In der Mathematik werden Wachstumsprozesse graphisch durch steigende Graphen dargestellt. Diese können linear oder kurvenförmig verlaufen.

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1 Vorbmrkungn Wachstum und Zrall (Jochn Pllatz 2013) Das Thma Eponntialunktionn ist in ignständigs Gbit in dr Mathmatik und wird in dr Schul in vrschidnn Stun untrrichtt. Einach Eponntialunktionn (Kapitl 2.3.1) wrdn schon in dr Mittlstu bhandlt. Hir bispilswis im Zusammnhang mit dr Zinsszinsrchnung. In dr Klass 11 dr gymnasialn Obrstu odr in dr Klass 12 dr Fachobrschul wrdn zusätzlich di -Funktionn bhandlt (Kapitl 2.3.2). Di Witrührung dr -Funktion im Zusammnhang mit andrn Wachstumsormn (Kapitl 3) wird daggn mist nur in Listungskursn dr gymnasialn Obrstu untrsucht. Wachstumsgschwindigkitn, di sich aus dr Ablitung von -Funktionn rgbn ghörn in das Gbit dr Dirntialrchnung, wrdn dort abr bnalls mist nur in Listungskursn glhrt. In Vrbindung mit dn Ablitungn dr -Funktion sthn di Dirntialglichungn, di abr mist kin Schulsto mhr sind, sondrn Ggnstand dr Ausbildung an dr Univrsität. Dnnoch bin ich dr Minung, dass drjnig, dssn Intrss inmal ür di Bsondrhit dr Eponntialunktionn gwckt ist, automatisch zu dn witrührndn Fragstllungn glangt und dis auch mit inigm Fliß vrsthn kann. 1. Einlitung Als Wachstum bzichnt man di Zunahm inr Mssgröß innrhalb ins bstimmtn Zitraums. Im mathmatischn Sinn bdutt dis, dass di Wachstumsgröß in Funktion dr Zit ist. Als Zrall bzichnt man di Abnahm inr Mssgröß innrhalb ins Zitraums. Wnn im Folgndn von Wachstum di Rd ist, ist dr Zrall glichrmaßn gmint (ngativs Wachstum). In dr Mathmatik wrdn Wachstumsprozss graphisch durch stignd Graphn dargstllt. Dis könnn linar odr kurvnörmig vrlaun. Schaubild 1: Untrschidlich Vrläu ür Wachstums- und Zrallsprozss WachstumZrall.doc 1

2 2. Mathmatisch Wachstumsmodll 2.1 Linars Wachstum Bim linarn Wachstum vrändrt sich dr Funktionswrt pro Zitinhit jwils um dn glichn Btrag. Schaubild 2: linars Wachstum Bispil: Ein LKW lirt jdn Tag 500 Stin au in Baustll. Funktionsglichung () 500 Allgmin ( ) a + b Erläutrung: Dr Funktionswrt nach Tagn brchnt sich aus dr Multiplikation dr täglichn Lirmng mit dr Zahl dr Tag. a Zunahm pro Zitinhit b möglich Anangsmng (im Bispil ist b 0) 2.2 Potnzills Wachstum Wachstumsvrläu rgbn sich auch aus Potnzunktionn. Dis sind abr hr ungignt, um Wachstumsprozss im Zitvrlau darzustlln, da dr -Wrt mist in Bstandsgröß ist. Schaubild 3: Potnzills Wachstum Bispil: Di Fläch ins Kris ist rgibt sich, indm man dn Radius quadrirt und mit dr Zahl Pi multiplizirt Funktionsglichung (r) πr² Erläutrung: Dr aktull Ausgangswrt wird jwils mit dr glichn Zahl potnzirt. WachstumZrall.doc 2

3 WachstumZrall.doc 3

4 2.3 Eponntills Wachstum Eponntills Wachstum ligt vor, wnn dr Bstand zum Zitpunkt jwils mit dmslbn Faktor multiplizirt wird Di inach Eponntialunktion dr Form a b Allgmin: ( ) a b wobi a (0), d. h. dr Anangswrt zum Zitpunkt 0 und b dr Wachstums- odr Zrallsaktor ist. Es gilt: Wnn b > 1 Wachstumsunktion, wnn b<1 Zrallsunktion Anwndungsgbit: Eponntill Wachstums- und Zrallsvorgäng indn sich shr häuig in dr Biologi (Zllwachstum), Chmi (Zrall von Radioaktivität), Wirtschat (Vrzinsung von Kapital) und viln andrn Wissnschatn. Das Wsn dr Eponntialunktionn: Eponntill Wachstumsvorgäng ntwickln in Dynamik, wi si durch kin andrn mathmatischn Modll bschribn wrdn. Brits klin Anangswrt ntwickln sich ot schon nach wnign Priodn plosionsartig. Handlt s sich dabi um Vorgäng in Natur und Umwlt, so ist s wichtig, dis rchtzitig zu rknnn, um vntull gignt Maßnahmn rgrin zu könnn. Schaubild 3: Eponntills Wachstum () 2 Schaubild 4: Eponntills Wachstum () 100٠1,05 Dr obig Graph bschribt di Entwicklung dr Potnzn dr Zahl 2. Man rknnt am Vrlau ds Graphn di Dynamik, di sich schon nach wnign Priodn ntwicklt. Di Millionngrnz ist brits ür 20 übrschrittn. Dr obig Graph bschribt di Entwicklung ins Kapitals von 100, wlchs mit 5 % pro Jahr vrzinst wird. Würd man di Entwicklung ds Kapitals übr 500 Jahr vrolgn, so würd man inn Endwrt von ca. 4 Billionn rricht habn. WachstumZrall.doc 4

5 Schaubild 5: Eponntillr Zrall () Schaubild 6: Eponntillr Zrall () 5000 ٠0,8 Dr obig Graph bschribt dn Zrall ins radioaktivn Elmnts mit inr Halbwrtzit von 8 Tagn. Dr obig Graph bschribt di Wrtntwicklung ins Ggnstands mit inm Anschaungswrt von 5000, dr mit 20 % pro Jahr abgschribn wird. Untrschid zum potnzilln Wachstum: Bim potnzilln Wachstum wird dr aktull -Wrt potnzirt, bim ponntilln Wachstum wird dr vorhrghnd Funktionswrt mit inr Zahl multiplizirt, um dn aktulln Funktionswrt zu rhaltn. Potnzills Wachstum Eponntills Wachstum ( ) n B( 1) b B() Bstand zum Zitpunkt, b Wachstumsaktor Brchnn dr inzlnn Größn dr inachn Eponntialunktion Brchnn ds Funktionswrts Ein Kapital von 1000 wird mit 3 % vrzinst. Au wlchn Btrag ist s nach 5 Jahrn angwachsn? Brchnn ds Anangswrts Nach dri Jahrn wurd in Krdit inschlißlich 5 % Zinsn mit 8682,19 zurückgzahlt. Wi hoch war dr Krdit? Brchnn ds Wachstumsaktors Ein Flüssigkit kühlt sich innrhalb von 30 Minutn von 90 Grad au 25 Grad ab. Brchn di Zrallsrat pro Minut. Brchnn dr Zit Wi lang war in Krdit übr 3000, dr mit 4,75% vrzinst wurd, glihn, wnn r mit 4348,64 zurückgzahlt wurd? a 1000, b 1,05, 5, ()? ,03 () 1159,27 a?, b 1,05, 3, ()8682,19 a 1, ,19 a 7500 a 90, b?, 3 : 1,05 30, ()25 90 b b 0,964 3,6 % pro Minut a 3000, b 1,0475,?, ()4348, , ,64 1,0475 1,4495 log ٠log 1,0475 log 1,4495 : log 1, Jahr : 3000 WachstumZrall.doc 5

6 2.3.2 Wachstum mit dr -Funktion dr Form a b Grundlag disr Funktion ist di sog. -Funktion, wlch di von Lonard Eulr im Jahr 1743 publizirt Zahl nthält. Di Zahl ist ähnllich wi di Kriszahl Pi in irrational Zahl und ntspricht ungähr dm Wrt 2,71828 Man bzichnt di di -Funktion auch als natürlich Eponntialunktion. Di Umrchnung dr inachn Eponntialunktion in in -Funktion rolgt nach dr Forml: ln( b) a b a (ln ist dr Logarithmus zur Basis ) Wlch Bdutung hat di Zahl? Di Entdckung dr Zahl basirt au dr Untrsuchung dr olgndn Fragstllung: Wnn man inn in dr Natur vorkommndn Wachstums- odr Zrallsprozss mit dr inachn Eponntialunktion bschribt, so ght s bispilswis darum, dass in vorhandnr Bstand an Baktrin pro Jahr um 20 % wächst. Danach gäb s bi inm Ausgangswrt von 100 nach inm Jahr 120. In Wahrhit vrmhrt sich dr Baktrinbstand abr nicht schlagartig am End ds Jahrs sondrn das Wachstum gschiht ständig. Man spricht in dism Fall von natürlichm Wachstum. Au ähnlich Wis zralln radioaktiv Isotop in inm kontinuirlichn Prozss und nicht nur jwils am End inr Zitpriod. Wi wirkt sich nun disr ständig Prozss au di Entwicklung dr Wrt dr Eponntialunktion aus? Dazu in Bispil: Di Vrzinsung von Kapital rolgt jwils am Jahrsnd. Wnn man 100 zu 10 % anlgt, so hat man am End ds Jahrs 110. Ght man nun davon aus, dass das Kapital zwimal im Jahr vrzinst wird, so rhält man brits 110,25. Nach inm halbn Jahr wird dr halb Zinssatz brchnt, so dass man 105 rhält. Disr rhöht Btrag wird dann widr ür in halbs Jahr mit 5 % vrzinst, so dass man am End ds 2. Halbjahrs 110,25 hat. Jtzt könnt man au di Id kommn, disn Vorgang witr zu btribn indm man virtljährlich odr gar 10 monatlich vrzinst. Bi monatlichr Vrzinsung käm man schon au inn Btrag von 110,47 ( (1 + 12) ). 100 Erhöht man di Anzahl dr Vrzinsungn pro Jahr immr witr, dann nährt man sich schon dm ständign odr natürlichn Wachstum an. Würd dann auch dr Endbtrag, dr sich nach inm Jahr rgibt ins Unndlich wachsn? Ein witr Rchnung ür in täglich Vrzinsung zigt, dass dm nicht so ist: Es rgibt sich: 100 ( ) 110,516. Dr Btrag wird zwar höhr, r schint abr langsamr zu wachsn. 100 Tatsächlich zigt sich, dass auch, wnn di Anzahl dr Vrzinsungn ins Unndlich gstigrt wird, dr Endbtrag nimals größr als 110,52 wird. Trotz witr stigndr Endbträg, nährt sich disr Wrt inr Grnz an, di nicht übrschrittn wird. Di Zuwächs wrdn immr klinr. Lonard Eulr hat gzigt, dass all Prozss, di natürlichm Wachstum untrlign sich von dn inachn ponntilln Wachstumsprozssn durch in Zahl untrschidn wrdn könnn, di twa dn Wrt 2,718 hat. Diss ist di Zahl odr di Eulrsch Zahl. Das Ergbnis unsrs Bispils mit inr sttign Vrzinsung kann durch di olgnd Rchnung bschribn 0,1 wrdn: , 517. Dabi ntspricht di Zahl 0,1 im Eponntn dm Zinssatz von 10 % (10/100 0,1). Vrwndung dr -Funktion als Eponntialunktion: Shr häuig indt man olgnd Schribwis: ( t) a Wobi a (0), d. h. dr Anangswrt, t di Zit und i dr Wachstums- bzw. Zrallsaktor. Bi inm Wachstum ist dr Wrt von i positiv, bi inm Zrall ist i ngativ. Vrglicht man di -Funktion mit dr inachn Eponntialunktion, so rhält man bi dr -Funktion dislbn Ergbniss, wnn man ür dn Wrt von i dn natürlichn Logarithmus von b (ln(b) instzt. ln( b) a b a Litt man allrdings aus dr inachn Eponntialunktion in natürlich Wachstumsunktion ab, bi dr das sttig Wachstum brücksichtigt wird, so rgibt sich dr Wachstumsaktor i aus b 1. i t WachstumZrall.doc 6

7 Bispil: Ein Alg bdckt in Fläch von 100 m² ins Ss und britt sich um 25 % pro Jahr aus. Wlch Fläch wird nach 5 Jahrn bdckt? Lösung mit dr inachn Eponntialunktion ,25 305,18 m ² Lösung mit dr -Funktion 100 ln(1,25) 5 305,18 m² 0,25 5 Brücksichtigung ds natürlichn Wachstums ,03m² 2.4 Umgang mit dr -Funktion (Vrschidn Bispil) Bispil 1: Das Bvölkrungswachstum ins Lands rgibt sich aus olgndr Tabll: Jahr Mio 15,0 16,62 18,42 20,41 Wi hißt di Funktionsglichung, wnn man von ponntillm Wachstum ausght? Bispil 2: Das radioaktiv Isotop Jod 131 zrällt mit dr Zrallskonstant i -0,0866 pro Tag. Wi vil dr Ausgangsmng von 100 mg ist nach 14 Tagn noch vorhandn? Bispil 3: Ein radioaktivs Isotop hat in Halbwrtzit von 13 Jahrn. Wi lang daurt s, bis nur noch 1 % dr Strahlung vorhandn ist? Lösung: a) mit dr inachn Eponntialunktion 15 b 12 20,41 b 1, , 026 (jährlichs Wachstum von 2,6 %) b) mit dr -Funktion i ,41 : 15 i 12 1,3606 ln i٠12ln(1,3606) : 12 i 0,02566 ( t) 15 Lösung: 0,02566 t 0, , 75mg Lösung: Di Augab kann au zwi Artn glöst wrdn. Übr di Brchnung dr Zrallskonstant pro Jahr i i -0,0533 0,0533 t ln -0,0533٠tln(0,01) t 86,4 Jahr Mit dm Zrallsaktor 0,5 und dr inachn Eponntialunktion 100 0,5 1 6,6438 (Einhitn à 13 Jahr) t 6,6438 ٠13 86,4 Jahr Dis Rchnung unktionirt mit dr -Funktion so nicht, da hir dr Einluss ds sttign Wachstums nicht brücksichtigt wird. WachstumZrall.doc 7

8 3. Vrschidn Wachstumsormn In dr Ralität könnn außr dm ponntilln Wachstum noch andr Wachstumsmodll bobachtt wrdn, di mit Hil dr -Funktion dargstllt wrdn könnn. Unbschränkts Wachstum, bi dm di Zuwachsratn immr größr wrdn, untrligt in dr Ralität mist natürlichn Grnzn, di dism Prozss Einhalt gbitn. So kann di Population inr Tirart bnso wnig unbgrnzt stign wi sich in Gripppidmi unbgrnzt au di gsamt Mnschhit ausdhnn wird. Dabi wrdn olgnd Formn btrachtt: Bschränkts Wachstum und bschränktr Zrall Logistischs Wachstum Vrgitts Wachstum 3.1 Bschränkts Wachstum und bschränktr Zrall Bschränkts Wachstum Das Modll ds bschränktn Wachstums ght davon aus, dass in dgrssivr Wachstumsvrlau vorligt, dr sich inm Grnzwrt nährt. Es gilt olgnd Forml: i ( ) b a wobi b dr Grnzwrt und a b (0) Schaubild 7: Bschränkts Wachstum Bispil: In inm Land wird di Vrbritung von Navigationsgrätn gmssn. Es wird davon ausggangn, dass zu Bginn brits 1 Mio. Grät vorhandn sind. Di Wachstumsrat i wird mit 0,3 pro Jahr anggbn. Bi inr Mng von 5 Mio. ist di Sättigung rricht. Funktionsglichung Erläutrung: ( ) 5 4 0,3 b 5 Mio, a 5 1 4, i 0,3. WachstumZrall.doc 8

9 3.1.2 Bschränktr Zrall Das Modll ds bschränktn Zralls ght davon aus, dass in dgrssivr Zrallsvrlau vorligt, dr sich inm Grnzwrt nährt. Es gilt olgnd Forml: i ( ) b + a wobi b dr Grnzwrt und a (0) b Schaubild 8: Bschränktr Zrall Bispil: Ein Tass T kühlt sich von inr Anangstmpratur von 70 Grad au di Zimmrtmpratur von 22 Grad ab. Di Abnahm wird mit dm Faktor 0,1 pro Minut bschribn Funktionsglichung Erläutrungn 0,1 ( ) b 22, a , i 0, Brchnn ds Wachstumsaktors i In dn obign Bispiln wurd dr Faktor i als bkannt vorausgstzt. Wi abr kann man disn slbr bstimmn? Dazu bnötigt man nicht nur dn Grnzwrt und dn Anangswrt, sondrn auch noch inn zusätzlichn Msswrt. Disr wird dann zusammn mit alln andrn bkanntn Größn in di Forml ingstzt und dis nach i auglöst. Bispil Für in 80 Grad hiß Sauna wird in Eimr Wassr mit inr Tmpratur von 20 Grad aus Augussimr britgstllt. Nach 20 Minutn bträgt di Tmpratur ds Wassrs in dm Eimr 35 Grad. Wi lautt di Funktion ür das bschränkt Wachstum? Lösung Wir knnn olgnd Größn b 80, a 60 (80 20) und (20) 35. Es wird ingstzt. i und :(-60) i 20 0,75 ln -i٠20ln(0,75) : (-20) i 0,01438 WachstumZrall.doc 9

10 3.2 Logistischs Wachstum In dism Modll wird das ponntill Wachstum mit dm bschränktn Wachstum kombinirt. Zunächst bginnt in Wachstumsphas, wlch zu inm zunhmndn Wachstum ührt, dann bginnt das Wachstum abzunhmn und nährt sich inm Grnzwrt. Dis Art ds Wachstums ligt bi viln Populationsntwicklungn vor. Es gilt olgnd Forml: a b i b wobi b dr Grnzwrt a + ( b a) und a (0) und (0) >1 ist Schaubild 9: Logistischs Wachstum Bispil In inm bgrnztm Lbnsraum lbn 2 Lbwsn, di sich nach Ablau inr Zitinhit tiln. Di so Entstandnn tiln sich widr nach inr Zitinhit usw. Nach inr Wil wird dr Lbnsraum knapp, so dass sich nicht mhr all Lbwsn tiln. Im witrn Zitablau tiln sich immr wnigr, so dass di Population immr langsamr wächst und irgndwann in Grnz rricht hat. Zit Anzahl Nhmn wir an, di Grnz lig bi inr Anzahl von 46. Funktionsglichung (46 2) 0, Erläutrungn a 2, b 46, dr Faktor i ist ntwdr bkannt odr kann durch Einstzn ins Funktionswrts in di Forml rrchnt wrdn. WachstumZrall.doc 10

11 3.2.1 Allgmin Brchnung ds Faktors i In wurd gzigt, wi man dn Wachstums- bzw. Zrallsaktor inr bschränktn Eponntialunktion durch Einstzn ins Funktionswrts brchnn kann. Diss ist au di glich Art auch ür das logistisch Wachstum möglich. In inr twas kompln Rchnung soll dis au allgmin Art gzigt wrdn, damit man in Forml ür i rhält. Umstlln dr Glichung ds logistischn Wachstums nach i Ausgang ist di olgnd Glichung: a b i b a + ( b a) i b a b a + ( b a) i b a b ( b a) a ( ) i b b b a a( 1) i b a ( b 1) b a a b i b ln ( 1) b a a b ln ( 1) b a i ( ) b Di Wrt ür und () sind bkannt : (a٠b) und Khrwrt - a a Ausklammrn : (b a) Logarithmirn : (-b٠) Dis ist di gsucht allgmin Forml ür dn Faktor i, dr dn Kurvnvrlau dr logistischn Eponntial-unktion bschribt Bispil Di Bvölkrung ins Lands bträgt zu Bginn 10 Mio. Si wächst zunächst ponntill und dann dgrssiv bis zu inm Höchstwrt von 25 Mio. Nach 10 Jahrn bträgt di Anzahl 15 Mio. Es soll di Glichung ür das logistisch Wachstum bstimmt wrdn und dr Graph gzichnt wrdn. Es wird in obig Forml ingstzt ln ( 1) i i -0, Di Funktionsglichung lautt damit: (25 10) 0, Schaubild 10 WachstumZrall.doc 11

12 3.2 Vrgitts Wachstum Vrgitts Wachstum ligt vor, wnn in Entwicklung zunächst progrssiv ponntill vrläut, dann in in dgrssivs Wachstum übrght, um nach Übrschritn ins Maimalbstands in inn ngativn Prozss übrzughn, dr di Entwicklung umkhrt, und schlißlich zum Ausstrbn ds Bstands zu ührt. Es gilt olgnd Forml: ( ) a g 0,5 s 2 Di inzlnn Paramtr habn olgnd Bdutung: a Anangswrt g di Wachstums- odr Gburtnrat s di Strb- odr Vrgitungsrat Ein typischs Bispil ür vrgitts Wachstum ist dr Vrlau inr Epidmi. Währnd sich di Anzahl dr Erkranktn zu Bginn ponntill auswitt, kommt s nach inigr Zit zu inm Sinkn dr Nurkranktn und schlißlich zu inm Ablaun dr Epidmi. Schaubild 11: Vrgitts Wachstum Bispil Dr Graph könnt dn Vrlau inr Gripp-pidmi zign. Au dr -Achs wird di Zit in Wochn dargstllt, au dr y-achs di Zahl dr Erkranktn. Zu Bginn sind 100 Prsonn rkrankt. Bis twa zur 14. Woch stigt di Zahl dr Erkranktn zunächst ponntill, dann abnhmnd an. Ab dr 14. Woch bginnt dr Rückgang, dr schlißlich zu inr Widrgnsung allr Erkranktn ührt. Funktionsglichung Hinwis ( ) 100 a 100, g 0,6, s 0,05 0,6 0,5 0,05 ² Tatsächlich indt nimals in Rückgang dr Funktionswrt au dn Wrt 0 statt, da dr Graph sich dr -Achs nur nährt. Da man normalrwis abr nur ganzzahlig Funktionswrt btrachtt, kann man davon ausghn, dass das End rricht ist, wnn di Funktionswrt klinr als 1 wrdn. WachstumZrall.doc 12

13 4. Wachstumsratn (momntan Ändrungsrat) Di momntan Ändrungsrat gibt di Wachstumsgschwindigkit inr Wachstumsunktion zu inm bstimmtn Zitpunkt an. Dis ntspricht dr Stigung ds Graphn dr Eponntialunktion an inr bstimmtn Stll. In dr Dirntialrchnung wird dis durch di 1. Ablitung ausgdrückt. Graphisch kann man di Wachstumsgschwindigkit durch di Tangnt am dr gsuchtn Stll ds Graphn darstlln. Di Stigung dr Tangnt ntspricht dann dr momntann Ändrungsrat Wachstumsrat bi linarm Wachstum Bi linarm Wachstum ist di Wachstumsrat stts konstant. Pro Zitinhit wachsn (odr zralln) di Wrt jwils um dn glichn Btrag. Es ist zu bachtn, dass allrdings di prozntual Vrändrung augrund ds jwils vrändrtn Grundwrts ntwdr stigt odr sinkt (bi Zrall). Schaubild 12: Wachstum dr linarn Funktion Erläutrung Funktionsglichung 0,5 + 5 Di Wachstumsrat bträgt an jdr Stll 0,5. Zwischn 1 und 2 bträgt dr Zuwachs 0,5, das ntspricht 50 %. Zwischn 5 und 6 bträgt dr Zuwachs bnalls 0,5, das ntspricht abr nur noch 10 %. 4.2 Wachstumsrat dr inachn -Funktion Bi dr Untrsuchung dr Wachstumsratn von Eponntialunktionn konzntrirn wir und au di -Funktionn, wil dis sich bsondrs ür di Untrsuchung von Wachstumsvrändrungn ignn. Wi brits dargstllt, wird di Wachstumsrat durch di 1. Ablitung dr Funktion ausgdrückt. Dis ntspricht dr Stigung dr Funktion an dr Stll. Schaubild 13: Stigung dr -Funktion Erläutrung Bi dr -Funktion nimmt di Wachstumsrat sttig zu, wi an dr Stigung dr bidn ingzichntn Tangntn zu rknnn ist. WachstumZrall.doc 13

14 Um di Ablitung dr -Funktion an inr Stll zu brchnn, btrachtn wir dn Grnzwrt ds Dirnznquotintn ür h 0. Zwi Punkt habn di Koordinatn P 1 ( / ) und P 2 (+h / +h ). Dann rgibt sich olgndr Rchnwg: Ablitung dr -Funktion + h m + h h Di Wrt ür und () sind bkannt +h zrlgn m h h - Ausklammrn m h ( 1) h Mit dm Taschnrchnr lässt sich zign, dass h 1 dr Ausdruck dn Grnzwrt 1 hat, wnn h 0 h vor dn Bruch zihn Damit gilt: Di Ablitung von ist widr Im Folgndn kann also immr davon ausggangn wrdn, dass di Ablitung von idntisch ist mit dr Stammunktion. 4.3 Wachstumsrat dr natürlichn Eponntialunktion Di momntan Ändrungsrat dr natürlichn Eponntialunktion a wird durch di 1. Ablitung ausgdrückt. Da hir dr Eponnt di innr Funktion darstllt, wird di Ablitung mit dr Kttnrgl durchgührt. b Dabi gilt dr Trm a als äußr Funktion. Augrund dr Kttnrgl (äußr innr b Ablitung ist '( ) a b odr auch '( ) b b Bispil Ein Algnpopulation mit inm Anangsbstand von 100 vrmhrt sich mit inm Wachstumsaktor von b 0,25 pro Tag. Wi hoch ist di Wachstumsgschwindigkit am 5. Tag? Lösung 100 '( 0,25 ) 100 0,25 0, ,25 '(5) 25 0, ,25 D. h. di momntan Wachstumsgschwindigkit zum Zitpunkt 5 bträgt ca. 87 Einhitn. Odr: dr Graph dr Eponntialunktion hat an dr Stll 5 dn Anstig 87,25 WachstumZrall.doc 14

15 4.4 Wachstumsrat bi bschränktm Wachstum Di Ablitung dr bschränktn Wachstums-odr Zrallsunktion untrschidt sich nicht von dr natürlichn Eponntialunktion, da di Konstant in dr Funktionsglichung bi dr Ablitung wgällt. Bispil Ein bschränktr Zrallsprozss mit inm Anangsbstand von 10 und inr Grnz von 2 vrläut nach dr Funktionsglichung 0, Di Zit wird in Stundn gmssn. Nach Ablau wlchr Zit ist di Zrallsrat untr 10 % gsunkn? Schaubild 14: Vrlau ds Graphn Lösungswg Di Ablitung dr Funktion ist '( ) 1,6 0,2 '( ) 0,1 da di Zrallsrat 0,1 sin soll. 0,2 1,6 0,1 : (-1,6) 0,2 0,0625 ln -0,2 ln 0,0625 : (-0,2) 13,86 Nach knapp 14 Stundn ist di Zrallsrat untr 10 % gsunkn '( ) i a i 4.5 Wachstumsrat bi logistischm Wachstum Di rst Ablitung dr logistischn Wachstumsunktion '( ) 2 i b i (. Das siht nicht grad inach aus. Dshalb in klins Bispil: a b i b lautt: a + ( b a) Bispil Di Bschlunigung ins Fahrzugs wird durch di logistisch Funktion , ausgdrückt. Dabi bschlunigt das Fahrzug zunächst und wird danach allmählich widr langsamr Brchn di Gschwindigkit ds Fahrzugs nach 10 Skundn. Lösungswg Für wird dr Wrt 10 ingstzt , ,2 Nach 10 Skundn hat das Fahrzug 93,2 m zurückglgt. Disr Wrt wird in di obig 1. Ablitung ingstzt. Es rgibt sich: ' ( ) 0, ,2 0,0012 (93,2) 34,31 Dis ist dr Wrt in m pro Skund 2 WachstumZrall.doc 15

16 4.5.1 Dr Wndpunkt dr logistischn Wachstumsunktion Ein logistisch Wachstumsunktion hat immr inn Wndpunkt, dr dn Übrgang vom progrssivn zum dgrssivn Wachstum darstllt. An disr Stll ist di Wachstumsrat am größtn (sih Eignschatn von Wndpunktn in dr Dirntialrchnung). Normalrwis indt man dn Wndpunkt, indm man di 2. Ablitung bildt und dis glich 0 stzt. Bi dr logistischn Funktion ligt dr Wndpunkt allrdings immr an dr glichn Stll, nämlich bi dr Hält ds Grnzwrts (0,5٠b). Mit disr Inormation kann man nun ntwdr dn dazughörign -Wrt ausrchnn, indm man di Funktionsglichung dr logistischn Funktion nach aulöst odr das Maß dr größtn Stigung rmittln, indm man in di 1. Ablitung instzt. Bispil Di Entwicklung dr Population wird durch di Glichung ,5 0,, 2 ausgdrückt. Dr Grnzwrt dr Population bträgt Brchn dn Zitpunkt, in dm das Wachstum am größtn ist. Lösungswg Im Wndpunkt muss gltn () Daraus olgt: ,5 0,, mit 9,36 Nach 9,36 Zitinhitn ist das Wachstum am größtn. WachstumZrall.doc 16

17 5. Lösn von Dirntialglichungn In inr Dirntialglichung kommn Ablitungn und Funktionn vor. Di Lösung inr Dirntialglichung ist nicht in Zahl sondrn in Funktion. Dirntialglichungn bschribn das Ändrungsvrhaltn ins Bstands zu inm bstimmtn Zitpunkt. 5.1 Dirntialglichung bi ponntillm Wachstum (Zrall) In Kapitl 4.3 wurd di Ablitung dr Eponntialunktion mit '( ) b bschribn. Ein Dirntialglichung ür di Eponntialunktion kann olgndrmaßn ausshn: b '( ) b wobi gilt: a Man rknnt, dass di Wachstumsrat proportional (Faktor b) zum jwilign Bstand ist. Mit Hil inr Dirntialglichung kann nun bispilswis di Funktionsglichung bstimmt wrdn, wnn dr Bstand zu inm Zitpunkt und di Ändrungsrat in dism Punkt bkannt ist. Bispil 1: Ggbn ist di Dirntialglichung '( ) 0,2. Bstimm di Lösung, wnn außrdm bkannt ist, dass (10) 6. Lösungswg Di Lösung ist di gsucht Funktion ür (). 0,2 Es muss gltn: a Dis sind zunächst all Lösungn dr Dirntialglichung. Um dn Anangswrt a zu indn, müssn di Koordinatn ds bkanntn 0,2 10 Punkts ingstzt wrdn. 6 a Daraus olgt: a 6: ² 0,812 0,2 Lösung: 0,812 Bispil 2: (Wachstum) Dr Bstand inr Nährlösung wächst ponntill. Nach 20 Stundn bträgt dr Bstand Di momntan Wachstumsrat zu dism Zitpunkt bträgt Nach wi viln Stundn ist dr Bstand au 1 Mio. angwachsn? Lösungswg Ggbn: () 1160 und (20)8222. Ansatz: 1160 b ٠8222 b 0,141 0, Dann gilt: a 8222 a 490 0, , , ,8 ln 54 Nach ca. 54 Stundn Bispil 3. (Zrall) Dr Zrall ins chmischn Elmnts vrläut ponntill. Nach 5 Tagn ist bträgt dr Bstand 3276,8 EH. Di momntan Zrallsrat bträgt 731,2. Bstimm di Funktionsglichung und dn Ausgangswrt. Lösungswg Ggbn: () -731,1 und (5) Ansatz: -731,1 b ٠ 3276,8 b -0,2231 0, Dann gilt a 3276, 8 a Dr Anangswrt bträgt und di Funktions- 0,2231 Glichung lautt WachstumZrall.doc 17

18 5.2 Dirntialglichung bi bschränktm Wachstum (Zrall) In Kapitl 4.4 wurd di Ablitung dr Eponntialunktion mit '( ) b bschribn. Di Dirntialglichung ür das bschränkts Wachstum lautt: '( ) k ( b ) wobi gilt: b a k Di Dirntialglichung ür dn bschränktn Zrall lautt bnso wi obn: '( ) k ( b ) wobi gilt: b + a k b Sättigungsgrnz und a b (0) Dr Trm b () wird als Sättigungsmanko bzichnt. Das Zustandkommn disr Dirntialglichung soll anhand ins Bispils gzigt wrdn: Bispil 1: Angnommn, in Bvölkrungswachstum wird durch di bschränkt Wachstumsunktion 0, dargstllt. Dann lautt di 1. Ablitung: '( ) 0,05 ( 6) 0,05 Wi lautt di Dirntialglichung, di inn Zusammnhang zwischn () und () darstllt? Lösungswg Wnn gilt: auch: 0,05 ( ) 10 6, dann gilt 10 6 Somit gilt auch: () 0,05 ( 10 () odr allgmin: () k (b ()) 0,05 Bispil 2: (Wachstum) Ein Glas Wassr wird mit inr Tmpratur von 5 Grad aus dm Kühlschrank ntnommn. Nach 20 Minutn hat s sich au 18 Grad augwärmt. Di Zimmrtmpratur bträgt 22 Grad. Stll di Dirntialglichung dr bschränktn Wachstumsunktion au. Lösungswg Es wird olgnd Glichung augstllt: k Nach Umstlln ist k 0, , ( ) odr Nach obigr Forml ist dann: 0, ()0, (22 ()) Brchn di momntan Erwärmungsrat nach 20 Minutn. (20) 0, (22 18 ) 0,289 Grad WachstumZrall.doc 18

19 Bispil 3: (Zrall) Ein bschränktr Zrallsprozss wist an dr Stll 10 in momntan Ändrungsrat von -0,2165 au. Wi lautt di Funktionsglichung, wnn das Sättigungsmanko zu dism Zitpunkt bi -1,0826 und di Sättigungsgrnz bi 2 ligt? Lösungswg Es gilt: -0,2165 i (-1,0826) i 0,2 Damit gilt: -0,2165 0,2 ( -a ٠-0,2٠10 ) -0,2165-0,2a٠-2 : (-0,2) 1,0825 a٠-2 ln ln 1,0825 ln a ,0792 ln a a 8 Damit ist ,2 6. Spzill Augabnstllungn Di bidn olgndn Augabn sind Til von Abituraugabn ür Listungskurs in Hssn. Schaubild 15 Augab 1: Mdikamntnkonzntration Durch di Funktion 20 0,5 wird di Konzntration ins Mdikamnts im Blut ins Patintn bschribn ( in Stundn, () in mg pro Litr). Es sind olgnd Augabn zu lösn: 1. Wann rricht di Konzntration dn höchstn Wrt? 2. Zu wlchm Zitpunkt wird das Mdikamnt am stärkstn abgbaut? 3. Wi groß ist zum Zitpunkt 4 di momntan Ändrungsrat? 4. Wi hoch ist di mittlr Konzntration innrhalb dr rstn 12 Stundn? Lösungswg 1. Ablitung mit dr Produktrgl und Kttnrgl ()u v + u v u 20 u 20, v -0,5 v -0,5-0,5 ()20(-0,5) -0, ,5 () -0,5 (20-10) () -0,5 ( ) -0,5 (20 10) 0 gilt ür 2 nach Satz vom Nullprodukt (2) - 22 also Maimum bi (2/14,715) 2. () 0 4, nach dm Satz vom Nullprodukt 3. (4) -2, Es muss di Fläch untr dr Kurv zwischn 0 und 12 brchnt wrdn. Das Intgral wird mit Hil dr partilln Intgration gbildt: ,5 0,5 u v' [ u v] 0 u' v ,5 12 0, [ 40 ] [ 80 ] ] , , ,5 WachstumZrall.doc 19

20 Schaubild 16 Augab 2 Funktionnschar Durch di Funktion ( k ) wird in Funktionnschar bschribn. Es sind olgnd Augabn zu lösn: 1. Untrsuchn Si Nullstlln, Etrmwrt und Wndpunkt 2. Bstimmn Si di Glichung dr Ortskurv allr Hochpunkt dr Funktionnschar. 3. Zign Si, dass sich all Tangntn, di im jwilign Schnittpunkt mit dr y-achs an di Graphn anglgt wrdn, sich in inm Punkt schnidn. 4. Brchnn Si di Fläch, di von dr Funktion mit k 1 im 2. Quadrantn ingschlossn wird. Lösungswg 1. Ablitung mit dr Produktrgl und Kttnrgl ()u v + u v u k u -1 v v () (k - ) (k - 1) Di rst Ablitung ist also slbst in Kurv dr Schar () (k 2), () (k 3) usw. ür witr Ablitungn Nullstlln: (k ) 0 k N(k/0) Etrmwrt: (k 1) 0 k 1 (k-1) < 0 HP(k-1/ ) Wndpunkt: (k 2) 0 k 2 (k-2) nicht 0 WP(k-2/2 ) 2. Hochpunkt nach k aulösn: k + 1 Einstzn in Funktionsglichung () ( + 1 ) (Glichung dr Ortskurv) 3. Ablitung im Punkt 0 (0) 0 (k 0 1) k - 1 Funktionswrt (0) (k 0) 0 k t() m + b (k 1)*0 + b k b t() (k 1) + k Um zu prün, ob dis Tangntn sich ür all Wrt von k schnidn, kann man dis ür zwi Wrt von k untrsuchn indm man di Tangntnunktionn glich stzt. Z. B. k1 k und k2 k+1 (k - 1) + k (k + 1-1) + k + 1 k + k k + k Da in dr Lösung k nicht vorkommt, gilt dis Lösung ür all k t(-1) (k 1)(-1) +k -k k 1 Dr gminsam Schnittpunkt allr Tangntn in 0 ligt also bi (-1 / 1) 4. Für k 1 gilt () (1-) Damit ist di Stammunktion F() (2 ) Di Intgrationsgrnz wird durch di Nullstll bstimmt, di bi 1 ligt. 1 1 (1 ) [(2 ) ] Dann gilt: 0 (2-1) 1 (2-0) 0 2 0,718 0 So, das war s. Mhr ällt mir im Momnt nicht zu dm Thma in. WachstumZrall.doc 20

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