z = c T x : Ax = b, x 0 }, - die Darstellung der Nichtbasisvektoren durch die Basis ist

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1 Kapitel 5 Die Simplexmethode Es werden folgende Bezeichnungen verwendet: - das untersuchte Problem ist min x R n { z = c T x : Ax = b, x 0 }, - die erste zulässige Basislösung sei x = x 1, x 2,, x m, 0,, 0 T, x 0, mit z 0 = c T x, - die Basisvektoren sind A B = a 1,, a m, - die Nichtbasisvektoren sind A N = a m+1,, a n, - die Darstellung der Nichtbasisvektoren durch die Basis ist - die Hilfsgrößen z j sind a j = x 1j a x mj a m, j = m + 1,, n, z j = c 1 x 1j + c 2 x 2j + + c m x mj, j = m + 1,, n Diese Größen werden in der sogenannten Simplextabelle eingetragen: m + 1 m + 2 k n i c i x i c m+1 c m+2 c k c n 1 c 1 x 1 x 1,m+1 x 1,m+2 x 1,k x 1,n 2 c 2 x 2 x 2,m+1 x 2,m+2 x 2,k x 2,n l c l x l x l,m+1 x l,m+2 x l,k x l,n m c m x m x m,m+1 x m,m+2 x m,k x m,n z 0 z m+1 c m+1 z m+2 c m+2 z k c k z n c n Basisteil Nichtbasisteil Bei der Simplexmethode folgt man jetzt im wesentlichen dem Beweis des Hauptsatzes Sei z k c k > 0 Gilt für mehrere Indizes j {m+1,, n}, dass z j c j > 0, so nehme man zum Beispiel einen Index, bei dem die Differenz maximal ist z k c k := max z j c j j=m+1,,n, Dann liegt x k als Nichtbasisvariable vor, die in die Basis soll Nun bestimmt man θ = das heißt, x l soll aus der Basis raus min i=1,,m,x ik >0 x i x ik =: x l, 23

2 Definition 51 Hauptspalte, Hauptzeile, Hauptelement, Pivotelement Die Spalte k nennt man Hauptspalte, die Zeile l heißt Hauptzeile und das Element heißt Hauptelement oder Pivotelement Die neue Basislösung sei ˆx 1,, ˆx l 1, ˆx k, ˆx l+1,, ˆx m, 0,, 0 T 51 Nun müssen die Elemente der neuen Simplextabelle bestimmt werden: 1 Man benötigt insbesondere eine Darstellung von 51 Aus 49 erhält man 2 Aus 43 folgt für j = k ˆx i = x i x l x ik, i = 1,, m; i l; ˆx k = x l 52 a l = 1 a k x 1k a 1 x l 1,k a l 1 x l+1,k a l+1 x mk a m = x 1k a 1 x l 1,k a l 1 + a k x l+1,k a l+1 x mk a m 53 Damit haben wir eine Darstellung des neuen Nichtbasisvektors a l durch die neue Basis und die neuen Elemente der alten Hauptspalte sind ˆx kl = 1, ˆx il = x ik, i = 1,, m, i k 54 3 Für den Rest erhält man, beispielhaft an a n gezeigt, die folgende Darstellung, wobei man in der ersten Gleichung die alte Basisdarstellung 43 nutzt: a n = x 1n a x l 1,n a l 1 + x l+1,n a l x mn a n + x ln a l }{{} = x 1n x 1kx ln + + a x mn x mkx ln a m x l 1,n x l 1,kx ln 53 a l 1 + x ln a k Man erhält also die folgenden Koeffizienten für die neue Basisdarstellung ˆx kj = x lj, j = m + 1,, n, j k, 55 ˆx ij = x ij x lj x ik, x }{{} lk ˆx kj i = 1,, m, i k, j = m + 1,, n, j l56 4 Die Elemente z 0, z m+1 c m+1,, z n c n transformieren sich ebenfalls nach den obigen Regeln Übungsaufgabe Damit sind alle Elemente der neuen Simplextabelle berechnet Zur Berechnung von ˆx ij benötigt man die im Rechteck angeordneten Elemente x ij, x lj, und x ik der alten Simplextabelle Deshalb spricht man auch von der Rechteckregel Die Basisform der Simplexmethode ist wie folgt: 24

3 1 Normalform des linearen Programms herstellen 2 Erste zulässige Basislösung angeben 3 Simplextabelle zu dieser Basislösung erstellen 4 Existieren Bewertungen z j c j > 0? Wenn ja, gehe zu 6 5 Sind alle Bewertungen z j c j < 0? - Wenn ja, einzige Optimallösung gefunden, Simplexmethode beendet - Wenn nicht, dann gibt es außer negativen Bewertungen z j c j nur noch verschwindende Das Optimum nicht eindeutig Man hat ein Optimum gefunden, beende Simplexmethode 6 Wähle die Hauptspalte, also die Spalte, zu der das größte z j c j > 0, j = k gehört 7 Falls x ik 0 für alle i = 1,, m, so ist die Zielfunktion nach unten nicht beschränkt, beende Simplexmethode 8 Bestimme θ zur Festlegung der Hauptzeile und des Pivotelements 9 Basistransformation: 91 Ersetze das Pivotelement durch seinen Kehrwert, siehe Multipliziere die übrigen Elemente der Hauptzeile mit diesem Kehrwert, einschließlich x l, siehe 52 und Multipliziere die übrigen Elemente der Hauptspalte mit dem negativen Kehrwert, siehe Vermindere die nicht in einer Hauptreihe stehenden Elemente, einschließlich der übrigen Werte von x i und der letzten Zeile, um das Produkt der zugehörigen Hauptreihenelemente Rechteckregel Dabei nimmt man für das Pivotelement schon den neuen Wert und für die übrigen Elemente die alten Werte, siehe 52 und Gehe zu 4 Beispiel 52 Wir betrachten das lineare Programm z = 3x 1 2x 2 4x 3 x 4 min! x x 2 x x 4 = x x 6 x 7 x 0 Bekannt sei eine erste zulässige Basislösung x 1 = 350, x 4 = 25, x 7 = 100, die den Zielfunktionswert z = 1075 besitzt Die Basisvektoren sind demzufolge a 1 = 2 1 1, a 4 = 0 2 2, a 7 = Gesucht ist nun die Darstellung der Nichtbasisvektoren durch die Basisvektoren Setze A B = a 1, a 4, a 7 und A N = a 2, a 3, a 5, a 6 Dann ist die Matrix X der Simplexkoeffizienten gesucht, für die gilt Man erhält hier A N = A B X = X = A 1 B A N X = 1 3/2 1/ /4 1/4 1/

4 Daraus ergibt sich und somit z 2 = c 1 x 12 + c 4 x 42 + c 7 x 72 = = 4, z 3 = 9/2 + 3/4 + 0 = 15/4, z 5 = 3/2 + 1/4 + 0 = 5/4, z 6 = 0 1/2 + 0 = 1/2 z 2 c 2 = 2, z 3 c 3 = 1/4, z 5 c 5 = 5/4, z 6 c 6 = 1/2 Damit erhält man folgende Simplextabelle: i c i x i /2 1/ /4-1/4 1/ /4-5/4-1/2 Es gibt nur einen Index k mit z k c k > 0, nämlich k = 3 Damit ist die Hauptspalte bestimmt Schritt 6 Zur Bestimmung der Hauptzeile Schritt 8 berechnet man θ: { xi 350 θ = min = min x i3>0,i {1,4,7} 3/2, 100 } = 20 5 x i3 für i = 7 Damit ist der Hauptzeilenindex l = 7 und das Pivotelement x 73 = 5 Nun führt man die Basistransformation aus Schritt 9: i c i x i /5-3/10 1/2 3/ /10 3/20-1/4 7/ /5 1/5 0-1/ /10-1/20-5/4-9/20 Den neuen Wert für x 1 erhält man beispielsweise aus x 1 = = = Da in der neuen Simplextabelle alle Werte z j c j < 0, j {2, 5, 6, 7}, hat man die einzige Optimallösung bestimme: x = 320, 0, 20, 40, 0, 0, 0 T Bemerkung 53 Angenommen, man hat in einer Simplextabelle mehrere z j c j > 0 Zu einer dieser Spalten mögen nur Koeffizienten x ij 0 gehören Dann ist die Zielfunktion unbeschränkt Beispiel 54 Zur Ausartung Wir betrachten das lineare Programm z = x 1 min! x 1 x 2 1 x 3 = 4 x 4 x 0 26

5 Eine zulässige Basislösung, die gleichzeitig ein Optimum ist, ist x = 1, 0, 0, 0 T Wir nehmen als Basisvariablen x 1 und x 2 Da x 2 verschwindet, ist die Basislösung ausgeartet Man hat A B = und erhält die Simplextabelle , A N = i c i x i /3 1/ /3-1/3-1 1/3-1/3 Die Simplexmethode sagt uns an dieser Stelle nicht, dass das Optimum bereits erreicht ist! Gemäß Simplexmethode muss x 3 in die Basis anstelle von x 2 eingeführt werden Man erhält die Simplextabelle 2 4 i c i x i /4 1/ /4-1/4-1 -1/4-1/4 Damit ist das Optimalitätskriterium der Simplexmethode erfüllt und diese wird beendet Man hat für das Optimum x = 1, 0, 0, 0 T mit diesen beiden Simplextabellen zwei unterschiedliche Basisdarstellungen Der Zielfunktionswert hat sich im Simplexschritt nicht verändert, es wurde lediglich die Basis gewechselt 27