Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 11 GLEICHUNGEN UND ÄQUIVALENZUMFORMUNGEN

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1 ARBEITSBLATT 11 GLEICHUNGEN UND ÄQUIVALENZUMFORMUNGEN Mathematische Gleichungen ergeben sich normalerweise aus einem textlichen Problem heraus. Hier folgt nun ein zugegebenermaßen etwas künstliches Problem: Beispiel: Das Doppelte einer Zahl ist um 8 größer als die Zahl um 6 vermehrt. Wie lautet die Zahl? Da wir die Zahl noch nicht kennen vergeben wir für diese zunächst einen Platzhalter. Zahl = x Nun müssen wir den Text in eine Gleichung bringen: Wenn x der Zahl entspricht, ist das Doppelte der Zahl x, die um 6 vermehrte Zahl (x+6). Da x um 8 größer ist als (x+6), müssen wir entweder bei x 8 abziehen oder bei (x+6) 8 dazugeben, damit die beiden Seiten der Gleichung gleich sind. Eine richtige Gleichung lautet also: x - 8 = x + 6 Für x dürfen wir in dieser Gleichung jede erdenkliche Zahl einsetzen, da es ja jede beliebige Zahl sein darf. Was bezeichnen wir nun aber als Lösung dieser Gleichung? Wie gesagt, können wir in diesem Fall für x jede beliebige Zahl einsetzen. Setzen wir nun für x = ein. In diesem Fall erhalten wir: x 8= x + 6 8= + 6 4= 8 Wir erhalten eine Aussage, die offensichtlich falsch ist. Wir nennen dies eine falsche Aussage. Nun setzen wir für x = 14 ein und erhalten: x 8= x = = 0 Wir erhalten eine Aussage, die offensichtlich richtig ist. Wir nennen dies eine wahre Aussage. Da die Gleichung also für x = 14 richtig wird, ist 14 die gesuchte Zahl. Merke: Setzt man also allgemein für die Variable erlaubte Zahlen ein, so erhält man stets entweder eine wahre oder eine falsche Aussage. Jene Werte, bei 1

2 denen man eine wahre Aussage erhält, bezeichnen wir als Lösung der Gleichung. Natürlich wäre es etwas mühselig, die Lösungen einer Gleichung stets durch probieren zu erhalten. Wir überlegen uns also, was wir mit Gleichungen alles mathematisch tun dürfen. Beachten Sie dabei, dass es nur wichtig ist, dass die Gleichung eine wahre Aussage liefert: Als Beispiel nehmen wir die Gleichung 5 = 5. Diese Gleichung ist offensichtlich richtig. Wir addieren auf beiden Seiten + und erhalten: 8=8. Dies ist genauso richtig wie 5=5. Es ist leicht ersichtlich, dass wir natürlich jede Zahl addieren können, die Gleichung bleibt richtig. Dasselbe passiert bei einer Subtraktion. Subtrahiert man auf beiden Seiten der Gleichung 5 = 5 den Wert, so erhalten wir =, was aber genauso richtig ist. Merke: Man darf auf beiden Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl addieren, bzw. subtrahieren. Dasselbe können wir auch mit der Multiplikation unternehmen. Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung 5 = 5 mit dem Wert, so erhalten wir 10 = 10, was auch richtig ist, ebenso könnten wir durch 5 dividieren. Wir erhalten 0 = 0. Merke: Man darf beide Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl multiplizieren ( 0), bzw. durch dieselbe dividieren ( 0). Bei der Multiplikation bzw Division einer Gleichung wird es aber besonders wichtig, dass die gesamten Seiten der Gleichung multipliziert bzw. dividiert werden. Beispiel: 4 + = + Wenn wir (aus welchem Grund auch immer) die Gleichung mit multiplizieren, erhalten wir: ( ) ( ) 4+ = + Würde man nur einen Teil der Gleichung multiplizieren, so wird das Ergebnis falsch. Definition: Gleichungen, die durch Umformen verändert wurden, nennt man äquivalente Gleichungen. Beim Lösen einer Gleichung schreibt man ganz rechts an, was auf beiden Seiten der Gleichung gemacht wird. Beispiel: x + 4 = Auf beiden Seiten wird 4 subtrahiert.

3 D ie Lösungen einer Gleichung können prinzipiell Formen annehmen: a) Eindeutig lösbar Beispiel: x + = 5 - x = Wir erhalten eine eindeutige ( explizite) Lösung. b) Unendlich viele Lösungen: Beispiel: x + x + 6= x x + x = x linke Seite zusammenfassen x = x -x 0= 0 Diese Aussage ist generell richtig. Kommt eine allgemein gültige Aussage als Resultat einer Gleichung heraus, so erfüllt jedes x die Gleichung. c) Keine Lösung Beispiel: x + = x +4 -x = 4 Erhalten wir eine generell falsche Aussage als Resultat, so gibt es kein x, welches die Gleichung erfüllen würde. So, nun aber in die Praxis. Generell können wir also bei Gleichungen die verschiedensten Umformungen vornehmen. Das Kunststück ist nur, dies so geschickt zu machen, dass wir möglichst schnell die Lösung ablesen können. Beispiel: Löse die Gleichung: +x = 6 +x = 6 - x = 4 Beispiel: Löse die Gleichung: = x -4 = x = x Wir können die Gleichung natürlich auch umdrehen: x = 7 Beispiel: Löse die Gleichung: 4+ x = 4+ x = -4

4 x = 1 : x = 1 B eispiel: Löse die Gleichung: x + = 4 x x x = 6 + = 4 - = Übungen: Übungsblatt 11; Aufgaben Natürlich kann eine Variable auch mehrmals in einer Gleichung auftreten: Beispiel: x + = 1 x Merke: Fasse alle Elemente mit der Variablen auf einer Seite zusammen, alle Elemente ohne der Variablen auf der anderen Seite. x + = 1 x +x 4x + = 1-4x = 1 :4 x = 1 4 Übungen: Übungsblatt 11; Aufgabe 17 Auch Klammern können natürlich auftreten. Diese werden ganz normal wie immer aufgelöst: + 5y 8 1 y = 60 y y Beispiel: Berechne die Unbekannte: [ ( )] [ ( )] 4

5 L ösung: + [ 5y 8 ( 1 y) ] = 60 [ y ( y) ] Wir lösen zunächst die beiden runden Klammern auf. + [ 5y 8 1+ y] = 60 [ y 8 7 y] Wir fassen die beiden eckigen Klammern zusammen. + [ 6y 9] = 60 [ y] Wir lösen die beiden eckigen Klammern auf. + 6y 9 = y Wir fassen die linke und rechte Seite der Gleichung zusammen. 6 y 6 = y -10y 4 y 6 = y = 76 :(-4) y = 19 Ü bungen: Übungsblatt 11; Aufgaben Auch Multiplikationen mit ein- und mehrgliedrigen Termen können vorkommen: Beispiel: REICHEL ; Seite 117; Nr. 50 a) y + 4( y ) = 5y ( y 1) Punkt- vor Strichrechnung: In die erste Klammer multiplizieren wir mit +4, in die zweite mit -. y + 4y 1 = 5y y + Linke und rechte Seite der Gleichung zusammenfassen. 7 y 1 = y + -y 5 y 1 = +1 5 y =15 :5 y = Beispiel: REICHEL ; Seite 118; Nr. 5 a) 5

6 ( x + )( x 4) = x( x ) Multiplikationen durchführen x 4x + 6x 8 = x 6x Linke Seite zusammenfassen. x + x 8 = x 6x x x 8 = 6x +6x 8 x 8 = x = 8 :8 x =1 Übungen: Übungsblatt 11; Aufgaben Natürlich können auch binomische Formeln vorkommen: Beispiel: REICHEL ; Seite 118; Nr. 54 a) x 5 x + x = Die erste Formel entspricht: ( a b) = a ab + b Die zweite Formel entspricht: a + b a b = a b ( ) ( )( ) 4 ( 4x 9) = 4 ( )( ) 4x 0x + 5 Runde Klammer auflösen 4x 0x + 5 4x + 9 = 4 Linke Seite zusammenfassen 0 x + 4 = 4-4 0x = 0 :(-0) 0 x = 0 x = Übungen: Übungsblatt 11; Aufgaben