MafI 1 Repetitorium Übungen

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1 MafI 1 Repetitorium Übungen M. Sc. Dawid Kopetzki KW 17 ( ) M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 1 / 19

2 Intro Info zur ersten Abgabe Am von Uhr ist Fachschaftsvollversammlung Keine Lehrveranstaltung. Abgabe kann per Mail erfolgen. M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 2 / 19

3 Intro Themenübersicht Themen der heutigen Übung: Relationen... Äquivalenzrelationen Partitionen... und Funktionen Injektivität, Surjektivität, Bijektivität Funktionskomposition M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 3 / 19

4 Relationen Relation Eine Relation stellt Beziehungen zwischen Elementen von Mengen her: R A B mit (A B = df {(a, b) a A b B}) für Mengen A, B M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 4 / 19

5 Relationen Relation Eine Relation stellt Beziehungen zwischen Elementen von Mengen her: R A B mit (A B = df {(a, b) a A b B}) für Mengen A, B Beispiel: Kartesisches Produkt Sei A = {1, Telefon} und B = {2, Hund}, dann ist A B = M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 4 / 19

6 Relationen Relation Eine Relation stellt Beziehungen zwischen Elementen von Mengen her: R A B mit (A B = df {(a, b) a A b B}) für Mengen A, B Beispiel: Kartesisches Produkt Sei A = {1, Telefon} und B = {2, Hund}, dann ist A B = {(1, 2), (1, Hund), (Telefon, 2), (Telefon, Hund)} M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 4 / 19

7 Relationen Relation Eine Relation stellt Beziehungen zwischen Elementen von Mengen her: R A B mit (A B = df {(a, b) a A b B}) für Mengen A, B Beispiel: Relation A = {1, 2, 3}, R A A, mit (a, a ) R df a a R = M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 5 / 19

8 Relationen Relation Eine Relation stellt Beziehungen zwischen Elementen von Mengen her: R A B mit (A B = df {(a, b) a A b B}) für Mengen A, B Beispiel: Relation A = {1, 2, 3}, R A A, mit (a, a ) R df a a R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)} M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 5 / 19

9 Relationen Relation Eine Relation stellt Beziehungen zwischen Elementen von Mengen her: R A B mit (A B = df {(a, b) a A b B}) für Mengen A, B Beispiel: Relation A = {1, 2, 3}, R A A, mit (a, a ) R df a a R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)} A = {1, 4}, B = {2, 3}, R A B, mit (a, b) R df a b R = M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 5 / 19

10 Relationen Relation Eine Relation stellt Beziehungen zwischen Elementen von Mengen her: R A B mit (A B = df {(a, b) a A b B}) für Mengen A, B Beispiel: Relation A = {1, 2, 3}, R A A, mit (a, a ) R df a a R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)} A = {1, 4}, B = {2, 3}, R A B, mit (a, b) R df a b R = {(1, 2), (1, 3)} M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 5 / 19

11 (Binäre) Produkt- und Umkehrrelation Produktrelation Seien R, R zwei Relationen mit R A B, R B C. Die Produktrelation ist deniert als: R R = df {(a, c) b B.(a, b) R (b, c) R } Beispiel: Produktrelation Seien A = {1, 2}, B = {3}, C = {2, 3, 4} Mengen M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 6 / 19

12 (Binäre) Produkt- und Umkehrrelation Produktrelation Seien R, R zwei Relationen mit R A B, R B C. Die Produktrelation ist deniert als: R R = df {(a, c) b B.(a, b) R (b, c) R } Beispiel: Produktrelation Seien A = {1, 2}, B = {3}, C = {2, 3, 4} Mengen und R A B, R B C Relationen M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 6 / 19

13 (Binäre) Produkt- und Umkehrrelation Produktrelation Seien R, R zwei Relationen mit R A B, R B C. Die Produktrelation ist deniert als: R R = df {(a, c) b B.(a, b) R (b, c) R } Beispiel: Produktrelation Seien A = {1, 2}, B = {3}, C = {2, 3, 4} Mengen und R A B, R B C Relationen, mit R =, R =. R R = M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 6 / 19

14 (Binäre) Produkt- und Umkehrrelation Produktrelation Seien R, R zwei Relationen mit R A B, R B C. Die Produktrelation ist deniert als: R R = df {(a, c) b B.(a, b) R (b, c) R } Beispiel: Produktrelation Seien A = {1, 2}, B = {3}, C = {2, 3, 4} Mengen und R A B, R B C Relationen, mit R =, R =. R R = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)} M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 6 / 19

15 (Binäre) Produkt- und Umkehrrelation Umkehrrelation Sei R eine Relationen mit R A B. Die Umkehrrelation ist deniert als: R 1 = df {(b, a) (a, b) R} M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 7 / 19

16 (Binäre) Produkt- und Umkehrrelation Umkehrrelation Sei R eine Relationen mit R A B. Die Umkehrrelation ist deniert als: Beispiel: Umkehrrelation R 1 = df {(b, a) (a, b) R} Seien A = {1, 2}, B = {3}, C = {2, 3, 4} Mengen und R A B, R B C Relationen, mit R =, R =. R R = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)} M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 7 / 19

17 (Binäre) Produkt- und Umkehrrelation Umkehrrelation Sei R eine Relationen mit R A B. Die Umkehrrelation ist deniert als: Beispiel: Umkehrrelation R 1 = df {(b, a) (a, b) R} Seien A = {1, 2}, B = {3}, C = {2, 3, 4} Mengen und R A B, R B C Relationen, mit R =, R =. R R = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)} (R R ) 1 = M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 7 / 19

18 (Binäre) Produkt- und Umkehrrelation Umkehrrelation Sei R eine Relationen mit R A B. Die Umkehrrelation ist deniert als: Beispiel: Umkehrrelation R 1 = df {(b, a) (a, b) R} Seien A = {1, 2}, B = {3}, C = {2, 3, 4} Mengen und R A B, R B C Relationen, mit R =, R =. R R = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)} (R R ) 1 = {(2, 1), (3, 1), (2, 2), (3, 2)} M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 7 / 19

19 Äquivalenzrelationen Äquivalenzrelation Eine binäre homogene Relation M M auf einer beliebigen Menge M heiÿt Äquivalenzrelation gdw. 1 ist reexiv, d.h. x M.x x. 2 ist transitiv, d.h. x, y, z M.(x y y z) x z. 3 ist symmetrisch, d.h. x, y M.x y y x. M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 8 / 19

20 Äquivalenzrelationen Äquivalenzrelation Eine binäre homogene Relation M M auf einer beliebigen Menge M heiÿt Äquivalenzrelation gdw. 1 ist reexiv, d.h. x M.x x. 2 ist transitiv, d.h. x, y, z M.(x y y z) x z. 3 ist symmetrisch, d.h. x, y M.x y y x. Äquivalenzrelation Sei z Z und z Z Z deniert durch: x z y df z (x y). Zeigen Sie, dass z eine Äquivalenzrelation ist. M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 8 / 19

21 Äquivalenzklassen Äquivalenzrelation Sei A eine Menge und A A eine Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklassen bezüglich der Relation über der Menge A ist deniert durch [a] = df {a A a a } Beispiel: Äquivalenzklasse Sei z Z und z Z Z deniert durch: x z y df z (x y) [23] 3 = {y Z 3 (23 y)} [23] 3 = M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 9 / 19

22 Äquivalenzklassen Äquivalenzrelation Sei A eine Menge und A A eine Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklassen bezüglich der Relation über der Menge A ist deniert durch [a] = df {a A a a } Beispiel: Äquivalenzklasse Sei z Z und z Z Z deniert durch: x z y df z (x y) [23] 3 = {y Z 3 (23 y)} [23] 3 = { 4, 1, 2, 5, 8,...} M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 9 / 19

23 Partitionen und Äquivalenzrelationen Partition einer Menge M Sei M eine Menge, dann ist P P(M) eine Partition von M genau dann wenn gilt: P M = M M P M 1, M 2 P.M 1 M 2 M 1 M 2 = Beispiel: Partition? Sei M = {1, 2, 3} Ist P Partition, mit... P = {{1, 2}, {2, 3}} M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 10 / 19

24 Partitionen und Äquivalenzrelationen Partition einer Menge M Sei M eine Menge, dann ist P P(M) eine Partition von M genau dann wenn gilt: P M = M M P M 1, M 2 P.M 1 M 2 M 1 M 2 = Beispiel: Partition? Sei M = {1, 2, 3} Ist P Partition, mit... P = {{1, 2}, {2, 3}} (Nicht disjunkt) P = {{1}, {2}} M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 10 / 19

25 Partitionen und Äquivalenzrelationen Partition einer Menge M Sei M eine Menge, dann ist P P(M) eine Partition von M genau dann wenn gilt: P M = M M P M 1, M 2 P.M 1 M 2 M 1 M 2 = Beispiel: Partition? Sei M = {1, 2, 3} Ist P Partition, mit... P = {{1, 2}, {2, 3}} (Nicht disjunkt) P = {{1}, {2}} (Nicht überdeckend) P = {{1}, {2, 3}} M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 10 / 19

26 Partitionen und Äquivalenzrelationen Partition einer Menge M Sei M eine Menge, dann ist P P(M) eine Partition von M genau dann wenn gilt: P M = M M P M 1, M 2 P.M 1 M 2 M 1 M 2 = Beispiel: Partition? Sei M = {1, 2, 3} Ist P Partition, mit... P = {{1, 2}, {2, 3}} (Nicht disjunkt) P = {{1}, {2}} (Nicht überdeckend) P = {{1}, {2, 3}} M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 10 / 19

27 Partitionen und Äquivalenzrelationen Durch ÄR induzierte Partition Sei : A A eine Äquivalenzrelation auf A, dann bildet die Menge aller Äquivalenzklassen eine Partition A/ = df {[a] a A} Durch Partition induzierte ÄR Sei P P(A) eine Partition auf der Menge A, dann ist P = df {(a 1, a 2 ) A A A P.a 1, a 2 A } M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 11 / 19

28 Äquivalenzrelationen und Funktionen Äquivalenzrelationen und Funktionen Sei f : A B eine Funktion und f Äquivalenzrelation über A, dann gilt a 1 f a 2 df f (a 1 ) = f (a 2 ) Urbildpartition Sei f : A B eine Funktion und f Äquivalenzrelation über A, dann ist die durch f induzierte Urbildpartition {f 1 (b) b f (A)} M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 12 / 19

29 Partitionen und Äquivalenzrelationen Äquivalenzrelationen/Funktionen/Urbildpartition Sei f : A B eine Funktion und f Äquivalenzrelation über A, dann gilt a 1 f a 2 df f (a 1 ) = f (a 2 ) Urbildpartition: {f 1 (b) b f (A)} Urbildpartition, Äquivalenzrelation Betrachten sie die Funktion f : {1, 2, 3, 4, 5, 6} N, deniert durch f (x) = df x 2 mod 5. 1 Geben Sie die Urbildpartition P zu f an. 2 Geben Sie die durch P induzierte Äquivalenzrelation an. M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 13 / 19

30 Kleinste enthaltende Äquivalenzrelationen Urbildpartition, Äquivalenzrelation Sei M = df {1, 2, 3, 4, 5}. Betrachten Sie die Relation R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 5), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} M M. 1 Geben Sie die kleinste Äquivalenzrelation R auf M an, die R enthält. 2 Sei S M M eine beliebige Relation. Ist es immer möglich, S zu einer Äquivalenzrelation durch Hinzufügen von Elementen zu ergänzen? M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 14 / 19

31 Funktionen Injektivität, Surjektivität, Bijektivität Denitionen f : A B ist injektiv gdw. a 1, a 2, A.a 1 a 2 f (a 1 ) f (a 2 ) f : A B ist surjektiv gdw. b B. a A.f (a) = b f : A B ist bijektiv gdw. f ist injektiv und f ist surjektiv. M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 15 / 19

32 Funktionen Injektivität, Surjektivität, Bijektivität f 1 : Z Z, f 1 (z) = df 3z 1 f 2 : Z Z, f 2 (z) = df 3z 2 1 f 3 : Q Q, f 3 (q) = df 3q 1 Denitionen f : A B ist injektiv gdw. f : A B ist surjektiv gdw. a 1, a 2, A.a 1 a 2 f (a 1 ) f (a 2 ) b B. a A.f (a) = b f : A B ist bijektiv gdw. f ist injektiv und f ist surjektiv. M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 16 / 19

33 Funktionen Injektivität, Surjektivität Injektivität und Surjektivität Zeigen Sie, dass f : N N N mit f ((n, m)) = df n + m surjektiv, aber nicht injektiv ist. M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 17 / 19

34 Funktionen Injektivität, Surjektivität, Bijektivität Injektivität, Surjektivität und Bijektivität Sei f : A B eine injektive Funktion, und sei g : B C eine surjektive Funktion. Beweisen oder widerlegen Sie: g f : A C (Erinnerung: (g f )(a) = g(f (a))) ist bijektiv. M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 18 / 19

35 Funktionen Zusatzaufgaben Sei : (Z Z \ {0}) (Z Z \ {0}), mit (a, b) (c, d) df a d = b c. Zeigen Sie: ist eine Äquivalenzrelation Sei P = df {{1, 2}, {3, 4, 5}, {6}} eine Partition von {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Geben Sie die durch P implizierte Äquivalenzrelation an. Ist die Funktion f : R R \ {0} R R, mit f (x, y) = df (x y, x y ) injektiv und/oder surjektiv M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 19 / 19