Bestandskunde ein Festgeld-Konto bei NIBC Direct?

Wie eröffne ich als Bestandskunde ein Festgeld-Konto bei NIBC Direct? We eröffne ch als Bestandskunde en Festgeld-Konto be NIBC Drect? Informatonen zum Festgeld-Konto: Be enem Festgeld-Konto handelt es sch um en Termnenlagenkonto, be dem de Bank enen festen Znssatz für de

Mehr

Statistik und Wahrscheinlichkeit

Statistik und Wahrscheinlichkeit Regeln der Wahrschenlchketsrechnung tatstk und Wahrschenlchket Regeln der Wahrschenlchketsrechnung Relatve Häufgket n nt := Eregnsalgebra Eregnsraum oder scheres Eregns und n := 00 Wahrschenlchket Eregnsse

Mehr

12 LK Ph / Gr Elektrische Leistung im Wechselstromkreis 1/5 31.01.2007. ω Additionstheorem: 2 sin 2 2

12 LK Ph / Gr Elektrische Leistung im Wechselstromkreis 1/5 31.01.2007. ω Additionstheorem: 2 sin 2 2 1 K Ph / Gr Elektrsche estng m Wechselstromkres 1/5 3101007 estng m Wechselstromkres a) Ohmscher Wderstand = ˆ ( ω ) ( t) = sn ( ω t) t sn t ˆ ˆ P t = t t = sn ω t Momentane estng 1 cos ( t) ˆ ω = Addtonstheorem:

Mehr

Funktionsgleichungen folgende Funktionsgleichungen aus der Vorlesung erhält. = e

Funktionsgleichungen folgende Funktionsgleichungen aus der Vorlesung erhält. = e Andere Darstellungsformen für de Ausfall- bzw. Überlebens-Wahrschenlchket der Webull-Vertelung snd we folgt: Ausfallwahrschenlchket: F ( t ) Überlebenswahrschenlchket: ( t ) = R = e e t t Dabe haben de

Mehr

Polygonalisierung einer Kugel. Verfahren für die Polygonalisierung einer Kugel. Eldar Sultanow, Universität Potsdam, sultanow@gmail.com.

Polygonalisierung einer Kugel. Verfahren für die Polygonalisierung einer Kugel. Eldar Sultanow, Universität Potsdam, sultanow@gmail.com. Verfahren für de Polygonalserung ener Kugel Eldar Sultanow, Unverstät Potsdam, sultanow@gmal.com Abstract Ene Kugel kann durch mathematsche Funktonen beschreben werden. Man sprcht n desem Falle von ener

Mehr

Datenträger löschen und einrichten

Datenträger löschen und einrichten Datenträger löschen und enrchten De Zentrale zum Enrchten, Löschen und Parttoneren von Festplatten st das Festplatten-Denstprogramm. Es beherrscht nun auch das Verklenern von Parttonen, ohne dass dabe

Mehr

1 BWL 4 Tutorium V vom 15.05.02

1 BWL 4 Tutorium V vom 15.05.02 1 BWL 4 Tutorum V vom 15.05.02 1.1 Der Tlgungsfaktor Der Tlgungsfaktor st der Kehrwert des Endwertfaktors (EWF). EW F (n; ) = (1 + )n 1 T F (n; ) = 1 BWL 4 TUTORIUM V VOM 15.05.02 (1 ) n 1 Mt dem Tlgungsfaktor(TF)

Mehr

Ich habe ein Beispiel ähnlich dem der Ansys-Issue [ansys_advantage_vol2_issue3.pdf] durchgeführt. Es stammt aus dem Dokument Rfatigue.pdf.

Ich habe ein Beispiel ähnlich dem der Ansys-Issue [ansys_advantage_vol2_issue3.pdf] durchgeführt. Es stammt aus dem Dokument Rfatigue.pdf. Ich habe en Bespel ähnlch dem der Ansys-Issue [ansys_advantage_vol_ssue3.pdf durchgeführt. Es stammt aus dem Dokument Rfatgue.pdf. Abbldung 1: Bespel aus Rfatgue.pdf 1. ch habe es manuell durchgerechnet

Mehr

Lineare Optimierung Dualität

Lineare Optimierung Dualität Kaptel Lneare Optmerung Dualtät D.. : (Dualtät ) Folgende Aufgaben der lnearen Optmerung heßen symmetrsch dual zuenander: und { z = c x Ax b x } max, 0 { Z b A c } mn =, 0. Folgende Aufgaben der lnearen

Mehr

tutorial N o 1a InDesign CS4 Layoutgestaltung Erste Schritte - Anlegen eines Dokumentes I a (Einfache Nutzung) Kompetenzstufe keine Voraussetzung

tutorial N o 1a InDesign CS4 Layoutgestaltung Erste Schritte - Anlegen eines Dokumentes I a (Einfache Nutzung) Kompetenzstufe keine Voraussetzung Software Oberkategore Unterkategore Kompetenzstufe Voraussetzung Kompetenzerwerb / Zele: InDesgn CS4 Layoutgestaltung Erste Schrtte - Anlegen enes Dokumentes I a (Enfache Nutzung) kene N o 1a Umgang mt

Mehr

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban Insttut für Stochastk Prof Dr N Bäuerle Dpl-Math S Urban Lösungsvorschlag 6 Übungsblatt zur Vorlesung Fnanzatheatk I Aufgabe Put-Call-Party Wr snd nach Voraussetzung n ene arbtragefreen Markt, also exstert

Mehr

Seminar Analysis und Geometrie Professor Dr. Martin Schmidt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf. - Fixpunktsatz von Schauder -

Seminar Analysis und Geometrie Professor Dr. Martin Schmidt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf. - Fixpunktsatz von Schauder - Unverstät Mannhem Fakultät für Mathematk und Informatk Lehrstuhl für Mathematk III Semnar Analyss und Geometre Professor Dr. Martn Schmdt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf - Fxpunktsatz von Schauder - Ncole

Mehr

2 Zufallsvariable und Verteilungen

2 Zufallsvariable und Verteilungen Zufallsvarable und Vertelungen 7 Zufallsvarable und Vertelungen Wr wollen uns jetzt mt Zufallsexpermenten beschäftgen, deren Ausgänge durch (reelle) Zahlen beschreben werden können, oder be denen man jedem

Mehr

2. Spiele in Normalform (strategischer Form)

2. Spiele in Normalform (strategischer Form) 2. Spele n Normalform (strategscher Form) 2.1 Domnante Strategen 2.2 Domnerte Strategen 2.3 Sukzessve Elmnerung domnerter Strategen 2.4 Nash-Glechgewcht 2.5 Gemschte Strategen und Nash-Glechgewcht 2.6

Mehr

Finanzwirtschaft. Kapitel 3: Simultane Investitions- und Finanzplanung. Lehrstuhl für Finanzwirtschaft - Universität Bremen 1

Finanzwirtschaft. Kapitel 3: Simultane Investitions- und Finanzplanung. Lehrstuhl für Finanzwirtschaft - Universität Bremen 1 Fnanzwrtschaft Kaptel 3: Smultane Investtons- und Fnanzplanung Prof. Dr. Thorsten Poddg Lehrstuhl für Allgemene Betrebswrtschaftslehre, nsbes. Fnanzwrtschaft Unverstät Bremen Hochschulrng 4 / WW-Gebäude

Mehr

Quant oder das Verwelken der Wertpapiere. Die Geburt der Finanzkrise aus dem Geist der angewandten Mathematik

Quant oder das Verwelken der Wertpapiere. Die Geburt der Finanzkrise aus dem Geist der angewandten Mathematik Quant der das Verwelken der Wertpapere. De Geburt der Fnanzkrse aus dem Gest der angewandten Mathematk Dmensnen - de Welt der Wssenschaft Gestaltung: Armn Stadler Sendedatum: 7. Ma 2012 Länge: 24 Mnuten

Mehr

Der Satz von COOK (1971)

Der Satz von COOK (1971) Der Satz von COOK (1971) Voraussetzung: Das Konzept der -Band-Turng-Maschne (TM) 1.) Notatonen: Ene momentane Beschrebung (mb) ener Konfguraton ener TM st en -Tupel ( α1, α2,..., α ) mt α = xqy, falls

Mehr

Analysis I. Vorlesung 17. Logarithmen. R R, x exp x,

Analysis I. Vorlesung 17. Logarithmen. R R, x exp x, Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2013/2014 Analyss I Vorlesung 17 Logarthmen Satz 17.1. De reelle Exponentalfunkton R R, x exp x, st stetg und stftet ene Bjekton zwschen R und R +. Bewes. De Stetgket

Mehr

"Zukunft der Arbeit" Arbeiten bis 70 - Utopie - oder bald Realität? Die Arbeitnehmer der Zukunft

Zukunft der Arbeit Arbeiten bis 70 - Utopie - oder bald Realität? Die Arbeitnehmer der Zukunft "Zukunft der Arbet" Arbeten bs 70 - Utope - oder bald Realtät? De Arbetnehmer der Zukunft Saldo - das Wrtschaftsmagazn Gestaltung: Astrd Petermann Moderaton: Volker Obermayr Sendedatum: 7. Dezember 2012

Mehr

6. Übung zur Linearen Algebra II

6. Übung zur Linearen Algebra II Unverstät Würzburg Mathematsches Insttut Prof. Dr. Peter Müller Dr. Peter Fleschmann SS 2006 30.05.2006 6. Übung zur Lnearen Algebra II Abgabe: Bs Mttwoch, 14.06.2006, 11:00 Uhr n de Brefkästen vor der

Mehr

Einführung in die Finanzmathematik

Einführung in die Finanzmathematik 1 Themen Enführung n de Fnanzmathematk 1. Znsen- und Znsesznsrechnung 2. Rentenrechnung 3. Schuldentlgung 2 Defntonen Kaptal Betrag n ener bestmmten Währungsenhet, der zu enem gegebenen Zetpunkt fällg

Mehr

Portfoliothorie (Markowitz) Separationstheorem (Tobin) Kapitamarkttheorie (Sharpe

Portfoliothorie (Markowitz) Separationstheorem (Tobin) Kapitamarkttheorie (Sharpe Portfolothore (Markowtz) Separatonstheore (Tobn) Kaptaarkttheore (Sharpe Ene Enführung n das Werk von dre Nobelpresträgern zu ene Thea U3L-Vorlesung R.H. Schdt, 3.12.2015 Wozu braucht an Theoren oder Modelle?

Mehr

9 Komplexe Zahlen ( ) ( ) 9.1 Ziele. 9.2 Warum braucht man komplexe Zahlen? 9.3 Darstellung von komplexen Zahlen. r 2. j 2. j 1.

9 Komplexe Zahlen ( ) ( ) 9.1 Ziele. 9.2 Warum braucht man komplexe Zahlen? 9.3 Darstellung von komplexen Zahlen. r 2. j 2. j 1. Mathematk I / Komplexe Zahlen 9 Komplexe Zahlen 9. Zele Am Ende deses Kaptels hast Du ene Grundvorstellung was komplexe Zahlen snd. Du kannst se grafsch darstellen und enfache Berechnungen durchführen.

Mehr

FORMELSAMMLUNG STATISTIK (I)

FORMELSAMMLUNG STATISTIK (I) Statst I / B. Zegler Formelsammlng FORMELSAMMLUG STATISTIK (I) Statstsche Formeln, Defntonen nd Erläterngen A a X n qaltatves Mermal Mermalsasprägng qanttatves Mermal Mermalswert Anzahl der statstschen

Mehr

Grundgedanke der Regressionsanalyse

Grundgedanke der Regressionsanalyse Grundgedanke der Regressonsanalse Bsher wurden durch Koeffzenten de Stärke von Zusammenhängen beschreben Mt der Regressonsrechnung können für ntervallskalerte Varablen darüber hnaus Modelle geschätzt werden

Mehr

Elemente der Mathematik - Sommer 2016

Elemente der Mathematik - Sommer 2016 Elemente der Mathematk - Sommer 2016 Prof Dr Matthas Lesch, Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 3 Aufgabe 9 (10 Punkte) Das Horner-Schema st ene Methode zum Auswerten enes Polynoms n a0 x an der Stelle s

Mehr

Abenteuer Führung. Der Survival Guide für den ersten Führungsjob. Die erste Führungsaufgabe ist kein Zuckerschlecken!

Abenteuer Führung. Der Survival Guide für den ersten Führungsjob. Die erste Führungsaufgabe ist kein Zuckerschlecken! SEMINARPROGRAMME Abenteuer Führung Der Survval Gude für den ersten Führungsjob De erste Führungsaufgabe st ken Zuckerschlecken! Junge Hgh Potentals erkennen das schnell. Her taucht ene unangenehme Überraschung

Mehr

Aufgabe 8 (Gewinnmaximierung bei vollständiger Konkurrenz):

Aufgabe 8 (Gewinnmaximierung bei vollständiger Konkurrenz): LÖSUNG AUFGABE 8 ZUR INDUSTRIEÖKONOMIK SEITE 1 VON 6 Aufgabe 8 (Gewnnmaxmerung be vollständger Konkurrenz): Betrachtet wrd en Unternehmen, das ausschleßlch das Gut x produzert. De m Unternehmen verwendete

Mehr

IT- und Fachwissen: Was zusammengehört, muss wieder zusammenwachsen.

IT- und Fachwissen: Was zusammengehört, muss wieder zusammenwachsen. IT- und achwssen: Was zusammengehört, muss weder zusammenwachsen. Dr. Günther Menhold, regercht 2011 Inhalt 1. Manuelle Informatonsverarbetung en ntegraler Bestandtel der fachlchen Arbet 2. Abspaltung

Mehr

Grundlagen der makroökonomischen Analyse kleiner offener Volkswirtschaften

Grundlagen der makroökonomischen Analyse kleiner offener Volkswirtschaften Bassmodul Makroökonomk /W 2010 Grundlagen der makroökonomschen Analyse klener offener Volkswrtschaften Terms of Trade und Wechselkurs Es se en sogenannter Fall des klenen Landes zu betrachten; d.h., de

Mehr

Für jeden reinen, ideal kristallisierten Stoff ist die Entropie am absoluten Nullpunkt gleich

Für jeden reinen, ideal kristallisierten Stoff ist die Entropie am absoluten Nullpunkt gleich Drtter Hauptsatz der Thermodynamk Rückblck auf vorherge Vorlesung Methoden zur Erzeugung tefer Temperaturen: - umgekehrt laufende WKM (Wärmepumpe) - Joule-Thomson Effekt bs 4 K - Verdampfen von flüssgem

Mehr

wird auch Spannweite bzw. Variationsbreite genannt ist definiert als die Differenz zwischen dem größten und kleinsten Messwert einer Verteilung:

wird auch Spannweite bzw. Variationsbreite genannt ist definiert als die Differenz zwischen dem größten und kleinsten Messwert einer Verteilung: Streuungswerte: 1) Range (R) ab metrschem Messnveau ) Quartlabstand (QA) und mttlere Quartlabstand (MQA) ab metrschem Messnveau 3) Durchschnttlche Abwechung (AD) ab metrschem Messnveau 4) Varanz (s ) ab

Mehr

Daten sind in Tabellenform gegeben durch die Eingabe von FORMELN können mit diesen Daten automatisierte Berechnungen durchgeführt werden.

Daten sind in Tabellenform gegeben durch die Eingabe von FORMELN können mit diesen Daten automatisierte Berechnungen durchgeführt werden. Ene kurze Enführung n EXCEL Daten snd n Tabellenform gegeben durch de Engabe von FORMELN können mt desen Daten automatserte Berechnungen durchgeführt werden. Menüleste Symbolleste Bearbetungszele aktve

Mehr

Praktikum Physikalische Chemie I (C-2) Versuch Nr. 6

Praktikum Physikalische Chemie I (C-2) Versuch Nr. 6 Praktkum Physkalsche Cheme I (C-2) Versuch Nr. 6 Konduktometrsche Ttratonen von Säuren und Basen sowe Fällungsttratonen Praktkumsaufgaben 1. Ttreren Se konduktometrsch Schwefelsäure mt Natronlauge und

Mehr

Konkave und Konvexe Funktionen

Konkave und Konvexe Funktionen Konkave und Konvexe Funktonen Auch wenn es n der Wrtschaftstheore mest ncht möglch st, de Form enes funktonalen Zusammenhangs explzt anzugeben, so kann man doch n velen Stuatonen de Klasse der n Frage

Mehr

Stochastische Prozesse

Stochastische Prozesse INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 2009 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Blatt 2 Prv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dpl.-Math. W. Lao Übungen zur Vorlesung Stochastsche Prozesse Musterlösungen Aufgabe 7: (B. Fredmans Urnenmodell)

Mehr

Erfahrung. Innovation.

Erfahrung. Innovation. Erfahrung. Innovaton. Erfolg. Maschnen-/ Anlagenbau >>> 11:55 PM consultants GmbH ERFOLG BENÖTIGT VORBEREITUNG. LERNEN SIE UNS KENNEN. Wr beten Ihnen Lösungen für das Projekt- und Clam Management, welche

Mehr

Nomenklatur - Übersicht

Nomenklatur - Übersicht Nomenklatur - Überscht Name der synthetschen Varable Wert der synthetschen Varable durch synth. Varable erklärte Gesamt- Streuung durch synth. Varable erkl. Streuung der enzelnen Varablen Korrelaton zwschen

Mehr

9 Komplexe Zahlen ( ) ( ) 9.1 Ziele. 9.2 Warum braucht man komplexe Zahlen? 9.3 Darstellung von komplexen Zahlen. r 2. j 2. j 1.

9 Komplexe Zahlen ( ) ( ) 9.1 Ziele. 9.2 Warum braucht man komplexe Zahlen? 9.3 Darstellung von komplexen Zahlen. r 2. j 2. j 1. Mathematk I / Komplexe Zahlen 9 Komplexe Zahlen 9. Zele Am Ende deses Kaptels hast Du ene Grundvorstellung was komplexe Zahlen snd. Du kannst se grafsch darstellen und enfache Berechnungen durchführen.

Mehr

Die Jordansche Normalform

Die Jordansche Normalform De Jordansche Normalform Danel Hug 29. Aprl 211 KIT Unverstät des Landes Baden-Württemberg und natonales Forschungszentrum n der Helmholtz-Gemenschaft www.kt.edu 1 Zerlegung n Haupträume 2 Fazt und nächstes

Mehr

3. Lineare Algebra (Teil 2)

3. Lineare Algebra (Teil 2) Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson /704004 Lneare Algebra (Tel ) Parameterdarstellung ener Geraden Im folgenden betrachten wr Geraden m eukldschen Raum n, wobe uns hauptsächlch de Fälle n bzw

Mehr

6. Modelle mit binären abhängigen Variablen

6. Modelle mit binären abhängigen Variablen 6. Modelle mt bnären abhänggen Varablen 6.1 Lneare Wahrschenlchketsmodelle Qualtatve Varablen: Bnäre Varablen: Dese Varablen haben genau zwe möglche Kategoren und nehmen deshalb genau zwe Werte an, nämlch

Mehr

6.5. Rückgewinnung des Zeitvorgangs: Rolle der Pole und Nullstellen

6.5. Rückgewinnung des Zeitvorgangs: Rolle der Pole und Nullstellen 196 6.5. Rückgewnnung des Zetvorgangs: Rolle der Pole und Nullstellen We n 6.2. und 6.. gezegt wurde, st de Übertragungsfunkton G( enes lnearen zetnvaranten Systems mt n unabhänggen Spechern ene gebrochen

Mehr

Weitere NP-vollständige Probleme

Weitere NP-vollständige Probleme Wetere NP-vollständge Probleme Prosemnar Theoretsche Informatk Marten Tlgner December 10, 2014 Wr haben letzte Woche gesehen, dass 3SAT NP-vollständg st. Heute werden wr für enge wetere Probleme n NP zegen,

Mehr

MULTIVAC Kundenportal Ihr Zugang zur MULTIVAC Welt

MULTIVAC Kundenportal Ihr Zugang zur MULTIVAC Welt MULTIVAC Kundenportal Ihr Zugang zur MULTIVAC Welt Inhalt MULTIVAC Kundenportal Enletung Errechbarket rund um de Uhr Ihre ndvduellen Informatonen Enfach und ntutv Hlfrech und aktuell Ihre Vortele m Überblck

Mehr

1 Definition und Grundbegriffe

1 Definition und Grundbegriffe 1 Defnton und Grundbegrffe Defnton: Ene Glechung n der ene unbekannte Funkton y y und deren Abletungen bs zur n-ten Ordnung auftreten heßt gewöhnlche Dfferentalglechung n-ter Ordnung Möglche Formen snd:

Mehr

Die Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung am Beispiel eines Modells der Schadenversicherung

Die Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung am Beispiel eines Modells der Schadenversicherung am Bespel enes Modells der chadenverscherung Für das Modell ener chadenverscherung se gegeben: s w s. n 4 chaden enes Verscherungsnehmers, wenn der chadenfall entrtt Wahrschenlchket dafür, dass der chadenfall

Mehr

Nernstscher Verteilungssatz

Nernstscher Verteilungssatz Insttut für Physkalsche Cheme Grundpraktkum 7. NERNSTSCHER VERTEILUNGSSATZ Stand 03/11/2006 Nernstscher Vertelungssatz 1. Versuchsplatz Komponenten: - Schedetrchter - Büretten - Rührer - Bechergläser 2.

Mehr

Spiele und Codes. Rafael Mechtel

Spiele und Codes. Rafael Mechtel Spele und Codes Rafael Mechtel Koderungstheore Worum es geht Über enen Kanal werden Informatonen Übertragen. De Informatonen werden dabe n Worte über enem Alphabet Q übertragen, d.h. als Tupel w = (w,,

Mehr

Kreditrisikomodellierung und Risikogewichte im Neuen Baseler Accord

Kreditrisikomodellierung und Risikogewichte im Neuen Baseler Accord 1 Kredtrskomodellerung und Rskogewchte m Neuen Baseler Accord erschenen n: Zetschrft für das gesamte Kredtwesen (ZfgK), 54. Jahrgang, 2001, S. 1004-1005. Prvatdozent Dr. Hans Rau-Bredow, Lehrstuhl für

Mehr

Kreditpunkte-Klausur zur Lehrveranstaltung Projektmanagement (inkl. Netzplantechnik)

Kreditpunkte-Klausur zur Lehrveranstaltung Projektmanagement (inkl. Netzplantechnik) Kredtpunkte-Klausur zur Lehrveranstaltung Projektmanagement (nkl. Netzplantechnk) Themensteller: Unv.-Prof. Dr. St. Zelewsk m Haupttermn des Wntersemesters 010/11 Btte kreuzen Se das gewählte Thema an:

Mehr

Facility Location Games

Facility Location Games Faclty Locaton Games Semnar über Algorthmen SS 2006 Klaas Joeppen 1 Abstract Wr haben berets sehr häufg von Nash-Glechgewchten und vor allem von deren Exstenz gesprochen. Das Faclty Locaton Game betet

Mehr

Auswertung von Umfragen und Experimenten. Umgang mit Statistiken in Maturaarbeiten Realisierung der Auswertung mit Excel 07

Auswertung von Umfragen und Experimenten. Umgang mit Statistiken in Maturaarbeiten Realisierung der Auswertung mit Excel 07 Auswertung von Umfragen und Expermenten Umgang mt Statstken n Maturaarbeten Realserung der Auswertung mt Excel 07 3.Auflage Dese Broschüre hlft bem Verfassen und Betreuen von Maturaarbeten. De 3.Auflage

Mehr

An welche Stichwörter von der letzten Vorlesung können Sie sich noch erinnern?

An welche Stichwörter von der letzten Vorlesung können Sie sich noch erinnern? An welche Stchwörter von der letzten Vorlesung können Se sch noch ernnern? Gasgesetz ür deale Gase pv = nr Gelestete Arbet be sotherme Ausdehnung adabatsche Ausdehnung 2 n Reale Gase p + a 2 ( V nb) =

Mehr

ERP Cloud Tutorial. E-Commerce ECM ERP SFA EDI. Backup. Preise erfassen. www.comarch-cloud.de

ERP Cloud Tutorial. E-Commerce ECM ERP SFA EDI. Backup. Preise erfassen. www.comarch-cloud.de ERP Cloud SFA ECM Backup E-Commerce ERP EDI Prese erfassen www.comarch-cloud.de Inhaltsverzechns 1 Zel des s 3 2 Enführung: Welche Arten von Presen gbt es? 3 3 Beschaffungsprese erfassen 3 3.1 Vordefnerte

Mehr

Itemanalyse und Itemkennwerte. Itemanalyse und Itemkennwerte. Itemanalyse und Itemkennwerte: Itemschwierigkeit P i

Itemanalyse und Itemkennwerte. Itemanalyse und Itemkennwerte. Itemanalyse und Itemkennwerte: Itemschwierigkeit P i Itemanalyse und Itemkennwerte De Methoden der Analyse der Itemegenschaften st ncht m engeren Snne Bestandtel der Klassschen Testtheore Im Rahmen ener auf der KTT baserenden Testkonstrukton und -revson

Mehr

Z Z, kurz { } Zählt die Reihenfolge der Buchstaben (ja/nein) Daraus ergeben sich wiederum vier Möglichkeiten, Wörter der Länge k zu bilden.

Z Z, kurz { } Zählt die Reihenfolge der Buchstaben (ja/nein) Daraus ergeben sich wiederum vier Möglichkeiten, Wörter der Länge k zu bilden. Kombnator. Problemstellung Ausgangspunt be ombnatorschen Fragestellungen st mmer ene endlche Menge M, aus deren Elementen man endlche Zusammenstellungen von Elementen aus M bldet. Formal gesprochen bedeutet

Mehr

Projektmanagement / Netzplantechnik Sommersemester 2005 Seite 1

Projektmanagement / Netzplantechnik Sommersemester 2005 Seite 1 Projektmanagement / Netzplantechnk Sommersemester 005 Sete 1 Prüfungs- oder Matrkel-Nr.: Themenstellung für de Kredtpunkte-Klausur m Haupttermn des Sommersemesters 005 zur SBWL-Lehrveranstaltung Projektmanagement

Mehr

Hallo, mein Name ist. Amy. Ich bin die Neue. im Team von. Ihr Erfolg ist unser Ziel... amy@tst-online.de www.tst-die-mit-dem-berner.

Hallo, mein Name ist. Amy. Ich bin die Neue. im Team von. Ihr Erfolg ist unser Ziel... amy@tst-online.de www.tst-die-mit-dem-berner. Hallo, men Name st Amy Ich bn de Neue m Team von Ihr Erfolg st unser Zel... amy@tst-onlne.de www.tst-de-mt-dem-berner.de Resekataloge Kundenzetungen Imagebroschüren Flyer Kalender Plakate Postkarten Cachanrng

Mehr

Übung zur Vorlesung. Informationstheorie und Codierung

Übung zur Vorlesung. Informationstheorie und Codierung Übung zur Vorlesung Informatonstheore und Coderung Prof. Dr. Lla Lajm März 25 Ostfala Hochschule für angewandte Wssenschaften Hochschule Braunschweg/Wolfenbüttel Postanschrft: Salzdahlumer Str. 46/48 3832

Mehr

W i r m a c h e n d a s F e n s t e r

W i r m a c h e n d a s F e n s t e r Komfort W r m a c h e n d a s F e n s t e r vertrauen vertrauen Set der Gründung von ROLF Fensterbau m Jahr 1980 snd de Ansprüche an moderne Kunststofffenster deutlch gestegen. Heute stehen neben Scherhet

Mehr

Free Riding in Joint Audits A Game-Theoretic Analysis

Free Riding in Joint Audits A Game-Theoretic Analysis . wp Wssenschatsorum, Wen,8. Aprl 04 Free Rdng n Jont Audts A Game-Theoretc Analyss Erch Pummerer (erch.pummerer@ubk.ac.at) Marcel Steller (marcel.steller@ubk.ac.at) Insttut ür Rechnungswesen, Steuerlehre

Mehr

phil omondo phil omondo Skalierung von Organisationen und Innovationen gestalten Sie möchten mehr Preise und Leistungen Workshops und Seminare

phil omondo phil omondo Skalierung von Organisationen und Innovationen gestalten Sie möchten mehr Preise und Leistungen Workshops und Seminare Skalerung von Organsatonen und Innovatonen gestalten phl omondo Se stehen vor dem nächsten Wachstumsschrtt hrer Organsaton oder haben berets begonnen desen aktv zu gestalten? In desem Workshop-Semnar erarbeten

Mehr

Diskrete Mathematik 1 WS 2008/09

Diskrete Mathematik 1 WS 2008/09 Ruhr-Unverstät Bochum Lehrstuhl für Kryptologe und IT-Scherhet Prof. Dr. Alexander May M. Rtzenhofen, M. Mansour Al Sawad, A. Meurer Lösungsblatt zur Vorlesung Dskrete Mathematk 1 WS 2008/09 Blatt 7 /

Mehr

Zinseszinsformel (Abschnitt 1.2) Begriffe und Symbole der Zinsrechnung. Die vier Fragestellungen der Zinseszinsrechnung 4. Investition & Finanzierung

Zinseszinsformel (Abschnitt 1.2) Begriffe und Symbole der Zinsrechnung. Die vier Fragestellungen der Zinseszinsrechnung 4. Investition & Finanzierung Znsesznsformel (Abschntt 1.2) 3 Investton & Fnanzerung 1. Fnanzmathematk Unv.-Prof. Dr. Dr. Andreas Löffler (AL@wacc.de) t Z t K t Znsesznsformel 0 1.000 K 0 1 100 1.100 K 1 = K 0 + K 0 = K 0 (1 + ) 2

Mehr

Multilineare Algebra und ihre Anwendungen. Nr. 6: Normalformen. Verfasser: Yee Song Ko Adrian Jenni Rebecca Huber Damian Hodel

Multilineare Algebra und ihre Anwendungen. Nr. 6: Normalformen. Verfasser: Yee Song Ko Adrian Jenni Rebecca Huber Damian Hodel ultlneare Algebra und hre Anwendungen Nr. : Normalformen Verfasser: Yee Song Ko Adran Jenn Rebecca Huber Daman Hodel 9.5.7 - - ultlneare Algebra und hre Anwendungen Jordan sche Normalform Allgemene heore

Mehr

3.2 Die Kennzeichnung von Partikeln 3.2.1 Partikelmerkmale

3.2 Die Kennzeichnung von Partikeln 3.2.1 Partikelmerkmale 3. De Kennzechnung von Patkeln 3..1 Patkelmekmale De Kennzechnung von Patkeln efolgt duch bestmmte, an dem Patkel mess bae und deses endeutg beschebende physka lsche Gößen (z.b. Masse, Volumen, chaaktestsche

Mehr

Die Leistung von Quicksort

Die Leistung von Quicksort De Lestung von Qucsort Jae Hee Lee Zusammenfassung Der Sorteralgorthmus Qucsort st als ens der effzenten Sorterverfahren beannt. In deser Ausarbetung werden wr sene Komplextät zuerst möglchst präzse schätzen

Mehr

( ) γ. (t 1 ) (t 2 ) = Arg γ 2(t 2 )

( ) γ. (t 1 ) (t 2 ) = Arg γ 2(t 2 ) Funktonentheore, Woche 10 Bholomorphe Abbldungen 10.1 Konform und bholomorph Ene konforme Abbldung erhält Wnkel und Orenterung. Damt st folgendes gement: Wenn sch zwe Kurven schneden, dann schneden sch

Mehr

?? RUBRIK?? / 1 / Spezial

?? RUBRIK?? / 1 / Spezial ?? RUBRIK?? / 1 / Spezal carrere & more Semnarprogramm für Dozentnnen und Dozenten / 2 /?? RUBRIK?? Nveau st kene Handcreme! carrere & more Semnarprogramm für Dozentnnen und Dozenten S. 3 Vorwort S. 4

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik Diskrete Optimierung: Fallstudien aus der Praxis. Das Cutting Stock-Problem

Technische Universität München Zentrum Mathematik Diskrete Optimierung: Fallstudien aus der Praxis. Das Cutting Stock-Problem 1 Problem Technsche Unverstät München Zentrum Mathematk Dskrete Optmerung: Fallstuden aus der Praxs Barbara Wlhelm Mchael Rtter Das Cuttng Stock-Problem Ene Paperfabrk produzert Paperrollen der Brete B.

Mehr

Gruppe. Lineare Block-Codes

Gruppe. Lineare Block-Codes Thema: Lneare Block-Codes Lneare Block-Codes Zele Mt desen rechnerschen und expermentellen Übungen wrd de prnzpelle Vorgehenswese zur Kanalcoderung mt lnearen Block-Codes erarbetet. De konkrete Anwendung

Mehr

Flußnetzwerke - Strukturbildung in der natürlichen Umwelt -

Flußnetzwerke - Strukturbildung in der natürlichen Umwelt - Flußnetzwerke - Strukturbldung n der natürlchen Umwelt - Volkhard Nordmeer, Claus Zeger und Hans Joachm Schlchtng Unverstät - Gesamthochschule Essen Das wohl bekannteste und größte exsterende natürlche

Mehr

Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung

Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung RS 24.2.2005 Erwartungswert_Varanz_.mcd 4) Erwartungswert Erwartungswert, Varanz, Standardabwechung Be jedem Glücksspel nteresseren den Speler vor allem de Gewnnchancen. 1. Bespel: Setzen auf 1. Dutzend

Mehr

Netzsicherheit I, WS 2008/2009 Übung 3. Prof. Dr. Jörg Schwenk 27.10.2008

Netzsicherheit I, WS 2008/2009 Übung 3. Prof. Dr. Jörg Schwenk 27.10.2008 Netzscherhet I, WS 2008/2009 Übung Prof. Dr. Jörg Schwenk 27.10.2008 1 Das GSM Protokoll ufgabe 1 In der Vorlesung haben Se gelernt, we sch de Moble Staton (MS) gegenüber dem Home Envroment (HE) mt Hlfe

Mehr

Einführung in Origin 8 Pro

Einführung in Origin 8 Pro Orgn 8 Pro - Enführung 1 Enführung n Orgn 8 Pro Andreas Zwerger Orgn 8 Pro - Enführung 2 Überscht 1) Kurvenft, was st das nochmal? 2) Daten n Orgn mporteren 3) Daten darstellen / plotten 4) Kurven an Daten

Mehr

Qualitative Evaluation einer interkulturellen Trainingseinheit

Qualitative Evaluation einer interkulturellen Trainingseinheit Qualtatve Evaluaton ener nterkulturellen Tranngsenhet Xun Luo Bettna Müller Yelz Yldrm Kranng Zur Kulturgebundenhet schrftlcher und mündlcher Befragungsmethoden und hrer Egnung zur Evaluaton m nterkulturellen

Mehr

Bildverarbeitung Herbstsemester 2012. Bildspeicherung

Bildverarbeitung Herbstsemester 2012. Bildspeicherung Bldverarbetung Herbstsemester 2012 Bldspecherung 1 Inhalt Bldformate n der Überscht Coderung m Überblck Huffman-Coderung Datenredukton m Überblck Unterabtastung Skalare Quantserung 2 Lernzele De wchtgsten

Mehr

Franzis Verlag, 85586 Poing ISBN 978-3-7723-4046-8 Autor des Buches: Leonhard Stiny

Franzis Verlag, 85586 Poing ISBN 978-3-7723-4046-8 Autor des Buches: Leonhard Stiny eseproben aus dem Buch "n mt en zur Elektrotechnk" Franzs Verlag, 85586 Pong ISBN 978--77-4046-8 Autor des Buches: eonhard Stny Autor deser eseprobe: eonhard Stny 005/08, alle echte vorbehalten. De Formaterung

Mehr

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv Auswertung unvarater Datenmengen - desrptv Bblografe Prof. Dr. Küc; Statst, Vorlesungssrpt Abschntt 6.. Bleymüller/Gehlert/Gülcher; Statst für Wrtschaftswssenschaftler Verlag Vahlen Bleymüller/Gehlert;

Mehr

Stochastische Prozesse

Stochastische Prozesse INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 009 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Blatt 4 Prv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dpl.-Math. W. Lao Übungen zur Vorlesung Stochastsche Prozesse Musterlösungen Aufgabe 16: (Success Run, Fortsetzung)

Mehr

Standortplanung. Positionierung von einem Notfallhubschrauber in Südtirol. Feuerwehrhaus Zentrallagerpositionierung

Standortplanung. Positionierung von einem Notfallhubschrauber in Südtirol. Feuerwehrhaus Zentrallagerpositionierung Standortplanung Postonerung von enem Notfallhubschrauber n Südtrol Postonerung von enem Feuerwehrhaus Zentrallagerpostonerung 1 2 Postonerung von enem Notfallhubschrauber n Südtrol Zu bekannten Ensatzorten

Mehr

Streuungs-, Schiefe und Wölbungsmaße

Streuungs-, Schiefe und Wölbungsmaße aptel IV Streuungs-, Schefe und Wölbungsmaße B... Lagemaße von äufgketsvertelungen geben allen weng Auskunft über ene äufgketsvertelung. Se beschreben zwar en Zentrum deser Vertelung, geben aber kenen

Mehr

Übungsklausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeit und Regression Lösungen. Übungsklausur Wahrscheinlichkeit und Regression Die Lösungen

Übungsklausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeit und Regression Lösungen. Übungsklausur Wahrscheinlichkeit und Regression Die Lösungen Übungsklausur Wahrschenlchket und Regresson De Lösungen. Welche der folgenden Aussagen treffen auf en Zufallsexperment zu? a) En Zufallsexperment st en emprsches Phänomen, das n stochastschen Modellen

Mehr

Eine kurze Einführung in die Dichtefunktionaltheorie (DFT)

Eine kurze Einführung in die Dichtefunktionaltheorie (DFT) Ene kurze Enführung n de Dchtefunktonaltheore (DFT) Mchael Martns Lteratur: W. Koch, M.C. Holthausen A Chemst s Gude to Densty Functonal Theory Wley-VCH 2001 Dchtefunktonaltheore p.1 Enletung Im Falle

Mehr

Ionenselektive Elektroden (Potentiometrie)

Ionenselektive Elektroden (Potentiometrie) III.4.1 Ionenselektve Elektroden (otentometre) Zelstellung des Versuches Ionenselektve Elektroden gestatten ene verhältnsmäßg enfache und schnelle Bestmmung von Ionenkonzentratonen n verschedenen Meden,

Mehr

Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007

Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007 Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 5 Mehrdmensonale Zufallsvarablen Be velen Problemstellungen st ene solerte Betrachtung enzelnen

Mehr

Beim Wiegen von 50 Reispaketen ergaben sich folgende Gewichte X(in Gramm):

Beim Wiegen von 50 Reispaketen ergaben sich folgende Gewichte X(in Gramm): Aufgabe 1 (4 + 2 + 3 Punkte) Bem Wegen von 0 Respaketen ergaben sch folgende Gewchte X(n Gramm): 1 2 3 4 K = (x u, x o ] (98,99] (99, 1000] (1000,100] (100,1020] n 1 20 10 a) Erstellen Se das Hstogramm.

Mehr

Klassische Gatter und Logikelemente. Seminarvortrag zu Ausgewählte Kapitel der Quantentheorie Quantenalgorithmen

Klassische Gatter und Logikelemente. Seminarvortrag zu Ausgewählte Kapitel der Quantentheorie Quantenalgorithmen Klasssche Gatter und Logkelemente Semnarvortrag zu Ausgewählte Kaptel der Quantentheore Quantenalgorthmen Gerd Ch. Krzek WS 2003 I. Grundlagen und Methoden der Logk: Im folgenden soll de Konstrukton und

Mehr

Kommentierte Linkliste

Kommentierte Linkliste Mobbng Kommenterte Lnklste Mobbng fndet sch n allen sozalen Schchten und Altersgruppen: auch be Kndern und Jugendlchen. Aktuelle Studen kommen zu dem Ergebns, dass jede/r verte österrechsche SchülerIn

Mehr