Minimumproblem. Definition 4.7. Ein LP der Form. unter den Nebenbedingungen. d ij x j b i (i =1,...,m)

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1 Minimumproblem Definition 4.7 Ein LP der Form nx Minimiere Z = c j x j j=1 unter den Nebenbedingungen nx d ij x j b i (i =1,...,m) j=1 und den Vorzeichenbedingungen x j 0(j =1,...,n) heißt Minimumproblem. Kompakt: min Z = c T x u.d.n. Dx b, x 0 Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

2 Simplextableau für Minimumproblem Für die Anwendung des Simplexalgorithmus benötigen wir ein Maximumproblem in kanonischer Form. Wir können die Zielfunktion umformen zu max z := Z = c T x und die Nebenbedingungen zu Dx apple b, x 0. Problem: Wenn vorher b 0 galt, dann ist die Basislösung des Starttableaus nicht zulässig. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

3 Mit A := D entsteht das Starttableau Der Vektor x = BV x 1 x n x n+1 x n+m z b x n+1 a 1,1 a 1,n b x n+m a m,1 a m,n b m z c 1 c n b 1. b m 1 2 R n+m ist damit zwar eine Basislösung, aber C A keine zulässige Basislösung und somit auch keine Ecke von X. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

4 Dual zulässiges Tableau Definition 4.8 Ein Tableau der Form von Folie 215 mit c 0 heißt dual zulässig. Die zugehörige Basislösung ist eine dual zulässige Basislösung. Bemerkung: Wegen c 0 erfüllt ein dual zulässiges Tableau die Optimalitätsbedingung des Simplexalgorithmus. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

5 Grundidee des dualen Simplexalgorithmus Idee: Durch Pivotieren unter Wahrung der dualen Zulässigkeit (c 0) in Richtung primaler Zulässigkeit gehen. Wenn wir b 0 erreichen, dann haben wir eine zulässige Basislösung und damit eine Ecke. Wegen c 0 ist diese Ecke dann sogar eine optimale Lösung! Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

6 Dualer Simplex: Wahl der Pivotzeile und -spalte Wir wählen als erstes die Pivotzeile s durch b s (r) =min{ b (r) i b (r) i < 0, i =1,...,m} Anschließend die Pivotspalte t durch 8 c (r) < t a (r) =min : s,t c (r) j a (r) s,j 9 = s,j < 0 ; a (r) Damit ist das gewählte Pivotelement stets negativ. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

7 Satz 4.9 Das r-te Tableau sei dual zulässig. Wählen wir Pivotzeile und Pivotspalte gemäß Folie 218 und führen einen Basiswechsel gemäß Algorithmus 4.4 durch, dann ist das (r + 1)-te Tableau wieder dual zulässig und für den Zielfunktionswert gilt z (r+1) apple z (r). Bemerkungen: Der Basiswechsel im dualen Simplexalgorithmus wird als dualer Austauschschritt bezeichnet. Beim dualen Simplexalgorithmus wird nun solange ein dualer Austauschschritt durchgeführt, bis das Tableau auch primal zulässig ist, also b 0 gilt. Ein Tableau ist immer genau dann optimal, wenn es primal und dual zulässig ist. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

8 Beispiel zum dualen Simplexalgorithmus Beispiel 4.10 Gegeben sei das LP unter den Nebenbedingungen min Z = x 1 + x 2 x 1 2x 2 1 x 1 + 2x 2 4 x 1 + x 2 2 x 1, x 2 0 Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

9 Fortsetzung Beispiel Umformung ergibt unter den Nebenbedingungen Simplex-Verfahren max z = Z = x 1 x 2 x 1 + 2x 2 apple 1 x 1 2x 2 apple 4 x 1 x 2 apple 2 x 1, x 2 0 Starttableau: BV x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 z b x x x z Pivotzeile: x 4, Pivotspalte: x 2, Pivotelement: 2 Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

10 Fortsetzung Beispiel Tableau: BV x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 z b x x 2 1/ / x 5 1/ / z 1/ / Pivotzeile: x 3, Pivotspalte: x 1, Pivotelement: 2 3. Tableau: BV x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 z b x /2 1/ /2 x /4 1/ /4 x /4 3/ /4 z 0 0 1/4 3/ /4 Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

11 Fortsetzung Beispiel Lösung: x 1 = 5 2, x 2 = 3 4 Simplex-Verfahren mit Z = z = Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

12 Primal-dualer Simplexalgorithmus Primaler und dualer Simplexalgorithmus sind nicht nur zwei alternative Verfahren. Ein großer Vorteil ergibt sich beim Zusammenspiel der beiden Varianten. Wenn eine Basislösung nicht primal aber dual zulässig ist, können wir durch duale Austauschschritte zu einer primal zulässigen Lösung kommen. Beispielanwendung: Nachträgliches Hinzufügen von Nebenbedingungen bzw. Variablen Dies nutzen wir später bei Schnittebenenverfahren bzw. großen Problemen in der ganzzahligen Programmierung. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

13 Beispiel: nachträglich Nebenbedingung hinzufügen Beispiel 4.11 Wir wollen zunächst das folgende LP lösen: max 2x 1 +3x 2 unter den Neben- und Vorzeichenbedingungen 2x 1 + x 2 apple 10 x 2 apple 3 x 1, x 2 0 Starttableau für primalen Simplexalgorithmus: x 1 x 2 x 3 x 4 b x x z Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

14 Fortsetzung Beispiel. Nach erstem primalen Austauschschritt: x 1 x 2 x 3 x 4 b x x z Nach zweitem primalen Austauschschritt: x 1 x 2 x 3 x 4 b x /2 1/2 7/2 x z Zunächst optimale Lösung x =(7/2, 3). Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

15 Fortsetzung Beispiel. Simplex-Verfahren Jetzt führen wir die zusätzliche Nebenbedingung x 1 +2x 2 apple 8 ein, die von x nicht erfüllt wird. Mit zusätzlicher Schlupfvariable x 5 0 entsteht die Gleichung x 1 +2x 2 + x 5 =8. Wir drücken nun die Basisvariablen x 1 und x 2 durch Nichtbasisvariablen aus: x x x 4 = 7 2 ) x 1 = 1 2 x x x 2 + x 4 =3 ) x 2 = x 4 +3 Damit ergibt sich für die zusätzliche Nebenbedingung x 1 +2x 2 + x 5 =8, 1 2 x x 4 + x 5 = 3 2. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

16 Fortsetzung Beispiel. Das erweiterte Simplextableau lautet damit x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x /2 1/2 0 7/2 x x /2 3/2 1 3/2 z Dieses Tableau ist nicht primal aber dual zulässig. Ein dualer Austauschschritt liefert die optimale Lösung für das erweiterte LP: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x /3 0 1/3 4 x /3 0 2/3 2 x /3 1 2/3 1 z 0 0 1/3 0 4/3 14 Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

17 Beispiel: nachträglich Variable hinzufügen Beispiel 4.12 Wir wollen zunächst das folgende LP lösen: min 10x 1 +3x 2 unter den Neben- und Vorzeichenbedingungen 2x 1 2 x 1 + x 2 3 x 1, x 2 0 Starttableau für dualen Simplexalgorithmus: x 1 x 2 x 3 x 4 b x (I ) x (II) z (III) Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

18 Fortsetzung Beispiel. Operationen (II) =(II) ( 1) und (III) =(III) 3 (II) ergeben: x 1 x 2 x 3 x 4 b x (I ) x (II) z (III) Operationen (I )=(I) ( 1/2), (II) =(II) (I )und(iii) =(III) 7 (I ) ergeben: x 1 x 2 x 3 x 4 b x /2 0 1 x /2 1 2 z 0 0 7/ Zunächst optimale Lösung x =(1, 2). Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

19 Fortsetzung Beispiel. Jetzt erweitern wir das ursprüngliche LP um eine Variable x 5 : min 10x 1 +3x 2 +8x 5 unter den Neben- und Vorzeichenbedingungen 2x 1 + x 5 2 x 1 + x 2 + 2x 5 3 x 1, x 2 0 x 5 1 Auf die neue ursprüngliche Tableauspalte wenden wir die gleichen 2 8 Operationen an, wie auf das ursprüngliche Tableau. Dies entspricht der Multiplikation mit den angewendeten Elementarmatrizen. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

20 Fortsetzung Beispiel. So entsteht das um die Variable x 5 erweiterte Tableau x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x /2 0 1/2 1 x /2 1 3/2 2 z 0 0 7/2 3 3/2 16 Dieses Tableau ist nicht dual aber primal zulässig. Ein primaler Austausschritt liefert die optimale Lösung für das erweiterte LP: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x 1 1 1/3 1/3 1/3 1/2 1/3 x 5 0 2/3 1/3 2/3 1 4/3 z Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

21 Fortsetzung Beispiel. Die Matrix zur Transformation des Starttableaus in das zunächst optimale lautet B A Herleitung Übungsaufgabe.. Probe: B 1 C C A = C A Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

22 Vermeidung von Zyklen Zyklen im Simplexalgorithmus Bisher haben wir nicht spezifiziert, welche Spalte beim primaler Simplexalgorithmus Pivotzeile werden soll. Eine übliche Wahl für die Pivotspalte s: c s =min{c j c j < 0} Bei entarteten Basislösungen ist damit aber nicht garantiert, dass der Simplexalgorithmus terminiert. Prinzipiell möglich, wenn auch unwahrscheinlich: Es treten zyklisch immer wieder die gleichen Basislösungen auf. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

23 Beispiel 4.13 Simplex-Verfahren Vermeidung von Zyklen unter den Nebenbedingungen Starttableau: max z = 10x 1 57x 2 9x 3 24x 4 0.5x 1 5.5x 2 2.5x 3 +9x 4 apple 0 0.5x 1 1.5x 2 0.5x 3 +x 4 apple 0 x 1 apple 1 x 1, x 2, x 3, x 4 0 BV x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 z b x x x z Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

24 Vermeidung von Zyklen Fortsetzung Beispiel Für Starttableau: Pivotspalte: x 1, Pivotzeile: x 5 Daraus können nun die nachfolgenden Basislösungen entstehen: Tafel. BV (2) = {x 1, x 6, x 7 }, Pivotspalte: x 2, Pivotzeile: x 6 BV (3) = {x 1, x 2, x 7 }, Pivotspalte: x 3, Pivotzeile: x 1 BV (4) = {x 2, x 3, x 7 }, Pivotspalte: x 4, Pivotzeile: x 2 BV (5) = {x 3, x 4, x 7 }, Pivotspalte: x 5, Pivotzeile: x 5 BV (6) = {x 4, x 5, x 7 }, Pivotspalte: x 6, Pivotzeile: x 4 BV (7) = {x 5, x 6, x 7 } Damit haben wir jetzt wieder das gleiche Tableau wie zu Beginn. Der Simplexalgorithmus würde nicht terminieren. Alle Basislösungen beschreiben die gleiche Ecke! Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

25 Vermeidung von Zyklen Maßnahmen zur Vermeidung von Zyklen Maßnahmen sind nur dann notwendig, wenn wir nicht zu einer neuen Ecke kommen. Protokollierung der Indexmenge der Basisvariablen. Tritt die gleiche Basislösung wieder auf, führen wir ein Backtracking durch, d.h. wählen eine andere Möglichkeit für die Pivotzeile oder -spalte. Die Bland sche Anti-Zyklusregel garantiert Zyklenfreiheit: Wähle bei jedem Basiswechsel für die Pivotspalte und die Pivotzeile den jeweils kleinstmöglichen Index. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

26 Vermeidung von Zyklen Beispiel 4.14 Das 6-te Tableau von Beispiel 4.13 lautet: BV x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 z b x x x z Statt x 6 wählen wir x 1 als Pivotspalte und damit x 4 als Pivotzeile. Dann lautet das neue Tableau: BV x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 z b x x x z Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

27 Vermeidung von Zyklen Fortsetzung Beispiel Damit haben zwar keine neue Ecke, aber eine neue Basislösung. Nun wird x 3 die Pivotspalte und x 7 die Pivotzeile. Es entsteht: und damit ist das LP gelöst. BV x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 z b x x x z Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

28 Vermeidung von Zyklen Zusammenfassung Primaler Simplexalgorithmus für LPs in kanonischer Maximumsform. Start mit zulässiger Basislösung bzw. Ecke, pro Iteration ein Basisaustausch. Opportunitätskosten bzw. Schattenpreise bewerten die knappen Ressourcen. für Minimumsproblem. Dual zulässige Basislösungen sind i.a. keine Ecken. Optimale Lösung ist primal und dual zulässig. Zusammenspiel von primalen und dualen Austauschschritten bei zusätzlichen Nebenbedingungen oder Variablen. Vermeidung von Zyklen z.b. mit der Bland schen Anti-Zyklusregel. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298