5 Integralrechnung. 5.2 Das bestimmte Integral. 5.3 Das unbestimmte Integral

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1 Wiedergegeben werden Ausschnitte der Vorlesung Anlysis von Prof. Brbirz im Sommersemester 00 m Fchbereich Elektrotechnik und Informtik der Fchhochschule Hmburg. Für die Richtigkeit wird keine Gewähr übernommen. 5 Integrlrechnung 5. Ds bestimmte Integrl 5..3 Eigenschften des bestimmten Integrls ) Integrl mit gleichen Integrtionsgrenzen: f(x) = 0 ) Vertuschen von Integrtionsgrenzen: 3) Zerlegung des Integrtionsintervlls: 4) Vorziehen eines konstnten Fktors: 5) endliche Summe von Funktionen: 6) Linerkombintionen: b b b b b f(x) = f(x) = c b c f(x) = c b f(x) b f(x) + [ N ] f k (x) = k= N c k f k (x) = k= 5.3 Ds unbestimmte Integrl N k= c k b f(x) N k= f k (x) b c f(x) f k (x) Grundintegrle ) ) 3) 4) x p = xp+ + C (p ) p + = ln x + C x e x = e x + C x = x + C ( > 0, ) ln

2 5) 6) 7) 8) 9) 0) ) ) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 0) ) sin x = cos x + C cos x = sin x + C tn x = ln cos x + C cot x = ln sin x + C ( cos x = + tn x ) = tn x + C ( sin x = + cot x ) = cot x + C e x e x sinh x = = cosh x + C e x + e x cosh x = = sinh x + C e x tnh x = e x = ln(cosh x) + C + e x + coth x = e x = ln sinh x + C cosh x = sinh x = + x = ( tnh x ) = tnh x + C ( + coth x ) = coth x + C x = x rctn x + C rccot x + C rctn x = π rccot x Artnh x + C : x < Artnh x = Arcoth x + C : x > Arcoth x = = rcsin x + C : x < ln +x x ln x+ x x x = Arcosh x + C : x > Arcosh x = ln + x x = Arsinh x + C Arsinh x = ln + x + + x ln x + x

3 5.3.4 Berechnung bestimmter Intergrle mit Hilfe von Stmmfunktionen b f(x) = F (b) F () = [ ] b F (x) 5.4 Allgemeine Integrtionsmethode 5.4. Integrtion einer Linerkombintion Integrtionsregel Homogenität: f(x) = f(x) (f Integrtionsregel Additivität: (x) + f (x) ) = f (x) + f (x) Integrtion durch Substition Integrtionsregel 3 F (x) = f(x) = f ( u(t) ) u (t)dt = F ( u(t) ) mit der Substition x = u(t), dt = u (t), = u (t) dt Überblick über einige mögliche Substitution I f II f (x, x ) : (x, x ) : x = sin t, = cos t dt, t = rcsin x x = cosh t, = sinh t dt, t = Arcosh x Weitere Substitutionen im Stöcker, Seite 484. wichtige Ergänzung bei der Berechnung bestimmter Integrle für den Fll der Nutzung einer Vriblensubstitution Beim Übergng zur neuen Vriblen t ist es uf jeden Fll zweckmäßig, die Grenzen ebenflls zu substituieren. Die Rücksubstitution entfällt. x x f(x) = t =u(x ) t =u(x ) f ( u(t) ) u (t)dt = [F ( u(t) )] t t 3

4 5.4.4 Integrtion eines Produkt, prtielle Integrtion Berechnung von f(x) g(x) I Spezilfll: g(x) = f (x) Integrtionsregel 4 f(x) f (x) = f (x) II llgemeiner Fll Integrtionsregel 5 u (x) v(x) = u(x) v(x) u v = uv uv u(x) v (x) III Sonderfll: f(x) = Integrtionsregel 6 g(x) = x g(x) x g (x) Integrtion eines Quotienten f(x) Berechnung von g(x) I Spezilfll f(x) = g (x) Integrtionsregel 7 g (x) g(x) = ln g(x) nur für g(x) 0 II Spezilfll: f(x), g(x) Polynome Fll ) g(x) vom Grd, f(x) vom Grd 0, d. h. konstnt c x + b = c ln x + b Fll ) Verllgemeinerung Integrtionsregel 8 f(x) mit Grd g(x) g(x) Grd f(x) < Grd g(x) läßt sich immer durch Prtilbruchzerlegung lösen. (Bei unecht gebrochenen Funktionen wird durch Polynomdivision ein gnzrtionler Anteil bgesplten.) Siehe Stöcker Seite 487 f. oder utoriumsmitschrift vom für Hr. Djengs Methode mit A = lim x x Fll 3) llgemeiner Fll mit Nennerpolynom Grd, Zählerpolynom Grd 0 Siehe Mitschrift vom , Seite 4 4 f., oder Stöcker, Integrl Nr. 63, Seite 89. 4

5 5.5 Numerische Integrtion (eil ) Näherungsweise Berechnung von b f(x) = F us gegebenen Wertepren ( x i, f(x i ) ) = (x i, y i ), i = 0 n, = x 0, b = x n einer äquidistnten Zerteilung x i = + i h, Streifenbreite h = b n. Zur Lösung genügen die Stützwerte f(x), die Rechenvorschrift f(x) muss nicht beknnt sein Numerische Integrtion (eil ) ) Rechteckformeln b f(x) h n f(ξ i ) i= Spezielle Whl der ξ i : I) ξ i = x i : f(ξ i ) = y i II) ξ i = x i : f(ξ i ) = y i b b f(x) h f(x) h ) Sehnen- oder rpezformel f(x) h b n i= n i= y i y i ( ) n y 0 + y i + y n i= Keplersche Fßregel b f(x) h 3 ( f() + 4f ( +b ) + f(b) ) ; h = b Ohne Beweis: Die Keplersche Fßregel liefert den exkten Integrlwert bei beliebigen Polynomen 3. Grdes ls Funktion, über die integriert wird Die Simpsonsche Integrtionsformel b f(x) h y n n y k + y k + y n k= k= (gerdzhlige Zerlegung) 5

6 Fehlerrten whrer Wert I W : exkter Rechenwert, Normwert,... Näherungs-Wert I N : Ergebnis numerischer Integrtion, Meßwert,... bsoluter Fehler = I N I W reltiver Fehler r = I N I W I W Uneigentliche Integrle 5.6. Integrle über unbeschränkte Intervlle Definition Ist f(x) in [, ) definiert und dort beschränkt und existiert λ <, so bezeichnet mn ls uneigentliches Integrl. f(x) = lim λ λ f(x) = lim F (λ) F () λ λ f(x) für lle Fllls der Grenzwert endlich ist, spricht mn von einem konvergenten, uneigentlichen Integrl, ndernflls von einem divergenten Integrl. Sinngemäß gilt: b f(x) = lim b λ λ f(x) = F (b) lim λ F ( λ) Definition Ist f(x) für x R definiert und beschränkt, und existiert 0 λ <, so nennt mn λ λ f(x) für lle ein uneigentliches Integrl. f(x) = lim λ λ λ [ ] f(x) = lim F (λ) F ( λ) λ Flls der Grenzwert existiert, spricht mn vom Cuchyschen Huptwert des Integrls 5.6. Integrle über nicht beschränkte Funktionen Siehe Mitschrift vom.04.0, Seite 5 7f. 6

7 5.7 Anwendungen 5.7. Mittelwerte von Funktionen ) linerer Mittelwert µ = y = f(x) = b f(x) b ) qudrtischer Mittelwert y Q = y = f (x) = b b f (x) Für beliebige periodische Funktionen x(t) mit Periodenduer bezeichnet mn: ) Mittelwert x = x(t) = t m+ x(t) dt = x(t) dt t m t m : Mitte des beliebigen Integrtionsintervlls der Duer ) Effektivwert x eff = x = x (t) = x (t) dt Volumin von Rottionskörpern Durch Drehung einer Kurve y = f(x) um die x-achse entsteht im Intervll [, b] ein Rottionskörper mit dem Volumen V x : b V x = π b f (x) = π y Bei Rottion um die y-achse mit der Mntellinie y = f(x) ist für die Integrtion die Umkehrfunktion x = g(y) erforderlich. d V y = π g (y) dy c 7

8 7 Fourierreihen 7. Drstellung periodischer Funktionen durch Fourierreihen 7.. Definition und Konvergenz von Fourierreihen Ist x(t) periodisch und erfüllt die Dirichletschen Bedingungen, so gilt: x(t) = 0 + ( n cos nω 0 t + b n sin nω 0 t) ; ω 0 = π n= mit den reellen Fourierkoeffizienten 0 = n = b n = x(t) dt x(t) cos nω 0 t dt ; n x(t) sin nω 0 t dt ; n 7..3 Komplexe Drstellung komplexe Drstellung der Fourierreihe x(t) = + n= c n e jnω 0t c 0 = 0 reell ( n jb n ) : n c n = ( n + jb n ) : n c n = c n konjugiert komplex Berechnung der c n durch Integrtion über x(t) c n = x(t) e jnω0t dt für lle n Z 0 = c 0 ; n = Re c n ; b n = Im c n ; n 8

9 7..4 Symmetrieeigenschften gerde Funktionen x( t) = x(t) n = 4 c n = 0 b n = 0 ; n n : n 0 x(t) cos nω 0 t dt ; n 0 n : n < 0 reell ungerde Funktionen x( t) = x(t) n = 0 ; n 0 b n = 4 0 x(t) sin nω 0 t dt ; n c 0 = 0 j b n : n > 0 c n = +j b n : n < 0 weitere Symmetrien Siehe Bronstein, Seite 47. 9

10 Differentilgleichungen (DGL) 8. Lösungmethoden gewöhnlicher DGL ) Integrtion durch rennung der Vriblen Nur bei speziellen DGL nwendbr. I) rennung der Vriblen II) Unbestimmte Integrtion III) Auflösen nch y ) Integrtion durch Substitution Einführen einer Hilfsfunktion u(x) = f ( x, y(x) ). Einsetzen von u (x) für y sowie u(x) erlubt in Spezilfällen die rennung der Vriblen. Jede DGL des yps y = f(x + by + c) knn mit der Substitution u = x + by + c (= y ) berbeitet werden. Im Sonderfll y =u gilt y = u b. DGL des yps y = f ( y ) x lssen sich mit der Substitution u(x) = y x berbeiten. Für den Sonderfll y =u gilt y = u x + u, dbei wird y = ux gesetzt ) Integrtion inhomogener linerer DGL durch Vrition der Konstnten ypische Anwendung bei DGL. Ordnung: y + P (x)y = Q(x). y = e [ P (x) c + Q(x) e + ] P (x) 8.3 Linere DGL mit konstnten Koeefizienten 8.3. Lösung des homogenen Flls Normlform der homogenen DGL n-ter Ordnung: y (n) + y (n ) + y (n ) + + n y + n y = 0 Allgemeines Verfhren: I) Lösen der chrkteristischen Gleichung r n + r n + r n + + n r + n = 0 II) Ordnen der Nullstellen r i (reelle und konjugiert komplexe) nch ihrer Vielfchheit. III) Aufstellen der Gesmtlösung ls Linerkombintion der Einzellösungen für jede Nullstelle r i. einfche Nullstelle r i : Einzellösung c i e r ix m-fche Nullstelle r i (m ) : Einzellösung ( c i, + c i, x + + c i,m x m ) e r ix Gesmtlösung: Summe ller Einzellösungen. c i und c i,m sind willkürliche Konstnten. 0

11 Lösung des inhomogenen Flls Normlform der inhomogenen DGL n-ter Ordnung: y (n) + y (n ) + y (n ) + + n y + n y = g(x) Überlgerungsstz (Superpositionsstz): Es sei y p (x) eine spezielle Lösung (prtikuläre Lösung) der inhomogen DGL. Dnn erhält mn die llgemeine (vollständige) Lösung mit y(x) = y p (x) + y h (x), wobei y h (x) die llgemeine Lösung der homogenen DGL ist. Es gibt kein llgemeines Verfhren für die Berechnung einer prtikulären Lösung. Stttdessen ist ein Anstz zu wählen. Der Anstz für eine prtikuläre Lösung sollte vom Funktionstyp sein, den die Inhomogenität drstellt. ) g(x) = c = const : Anstz y p = k = const n k = c k = c n b) g(x) = Polynom vom Grd n Anstz: y p = c 0 + c x + c x + + c n x n c) g(x) = hrmonische Funktion (sin, cos) Anstz: y p = c cos(kx + c ), c, c, k = const oder y p = cos kx + b sin kx,, b, k = const k wird zweckmäßigerweise entsprechend dem sin kx bzw. cos kx der Inhomogenität gewählt. d) g(x) = Exponentilfunktion Anstz: y p = c e kx, c, k = const eventuell erweiterter Anstz: y p = (c 0 + c x + c x + + c n x n ) e kx k wird zweckmäßigerweise entsprechend dem e kx der Inhomogenität gewählt. Für den llgemeinsten Anstz wird k komplex. Ist k eine m-fche Nullstelle r i des chrkteristischen Polynoms, so wird der Anstz y p = cx m e kx empfohlen. Zur Anstzwhl siehe uch Ppul Bnd, Seiten 464, 49 f. und 549. fsnbrb, 9. Juni 00