Stoffdaten von Diphyl: λ = 0,083 W/(m K), c p = 2,57 kj/(kg K), η = 1, Pa s, ϱ = 717 kg/m 3

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1 Lösung /1 Gegeben: Rechteckkanal, von Diphyl durchströmt w = 0,2 m/s, t i = 400 o C Stoffdaten von Diphyl: λ = 0,083 /(m K), c p = 2,57 kj/(kg K), η = 1, Pa s, ϱ = 717 kg/m 3 Modellkanal im Maßstab 1:2 verkleinert und von asser durchströmt Gesucht: a) Bedingungen für Ähnlichkeit von Original- und Modellversuchen b) Zusammenhang zwischen α i und α i,m a) Original- und Modellvorgang sind einander dann ähnlich, wenn die dimensionslosen Kenngrößen, die den Vorgang bestimmen, übereinstimmen. Bei erzwungener Konvektion sind dies Re, P r und Nu. Re-Gleichheit Re O = Re M Mit w O d gl,o ν O = w M d gl,m ν M d gl,m = 0, 5 d gl,o und w O = w folgt w M = w d gl,o d gl,m P r-gleichheit ν M ν O = 2 ν M ν O w (1) P r O = P r M ( ) η cp P r M = λ O ( ) η cp = λ O ( ) η cp = λ M 1, Pa s 2, 57 kj kg K 0, 083 m K = 4, /2

2 Aus der Stoffdatentabelle für asser (Umdruck S.46) folgt 4.1/2 P r = 4, 35 bei t M = 40 o C = 40 o C aus- Die Modellversuche sind bei einer mittleren assertemperatur t M zuführen. Strömungsgeschwindigkeit im Modellversuch Stoffdaten von asser bei t M = 40 o C (Umdruck S.46): 6 m2 ν M = 0, s λ M = 0, 629 Aus (1) ergibt sich mit ν O = η/ϱ m K w M = 2 ϱ ν M η w = kg m2 0, m3 s 0, 2 m s 1, Pa s 1 Pa 1 kg m s 2 w M = 1, 343 m s b) Aus der Gleichheit der Nu-Zahlen Nu O = Nu M folgt α O d gl,o λ O = α M d gl,m λ M Für Diphyl beträgt damit der ärmeübergangskoeffizient α O = α i = d gl,m d gl,o λ α i,m = λ α i,m λ M 2 λ M 0, 083 α i = m K 2 0, 629 α i,m = 0, 0660 α i,m, m K d. h. 6,6 % des im Modellversuch mit asser ermittelten ertes α i,m.

3 Lösung /1 Gegeben: Senkrechte and H = 0,1 m, B = 1 m, t = 60 o C Fluid (Luft, asser, Öl) mit t F = 20 o C Öl: λ = 0,122 /(m K), ν = 8, m 2 /s, β = 0, K 1, P r = 126 Gesucht: Q infolge Konvektion für a) Luft b) asser c) Öl Übertragener ärmestrom bei Konvektion Q = α A (t t F ) = α B H (t t F ) ärmeübergangskoeffizient bei freier Konvektion charakteristische Abmessung Bezugstemperatur für Stoffwerte l = H t B = 0, 5 (t + t F ) = 40 o C Stoffwerte bei t B (Umdruck S.45 und 46 bzw. Aufgabenstellung) Luft asser Öl λ m 1 K 1 0, ,629 0,122 β 10 3 K 1 3,200 0,3890 0,7 ν 10 6 m 2 s 1 17,26 0,658 8,7 P r 0,7122 4, P r - 3,00 - ärmeübergangskoeffizient (Umdruck S.38) α = λ H Nu = λ H (0, 11 Ra1/3 + Ra 0,1 ) K T Rayleigh-Zahl Ra = g H 3 (t t F ) β P r ν 2 Korrekturfaktor für temperaturabhängige Stoffwerte K T = { 1 fuer Luft (P r/p r ) 0,25 fuer Fluessigkeiten 4.2/2

4 Ergebnisse 4.2/2 a) Luft β P r = 3, K 1 0, 7122 ν 2 17, m 4 s = 7, s m 4 K Ra = 9, 81 m s 0, 2 13 m 3 40 K 7, s 2 = 3, m K K T = 1 Nu = 0, 11 Ra 1/3 + Ra 0,1 = 20, 3118 α = 0, m K 0, 1 m Q = 5, 52 b) asser c) Öl 20, 3118 = 5, , 1 m2 40 K = 22, 1 β P r ν 2 = 0, K 1 4, 34 0, m 4 s 2 = 3, s 2 m 4 K Ra = 1, K T = ( ) 0,25 4, 34 = 1, , 0 Nu = 148, 103 α = 0, 629 m K 0, 1 m 148, 103 = 932 Q = 3, 73 k β P r ν 2 = 0, K , m 4 s 2 = 1, s 2 m 4 K Ra = 4, K T 1 (Annahme, da Stoffdaten lt. Aufgabenstellung etwa als konstant betrachtet werden) 4.2/3

5 Nu = 92, /3 α = 0, 122 m K 0, 1 m 92, 09 = 112, 4 Q = 449 Diskussion der Ergebnisse Der Zahlenwert von α wird durch die Größe von λ und β P r/ν 2 bestimmt. Der ärmeübergang an ein Gas ist deutlich schlechter als an eine Flüssigkeit, da Gase kleinere λ und - wegen kleinerer Dichte - größere kinematische Viskositäten ν = η/ϱ aufweisen. Bei den untersuchten Flüssigkeiten nimmt α für asser infolge der guten ärmeleitfähigkeit und der kleinen kinematischen Viskosität den größten ert an.

6 Lösung /1 Gegeben: elektrischer Plattenheizkörper, H = 0,6 m, B = 0,8 m, Q = 150 Raumluft t U = 20 o C Gesucht: andtemperatur t Der elektrische Plattenheizkörper gibt seine ärme durch freie Konvektion an die Raumluft ab. Strahlungsvorgänge sollen nicht berücksichtigt werden. Aus der Gleichung für die ärmeübertragung infolge Konvektion Q = α B H (t t U ) 2 ergibt sich die mittlere andtemperatur des Heizkörpers t = t U + Q α B H 2 Berechnung des ärmeübergangskoeffizienten bei freier Konvektion an einer senkrechten Platte charakteristische Abmessung l = H Bezugstemperatur für Stoffwerte t B = 0, 5 (t U + t ) 0, 5 ( ) = 40 o C (für die andtemperatur wurde t = 60 o C geschätzt) Stoffwerte für Luft (Umdruck S.45) β = 3, /K, ν = 17, m 2 /s, P r = 0, 7122, λ = 0, /(m K) Grashof-Zahl Gr = β g H3 (t t U ) ν 2 = = 9, Rayleigh-Zahl 3, K 9, 81 m s 2 0, 63 m 3 (60 20) K (17, ) 2 m 4 /s 2 = Ra = Gr P r = 9, , 7122 = 6, /2

7 Nußelt-Gleichung für freie Konvektion (Umdruck, S.38) 4.3/2 Nu = (0, 11 Ra 1/3 + Ra 0,1 ) K T = 102, 81 Bei Luft ist K T = 1 (K T Korrekturfaktor für temperaturabhängige Stoffwerte). ärmeübergangskoeffizient α = Nu λ H andtemperatur = 102, 81 0, /(m K) 0, 6 m = 4, 654 t = 20 o 150 C + = 53, 57 o C 4, 654 0, 8 m 0, 6 m 2 Da die berechnete andtemperatur von der angenommenen abweicht, wird die Rechnung nochmals wiederholt. Nochmalige Berechnung des ärmeübergangskoeffizienten Annahme: t = 55 o C, t B = 0, 5 ( ) = 37, 5 o C Stoffwerte: β = 3, , ν = 17, m 2 /s, P r = 0, 7125, λ = 0, /(m K) Mit den obigen Gleichungen und den neuen Stoffwerten ergeben sich die erte Gr = 8, , Ra = 5, , Nu = 99, 71, α = 4, 483 /() t = 54, 85 o C Die Annahme von 55 o C für die mittlere andtemperatur war genügend genau und die Iteration kann abgebrochen werden.

8 Lösung /1 Gegeben: waagerecht liegendes Rohr L = 5 m, d a = 0,052 m t = 60 o C, t L = 20 o C Gesucht: Q Übertragener ärmestrom bei Konvektion vom Rohr an die Luft Q = α a A (t t L ) = α a π d a L (t t L ) Berechnung von α a bei freier Konvektion von Luft am waagerechten Rohr charakteristische Abmessung l = d a Bezugstemperatur t B = 0, 5 (t L + t ) = 40 o C Stoffdaten von Luft bei t B (Umdruck = J J M β = 3, K 1 6 m2 ν = 17, s λ = 0, /(m K) P r = 0, #! K I K C " I B Dimensionslose Kenngrößen Ra und N u Ra = β g d3 a (t t L ) P r ν 2 = 3, K 1 9, 81 m s 0, m 3 40 K 0, 7122 ( ) 2 = 4, m2 17, s Nußelt-Gleichung für freie Konvektion (Umdruck, S.38) Nu = (0, 11 Ra 1/3 + Ra 0,1 ) K T = 11, 9035 K T = 1 Korrekturfaktor für temperaturabhängige Stoffwerte ärmeübergangskoeffizient α a = λ d a Nu = ärmestrom 0, , 9035 m K 0, 052 m = 6, 217 Q = 6, 217 π 0, 052 m 5 m 40 K = 203. Es tritt ein merklicher ärmeverlust der Rohrleitung auf, so daß eine Isolierung erforderlich ist.

9 Lösung /1 Gegeben: Gesucht: Doppelfenster, t,i = 10 o C, t,a = 10 o C, δ L = 50 mm und 5 mm a), b) ˆ q = f(δ) für Doppelfenster c) Einsetzen des konvektiven ärmeüberganges d) Darstellung ˆ q = f(δ) Bei der Berechnung des Doppelfensters werden nur die Vorgänge im Luftspalt und nur ärmeleitung und Konvektion betrachtet. Der flächenspezifische ärmestrom durch den Luftspalt berechnet sich mit der Gleichung für den ärmeübergang ˆ q = α (t,i t,a ) In dem ärmeübergangskoeffizienten α sind sowohl die ärmeübergänge an den beiden inneren Glasoberflächen als auch die ärmeleitung in der Luftschicht enthalten. Die im Folgenden verwendete, aus Experimenten abgeleitete Nußelt-Gleichung basiert auf obiger Definition der ärmestromdichte. Es ist ebenfalls möglich, durch Experimente eine Gleichung für λäqu aufzustellen, wobei in λäqu die irkung von ärmeleitung und Konvektion erfaßt wird, und als Ausgangsgleichung die Beziehung für die ärmestromdichte durch eine ebene and für die ärmeleitung zu verwenden. Freie Konvektion von Luft im Spalt charakteristische Abmessung: Bezugstemperatur für Stoffwerte: l = δ L t B = 0, 5 (t,i + t,a ) = 0 o C Stoffwerte für Luft bei t B = 0 o C (Umdruck S.45) β = 3, K 1 λ = 24, m K 6 m2 ν = 13, s P r = 0, 7179 ärmeübergangskoeffizient für den senkrechten Spalt (Umdruck, S.38, Fall B) α = λ Nu = λ ( 1 + k ) Ran δ L δ L m + Ra mit k = 0,0236, m = 10100, n = 1,393 für 1700 Ra 10 8 α = λ δ L für Ra < /2

10 a) δ L = 50 mm 4.5/2 Ra = β g δ3 L (t,i t,a ) P r ν 2 = 3, K 1 9, 81 m s 2 0, 053 m 3 20 K 0, 7179 Nu = 1 + 0, 0236 Ra1, Ra (135, ) 2 m4 s 2 = 4, , α = m K 0, 05 m 4, 4785 = 2, 166 ˆ q = 2, K = 43, 32 m 2 b) δ L = 5 mm = 3, Ra = 353, 8822 Nu = 1, 000 α = 0, , 005 = 4, 836, ˆ q = 96, 72 m 2 egen Ra < 1700 liegt reine ärmeleitung vor und es tritt keine Konvektion auf. c) Der konvektive ärmetransport setzt bei Ra = 1700 ein. Aus der Definition für die Rayleigh-Zahl ergibt sich die Luftschichtstärke. ( Ra ν 2 ) 1/3 δ L = β g (t,i t,a ) P r 1700 (13, ) 2 m4 δ L = s 2 3, K 1 9, 81 m 20 K 0, 7179 s2 1/3 = 8, 44 mm 4.5/3

11 > 4.5/3 d) Abhängigkeit der ärmestromdichte von der Spaltbreite Mit zusätzlich berechneten erten für Spaltbreiten von 10 mm, 20 mm und 100 mm erhält man δ L mm 5 8, ˆ q (/m 2 ) 96,7 57,3 54,0 44,5 43,3 43,9 9 # >? = " $ & 0 1 #! K I K C " I Mit wachsendem δ L nimmt ˆ q zunächst sehr stark ab, wächst bei sehr großen Spaltbreiten jedoch wieder leicht an. Hierbei überlagern sich zwei Tendenzen. Je dicker der Luftspalt ist, desto größer wird die Isolierwirkung der Luft. Ab einer bestimmten Dicke des Luftspaltes wird die zunehmende Isolierwirkung aber wieder durch den wachsenden konvektiven ärmetransport zunichte gemacht, da bei größerer Spaltbreite eine stärkere zirkulierende Luftbewegung zwischen den Glasscheiben auftritt. Temperaturverläufe im Glasspalt bei verschiedenen δ L. J 9 E J 9 & " # 0 1 #! K I K C " #! I #

12 Lösung /1 Gegeben: Gesucht: Elektronische Bauelemente, L = 2 cm, B = 1 cm, t = 20 o C Luftstrom w = 15 m/s, t L = 80 o C ärmeübergangskoeffizient α 1 bei Strömung über Längsseite α 2 bei Strömung über Breitseite Es liegt eine erzwungene Strömung über einer Platte vor. Da in den Gleichungen für die N u-zahl im Umdruck S.39 die Bezugstemperatur für laminare und turbulente Strömung unterschiedlich ist, muß eine Annahme zum Strömungscharakter getroffen werden. Bei Annahme einer laminaren Strömungsgrenzschicht am Bauteil gilt die mittlere Grenzschichttemperatur als Bezugstemperatur. Der ärmeübergangskoeffizient soll für den Beginn des Aufwärmvorganges berechnet werden, bei dem das Bauelement noch die Temperatur t aufweist. Bezugstemperatur für Stoffwerte t B = 0, 5 (t + t L ) = 0, 5 ( ) o C = 50 o C Stoffwerte für Luft (Umdruck S.45) λ = 0, /(m K), ν = 18, m 2 /s, P r = 0, 7111 Strömung über Längsseite charakteristische Abmessung l = L = 2 cm Re-Zahl Re = w L ν = laminar, da Re < 3, m/s 0, 02 m 18, m 2 /s = Nu-Zahl Nu = 0, 664 Re 0,5 P r 1/3 K T = 0, ,5 0, /3 1 = = 75, 945 (K T = 1, da Luft) ärmeübergangskoeffizient α 1 = Nu λ L = 75, 945 0, , 02 /(m K) m = 105, 9 4.6/2

13 Strömung über Breitseite 4.6/2 charakteristische Abmessung l = B = 1 cm Re-Zahl Re = w B ν = 15 m/s 0, 01 m 18, m 2 /s = 8210, laminar Nu-Zahl Nu = 0, ,5 0, /3 1 = 53, 702 ärmeübergangskoeffizient α 2 = Nu λ B 0, /() = 53, 702 0, 01 m = 149, 7 m K Bei der Strömung über die Breitseite ist der ärmeübergangskoeffizient größer als bei der Strömung über die Längsseite, da wegen der kürzeren Strömungslänge die Grenzschichtdicke im Mittel kleiner ist.

14 Lösung /1 Gegeben: Durchströmtes Rohr L = 2 m, d i = 60 mm asser t F = 70 o C, w = 1 m/s Gesucht: α i und Q für ärmestrom a) t,i = 50 o C b) t,i = 90 o C t,i < t F : Flüssigkeit wird gekühlt (Fall a)) Q = α i π d i L (t F t,i ) t,i > t F : Flüssigkeit wird erwärmt (Fall b)) Q = α i π d i L (t,i t F ) In beiden Fällen sind t F und t,i t F gleich groß. Die Gleichungen sind entsprechend dem üblichen Vorgehen in der Praxis so formuliert, daß sich ein positiver ärmestrom ergibt. ärmeübergang bei erzwungener Konvektion charakteristische Abmessung l = d i Bezugstemperatur für Stoffwerte t B = t F = 70 o C Stoffwerte von asser bei t B (Umdruck S.46): λ = 0,659 /(m K) P r = 2,570 ν = 0, m 2 /s Re-Zahl Re = w d i ν = 1 m s 0, 06 m m2 0, s = 1, Es liegt eine turbulente Strömung vor, da Re > 2300 ist. N u-gleichung für turbulente Rohrströmung (Umdruck, S.40) Nu = 0, 0235 (Re 0,8 230) ( ) 2/3 di 1 + (1, 8 P r 0,3 0, 8) K T = Nu 0 K T L 4.8/2

15 Ergebnisse 4.8/2 a) t,i = 50 o C Nu o = 541, 636 ( ) P r 0,25 P r = P r(50 o C) = 3, 57, K T = = 0, P r Nu = Nu o K T = 498, 912 α i = λ 0, 659 Nu = m K d i 0, 06 m 498, 912 = 5480 Q = 5480 π 0, 06 m 2 m 20 K = 41, 3 k b) t,i = 90 o C P r = 1, 969, K T = 1, Nu = 578, 935, α i = 6359 Q = 47, 9 k Diskussion Infolge der mit wachsender Temperatur kleiner werdenden P r-zahl von asser hängt α i bei gleicher Fluidtemperatur und gleicher Temperaturdifferenz t t F von der Richtung des ärmestromes ab. Bei t > t F, d. h. bei Erwärmung des Fluids, ist der ärmeübergangskoeffizient größer als bei der Abkühlung des Fluids. Der höhere ärmeübergangskoeffizient beim Erwärmen kommt durch den höheren Geschwindigkeitsgradienten an der and zustande und dieser ist wiederum durch die kleinere Viskosität des assers bei der höheren andtemperatur verursacht. Demgegenüber stellt sich beim Abkühlen ein kleinerer Geschwindigkeitsgradient an der and ein, da die Viskosität des Fluids in andnähe größer ist. enn der Korrekturfaktor K T = (η/η ) 0,14 verwendet wird, ändern sich die erte etwas: ( 404, ) 0,14 bei t,i = 50 o kg/(m s) C K T = = 0, , kg/(m s) ( 404, ) 0,14 bei t,i = 90 o kg/(m s) C K T = = 1, , kg/(m s)

16 Lösung /1 Gegeben: Gesucht: Durchströmte Rohre eines ärmeübertragers d i = 10 mm, L = 1,5 m asser p = 0,1 MPa, t 1 = 20 o C, t 2 = 60 o C, w = 0,5 m/s α i und t,i ärmeübergang bei erzwungener Konvektion, 1. Näherung Es liegt eine erzwungene Konvektionsströmung von asser im Rohr vor. charakteristische Abmessung l = d i Bezugstemperatur für Stoffwerte t B = 0, 5 (t 1 + t 2 ) = 40 o C Stoffwerte von asser bei t B (Umdruck, S.46) ϱ = 992, 2 kg, P r = 4, 34, λ = 0, 629 m3 m K c p = 4, 179 Re-Zahl kj kg K, m2 ν = 0, s Re = w d i ν = 0, 5 m s 0, 01 m m2 0, s = 7599 > Re kr = 2300 (turbulent). Nußelt-Gleichung für turbulente Rohrströmung (Umdruck S.40) Nu = 0, 0235 (Re 0,8 230) ( ) P r 0,25 mit K T =. P r ( ) 2/3 di 1 + (1, 8 P r 0,3 0, 8) K T L Da die andtemperatur t,i unbekannt ist, wird näherungsweise K T Berechtigung dafür ist durch Berechnung von t,i zu überprüfen. = 1 gesetzt. Die Erste Näherungsrechnung für α i 4.9/2

17 Nu = 0, 0235 (7599 0,8 230) Nu = 50, ( ) 2/3 0, 01 (1, 8 4, 34 0,3 0, 8) 1, 5 4.9/2 α (1) i = λ d i Nu = 0, 629 m K 0, 01 m 50, 620 = 3184 Ermittlung der inneren andtemperatur Aus der Energiebilanz folgt mit der Kontinuitätsgleichung Q = ṁ c p (t 2 t 1 ) = ϱ w π 4 d2 i c p (t 2 t 1 ) und aus dem Newtonschen ärmeübergangsgesetz Q = α i A t m = α i π d i L t 2 t 1 ln t,i t. 1 t,i t 2 Nach Einsetzen und Umstellen erhält man ( ) ( ) t,i t 1 αi π d i L (t 2 t 1 ) 4 αi L = exp = exp t,i t 2 Q ϱ w c p d i Mit t,i = t 1 K t 2 1 K. ( ) 4 αi L K = exp = exp ϱ w c p d i K = 2, 513 ergibt sich t,i = 10 o C 2, o C 1 2, , 5 m J kg K 992, 2 kg m 3 0, 5 m s 4179 = 86, 4 o C. Korrigierte Berechnung des ärmeübergangskoeffizienten 0, 01 m Die andtemperatur geht nur über den Korrekturfaktor K T in die Nußeltgleichung ein, so daß nur dieser aktualisiert werden muß. 4.9/3

18 4.9/3 Mit der Prandtl-Zahl bei der andtemperatur t,i 85 o C aus Umdruck S.46 ( ) P r 0,25 P r = 2, 102 erhält man K T = = 1, P r Damit wird α (2) i = α (1) i K T = 3817, K = 3, 018, t,i = 79, 8 o C. Eine nochmalige Durchrechnung mit t,i 80 o C ergibt mit P r = 2, 234 und K T = 1, 1806 α i = 3759, K = 2, 968, t,i = 80, 3 o C Eine weitere Iteration ist nicht nötig.

19 Lösung /1 Gegeben: Kanalströmung von asser t F = 80 o C, ṁ = 2880 kg/h Kanal L = 5 m, verschiedene Querschnittsformen Gesucht: Innerer ärmeübergangskoeffizient α i für a) Kreis c) Rechteck b) Ringspalt d) Spalt zwischen Kreis und Rechteck Es liegt eine erzwungene Konvektion in einem Kanal vor. Bezugstemperatur für die Stoffwerte: t B = t F = 80 o C Stoffwerte von asser bei t B (Umdruck S.46): λ = 0, 667 /(m K), P r = 2, 234 ν = 0, m 2 /s, ϱ = 971, 6 kg/m 3 Als charakteristische Abmessung ist der gleichwertige Durchmesser zu verwenden (A Strömungsquerschnitt, U benetzter Umfang). l = d gl = 4 A/U Querschnittsformen a) Kreis b) Ringspalt c) Rechteck d) Spalt zwischen Kreis u. E "? > F? > E E = "? = "? = $ F? 0 1 #! K I K C I B 4.10/2

20 a) b) c) d) 4.10/2 A π 4 d2 i π 4 (d2 a d 2 i ) a b a b π 4 d2 i U π d i π (d a + d i ) 2 (a + b) 2 (a + b) + π d i d gl d i d a d i 2 a b a + b 4 a b π d 2 i 2 (a + b) + π d i A/cm 2 4 π 4 π 4 π 4 π d gl /cm 4 1,6569 3,5110 1,5410 Alle Kanäle haben identische Strömungsquerschnitte und daher auch identische Strömungsgeschwindigkeiten w. Die Strömungsgeschwindigkeit berechnet sich aus der Kontinuitätsgleichung zu ṁ = ϱ w A kg w = ṁ 2880 ϱ A = h 1 h 3600 s 971, 6 kg = 0, 655 m 4 π m 2 Für die Re-Zahl gilt m s Re = w d gl ν Für alle Kanalformen ist Re > 2300 (siehe nächste Tab.). Daher gilt die N u-gleichung für eine turbulente Kanalströmung Nu = 0, 0235 (Re 0,8 230) Mit der Annahme t t F wird K T = 1 und 1 + ( dgl L ) 2/3 (1, 8 P r 0,3 0, 8) K T 4.10/3

21 α i = λ d gl Nu = λ d gl 0, 0235 (Re 0,8 230) Zahlenergebnisse: 1 + ( dgl L a) b) c) d) Re N u 271,17 127,52 243,18 119,75 α i ( m 2 K 1 ) ) 2/3 4.10/3 (1, 8 P r 0,3 0, 8) Bei gleicher Strömungsgeschwindigkeit ist der ärmeübergangskoeffizient α i in dem Kanal mit dem kleinsten gleichwertigen Durchmesser (Spalt d) am größten. Es ist aber zu beachten, daß für diesen Fall auch die größten Druckverluste auftreten.