ALGEBRA Lineare Gleichungen Teil 1. Klasse 8. Datei Nr Friedrich W. Buckel. Dezember 2005 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

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1 ALGEBRA Lineare Gleichungen Teil Klasse 8 Lineare Gleichungen mit einer Variablen Datei Nr. 40 Friedrich W. Buckel Dezember 005 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 Inhalt DATEI 40 Grundlagen und ein wenig Theorie. Was sind lineare Gleichungen?. Wie findet man die einer Gleichung.3 Die Methode der Äquivalenzumformungen 5 Musterbeispiele 6 Musterbeispiele mit Brüchen 7 Sonderfälle (unlösbare und allgemein gültige Gl. 8 3 Quadratische Gleichungen, die auf lineare Gl. führen 9 4 Textaufgaben, die zu Gleichungen führen 0 5 Trainingsteil: 49 Aufgaben 5 Musterlösungen dazu: 8-5

3 40 Lineare Gleichungen. Grundlagen und ein wenig Theorie. Was sind lineare Gleichungen? Eine Gleichung heißt lineare Gleichung, wenn die Variable nur mit dem Exponenten auftritt. Beispiele x= 8, x+ 6= 3, 5x = 3, x 3 = 5 3x + = 5 x (x + 4) 3(x + ) = 8(x ) sind lineare Gleichungen. x + 4x 6= 0 oder ( x+ 4) = 5x sind quadratische Gleichungen. 3 x = 8 ist eine Gleichung dritten Grades 4 x 5 und = ist eine Bruchgleichung. x+ x+ 3 x Aussagen und Aussageformen In der Mathematik verwendet man gerne den Begriff Aussage : = 0 ist eine wahre Aussage, 4 = 6 ist eine falsche Aussage. x+ = 8 ist keine Aussage, denn dieser Ausdruck ist weder wahr noch falsch. Eine solche Gleichung hat jedoch die Form einer Aussage, und wenn man für x eine Zahl einsetzt, dann entsteht entweder eine wahre oder eine falsche Aussage. Daher nennt man eine Gleichung auch eine Aussageform. Diejenige Zahl, die durch Einsetzen aus einer Aussageform eine wahre Aussage macht, nennt man. Alle diese Zahlen bilden die smenge. Die Gleichung x+ = 8 hat die smenge L = { 6} denn 6 ist die einzige Zahl, die durch Einsetzen für x zu einer wahren Aussage führt: 6 + = 8! Die Gleichung (x + 4) 3(x + ) = 8( x) hat L = { 3}, denn durch Einsetzen von 3 für x entsteht: = 8 9 bzw. 84 = 7 und dies ist eine wahre Aussage! Es gibt auch Gleichungen mit en: und somit die smenge L = { ±}. x = 4 hat die en und Es gibt aber auch Gleichungen ohne, wie x+ 3= x+ 5. Hier kann man einsetzen, was man will, immer wird die rechte Seite um größer sein als die linke. Die smenge ist daher leer: L = {}.

4 40 Lineare Gleichungen. Wie findet man die en einer Gleichung? Schauen wir uns das gezeigte Beispiel (x + 4) 3(x + ) = 8( x) an. Niemand erkennt sofort, dass sie die szahl 3 besitzt. Also fragt man sich, was man tun muss, um dies herauszufinden. Hier das wichtige sprinzip für Gleichungen Man formt eine Gleichung so lange um, bis am Ende eine möglichst einfache Gleichung dasteht, deren smenge man rasch erkennt. Wichtig ist dabei, dass sich bei diesen Umformungen die smenge nicht verändern darf. Dann kann man nämlich die der letzten einfachen Gleichung auch für die gegebene Anfangsgleichung übernehmen! Eine Umformung, welche die smenge nicht ändert, heißt Äquivalenzumformung. Wir schauen uns die möglichen Äquivalentumformungen an Beispielen an. Beispiel x+ 5= 8 Die Umformung besteht darin, dass man auf beiden Seiten die Zahl 5 subtrahiert. Dann entsteht diese neue Gleichung: x= 3 Sie hat für jeden erkennbar die smenge L = { 3}, denn durch Einsetzen folgt die wahre Aussage 3 = 3! Wir machen die Probe und setzen in der Ausgangsgleichung ein: 3+ 5= 8 ist ebenfalls eine wahre Aussage. Also war die Subtraktion der Zahl 5 auf beiden Seiten eine Äquivalenzumformung. Beispiel x 8= Umformung: Addition der Zahl 8 auf beiden Seiten ergibt x= 0 Diese Gleichung hat die smenge L = { 3}, denn durch Einsetzen folgt die wahre Aussage 0 = 0! Probe in der Ausgangsgleichung: 0 8 = ist eine wahre Aussage. Also war die Addition der Zahl 8 auf beiden Seiten eine Äquivalenzumformung.

5 40 Lineare Gleichungen 3 Beispiel 3 4x = 8 Umformung: Auf beiden Seiten durch 4 dividieren. Dann entsteht diese neue Gleichung: x= Sie hat für jeden erkennbar die smenge L = { }, denn durch Einsetzen folgt die wahre Aussage =! Wir machen die Probe und setzen in der Ausgangsgleichung ein: 4 = 8 ist ebenfalls eine wahre Aussage. Also war die Division durch die Zahl 5 auf beiden Seiten eine Äquivalenzumformung. Beispiel 4 x = 3 5 Umformung: Auf beiden Seiten mit 3 multiplizieren. Dann entsteht diese neue Gleichung: 6 x = 5 Sie hat für jeden erkennbar die smenge L = {} 6, denn durch Einsetzen folgt die wahre Aussage =! 5 5 Wir machen die Probe und setzen in der Ausgangsgleichung ein: 6 = ist ebenfalls eine wahre Aussage. Also war die Multiplikation mit der Zahl 3 auf beiden Seiten eine Äquivalenzumformung. Beispiel 5 8x + 5 = 5x Das Ziel der ersten Umformung ist es, dass das x nur noch links vorkommt, also subtrahiert man 5x auf beiden Seiten, ergibt: 3x + 5 = Nun wird auf beiden Seiten 5 subtrahiert, damit links nur noch ein Vielfaches von x steht: 3x = 6 Nun dividieren wir durch 3 und erhalten x= mit L = { } Die Probe in der Ausgangsgleichung liefert die wahre Aussage 8 ( ) + 5= 5 ( ) also =. Also war auch die Subtraktion des Terms 5x auf beiden Seiten eine Äquivalenzumformung.

6 40 Lineare Gleichungen 4 Beispiel 6 x + = 3x Erste Umformung: Addition von 3x auf beiden Seiten, ergibt: 5x + = Zweite Umformung: Subtraktion von auf beiden Seiten, ergibt 5x = 0 Dritte Umformung: Division durch 5 ergibt x = bzw. x = mit L = {} 0 5 Die Probe in der Ausgangsgleichung liefert die wahre Aussage + = 3 also 4 + = bzw. 9 = Also war auch die Addition des Terms 3x auf beiden Seiten eine Äquivalenzumformung. Beispiel 7 3( 4x 3) = 4( x+ ) Erste Umformung: Vereinfachung der Terme links und rechts durch Ausmultiplizieren, ergibt x 9 = 8x + 4 Zweite Umformung: Subtraktion von 8x auf beiden Seiten, ergibt 4x 9 = 4 Dritte Umformung: Addition von 9 auf beiden Seiten, ergibt 4x = 3 Vierte Umformung: Division durch 4 auf beiden Seiten, ergibt 3 x = mit L = { } Die Probe in der Ausgangsgleichung liefert = ( ) ( ) Um zu erkennen, ob dies eine wahre Aussage ist, empfiehlt es sich, bei so komplizierten Termen die linke Seite und die rechte Seite getrennt zu berechnen: 3 Probe: Linke Seite = ( ) ( ) = = 3 0= 30 Rechte Seite = ( ) ( ) 4 + = 4 + = 4 = 5 = Die Termumformung war also auch eine Äquivalenzumformung der Gleichung 3

7 40 Lineare Gleichungen 5.3 Die Methode der Äquivalenzumformungen Wir haben folgende Äquivalenzumformungen gesehen: Subtraktion einer Zahl auf beiden Seiten (in Beispiel ) Addition einer Zahl auf beiden Seiten (in Beispiel ) Division einer Zahl auf beiden Seiten (in Beispiel 3) Multiplikation einer Zahl auf beiden Seiten (in Beispiel 4) Subtraktion eines Vielfachen von x auf beiden Seiten (in Beispiel 5) Addition eines Vielfachen von x auf beiden Seiten (in Beispiel 6) Vereinfachung eines Terms in einer Gleichung (in Beispiel 7). Bei der Multiplikation gibt es eine Einschränkung: Man darf eine Gleichung nicht mit der Zahl 0 multiplizieren: x= 8 hat die szahl 8. Multipliziert man beide Seiten mit 0, erhält man die Gleichung 0 = 0 Und diese hat jede Zahl als. Fassen wir diese Punkte zusammen, erhält man folgende Regel: Äquivalenzumformungen für Gleichungen sind. Addition und Subtraktion einer Zahl auf beiden Seiten. Multiplikation und Division mit einer Zahl ungleich 0 auf beiden Seiten 3. Addition oder Subtraktion eines Vielfachen von x auf beiden Seiten 4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten Damit formt man die Gleichungen mit folgen dem Ziel um:. Schritt: Vereinfache wenn notwendig die Terme auf beiden Seiten der Gleichung.. Schritt: Addiere oder Subtrahiere Terme (Zahlen oder Vielfache von x) so, dass auf einer Seite nur noch ein Vielfaches von x übrig bleibt. 3. Schritt: Multipliziere oder dividiere die Gleichung so, dass die Endgleichung nur noch die Form x = Zahl hat.

8 40 Lineare Gleichungen 6 Musterbeispiele Ich schreibe die Äquivalenzumformung meistens hinter einen rechten Begrenzungsstrich. Man achte darauf, dass die Gleichheitszeichen stets untereinander stehen! Beispiel 8 3x + 5 = 3 5x + 5x 8x + 5 = 3 5 8x = 8 : 8 x= smenge: L = {} Beispiel 9 x + 4 5x + 8 = 3x 0 7x + = 3x 0 3x 4x + = 0 4x = 3 :4 x= 8 smenge: L = { 8} Hier wurde im. Schritt der Term auf der linken Seite vereinfacht. Beispiel 0 4x ( + ) = 3x ( 7) 4 x + 8= 6x 4 6x x + 8 = 4 8 x= : ( ) x= smenge: L = { } Beispiel 37x ( + 8) + 4 ( x) = 8 35x ( 8) x x = 8 5x + 4 7x + 3 = 3 5x + 5x 3x + 3 = 3 3 3x = 0 :3 x= 0 smenge: L = { 0}

9 40 Lineare Gleichungen 7 Musterbeispiele mit Brüchen Beispiel x= 7 smenge: L = { 7} Beispiel 3 x = 5 x 3 6!!! 4x 3 = 30 3x + 3x 7x 3 = x = 33 : 7 x = smenge: L = { } Hier habe ich einen wichtigen TRICK angewandt. Um die Brüche mit einem Schlag zu beseitigen habe ich die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner 6 multipliziert und dabei gleich gekürzt: x 6 = x = 4x, 6= 3 usw. 3 7 Beispiel ( + ) = ( ) 3 x x x+ = x HN = 4 5 = x + 35= 8x 30 8x 7x + 35= x= 38 : ( 7) x= 3 smenge: L = { 3} Hier zeige ich noch einmal, wie man bei einer solchen Gleichung die Probe macht, indem man die linke und rechts Seite getrennt berechnet: LS = 3( ( 3) + ) = 3 ( + ) = 3 ( + ) = 3 ( ) = 3 ( ) = ( ) RS = 3 = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) Beide Seiten sind gleich, also ergibt sich durch Einsetzen eine wahre Aussage!

10 40 Lineare Gleichungen 8 Sonderfälle von Gleichungen Beispiel 5 34x ( ) 5x ( + 6) = x ( + 3) x 6 0x 30 = x + 6 x 36 = x + 6 x 36 = 6 Die letzte Gleichung stellt eine falsche Aussage dar. Sie hat keine smenge. Man kann sagen, die Annahme, die Gleichung sei lösbar, führt zu einem Widerspruch, also war die Annahme falsch. Die gegebene Gleichung hat keine : L = {} Beispiel 6 ( ) ( ) ( ) 4 x 3 + x + 5 = 4x + ( x 9) Multiplikation mit dem Hauptnenner 5: 6x ( 3) + 5x ( + 5) = 04x ( + ) x ( 9) 6x 8 + 0x + 5 = 40x + 0 4x x + 7 = 6x + 8 6x 7= 8 Widerspruch, also L = {} Beispiel 7 4x + 3 ( 5x + ) = ( 4x) ( 3x + 7) 4x + 3 5x = 8 8x 3x 7 x+ = x+ Weil auf beiden Seiten der Gleichung derselbe Term steht, liefert das Einsetzen jeder beliebigen Zahl eine wahre Aussage. Beispiel: Für x = 5 folgt: 55 + = 55 + bzw. 54 = 54! Die smenge ist die gesamte Grundmenge L = Q! Beispiel 8 ( + ) ( + ) = ( ) 3 x 4 x 5 x 3 3 x+ 3 4x = x x x+ = x x+ = x+ L = Q Man sagt in so einem Fall auch: Die Gleichung ist allgemeingültig.

11 40 Lineare Gleichungen 9 3 Quadratische Gleichungen, die auf lineare Gleichungen führen Beispiel 9 ( ) ( 4x 3 = x 3) 4x ( 6x+ 9) = 4x 6 4x 4x + 36 = 4x 6 4x 4x + 36 = x = 4 :( 4) x= 3 L = { 3} Der quadratische Term 4x tritt auf beiden Seiten auf und fällt daher durch die Äquivalenzumformung weg, wodurch eine lineare Gleichung übrig bleibt! Beispiel 0 ( x+ 3) + 3( x 3) = ( x )( x+ ) ( ) x + 3x x 3x+ 9 = x x + 3x+ 9+ x 9x+ 7= x x 6x + 36 = x 4 x 6x + 36 = x = 40 ( 6) x = L = { 3 } Beispiel ( x + ) = 4( x + x ) 4x + 4x + = 4x + 4x 8 4x 4x + = 4x 8 4x = 8 Dies ist ein Widerspruch, also ist L = {}. Beispiel ( 3x 4)( 3x + 4) ( x + 5) = 5( x ) 6 9x 6 ( 4x + 0x + 5) = 5( x 4x + 4) 6 5x 0x 4= 5x 0x 4 L = Q Diese Gleichung ist allgemein gültig.

12 40 Lineare Gleichungen 0 Beispiel 3 4 Textaufgaben die zu Gleichungen führen Zu welcher Zahl muss man 8 addieren, um ihr Dreifaches zu erhalten?. Schritt: Die gesuchte Zahl sei x.. Schritt:. Term: x + 8. Term: 3x 3. Schritt: Gleichung aufstellen: x + 8 = 3x 4. Schritt: Gleichung lösen - x: 8 = x : 9 = x 5. Schritt: Ergebnis: Die gesuchte Zahl ist 9. Beispiel 4 Von welcher Zahl muss man subtrahieren, um das Doppelte zu erhalten?. Schritt: Die gesuchte Zahl sei x.. Schritt:. Term: x -. Term: x 3. Schritt: Gleichung aufstellen: x - = x 4. Schritt: Gleichung lösen - x: - = x 5. Schritt: Ergebnis: Die gesuchte Zahl ist -. Beispiel 5 Addiert man zum Fünffachen einer Zahl, so erhält man dasselbe, wie wenn man zu ihrem Dreifachen 30 addiert.. Schritt: Die gesuchte Zahl sei x.. Schritt:. Term: 5x +. Term: 3x Schritt: Gleichung aufstellen: 5x + = 3x x 4. Schritt: Gleichung lösen x = 8 : x= 9 5. Schritt: Ergebnis: Die gesuchte Zahl ist 9.

13 40 Lineare Gleichungen Beispiel 6 Multipliziert man die Differenz aus dem Dreifachen einer Zahl und 5 mit 8, erhält man dasselbe, wie wenn man zum 0-fachen der Zahl addiert.. Schritt: Die gesuchte Zahl sei x.. Schritt:. Term: 83x ( 5). Term: 0 x + 3. Schritt: Gleichung aufstellen: 83x ( 5) = 0x+ 4. Schritt: Gleichung lösen 4x 40 = 0x + 0x x = 4 :4 x= 3 5. Schritt: Ergebnis: Die gesuchte Zahl ist 3. Anmerkung: Diese Aufgabe ist nicht eindeutig gestellt und lässt noch einen zweiten Ansatz zu: Es ist nämlich nicht klar, ob man unter der Differenz von 3x und 5 3x 5 oder 5 3x versteht. Die zweite sieht daher so aus:. Schritt: Die gesuchte Zahl sei x.. Schritt:. Term: 85 ( 3x). Term: 0 x + 3. Schritt: Gleichung aufstellen: 85 ( 3x) = 0x+ 4. Schritt: Gleichung lösen 40 4x = 0x + 0x 40 34x = 38 : ( 34) 38 9 x = = Schritt: Ergebnis: Die gesuchte Zahl ist 9 7 Man könnte die Aufgabe bzw. eindeutig machen, wenn man etwa sagt: Multipliziert man die Differenz aus dem Dreifachen einer ganzen Zahl und 5 mit 8, erhält man dasselbe, wie wenn man zum 0-fachen der Zahl addiert. Oder für die zweite :. eines Bruches.

14 40 Lineare Gleichungen Beispiel 7 Das Zehnfache einer Zahl ist um 8 größer als ihr Sechsfaches. Schritt: Die gesuchte Zahl sei x.. Schritt:. Term: 0x. Term: 6x 3. Schritt: Gleichung aufstellen: Wenn das Zehnfache um 8 größer ist, muss man von ihm 8 subtrahieren, damit es gleich groß wird wie das Sechsfache: 0x 8 = 6x + 8 6x 4. Schritt: Gleichung lösen 4x = 8 x = 5. Schritt: Ergebnis: Die gesuchte Zahl ist. Beispiel 7 Das Vierfache einer Zahl ist um 5 kleiner als ihr Siebenfaches. Schritt: Die gesuchte Zahl sei x.. Schritt:. Term: 40x. Term: 7x 3. Schritt: Gleichung aufstellen: Wenn das Vierfache um 5 größer ist, muss man zu ihm 5 addieren, damit es gleich groß wird wie sein Siebenfaches: 4x + 5 = 7x 4x 4. Schritt: Gleichung lösen 5 = 3x : 3 5= x 5. Schritt: Ergebnis: Die gesuchte Zahl ist 5. Beispiel 8 Subtrahiert man vom -fachen einer Zahl 5, erhält man eine Zahl, die um 3 kleiner ist, als wenn man das Fünffache um 30 vergrößert.. Schritt: Die gesuchte Zahl sei x.. Schritt:. Term: x - 5. Term: 5x Schritt: Gleichung aufstellen: x = 5x x + 4. Schritt: Gleichung lösen 7x = 4 x = 6 5. Schritt: Ergebnis: Die gesuchte Zahl ist 6.

15 40 Lineare Gleichungen 3 Beispiel 9 In 0 Streichholzschachteln sollen je eine oder eine Münze gelegt werden. Der Gesamtbetrag soll 8 sein. Wieviele Münzen benötigt man von jeder Sorte?. Schritt: x sei die Anzahl der - Münzen. Weil insgesamt nur 0 Münzen verwendet werden, bleiben 0 x - Münzen übrig.. Schritt:. Term (Berechnung des Gesamtwertes aus den Münzen): x + ( 0 x). Term (Angegebener Gesamtbetrag: 8 3. Schritt: Gleichung aufstellen: x+ ( 0 x) = 8 (ohne ) 4. Schritt: Gleichung lösen x+ 40 x= 8 x + 40 = 8 + x 8 = x 5. Schritt: Ergebnis: Man benötig - Münzen und folglich 8 - Münzen. Beispiel 30 Kann man aus 5 Münzen in Form von 5 Stücken und Stücken den Betrag 50 Euro bilden?. Schritt: x sei die Anzahl der 5 - Münzen. Weil insgesamt 5 Münzen verwendet werden, bleiben 5 x - Münzen übrig.. Schritt:. Term (Berechnung des Gesamtwertes aus den Münzen): x 5 + ( 5 x). Term (Angegebener Gesamtbetrag: Schritt: Gleichung aufstellen: 5x + ( 5 x) = 50 (ohne ) 4. Schritt: Gleichung lösen 5x + 30 x = x = 0. : 3 x = 0 Ergebnis: Da als Bruch nicht die Anzahl der 5 - Münzen sein kann, 3 ist es nicht möglich, auf diese Weise 50 zusammen zu stellen. 0 3

16 40 Lineare Gleichungen 4 Beispiel 3 Die Summe zweier Zahlen ist 46, ihre Differenz jedoch 6. Welche Zahlen sind gemeint?. Schritt: Die erste Zahl sei x, die zweite sei y. Weil ihre Summe x + y = 46 ist, können wir die zweite Zahl y auch so schreiben: y = 46 x.. Schritt: Weitere Bedingung ist: Die Differenz ist 6. Das heißt (a) x y = 6 oder (b) y x = 6 3. Schritt: Gleichung: Ersetzt man y wieder durch 46 x, erhält man: (a) x ( 46 x) = 6 oder (b) ( 46 x) x = 6 x 46+ x= 6 46 x x = 6 x = 6 x = 30 x= 3 x= 5 4. Schritt: Berechnung der zweiten Zahl durch y = 46 x: (a) zu x = 3: y = 46 3 = 5 (b) zu x = 5: y = 46 5 = Schritt: Ergebnis: Die gesuchten Zahlen sind 5 und 3. Beispiel 3 Eine Zahl ist um 0 größer als die andere. Ihr Produkt ist gleich groß wie das Quadrat einer der beiden Zahlen.. Schritt: Die erste Zahl sei x, die zweite ist dann y = x+0. Schritt: Bedingung ist: (a) x ( x+ 0) = x oder (b) x( x+ 0) = ( x+ 0) 3. Schritt: Lösen der Gleichung (a) x + 0x= x oder x + 0x = x + 40x x = 0 0x = 400 x= 0 x= 0 4. Schritt: Berechnung der zweiten Zahl durch y = x + 0: (a) zu x = 0: y = = 0 (b) zu x = -0: y = = Schritt: Ergebnis: Die gesuchten Zahlen sind 0 und 0

17 40 Lineare Gleichungen 5 Beispiel 33 (Geometrie) Verkürzt man die Seite eines Quadrats um 5 cm, dann verkleinert sich sein Inhalt um 35 cm. Wie groß war die Quadratseite? Die alte Quadratseite sei x, die neue ist dann (x 5 ). Flächeninhalt des neuen Quadrats: ( x 5). Gleichung: ( ) x 5 = x 35 Lösen: x 0x+ 5= x 35 0x + 5 = x = 0x x= 6 Ergebnis: Die Quadratseite hatte 6 cm Länge. Beispiel 34 (Geometrie) Ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis cm hat den Umfang 8 cm. Wie lang sind die beiden Schenkel? Ein Schenkel habe die Länge x, dann gilt für den Umfang U = x +. Dies ergibt die Gleichung x + = 8 x = 6 x= 8 Ergebnis: Das Dreieck hat zwei Schenkel der Länge 8 cm. Beispiel 35 (Geometrie) Bei einem Rechteck haben die Seiten einen Unterschied von 4 cm. Sein Umfang beträgt 48 cm. Wie lang sind seine Seiten? cm Die erste Rechteckseite sei x, die zweite y. Weil der Unterschied 4 ist, gilt entweder y = x 4 (dann ist y um 4 kleiner) oder y = x + 4 (dann ist y um 4 größer als x). Umfang: U= x+ y= x+ ( x 4) oder U= x+ y= x+ ( x+ 4) Gleichung: x + ( x 4) = 48 oder x + ( x + 4) = 48. Lösen: 4x 8 = 48 oder 4x + 8 = 48. 4x = 56 bzw. 4x = 40 x= 4 bzw. x= 0 Berechnung der zweiten Seite: Im. Fall ist y = x 4 = 0 im. Fall ist y = x + 4 = 4. Ergebnis: Die Rechtecksseiten sind 0 cm und 4 cm lang. Beide Ansätze führen zum selben Ergebnis!

18 40 Lineare Gleichungen 6 Beispiel 36 Wenn man einen Geldbetrag verdoppelt, hat man genau denselben Betrag mehr als 90, also man zuvor weniger als 90 hatte. Um welchen Betrag handelt es sich? Erster Betrag: x Zweiter Betrag: x Differenz des. Betrags zu 90 : x 90 Differenz des. Betrags zu 90 : x90 (Denn der doppelte Betrag ist größer als 90, der ursprüngliche kleiner!) Gleichung: x 90 = 90 x + x + 90 Lösen: 3x = 80 x= 60 Ergebnis: Der Geldbetrag war 60. Beispiel 37 Die Summe zweier Zahlen beträgt 74, ihre Differenz 6. Um welche Zahlen handelt es sich. Anmerkung: Wenn die Differenz 6 ist, dann ist die zweite Zahl y entweder um 6 kleiner als die erste Zahl x: y = x 6, oder sie ist um 6 größer also die erste: y = x + 6. Gleichung: x + y = 74 d.h. x+ ( x 6) = 74 oder x+ ( x+ 6) = 74 x 6 = 74 oder x + 6 = 74 x = 90 oder x = 58 x= 45 oder x= 9 Berechnung der zweiten Zahl y: y = x 6 = 45 6 = 9 oder y = x + 6 = = 45 Ergebnis: Die gesuchten Zahlen sind 9 und 45. Beide Ansätze führen zum selben Ergebnis!

19 40 Lineare Gleichungen 7 Beispiel 38 Eine zweistellige Zahl hat die Quersumme 4. Vertauscht man die Ziffern, erhält man eine um 8 größere Zahl. Wie lautete sie ursprünglich? Eine zweistellige Zahl schreibt man normalerweise so xy wobei x die Zehnerziffer und y die Einerziffer ist. Beispiel 47 ist die Zahl Daher ist xy die Zahl x 0 + y oder 0x + y. Vertauscht man die Ziffern, entsteht die zweite Zahl " yx" = 0y + x. Wir kennen die Quersumme: x + y = 4, also ist die Einerziffer y = 4 x. Ersetzen wir dies, erhalten wir als erste Zahl: " xy" = 0x + y= 0x + 4 x = 9x + 4 als zweite Zahl: " yx" = 0y+ x = 0( 4 x) + x = 40 0x + x = 40 9x. Eine der beiden Zahlen ist um 8 größer als die andere. Also gibt es Möglichkeiten: () "xy" = "yx" 8 () "yx" = "xy" 8 9x + 4 = 40 9x x = 9x x = = 8x x= 6 8= x Die Einerziffer berechnet man über die Quersumme y = 4 x y= 4 6= 8 y= 4 8= 6 Ergebnis: Die Zahl heißt 68 bzw. 86, wenn die Ziffern vertauscht werden.

20 40 Lineare Gleichungen 8 5 Trainingsteil Vermischte Aufgaben 5.0 Einfachste Gleichungen () x+ 7= 3 () 4x = 36 (3) x= 7 6 (4) 3x = (5) x+ = 5 (6) 4x = 0 (7) 5x + 8 = (8) 3x + = 4 (9) 5x + = 7 5. Einfache Gleichungen (0) x+ = 8 3x () 3x + 4 = 8x 6 () 4x + 8 = x + 8 (3) 3x 5 = 3x + 5 (4) 35x + = 8x + 9 (5) 3x + 5 x + 8 = 7x 33 (6) 3x 5 = x + 5 (7) 6x + 8 = 6x 3 (8) 9x 7x + 4 = x + 3 (9) 79 x 58 = 433x 474 5

21 40 Lineare Gleichungen 9 5. Gleichungen mit Brüchen 5 3 (0) x+ = x x+ = x () () x = x (3) x = x (4) x = x x+ x+ = x (5) (6) + x x = 3x x+ + = (7) x+ x = x+ + x (8) (9) x x+ = x x Gleichungen mit Klammern (30) 5x ( 8) = 3(4x+ ) (3) 9x ( 3) 45x ( 3) = 35x ( 0) 40 ( + 3x) (3) 3( 5x 4) 6( 7x 8) = 4( 5x 3) + 3( x 4) (33) 4( x ) + 3( 8x + 4) = 3( x + 8) + 4( x + ) (34) ( 4x+ 5) + 33x ( ) = x ( ) 33x ( 5) (35) ( ) ( ) 5 8 ( ) x + 3 x + 6 x = (36) ( x+ ) = ( x+ ) ( x+ ) (37) ( 4x ) ( 5x ) ( x ) + = (38) 7( x ) 5( x ) ( x ) + + = (39) ( 3 x+ ) 3( x ) = ( x ) x

22 40 Lineare Gleichungen Quadratische Gleichungen (40) ( x 5) = 4( x + ) (4) 3x + = 3( x ) (4) x( x+ ) + 4x( x+ ) = ( 3x 5) (43) ( x+ ) ( x ) = 4( x+ 3) (44) 5x ( ) = 45x ( x+ ) (45) ( )( ) ( )( ) ( x+ 4 x+ 3 x+ x = 3 5 x ) (46) ( 4x + 3) ( x 4) = ( 3x + 5) + 5( x + 3x ) 3 5 (47) ( x+ 3) + ( x ) = ( x )( x+ ) (48) ( 3x ) + ( 4x 9) = ( 5x + ) 3 (49) ( 3x ) ( 5x + ) = ( x 4) + 50x 9

23 40 Lineare Gleichungen steil 5.0 Einfachste Gleichungen () x+ 7= 3 7 x= 0 also ist L = { 0} () 4x = 36 : 4 x= 9 also ist L = { 9} (3) x= 7 x= 4 also ist L = { 4} 6 (4) 3x = : ( 3) Achtung: Die Klammer wird benötigt! 5 x = also ist L = {} 5 (5) x+ = 5 x= 7 ( ) x= 7 also ist L = { 7} (6) 4x = 0 Ein Produkt ist Null, wenn ein Faktor Null ist: x= 0 also ist L = { 0} (7) 5x + 8 = 8 5x = 4 : 5 x = also ist L = {} 4 5 (8) 3x + = 4 3x = 6 : ( 3) x= also ist L = { } (9) 5x + = 7 5x = 5 : 5 x= 3 also ist L = { 3} 5 4 5

24 40 Lineare Gleichungen 5. Einfache Gleichungen (0) x+ = 8 3x + 3x x = 6 : x= 3 also ist L = { 3} () 3x + 4 = 8x 6 8x 4 5x = 0 : 5 x= also ist L = { } () 4x + 8 = x + 8 x 8 x = 0 Nullprodukt! x= 0 also ist L = { 0} (3) 3x 5 = 3x + 5 3x + 5 0x = 0 :( 0) x= also ist L = {} (4) 35x + = 8x + 9 8x 63x = 7 : ( 63) x = also ist L { } 9 = 9 (5) 3x + 5 x + 8 = 7x 33 Zuerst zusammenfassen! 9x + 3 = 7x 33 7x 3 6x = 56 : ( 6) x = = L = { 7 } (6) 3x 5 = x + 5 x + 5 5x = 30 :( 5) x= also ist L = { } (7) 6x + 8 = 6x 3 6x 8 0= Widerspruch bzw. falsche Aussage: L = {} 9x 7x + 4 = x + 3 (8) Zusammenfassen x + 3 = x + 3 Allgemeingültige Gleichung, jede Zahl löst! L= Q (9) 79 x 58 = 433x x x = 6 : x = = 3 = = Ich habe zuerst durch 8 gekürzt, dann (Quersumme! ) durch 9 und schließlich noch durch 3. Man hätte natürlich sofort durch 6 kürzen können hättest Du es gesehen???

25 40 Lineare Gleichungen 3 5. Gleichungen mit Brüchen x+ = x + x (0) Hier kann man gleich zusammen fassen, weil die Koeffizienten von x und die Absolutglieder je gleiche Nenner haben: 4 x = 3 x = 4 : x = mit L = { } x+ = x Hauptnenner = () x + = x Hier zuerst durch den Nenner dividieren, dann mit dem Zähler multiplizieren!!! 63x + 44 = 3x 7 oder gleich so: 8x+ 6= 3x 4 3x 6 5x = 30 :5 x= mit L = { } () x = x HN= 90 8x 0 = 54x x x = 3 :( 46) L = x = = mit { } (3) x = x HN= 60 5x = x 0 + x + 7x = 8 :7 L = 8 x = mit { } 8 7 (4) 5 x = x HN= 3x 8 = 6x + 0 6x + 8 3x = 8 x= 6 mit L = { 6} x+ x+ = x HN= 40 5x x + 0 = x 8 Zusammenfassen 7x + 40 = x 8 x (5) x = 58 : ( 5) x = mit L = { } 5

26 40 Lineare Gleichungen (6) + x x = 3x HN x 5x 36= 54x 45 Zusammenfassen 0x 44 = 54x x = : 44 L = x = mit { } (7) x+ x+ = x. sweg: Links zuerst zusammenfassen. Dies ist hier problemlos möglich, weil die x-summanden gleichen Nenner haben und die reinen Brüche auch: x+ = x + x x = : bzw ( 3) ( 4) x = = mit L { } = 3 7. sweg: Alle Brüche beseitigen, indem man mit dem Hauptnenner multipliziert: x+ x+ = x Ausführliche Erklärung der Berechnung: Jeder Summand wird mit multipliziert. Dies macht man jedoch so, dass man zuerst mit dem Nenner kürzt und dann erst mit dem Zähler multipliziert: x+ x+ = x = 8 3 = 3 73 = 9 38 = 4 33 = = 35 8x + 3 9x + 4 = 39 35x 63x + 7 = 39 35x + 35x 7 8x = :( 8) 3 x = = 8 7 L = 3 7 smenge: { } x+ x = x+ + x HN= 4 800x x 4 = 6x x 4 Zusammenfassen 300x 7 = 0x 0x x = 5 : 80 5 L = (8) x = = mit { } (9) x x+ = x + x HN= x 0 5x + 5 = 8x + 30x Zusammenfassen 9x 5 = x x + 5 7x = x = mit L = 7 { 7 }. 56

27 40 Lineare Gleichungen Gleichungen mit Klammern (30) 5x ( 8) = 3(4x+ ) 0x 40 = x + 33 x = 73 : ( ) 73 x = mit L { } 73 = (3) 9( x 3) 4( 5x 3) = 3( 5x 0) 4( 0 + 3x) 8x 7 0x + = 5x x x 05 = 3x 70 3x x = 35 : ( 5) x = 7 mit L = { 7} Hinweise: Zuerst die Klammern beseitigen, dann auf beiden Seiten zusammenfassen. Dann x nach links schaffen ( - 3x!) und die reinen Zahlen nach rechte (+05), was in einem Schritt geht. Dann durch (-5) teilen. Klammern nicht vergessen! (3) 3( 5x 4) 6( 7x 8) = ( 5x 6) + 3( x 4) 65x 5 4x + 48 = 0x x 3x 4 = 3x 3x 4= 0 Dies ist eine falsche Aussage (bzw. ein Widerspruch!). Daher gilt smenge: L = {} (33) 4( x ) + 3( 8x + 4) = 3( x + 8) + 4( x + ) 8x 4 + 4x + = 6x + 4 4x + 4 5x = x + 38 x + 50x = 40 : 50 x = mit L = {} (34) ( 4x+ 5) + 33x ( ) = x ( ) 33x ( 5) 8x 0 + 9x 33 = 4x 4 69x x 43 = 45x x x = 08 :6 x = = = mit L = {} (35) ( ) ( ) 5 8 ( ) x + 3 x + 6 x = x x x 4 5x x 4x x + = x 6 84x 4x + 9 = x 80x 3 = x + x + 3 8x = 3 : 8 L = = x = = mit { } 3 7

28 40 Lineare Gleichungen (36) ( x+ ) = ( x+ ) ( x+ ) x+ = x+ x HN= 36 4x + = 9x + 4 0x 7 4x + = x 68 + x 5x = 70 :5 4 L = 3 x = = mit { } (37) ( 4x ) ( 5x ) ( x ) = x+ x+ = x + HN= x + 8 5x + 5 = 4x x + 3 = 4x x 3 4 x = 3 : ( 4) 3 x= = 3 mit L = { 3} 4 4 (38) 7( x ) 5( x ) ( x ) = x+ x 55 x+ = HN= x x x + 36 = 9 99x 888 = x = 980 : ( 99) x= 0 mit L = { 0} (39) ( 3 x+ ) 3( x ) = ( x ) x+ x+ = x HN= 60 0x + 3 7x + 30 = 8x 30 6x + 33 = 8x 30 8x 33 70x = 63 ( 70) 9 x = mit L = { } 9 0 0

29 40 Lineare Gleichungen Quadratische Gleichungen (40) ( x 5) = 4( x + ) 4x 0x + 5 = 4( x + x + ) 4x 0x + 5 = 4x + 8x + 4 8x 5 8x = : ( 8) 3 x = = mit L = {} 8 4 (4) 3x + = 3( x ) 3x + = 3 x x + 3x ( ) + = 3x 6x x 6x = x = mit L = {} 6 (4) x( x+ ) + 4x( x+ ) = ( 3x 5) x + x+ 8x + 4x= 9x 30x+ 5 9x + 6x = 9x 30x x 36x = 5 : 36 5 x = mit L = { } (43) ( x+ ) ( x ) = 4( x+ 3) x + x+ ( x x+ ) = 4x+ x + x+ x + x = 4x+ 4x = 4x + 4x 0= 5 36 Widerspruch bzw. falsche Aussage: L = {} (44) 5x ( ) = 45x ( x+ ) 5( 4x 4x+ ) = 4( 5x x+ ) 0x 0x + 5 = 0x 8x x 5 x = : ( ) x = mit L = { } (45) ( )( ) ( )( ) ( x+ 4 x+ 3 x+ x = 3 5 x ) ( ) x + 3x+ 4x+ 4x = 5 3x x + 3x+ 4x+ 4x + = 5 3x 3x + 7x + 3 = 5 3x 3 7x = : x = mit L = {} 7

30 40 Lineare Gleichungen 8 (46) ( 4x + 3) ( x 4) = ( 3x + 5) + 5( x + 3x ) 6x + 4x + 9 x + 8 = 9x + 30x x + 5x 0 4x + 4x + 7 = 4x + 45x x 7 x = : ( ) x = mit L = { } (47) ( ) ( ) ( )( ) = x + 3x+ 9+ x 6x+ 4= x 4 4 x+ 3 + x = x x+ x 3x 9 x 6x 4 ( x ) 5 3x + 3 = x 3 3 3x = : ( 3) L = 0 x x = mit { } (48) ( 3x ) + ( 4x 9) = ( 5x + ) 3 9x 7x x 7x + 8= 5x + 0x + 3 5x x + 5 = 5x + 0x x 5 54x = 7 ( 54) x = mit L = {} (49) ( 3x ) ( 5x + ) = ( x 4) + 50x 9 69x 6x + ( 5x + 0x + 4) = 44x 96x x 9 69x 6x + 5x 0x 4 = 44x 46x 3 44x 46x 3 = 44x 46x 3 Diese Gleichung ist allgemein gültig, also ist jede Zahl : L= Q 6