Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung

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1 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung Eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung hat folgende Gestalt: +f() = r(). Dabei sind f() und r() gewisse, nur von abhängige Funktionen. Wichtig: sowohl als auch dürfen nur linear vorkommen, das heißt Ausdrücke wie 2, e, aber auch dürfen nicht auftreten. Ist r() = 0, dann spricht man von einer homogenen linearen Differentialgleichung 1. Ordnung, andernfalls von einer inhomogenen. Die allgemeine Lösung einer linearen Differentialgleichung 1. Ordnung lässt sich durch das Abarbeiten der folgenden Schritte ermitteln. S1: Bestimme die allgemeine Lösung h () der zugehörigen homogenen Differentialgleichung +f() = 0. Dies geht stets durch Trennung der Variablen: = 0 oder = f() = f() = 0 oder ln = F()+C, C R = 0 oder = ±e C e F() h () = K e F(), K R. Dabei sei F eine Stammfunktion von f. Im letzten Schritt wurde K = ±e C gesetzt (bzw. K = 0 für die konstante Lösung h () = 0). Wenn die Differentialgleichung von vornherein homogen war, sind wir an dieser Stelle fertig. Sonst geht es weiter mit Schritt 2. S2: Bestimme eine partikuläre Lösung p () der Ausgangs-DGL (das heißt, irgendeine Lösung der Ausgangs-DGL). Das geht durch die Methode der Variation der Konstanten. Bei dieser sucht man nach einer partikulären Lösung, die die folgende Gestalt hat: p () = K() e F(), wobei K() ein von abhängiger und noch zu bestimmender Ausdruck ist. (Man geht also von der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung aus, lässt es aber zu, dass die Konstante K nun von abhängen darf.) Der Faktor K() ist so zu bestimmen, dass p () auch tatsächlich eine Lösung der Ausgangs-DGL ist. Leiten wir p () nachab, so ergibt sich (nach Produkt- und Kettenregel sowie unter Beachtung, dass F () = f() ist): p() = K () e F() +K() e F() ( f()). Setzen wir sowohl p als auch p in die Ausgangs-DGL ein, so heben sich, wie wir gleich sehen werden, alle Terme mit K() weg, sodass dann nur noch K () vorkommt: ()+f()() = r() K () e F() K() e F() f()+f() K() e F() = r() K () e F() = r() K() = r() e F(). 1

2 Zum Ermitteln der Funktion K() ist also noch ein Integral zu berechnen. Da es in diesem Schritt unser Ziel ist, nur eine einzige partikuläre Lösung auszurechnen, lässt man bei der Berechnung des Integrals die Integrationskonstante im Allgemeinen weg. Als partikuläre Lösung ergibt sich dann: mit unserem eben berechneten K(). p () = K() e F() S3: Die allgemeine Lösung der Ausgangs-DGL ergibt sich als Summe aus partikulärer Lösung und allgemeiner Lösung der homogenen Gleichung: () = p ()+ h () mit den in den Schritten S1 und S2 berechneten Funktionen h und p. Beispiele: (a) Zu bestimmen ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung 4 = 3 2 e 22. (1) Es handelt sich um eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung (mit f() = 4 und r() = 3 2 e 22 ). Zur Lösung der DGL arbeiten wir die oben beschriebenen Schritte nacheinander ab. S1: Wir bestimmen die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung Dazu ersetzen wir durch TdV 4 = 0. und trennen die Variablen: = 4 1 = 4 = 0 oder = 0 oder ln = 2 2 +C, C R = 0 oder = ±e C e 22 h () = Ke 22, K R. Im letzten Schritt wurde dabei K = ±e C gesetzt (bzw. K = 0 für die konstante Lösung h () = 0). S2: Wir suchen nach einer partikulären Lösung der Ausgangs-DGL (1) der Gestalt p () = K()e 22. Der AusdruckK() muss noch bestimmt werden. Dazu leiten wir p zunächst nach ab (Produkt- und Kettenregel beachten): p() = K ()e 22 +K() 4e 22. 2

3 Setzen wir p und p in die Ausgangsgleichung (1) ein, so ergibt sich: K ()e 22 +K() 4e 22 4 K()e 22 = 3 2 e 22 : e 22 K () = 3 2. Erwartungsgemäß heben sich alle Terme, in denen K() vorkommt, weg. Auf der linken Seite bleibt nur noch K () stehen und auf der rechten Seite ein Ausdruck, der nur von abhängt. K() selbst erhalten wir durch Integrieren der Gleichung, wobei wir die Integrationskonstante vernachlässigen, da wir an nur einer einzigen partikulären Lösung interessiert sind: ˆ K() = 3 2 = 3. Daraus folgt p () = K()e 22 = 3 e 22. S3: Die allgemeine Lösung von (1) ergibt sich als Summe von p und h : () = 3 e 22 +Ke 22 = ( 3 +K)e 22, K R. (b) Zu bestimmen ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung = Man könnte die Gleichung umstellen zu 1 = 0, woraus man erkennen kann, 2 +1 dass es eine lineare DGL 1. Ordnung ist (mit f() = 1 und r() = 0). Es handelt 2 +1 sich sogar um eine homogene Differentialgleichung. Wir brauchen also nur den Schritt S1 von unserem Lösungsalgorithmus ausführen. Wir bestimmen die allgemeine Lösung durch Trennung der Variablen: = 2 +1 TdV = 0 oder 1 = = 0 oder ln = arctan()+c, C R = 0 oder = ±e C e arctan() () = Ke arctan(), K R. Im letzten Schritt wurde dabei K = ±e C gesetzt (bzw. K = 0 für die konstante Lösung () = 0). (c) Gesucht ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung + = sin() (2) sowie diejenige Lösung, die zusätzlich der Anfangsbedingung (π) = 3 genügt. Wir bestimmen zunächst die allgemeine Lösung der Differentialgleichung. Es handelt sich um eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung (mit f() = 1 und r() = sin()). Zur Bestimmung ihrer allgemeinen Lösung arbeiten wir die oben beschriebenen Schritte nacheinander ab. 3

4 S1: Wir bestimmen die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung Dazu ersetzen wir durch TdV = 0 oder + = 0. und trennen die Variablen: = 1 = 1 = 0 oder ln = ln +C = ln( 1 )+C, C R = 0 oder = ±e C 1 h () = K 1, K R. Im letzten Schritt wurde dabei K = ±e C gesetzt (bzw. K = 0 für die konstante Lösung h () = 0). S2: Wir suchen nach einer partikulären Lösung der Ausgangs-DGL in (2) der Gestalt p () = K() 1. Der AusdruckK() muss noch bestimmt werden. Dazu leiten wir p zunächst nach ab (Produktregel beachten): p() = K () 1 ( +K() 1 ). 2 Setzen wir p und p in die Ausgangsgleichung (2) ein, so ergibt sich: K () +K() ( ) 1 1 K() = sin() K () = sin(). Erwartungsgemäß heben sich alle Terme, in denen K() vorkommt, weg. Auf der linken Seite bleibt nur noch K () stehen und auf der rechten Seite ein Ausdruck, der nur von abhängt. K() selbst erhalten wir durch Integrieren der Gleichung, wobei wir die Integrationskonstante vernachlässigen, da wir an nur einer einzigen partikulären Lösung interessiert sind. Das Integral kann mittels partieller Integration gelöst werden: ˆ ˆ K() = sin() = cos()+ cos() = cos()+sin(). Daraus folgt p () = K() 1 = cos()+ sin(). S3: Die allgemeine Lösung von (2) ergibt sich als Summe von p und h : () = cos()+ sin() + K, K R. 4

5 Neben der allgemeinen Lösung der DGL war noch nach derjenigen Lösung gefragt, die zusätzlich die Anfangsbedingung (π) = 3 erfüllt. Setzen wir = π in unsere allgemeine Lösung ein, erhalten wir (π) = cos(π)+ sin(π) π + K π = 1+ K π Die Lösung der Anfangswertaufgabe lautet somit! = 3 K = 2π. () = cos()+ sin() + 2π. 5

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