Konfus geschrieben und alleinstehend wohl kaum zu gebrauchen! War mehr eine Art Notizblock beim Lernen...

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1 Investitionslehre ACHUNG! Konfus geschrieben und alleinstehend wohl kaum zu gebrauchen! War mehr eine Art Notizblock beim Lernen...

2 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung, Grundlagen und Übersicht Aufgaben den Investitionslehre Die Aufstellung der Zahlungsreihe einer Investition Grundlegendes zur Bewertung von Investitionen Bewertung bei einheitlichem Zins Kapitalwert, Endwert und Annuität einer Investition Äquivalenz der Kriterien Bewertung ohne einheitlichen Zins Kapitalwert, Endwert und Annuität ohne einheitlichen Zins Zur Äquivalenz der Kriterien Das allgemeine Bewertungskalkül ohne einheitlichen Zins Separation der Investitionsentscheidung und Bedingungen für den Ansatz eines einheitlichen Kalkulationszinses Die Überlegungen von Fisher und Hirshleifer zur Separation Separation im vollkommenen Kapitalmarkt Keine Separation im unvollkommenen Kapitalmarkt Separation in der betrieblichen Investitionsrechnung Ein scheinbarer Widerspruch Relative Fisher-Hirshleifer-Diagramme Ein interessantes Nebenergebnis zur Kapitalwert- und Endwertdominanz Separationsbedingungen und Vorteile aus einer Separation Auflösung des Widerspruchs Periodenabhängiger Kalkulationszins Kapitalwert, Endwert und Annuität bei periodenabhängigem Kalkulationszins Periodenabhängiger Kalkulationszins aufgrund einer sich verändernden Liquiditätssituation Periodenabhängiger Kalkulationszins aufgrund einer nicht horizontalen Zinskurve Bewertungskalküle bei sicheren Erwartungen und eindeutigem Kalkulationszins Projektdauer und Ersatzzeitpunkt Optimale Nutzungsdauer ohne Folgeprojekt Optimale Nutzungsdauer mit Folgeprojekt Optimale Nutzungsdauer in einer wiederholten Projektdurchführung Zur Berechnung der laufzeitabhängigen Annuität Optimale Laufzeit bei unbeschränktem Planungshorizont Optimale Laufzeit bei fest vorgegebenem Planungshorizont Ersatz eines laufenden Projektes Berücksichtigung von Steuern Art und Höhe der Ertragsteuern Vollständiger Finanzplan zur Berücksichtigung der Steuern in der Investitionsbewertung Das Standardmodell zur Berücksichtigung von Steuern in der Investitionsbewertung Darstellung des Standardmodells Annahmen des Standardmodells Steuerwirkung auf die Vorteilhaftigkeit von Projekten Zusätzliche Berücksichtigung von Inflation Die Wirkung der Inflation ohne Steuern Die Wirkung der Inflation bei Steuern Weitere Bewertungskalküle für Investitionen Die Amortisationsdauer Der interne Zinsfuß Statische Näherungsverfahren Der durchschnittliche jährliche Gewinn Return on Investment Bewertungskalküle bei sicheren Erwartungen ohne eindeutigen Kalkulationszins Mathematische Formulierung des allgemeinen Bewertungskalküls Einfachere Versionen des allgemeinen Bewertungskalküls Keine Explizite Optimierung des Basisfalls Vereinfachte Abbildung der Konsumpräferenz Eine vereinfachte Form des allgemeinen Bewertungskalküls Zusätzliche Vereinfachungen des Bewertungskalküls Investitionsprogrammentscheidungen Zur Differenzierung zwischen Investitionsprogrammentscheidungen und Entscheidungen im direkten Vergleich einzelner Projekte Simultane Investitions- und Finanzierungsplanung Kapitalwertratenverfahren...20

3 5. Bewertung von Investitionen unter Unsicherheit: Grundlagen und Separation Zur Modellierung der Unsicherheit Unsichere Einflussgrößen ohne Wahrscheinlichkeiten Unsichere Einflussgrößen mit Wahrscheinlichkeiten Eine unsichere Einflussgröße mit bekannten Wahrscheinlichkeiten Mehrere unsichere Einflussgrößen mit bekannten Wahrscheinlichkeiten Modellierung der Unsicherheit über einen Entscheidungs- bzw. Zustandsbaum Separation der Investitionsentscheidung bei Unsicherheit Das Bewertungskalkül bei Separation Bewertungskalküle bei unsicheren Erwartungen ohne Separation Mathematische Formulierung des allgemeinen Bewertungskalküls bei unsicheren Erwartungen Vereinfachungen des allgemeinen Bewertungskalküls Keine explizite Optimierung des Basisfalls Die Auflösung der Unsicherheit als Problem weiterer Vereinfachungen Portefeuilletheoretische Ansätze Die Annahmen für weitere Analysen Portefeuilleoptimierung mit einem Wertpapier Das Modell der Beteiligungsfinanzierung Das CAPM-Bewertungskalkül Die Überleitung vom CAPM-Bewertungskalkül zur Berechnung des Unternehmenswertes Formeln Von Rente zu End-/Barwerten von Rente zu Endwert: Endwertfaktor von Rente zu Barwert: Rentenbarwertfaktor Von Barwert / Endwert zu Rente von Endwert zu Rente: Rückwärtsverteilungsfaktor von Barwert zu Rente: Kapitalwiedergewinnungsfaktor...29

4 1. Einführung, Grundlagen und Übersicht 1.1. Aufgaben den Investitionslehre Investition: mit Aufwand (Geldabgang, Arbeitsaufwand, etc.) beginnendes Projekt, das zu späterem Nutzen führt (Betriebswirtschaftlich [z.b. Mitarbeiterschulung, neue Maschinen] und privat [z.b. Anschaffung von Spülmaschine]) verschiedene Ziele, monetär und nicht-monetär (z.b. höhere Flexibilität) sind relevant Investitionslehre: Bewertung von Investitionen auf ausschließlich monetärer Basis, Suche nach Vorteilhaftigkeitsindex, absolut und relativ (zum Vergleich verschiedener Investitionen) 1.2. Die Aufstellung der Zahlungsreihe einer Investition Ermittlung der relevanten Zahlungen der Investition 1. nur tatsächliche Zahlungen, keine buchhalterischen Größen wie Abschreibungen, etc. 2. alle Zahlungen relativ zum Basisfall, d.h. 200 Ersparnis durch Projekt in einer Periode entsprechen einer positiven Zahlung in Höhe von 200 gegenüber dem Basisfall 3. Basisfall muss realistisch angesetzt werden, bestmögliche Lösung ohne die Investition (kein Schönrechnen einer Investition durch zu schlecht gewählten Basisfall!) äquidistante Zerlegung der Zeitachse in Zeitabschnitte mit Abschnitt t=0 Zeitpunkt der ersten Zahlung (Kalkulationszeitpunkt) sowie Planungshorizont t= Zerlegung so wählen, dass Zahlungsschwerpunkte berücksichtigt werden. (Buch S. 5) 1.3. Grundlegendes zur Bewertung von Investitionen Bewertung bei einheitlichem Zins Kapitalwert, Endwert und Annuität einer Investition Ergänzungsprojekte: Geldanlage- und Leihmöglichkeiten auch hier relative Betrachtung: Finanzierung einer Ausgabe muss nicht mit Kredit einhergehen, Verzicht auf eine andernfalls getätigte Investition ist ebenfalls eine Geldquelle Annahme eines vollkommenen Kapitalmarktes mit einem einheitlichen, periodenunabhängigen Kalkulationszinssatz i für Anlagen und Kredite. vollständiger Finanzplan: Aufschlüsselung der Zahlungsreihe in Investitionszahlungen, Anlagezahlungen und Kreditzahlungen. Kapitalwert: alle Zahlungen der Zahlungsreihe abgezinst auf t=0 : C 0 = t =0 z t 1 i t (eine Spezialform der Formel für periodenabhängige Zinssätze i : C 0 = t=0 Endwert: alle Zahlungen der Zinsreihe aufgezinst auf t= : C = z t 1 i t t=0 z t ) t 1 i =1

5 (dies ist eine Spezialform der allgemeineren Formel C = t =0 z t =t 1 1 i ) Annuität: jährliche, gleichmäßige Entnahme c : c=c 0 KWF i,t (KWF siehe Anhang Buch) Im Gegensatz zu Kapital- und Endwert keine direkte gradlinige Ermittlung der Annuität aus dem Finanzplan möglich, probieren. Bestimmt wird der Zins durch die Konditionen seiner Ergänzungsprojekte. Nur, wenn diese für die Investitionsbewertung als einheitlich angesetzt werden können, gibt es einen Kalkulationszins, sonst gibt es gar keinen Äquivalenz der Kriterien Kapitalwert und Endwert lassen sich bei Verwendungsmöglichkeit der angegebenen vereinfachten Formeln natürlich leicht ineinander umrechnen. Da die Annuität auch direkt aus dem Kapitalwert folgt, sind alle drei Kriterien zur Investitionsbewertung äquivalent. (Je höher der Wert, desto besser die Investition.) Bewertung ohne einheitlichen Zins Kapitalwert, Endwert und Annuität ohne einheitlichen Zins Bei periodenunabhängigen, aber unterschiedlichen Anlage- und Kreditzinssätzen Berechnung von Kapitalwert, Endwert und Annuität nur über vollständigen Finanzplan möglich! Änderung bei Finanzplan im Gegensatz zu Situation mit einheitlichem Zins: Ergänzungsprojekte konnten vorher alle zum Zeitpunkt t=0 begonnen werden. Das ist nicht mehr sinnvoll, da Kredite teurer als Anlagen sind und sich somit nicht gegenseitig aufheben. bessere Vorgehensweise: Aufbau des Finanzplans auf Basis der reinen Investitionszahlungsreihe mit Hilfe einperiodiger Ergänzungsprojekte. (D.h. mit einperiodischen Anlagen und Krediten.) Bei Kapitalwert sukzessiver Aufbau des Finanzplans von hinten, also ausgehend von t=, immer jeweils für eine Periode, bei Endwert entsprechend umgekehrt Aufbau von t=0 ausgehend. Bei Annuität hier nur Schätzung aus Finanzplan möglich, keine konkrete Formel anwendbar. Zunächst grobe Abschätzung der Annuität, danach iterative Approximation Zur Äquivalenz der Kriterien Bei uneinheitlichem Zins keine Äquivalenz zwischen Kapitalwert, Endwert und Annuität! Verschiedene Investitionen denkbar, von denen jeweils eine den besten Kapitalwert, eine den besten Endwert und eine die höchste Annuität hat Entscheidung für Investition von den Konsumpräferenzen (Entnahmepräferenzen) des Investors abhängig! keine Separation der Investitionsentscheidung von der der Finanzierungsentscheidung! Das allgemeine Bewertungskalkül ohne einheitlichen Zins Definierter Aufbau des Finanzplans: Investitionszahlungsreihe z 0,..., z k normierte Ergänzungsprojekte e 01,..., e 1 bis e 0k,..., e k mit 0 e ij 1 mit den jeweiligen Umfängen x j für Ergänzungsprojekt j (Geldfluss x j e tj in Periode t ) Konsumveränderungsreihe k 0,..., k als Summe der Investitionsreihe und aller Ergänzungsprojektreihen.

6 Beispiele für Ergänzungsprojekte (normiert): einperiodige Anlage zu 5% in t=0 : einperiodiger Kredit zu 10% in t=1 : 1 ;1,05 ; 0; 0 ; 0 ;... 0 ; 1; 1,1 ; 0 ;0 ; 0 ;... vorzeitige Kredittilgung in t=0 : 1 ;1,1 ; 0 ; 0;... Verzicht auf eine Anlage in t=0 : 1 ; 1,05 ; 0 ;0 ;... allgemeines Entscheidungskalkül des Investors: Wähle die Investition, die bei optimaler Kombination mit Ergänzungsprojekten zu der am meisten präferierten Verbesserung des Konsumstroms führt!

7 2. Separation der Investitionsentscheidung und Bedingungen für den Ansatz eines einheitlichen Kalkulationszinses Separation ermöglicht Investitionsplanung ohne Berücksichtigung der Konsumpräferenzen des Investors ohne zeitgleiche Finanzierungsplanung es muss zur Investitionsplanung lediglich bekannt sein, welche Finanzierungsmöglichkeiten prinzipiell zur Verfügung stehen, nicht, welche davon später konkret verwendet werden! 2.1. Die Überlegungen von Fisher und Hirshleifer zur Separation Separation im vollkommenen Kapitalmarkt Fisher, 1932: Separation gilt in vollkommenen Kapitalmärkten, d.h. bei einheitlichen Anlage- und Kreditzinsen. Elemente von Fisher und Hirshleifer zur Modellierung einer Investitionssituation: Konsumindifferenzkurven ransaktionsgraden Investitionskurven Kapitalwertmaximierer, Endwertmaximierer oder Annuitätenmaximierer unrealistische Annahmen für Investoren Annahme eines (variablen) Austauschverhältnisses zwischen Entnahmen am Anfang der Investition und am Ende der Investition Konsum-Indifferenz Konsumindifferenzkurve: Ordnet bestimmtem Konsum zu bestimmten Zeiten daraus folgenden Konsum zu anderen Zeiten zu Hier: Eindimensionale Konsumindifferenzfunktion für einperiodige Investition, ordnet einem bestimmten Konsum im Zeitpunkt t=0 einen resultierenden Konsum im Zeitpunkt t= =1 zu. Hat im Beispiel immer jeweils die Gestalt 1/ x, bei hohem Konsum in t=0 ist der Investor also mit geringem Konsum in t=1 zufrieden, und umgekehrt. ransaktionskurve: Kurve innerhalb des Fisher/Hirshleifer-Diagramms, auf der sich durch die Verfügbaren Ergänzungsprojekte das aktuelle K 0 / K 1 -Konsumverhalten verschieben lässt. Hat jeweils die Steigung 1 i mit dem in diesem Punkt gültigen Zins i. Investitionskurve: Funktion, die einem bestimmten in K 0 investierten Betrag in K 1 einen bestimmten Ertrag zuordnet. Bei Fisher grundsätzlich konkav aufgrund abnehmender Grenzrendite bei steigender Investitionsausgabe, nicht unumstritten. Alle Elemente zusammen ergeben Fisher-Hirshleifer-Diagramm. Optimale Investition an dem Punkt, an dem die ransaktionsgrade tangential auf der Investitionskurve liegt. Der tangentiale Berührungspunkt der ransaktionsgraden mit der Konsumindifferenzkurve gibt den für den Investor optimalen Konsum an. Im vollkommenen Kapitalmarkt bei Separation ist die ransaktionskurve eine ransaktionsgrade, da ein einheitlicher Zins i gilt.

8 Keine Separation im unvollkommenen Kapitalmarkt Liegt kein einheitlicher Zins i vor, existiert keine ransaktionsgrade, sondern eine Abschnittsweise definierte ransaktionskurve, welche bei in sich einheitlichem Anlagezins und Kreditzins eine abschnittsweise lineare Funktion (?) mit 2 eilstücken ist. Aussehen siehe Abb. 2.6 S. 26 Salopp ausgedrückt: Wir investieren auf jeden Fall, wenn es mehr bringt als ein Kredit kostet, und wir legen an, sobald die Grenzrendite der Investition weniger bringt, als ein Anlage. Handelt es sich bei der ransaktionskurve nicht um eine Gerade, gibt es mehrere optimale Investitionen, abhängig von den Konsumpräferenzen des Investors Separation in der betrieblichen Investitionsrechnung Ein scheinbarer Widerspruch Separation unter Umständen auch in unvollkommenen Finanzmärkten möglich, und zwar wenn Investor entweder sehr liquide oder von vornherein verschuldet ist Relative Fisher-Hirshleifer-Diagramme traditionelle Fisher-Hirshleifer-Diagramme: gehen von Absolutangaben (Vermögen, usw.) aus relative Fisher-Hirshleifer-Diagramme: gehen von Konsumänderungen k 0, k 1 zum Basisfall aus Koordinatenursprung: Basisfall, absolute Größe irrelevant ransaktionsgrade wird ersetzt durch Ergänzungsprojektkurve, beginnt im Ursprung des relativen F-H-Diagramms; links von diesem Punkt steht sie für relative Anlagen, rechts davon für relative Verschuldungen Investitionskurve beginnt in relativem F-H-Diagramm ebenfalls im Ursprung Ergänzungsprojektkurve wird bei Investition vom Ursprung zum Investitionspunkt verschoben Ein interessantes Nebenergebnis zur Kapitalwert- und Endwertdominanz Bei zwei Investitionen kann die mit dem HÖHEREN Kapital- und Endwert trotzdem die schlechtere sein! (Beispiel siehe Buch) Separationsbedingungen und Vorteile aus einer Separation Annahme: Konsumindifferenzkurven verlaufen oberhalb der k 0 -Achse, d.h. Investor möchte nicht auch zu t=1 auf Konsum verzichten. Dann gilt Separation genau dann, wenn die Ergänzungsprojektkurve vom Schnittpunkt mit der Investitionskurve bis zum Schnittpunkt mit der k 0 -Achse eine lineare Funktion darstellt, d.h. ein Zinssatz gilt. (entweder nur Kreditzinssatz oder nur Anlagezinssatz) Kann der Kapitalwert der kapitalwertmaximalen Investition auf der Basis genau eines Zinses berechnet werden, so ist die Investitionsentscheidung für diese kapitalwertmaximale Investition unabhängig von den Konsumpräferenzen optimal. Muss NUR für die Berechnung des Kapitalwertes der kapitalwertmaximalen Investition gelten! Muss nicht für Kapitalwerte schlechterer Investitionen gelten!

9 Vorteile von Separation: Nur wenige Informationen notwendig (Variablen in Kapitalwertformel, neben Zahlungsreihe nur der Kalkulationszins) Investitionsentscheidung kann von Dritten (z.b. Fachleuten) übernommen werden, ohne dass diese die Konsumpräferenzen des Investors kennen müssen Bei mehreren Investoren mit gleichem Kalkulationszins herrscht Einmütigkeit, was die beste Investition angeht Auflösung des Widerspruchs Fisher/Hirshleifer berücksichtigen Basisfall des Investors nicht, deswegen bei ihnen nie Separation in unvollkommenem Kapitalmarkt Mit relativer Betrachtung geht es aber unter Umständen, wie oben gesehen! 2.3. Periodenabhängiger Kalkulationszins Kapitalwert, Endwert und Annuität bei periodenabhängigem Kalkulationszins Kapitalwert und Endwert mit periodenabhängigem Kalkulationszins: siehe Kapitel 1 Annuität mit periodenabhängigem Kalkulationszins: Annuität ist konstanter Betrag c, der jeden Monat entnommen werden kann. z 0 t=1 z 0 z t c t =0 (d.h. mit der Entnahme bleibt kein Kapitalwert mehr übrig) 1 i =1 t=1 t=0 z t t 1 i =1 t =1 z t t=1 1 i = t =1 C 0 =c t=1 t =1 t =1 C 0 c =0 t 1 i =1 c t 1 i =1 1 t 1 i =1 1 i 1 =c Periodenabhängiger Kalkulationszins aufgrund einer sich verändernden Liquiditätssituation Wenn zu einem Zeitpunkt t innerhalb der Planungsperiode ein verschuldeter Investor plötzlich eine große Erbschaft erhält oder ein liquider Investor plötzlich einen großen Schaden bezahlen

10 muss, kann sich der gültige Kalkulationszinssatz ändern, von Kreditzins nach Anlagezins bzw. umgekehrt Periodenabhängiger Kalkulationszins aufgrund einer nicht horizontalen Zinskurve Zerobonds: Festverzinsliche Wertpapiere mit vorgegebener Laufzeit und ohne laufende Zinszahlungen; üblicherweise mit der Laufzeit steigender Zinssatz Kapitalwert einer durch Zerobonds finanzierten Investition: Auszahlungen mittels Rendite abzinsen auf Ausgabezeitpunkt. (Normale Kapitalwertformel für feste Zinssätze.) Endwert einer durch Zerobonds finanzierten Investition: Kapitalwerte aufzinsen Annuität einer durch Zerobonds finanzierten Investition: erfordert für die oben hergeleitete Annuitätenformel für c die periodenabhängigen Zinssätze; diese müssen berechnet werden: Zinssatz in Periode t : Vergleiche Zerobond mit Laufzeit t 1 mit Zerobond mit Laufzeit t. Gesuchter Zinssatz für Periode t ist Antwort auf die Frage: Wenn ich Zerobond mit Laufzeit t 1 habe, welche Rendite muss eine anschließende einjährige Anlage haben, um insgesamt auf die gleiche Rendite zu kommen wie mit dem t -jährigen Zerobond? 1 i zb t 1 t 1 1 i t = 1 i zb t t, mit i zb k der Zerobond-Rendite eines k -jährigen Zerobonds. zb t d.h. aufgelöst: i t = 1 i t 1 i zb t 1 1 Forward Rate! t 1 Forward Rate: Zinssatz für zukünftige Anlagen oder Kredite, dessen Konditionen heute schon festgelegt werden

11 3. Bewertungskalküle bei sicheren Erwartungen und eindeutigem Kalkulationszins Annahmen im Folgenden: Separation periodenunabhängiger Zins (Erweiterung auf periodenabhängigen Zins jeweils einfach möglich) 3.1. Projektdauer und Ersatzzeitpunkt Produktzyklusdauer, Maschinennutzungszeiten, usw Optimale Nutzungsdauer ohne Folgeprojekt Betrachtung der Fragestellung als Auswahl zwischen verschiedenen Projekten, d.h. Zahlungsreihen unterschiedlicher Länge! kann mit Kriterien wie Kapitalwert gelöst werden Weitere Annahmen: 1. Liquiditionszahlung L t bei Projektende in Zeitpunkt t, kann positiv oder negativ sein 2. max. endliche Projektlaufzeit n 3. Laufzeitwahl zwischen ganzen Perioden 1, 2, 3,...,n Bei max. Projektdauer n ex. n 1 Zahlungsreihen (inkl. Nichtdurchführung 0 z 0 L 0 ). Für jede Reihe Kapitalwert ausrechnen und Reihe mit max. Kapitalwert auswählen. Alternative: Zwei benachbarte Zahlungsreihen (z.b. mit Laufzeiten i und i 1 ) voneinander abziehen und deren Kapitalwert berechnen. Deutliche Vereinfachung, wenn alle i z j und i 1 z j gleich sind (d.h. der vorangestellte Index kann entfallen), da sich dann die meisten Periodenzahlungen gegeneinander aufheben! Grenzeinnahme g t im Jahr t : Endwert der Differenzinvestition zwischen t 1 und t. Zinst man Grenzeinnahme auf t=0 ab, erhält man Kapitalwertänderung, die durch Verlängerung des Projektes um dieses Jahr erreicht wird. Verlängerung lohnt bei positiven g t. 1. Sind alle g t positiv, ist n optimale Laufzeit. 2. Sind alle g t 0, ist Projekt nicht lohnend. 3. Wechselt g t an einer Stelle von g t 0 zu g t 0 und alle weiteren g t 0, ist dieses t die optimale Laufzeit. 4. Bestehen mehrere Wechsel von g t zwischen 0 und 0, muss das Optimum bei einem dieser Wechsel von 0 zu 0 liegen, hier Kapitalwerte ausrechnen und vergleichen. Alternative Berechnungsmethode: kumulierte Grenzeinnahmen bis zum nächsten Wechselpunkt aufzinsen und vergleichen. (Beispiel Buch!) Optimale Nutzungsdauer mit Folgeprojekt Bereits geplantes Folgeprojekt kann durch Kapitalwert repräsentiert werden. D.h. die Liquidationszahlung des ersten Projektes wird noch durch den Kapitalwert des Folgeprojektes ergänzt.

12 C t I t I t 1 = g t C t 1 C t i C t 1 (Die C s auf der rechten Seite sind jeweils die Kapitalwerte der Folgeprojekte.) Bei Existenz eines Nachfolgers mit positivem Kapitalwert muss diese Grenzeinnahme mindestens so hoch sein, dass die den Zinsentgang auf den Kapitalwert des Nachfolgers wettmacht Optimale Nutzungsdauer in einer wiederholten Projektdurchführung Zur Berechnung der laufzeitabhängigen Annuität Berechnung über Grenzeinnahmen: Bei 1 Jahr Laufzeit ist Annuität c gleich der Grenzeinnahme. c t =c t 1 g t c t 1 RVF i, t Optimale Laufzeit bei unbeschränktem Planungshorizont Projekt wird beliebig oft wiederholt: Projektdauer mit der maximalen Annuität auswählen. (Annuität wächst, wenn Grenzeinahme größer als die Annuität, und schrumpft im anderen Fall.) Optimale Laufzeit bei fest vorgegebenem Planungshorizont Einfach, wenn Planungshorizont ganzzahliges Vielfaches der optimalen (=annuitätsmaximalen) Projektlaufzeit. Wenn nicht: man kann durchprobieren, wobei Projektlaufzeiten mit höherer Annuität immer vor Laufzeiten mit geringerer Annuität durchgeführt werden. (Also z.b. bei 10 Jahre Planungszeitraum (4J/4J/2J), aber NICH (2J/4J/4J) oder (4J/2J/4J). Wegen Zinseffekten.) Ersatz eines laufenden Projektes Bisher: Planung der Projektlaufzeit vor Projektstart. Jetzt: Planung des Einsatzes eines Nachfolgeprojektes, wenn das aktuelle Projekt bereits läuft. (Durch neue Erkenntnisse / Alternativen / Errungenschaften ist auf einmal potentielles Nachfolgeprojekt sichtbar.) aktuelles Projekt weiterführen, solange Grenzeinnahme größer als entgangene Verzinsung auf Kapitalwert des Folgeprojektes. Ist kein Folgeprojekt vorhanden (Projektabbruch) ist dieser Kapitalwert 0, dies stellt also keinen Sonderfall dar. ACHUNG: Ist Grenzeinnahme kleiner, kann Weiterführung trotzdem lohnen, falls Altprojekt in Folgeperioden noch entsprechend hohe Einnahmen hat. ( g t nicht monoton.) (Weitere Details siehe Buch.) 3.2. Berücksichtigung von Steuern Verkehr- und Verbrauchssteuern Substanzsteuern (Grundsteuer, Erbschafts- und Schenkungssteuer, NICH MEHR Vermögenssteuer und Gewerbekapitalsteuer)

13 Ertragsteuern Art und Höhe der Ertragsteuern Einkommensteuer, linear-progressiv von 17% - 47%, + Soli + Kirchensteuer Problem: Durch variable Einkommensteuer kann Projektgewinn nur ermittelt werden, wenn Investor seinen Steuersatz im Basisfall kennt. Oft vereinfachende Annahme im Folgenden, dass Investor so viel verdient, dass er Höchststeuersatz zahlt. Bei Kapitalgesellschaften: Statt dessen zunächst Gewerbeertragssteuer, Körperschaftssteuer und Soli, dafür Halbierung des Einkommensteuersatzes bei Gewinnausschüttung an Gesellschafter. Betrachtung eines fiktiven Gewinnsteuersatzes, der die einzelnen Ertragssteuern annähernd repräsentiert, nicht unproblematischer Ansatz! Berechnung siehe Buch, S Vollständiger Finanzplan zur Berücksichtigung der Steuern in der Investitionsbewertung Ermittlung der Veränderung der Steuerbemessungsgrundlage gegenüber dem Basisfall bei Aufstellung des Finanzplans Das Standardmodell zur Berücksichtigung von Steuern in der Investitionsbewertung Zunächst Vorstellung des Standardmodells, danach die notwendigen Bedingungen, unter denen man es verwenden kann Darstellung des Standardmodells 1. Investitionszahlungsreihe vor Steuern I = z 0, z 1,..., z 2. Abschreibungsreihe von aktivierungspflichtigen Ausgaben A= a 0, a 1,..., a, dabei Anschaffung a 0 negativ, Abschreibungen a i ( i 0 ) positiv; a t = a 0 bzw. a t =0 ; t=1 t=0 steuerlicher Gewinn/Verlust z i a i 3. Projektzahlungsreihe nach Steuern I s = z 0 s z 0 a 0,..., z s z a = z 0 1 s s a 0,..., z 1 s s a (Zahlungsreihe nach Steuern interpretierbar als zwei addierte eilprojekte (Investitions- und Abschreibungsprojekt )) 4. Kalkulationszins i s = 1 s i zur Berücksichtigung von Steuern auf Zinsaufwendungen und -erträge. 5. Kapitalwert C 0 I s, i s, Endwert C I s,i s und Annuität c I s,i s Annahmen des Standardmodells Annahme 1: einheitlicher, proportionaler Gewinnsteuersatz s Muss gelten für Einkommensteuer, Körperschaftssteuer und Gewerbeertragssteuer. Annahme 2: Zahlungen z t entsprechen dem steuerrelevanten Ertragsüberschuss (ohne Abschreibungen)

14 Gilt z.b. nicht bei Pensionsrückstellungen o.ä. Annahme 3: Verluste werden mit Gewinnen aus anderen Projekten verrechnet und bewirken so Steuerersparnis Annahme 4: Steuerzahlungen und Projektzahlungen erfolgen zeitgleich Annahme 5: für Zinserträge aus Ergänzungsprojekten gilt ebenfalls Steuersatz s, Zinsaufwendungen aus Finanzierungen sind komplett absetzbar Vorsicht bei Finanzierungsänderungen durch Erhöhung/Rückzahlung von Dauerschulden, hier dürfen nur die Hälfte der Zinskosten steuermindernd geltend gemacht werden! Annahme 6: Substanzsteuern werden nicht berücksichtigt Vereinfachung, da Substanzsteuern in aller Regel nicht relative Bewertung der Projekte ändern Steuerwirkung auf die Vorteilhaftigkeit von Projekten Annahme: Standardmodell gilt Kapitalwert nach Steuern: C 0 I s,i s = 1 s C 0 I,i s s C 0 A,i s (Summe der gedachten eilprojekte Investitionszahlungsreihe und Abschreibungsreihe.) Unterschiede zwischen Kapitalwert vor und nach Steuern: 1. C 0 I, i s C 0 I,i aufgrund des geringeren Zinses 2. Faktor 1 s reduziert Kapitalwert 3. s C 0 A,i s 0, reduziert also ebenfalls Kapitalwert Abschreibungen wirken stärker, je länger abgeschrieben wird! (Logisch: Steuerersparnis wird verzögert) Anderer Kalkulationszins bedingt Steuerparadoxon: Kapitalwert einiger vor Steuern nicht-lohnender Investitionen kann durch Steuern lohnend (d.h. > 0) werden! (Grund: Senkung des Kalkulationszinsfußes!) Zusätzliche Berücksichtigung von Inflation Die Wirkung der Inflation ohne Steuern Reale Zahlungsreihe in Preisen von heute unter Annahme einer Inflation von 0%: I R = z 0, z 1,..., z Bei Inflationsrate w 0% gilt nominelle Zahlungsreihe: I N = z 0 1 w 0, z 1 1 w 1, z 2 1 w 2,..., z 1 w Somit gilt bei Nominalzins i : C 0 I N, i = t =0 Bisher Bruttozinsen, ohne Steuern! Es gilt: C 0 I N, i =C 0 I R, i 0 Inflation senkt Realzins (bei konstantem Nominalzins) Kapitalwert steigt üblicherweise! z t 1 i 0 t, mit Realzins i 0 = 1 i 1 w 1. Fisher-Hypothese: Inflation beeinflusst Nominalzins derart, dass Brutto-Realzins konstant bleibt!

15 Die Wirkung der Inflation bei Steuern Wieder Interpretation der realen Zahlungsreihe als Kombination aus Investitionszahlungsreihe und Abschreibungszahlungsreihe. (Jeweils mit Berücksichtigung der Steuern.) I R s = z 0 1 s s a 0,..., z 1 s s a In den nominalen Zahlungsreihe beeinflusst die Inflation nur die Investitionszahlungsreihe, nicht die Abschreibungen: I N s = z 0 1 s 1 w 0 s a 0,..., z 1 s 1 w s a Kalkulationszins nach Steuern: i s = 1 s i Damit gilt Kapitalwert: C 0 I s 1 w N, i s = 1 s t z s a t t t=0 1 i s t t=0 1 i s t Nettorealzins: i 0s = 1 i s 1 w 1 Damit gilt: C 0 I s N, i s =C 0 I s R,i 0s = 1 s t =0 Wirkung der Inflation: z t 1 i 0s t s t =0 a t 1 w t 1 1 i 0s t 1. Abschreibungen verlieren real immer mehr an Wert! Je höher Aktiva und je langsamer die Abschreibung, desto schlechter! 2. Selbst bei angepasstem Bruttorealzins sinkt der Nettorealzins aufgrund der Inflation: i 0s = 1 s i 0 sw 1 w Nettorealzins wird vermutlich sinken, Investition wird tendenziell vorteilhafter! (bzw. Alternativanlagen im Basisfall werden sehr ungünstig.) 3.3. Weitere Bewertungskalküle für Investitionen Die Amortisationsdauer Welches Projekt spielt als erstes die Investitionskosten wieder herein? Ermittlung der Dauer durch sukzessive Endwertberechnung. Ungeeignetes Kriterium, da es spätere (evtl. sehr hohe) Zahlungen aus den Projekten ignoriert. Hat höchstens ansatzweise Existenzberechtigung bei extrem unsicherer Zukunft Der interne Zinsfuß interner Zinsfuß: Kalkulationszins r, bei dem Kapitalwert Null ist: C 0 = t =0 z t 1 r t =0 Wird in Praxis verwendet, da Zinsfuß für eine Art Rendite des Projektes gehalten wird. Aber: Beispielsweise Bausparvertrag hat 2 Zinsfüße... :-/ Zinsfuß nur einigermaßen sinnvoll, wenn ein monotoner Verlauf des Kapitalwertes bekannt ist.

16 Projekt mit höherem Zinsfuß nicht automatisch besser! Hängt vom realen Kalkulationszins ab. Um den Zinsfuß zu ermitteln, benötigt man idr. ohnehin den Kapitalwert, und dann kann man auch die Investitionen daran vergleichen und muss nicht erst den Zinsfuß ausrechnen Statische Näherungsverfahren buchhalterische oder kalkulatorische Kriterien: arbeiten mit Durchschnittswerten Einfacher, aber ungenauer Der durchschnittliche jährliche Gewinn Berechnung einiger Durchschnittswerte anhand eines herausgegriffenen, für die Investition typischen Jahres. (Keine Durchschnittsbildung über die Werte der einzelnen Perioden, denn diese will man ja gerade nicht ermitteln.) durchschnittlicher jährlicher Ertrag - durchschnittliche jährliche laufende Kosten - durchschnittliche jährliche Abschreibungen - durchschnittliche jährliche Zinskosten = durchschnittlicher jährlicher Gewinn Dabei entspricht Abschreibungen einfach die Anschaffungsausgabe A durch die Projektlaufzeit, nicht die tatsächliche Abschreibung! Bei Resterlös R nach Projektende nach n Perioden ist Abschreibung A R n Zinskosten: Man nimmt an, dass A 2 dann mir Zinssatz multipliziert. durchschnittlich gebunden ist, bei Resterlös A R 2 Projekt durchführen, wenn durchschnittlicher Gewinn größer als 0. Vergleich damit zwischen Projekten nur bei gleicher Projektlaufzeit möglich!.. Wird Ist bei Projekten die Ertragsseite und die Kapazität gleich, reicht eine Kostenvergleichsrechnung Return on Investment Durchschnittlicher Kapitalertrag: durchschnittlicher jährlicher Ertrag - durchschnittliche jährliche laufende Kosten - durchschnittliche jährliche Abschreibungen = durchschnittlicher Kapitalertrag (d.h. durchschnittlicher Gewinn ohne Zinskosten!) durchschnittlicher Kapitaleinsatz: das durchschnittlich gebundene Kapital. ROI / Kapitalrendite: ROI= Kapitalertrag Kapitaleinsatz Projekt lohnt, wenn ROI i.

17 Es gilt das für den durchschnittlichen jährlichen Gewinn gesagte. Vergleich von Projekten anhand der Rendite ist NICH sinnvoll! Langes Projekt mit geringerem ROI kann höhere Auszahlung haben als kurzes Projekt mit hohen ROI.

18 4. Bewertungskalküle bei sicheren Erwartungen ohne eindeutigen Kalkulationszins 4.1. Mathematische Formulierung des allgemeinen Bewertungskalküls Wähle die Investition, die bei optimaler Kombination mit Ergänzungsprojekten zu der am meisten präferierten Verbesserung des Konsumstroms führt. Zahlungsreihe im Basisfall: I B = z 0 B,..., z B Zahlungsreihe im Investitionsfalls: I I = z 0 I,..., z I Zahlungsänderungen durch Investition I ist Differenz daraus. max. m B Ergänzungsprojekte im Basisfall, dargestellt durch Ergänzungsprojektreihen (für EP j ): E B j = e B 0j,...,e B j, mit e B ij der jeweiligen Zahlung im Verhältnis zum Projektumfang x B j. max. m I Ergänzungsprojekte im Investitionsfall, dargestellt durch Ergänzungsprojektreihen (für EP j ): E I j = e I 0j,..., e I I j, mit e ij der jeweiligen Zahlung im Verhältnis zum Projektumfang x j I. Überführung der Zahlungsreihe I B mit Hilfe einer Kombination der Ergänzungsprojektreihen E B in die Konsumreihe K B = K 0 B,..., K B, bzw. im Investitionsfall mit I. ;) Bewertung der Vorteilhaftigkeit eines Konsumstroms per Höhenpräferenzfunktion. falls auch Risikopräferenzen berücksichtigt werden sollen, Nutzenfunktion. Hier: Intertemporale Wertfunktion v K 0,..., K, abhängig von Konsum in Zeitpunkten t=0 bis t=. m Ermittlung des Optimalkonsums max v K B 0,..., K B mit K B t = z B t B e B B tj x j, Wiederholung des Ganzen für den Investitionsfall, Vergleich der maximalen Nutzenwerte der einzel- j=1 nen Alternativen Einfachere Versionen des allgemeinen Bewertungskalküls Keine Explizite Optimierung des Basisfalls Wenn häufiger entschieden werden muss, Basisfall einmal optimieren und alle Größen ( z i, e tj, etc...) relativ zum optimierten Basisfall definieren. Indizes I und B entfallen.

19 Vereinfachte Abbildung der Konsumpräferenz Keine genaue Vorgabe eines genauen gewünschten Konsums, sondern nur eine tendenzielle Präferenz: besonders hohe gleichmäßige Verbesserung oder besonders hohe Entnahme am Anfang, etc Eine vereinfachte Form des allgemeinen Bewertungskalküls Es gelten die gerade vorgestellten Vereinfachungen. Fall 1: Es soll die Entnahme in t=0 bzw. C 0 maximiert werden: max C 0, mit den Nebenbedingungen m C 0 = z 0 j=1 m x j e 0 j und z t x j e t j =0 für 0 t j=1 Analog Fall 2 und 3 für Endwert und Annuität. Beispiel für Konsumpräferenz periodisch um 5% steigenden Konsum : max c 1 unter den Nebenbedingungen m c t =c t 1 1,05 für 1 t, c t =z t j=1 Lösen mittels Rechner. m x j e t j für 1 t, z 0 x j e 0 j =0 j= Zusätzliche Vereinfachungen des Bewertungskalküls Zusammenfassung zusammenhängender Zahlungsreihen z.b. Berücksichtigung eines fest mit einer Investition verknüpften Kredites direkt in der Investitionszahlungsreihe statt Betrachtung als Ergänzungsprojekt. Wow Investitionsprogrammentscheidungen Zur Differenzierung zwischen Investitionsprogrammentscheidungen und Entscheidungen im direkten Vergleich einzelner Projekte Bisher: Betrachtung sich gegenseitig ausschließender Investitionen. Jetzt: Parallel durchführbare Investitionen stehen zur Auswahl, welche wirklich durchführen? (Investitionsprogramm) 1. Möglichkeit: Erweiterung des Kalküls um die Betrachtung mehrerer Investitionen. 2. Möglichkeit: Zusammenfassung von Kombinationen parallel durchführbarer Investitionen zu neuen, disjunkten Superinvestitionsprojekten... Anzahl dieser Potenzprojekte logischerweise enorm, deswegen meist explizite Modellierung der parallelen Investitionsprojekte besser Simultane Investitions- und Finanzierungsplanung mehrere Investitionsprojekte mit Investitionszahlungsreihen I k I (vgl. Ergänzungsprojekte) für jedes Investitionsprojekt k eine Umfangsvariable y k, die 0 für Projekt nicht durchgeführt und 1 für Projekt durchgeführt lautet (vgl. x j bei Ergänzungsprojekten)

20 Optimierungsansatz für Kapitalwert maximieren damit wie folgt: max C 0 unter den Bedingungen n C 0 = k=1 m y k z 0 k j=1 n x j e 0 j und k=1 m y k z t k x j e t j =0 für 1 t j=1 Hax-Weingartner-Modell / Modell der simultanen Investitions- und Finanzierungsplanung Ansatz erlaubt eine kombinierte Sicht auf Investitions- und Finanzierungsprojekte, indem die künstliche Separation in z - und e -Reihen aufgehoben wird. Allerdings y ganzzahlig, x reell. Abhängigkeitsmodellierung: Zwei Investitionsprojekte i und j schließen sich aus: y i y j 1 Projekt i bedingt Projekt j ( i ohne j nicht möglich): y j y i bzw. y j y i 0 Kredit x j wird nur bei Durchführung von Projekt k gewährt und ist begrenzt auf : y k x j bzw y k x j 0 explizite Genau-dann-wenn-Beziehung zwischen Projekten: y i = y k bzw. y i y k =0 Lassen sich Projekte nicht einfach addieren, sondern beeinflussen sie sich gegenseitig (z.b. Anfangsinvestition, die für zwei Projekte getätigt werden muss, aber nicht doppelt, wenn man beide Projekte durchführt) müssen als 3 disjunkte Projekte (Projekt A, Projekt B und Projekt A+B) modelliert werden! Kapitalwertratenverfahren Heuristisches Verfahren! Es sollen beliebig viele voneinander unabhängige Investitionen durchgeführt werden mit der einzigen Bedingung, dass der Startkapitalbetrag B nicht überschritten wird. 1. Kapitalwerte C 0 k aller n verfügbaren Projekte berechnen. Projekte mit negativem Kapitalwert eliminieren. 2. Für übrige Projekte Kapitalwertrate C 0 k z 0k berechnen und Projekte nach ihrer Rate sortieren. Projekte der Reihe nach durchführen, bis Kapital erschöpft. 3. Ist reicht das Budget für gerade betrachtetes Projekt nicht aus, überspringen und beim nächstschlechteren weiter. Garantiert nicht unbedingt Optimalität! Richtige Lösung mit Optimierungsproblem: n max C 0k y k unter den Bedingungen k=1 n k=1 z 0 k y k B, y k {0,1} Falls die Entnahme aus dem Budget vorgenommen werden muss, ist z 0 k durch C 0 k z 0k zu ersetzen.

21 5. Bewertung von Investitionen unter Unsicherheit: Grundlagen und Separation 5.1. Zur Modellierung der Unsicherheit Unsichere Einflussgrößen ohne Wahrscheinlichkeiten Einfachster Fall: eine unsichere Variable Ansatz: Sensitivitätsanalyse Gegenüberstellung des Bewertungskriteriums (z.b. Kapitalwert) bei verschiedenen Ausprägungen der unsicheren Variable d.h. in der Kapitalwert-, Annuitäten- u.a. Formel bleibt eine Variable (z.b. Projektlaufzeit, oder Zinssatz, oder...), evtl. in gewissen Grenzen, und die Zielfunktion wird abhängig von dieser Variable aufgetragen. (y-achse Zielfunktionswert, x-achse unbekannte Variable) Auch zwei variable Größen lassen sich noch in einer zweidimensionalen Grafik gegenüberstellen, wenn nur zwischen zwei Projekten ausgewählt werden muss: Dazu die Zielfunktion beider Projekte gleichsetzen, d.h. die Bedingung formulieren, dass beide Projekte gleich gut sind. Dann erhält man eine Formel mit zwei Unbekannten, die sich als Graph darstellen lässt Unsichere Einflussgrößen mit Wahrscheinlichkeiten Erlaubt Sensitivitätsanalyse keine absolute Aussage, müssen die Wahrscheinlichkeiten einzelner Ausprägungen der unbekannten Variable(n) berücksichtigt werden. Wahrscheinlichkeiten dabei keine objektiv gültigen Werte, sondern subjektiver Eindruck, wie wahr die entsprechende Ausprägung(skombination) erscheint Eine unsichere Einflussgröße mit bekannten Wahrscheinlichkeiten Bewertungskalkül: Erwartungswert Beispiel: Hohe Nachfrage (60%): 260 Einnahmen, geringe Nachfrage (40%): 200 Einnahmen Anfangsinvestition 200, 10% Zinsen. Erwartungswert des Endwertes: EW C 1 =200 1,1 0, ,4 200 =16 ABER: Berücksichtigt Risikoeinstellung des Investors gar nicht! Ansatz: Risikonutzenfunktion u, siehe Entscheidungslehre lohnt Damit Berechnung des EU -Wertes der Endwerte. Risikonutzenfunktion des Investors berücksichtigt Risiko, Höhenpräferenzen, usw... fundierte Vorgehensweise zur Bewertung von unsicheren Investitionen, allerdings NUR bei Verwendung des Endwertes nicht bei Verwendung von Annuität oder Kapitalwert! Denn: Nach Abschluss des Projektes ist der Ausgang bekannt, man kann den Endwert gefahrlos entnehmen (oder muss zuschießen), Unsicherheiten sind beseitigt. Am Anfang des Projektes kann man den (rechnerischen) Kapitalwert nicht entnehmen, da man Gefahr läuft, Geld zu entnehmen, das bei ungünstigem Projektverlauf nicht überschüssig ist! Deswegen Berechnung der Nutzenerwartungswerte der (rechnerischen, unsicheren) Kapitalwerte oder Annuitäten irreführend!

22 Mehrere unsichere Einflussgrößen mit bekannten Wahrscheinlichkeiten Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit und des Erwartungswertes jeder Endkombination. Ganz naheliegende Vorgehensweise, wenn Einflussgrößen voneinander unabhängig. Ansonsten: Modellierung der Unsicherheit über einen Entscheidungsbzw. Zustandsbaum 1. Aufstellung eines Entscheidungsbaumes mit Entscheidungs- und Zufallsknoten 2. Ermittlung geeigneter Strategien, d.h. jeweils optimaler Entscheidungen an jedem Entscheidungsknoten, abhängig von der aktuellen Situation an diesem Knoten. 3. Destillation eines Zustandsbaumes aus den Zufallsknoten der optimalen Strategie (durchnummeriert in Breitendurchlauf) s 1, s 2,..., s n. Jede Kante zwischen zwei Zufallsknoten s i und s j (bzw. der Ausgang eines Zufallsknotens s i zum Knoten s j ) hat dabei eine Wahrscheinlichkeit p ij. (Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass in Zustand s j gewechselt wird, wenn man sich bereits in Zustand s i befindet.) Jeder Pfad des Zustandsbaumes endet in einem Endzustand, für den die Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann. Abhängig von diesen Zustandsknoten können jetzt Investitions- und Ergänzungsprojekte definiert werden: z unsicher = z 0 z 1 ; z 2 ; ; z n e unsicher = e 0 e 1 ; e 2 ; ; e n (Zwischen zwei Strichen stehen immer die zeitgleichen, alternativ möglichen Zustände.) Damit ergibt sich analog zu dem allgemeinen Bewertungskalkül ohne einheitlichen Zins eine zustandsabhängige Konsumänderungsfolge k unsicher = k 0 k 1 ; k 2 ; ; k n Separation der Investitionsentscheidung bei Unsicherheit bei Sicherheit: einheitlicher Zins für Anlagen und Kredite hinreichendes Kriterium für Separation bei Unsicherheit: Es existieren für jeden Zustand Pure Securities, d.h. Wertpapiere, die in s 0 den Betrag kosten, in genau einem Zustand s i zum Betrag 1 verkauft werden können, und in allen anderen Zuständen ignoriert werden / keine Wirkung haben. MaW.: Der Kapitalmarkt muss vollständig sein. Kapitalmarkt muss vollkommen sein, d.h. keinerlei Einschränkungen auf mögliche ransaktionsvolumen, genau definierte zustandseinheitliche Preise für Pure Securities, usw... Weitere Beschreibung siehe Buch S. 130/131, muss ich mir nochmal anschauen. Grundidee ist, das Fisher-Hirshleifer-Diagramm mehrdimensional zu ergänzen, neben dem Konsum im Startzustand k 0 erzeugt jeder Folgezustand in Zeit t=1 eine neue Dimension k i. Damit werden Investitions-, Indifferenz- und Ergänzungsprojektkurven mehrdimensionale Gebilde. WICHIG: Vollständigkeit des Kapitalmarktes praktisch nie gegeben, also keine Separation unter unsicheren Erwartungen! Rein theoretische Überlegungen.

23 5.3. Das Bewertungskalkül bei Separation Auch hier Kapitalwert, Endwert und Annuität äquivalent. Entnahme bei Kapitalwert kann über Pure Securities realisiert werden: Investor kauft / verkauft in t=0 Pure Securities in genau dem Umfang, dass alle Zahlungen in t 0 dadurch ausgeglichen werden. Beispiel: Erwartet er 100 Euro Einzahlung in Zustand s 1, muss er in s 0 genau 100 Pure Securities für s 1 leerverkaufen, damit muss er in s 1 den Betrag 100 zahlen, erhält in s 0 aber n somit gilt für Kapitalwert: C 0 = z 0 i z i i=1 Zur Realisierung einer Annuität müssen für alle Zustände Pure Securities anteilmäßig erworben werden, die in den jeweiligen Zuständen dann die Annuität ergeben: c= C 0 n für den Endwert gilt entsprechend C = C 0 i s i Endzustandsmenge i =1 i

24 6. Bewertungskalküle bei unsicheren Erwartungen ohne Separation 6.1. Mathematische Formulierung des allgemeinen Bewertungskalküls bei unsicheren Erwartungen angepasste Verwendung des unter 4.1 vorgestellten Bewertungskalküls für sichere Erwartungen es wird die Betrachtung von Zeitpunkten 0 t durch die Betrachtung von Zuständen 0 s n ersetzt Änderung bei Berechnung von Erwartungsnutzen: EU K 0, K 1,..., K n = u K 0, K j1,..., K j 1, K i p si mit K 0, K j1,..., K j 1, K i s i Endzustände dem Konsum auf der Zustandsfolge s 0 s j1... s j 1 s i innerhalb des Zustandsbaumes Vereinfachungen des allgemeinen Bewertungskalküls Keine explizite Optimierung des Basisfalls Wie bei sicheren Erwartungen relative Betrachtung zu einem als optimiert angenommenen Basisfall, wenn möglich Die Auflösung der Unsicherheit als Problem weiterer Vereinfachungen Auch bei Investitionsalternativen mit identischem (Nutzen-)Erwartungswert möglicherweise WESENLICHE Unterschiede zu der Art und den Zeitpunkten, wann Unsicherheiten aufgelöst / reduziert werden! (Beispiel Buch S. 139) Verhindert weitere Vereinfachung des Kalküls, kann nur ignoriert werden, wenn Investor wirklich nur nach Abschluss des gesamten Projektes erst Geld herausziehen will! 6.3. Portefeuilletheoretische Ansätze Möglichkeiten, Risiko / Unsicherheit zu kompensieren? Wir wirkt sich die Übertragung von Risiko auf einen Fremdkapitalgeber auf die Projektbewertung aus? Die Annahmen für weitere Analysen einperiodiger Planungshorizont Investor ist Endwertmaximierer (Geldentnahme in t=1 ) einheitlicher Zins für Anlagen und Kredite (Separation gilt dennoch nicht, wie gesehen)

25 Modellierung aller unsicheren Variablen über stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, keine diskrete, zustandsbasierte Betrachtung mehr. Annahme, dass alle diese Wahrscheinlichkeitsverteilungen Normalverteilungen sind! Der Investor hat eine exponentielle Nutzenfunktion. Normalverteilung eindeutig definiert durch Erwartungswert und Standardabweichung. Investition definiert durch z 0, z, dabei ist z die unsichere, standardverteilte Investitionszahlung in t=1. (ilde = Wahrscheinlichkeitsverteilung) Durch Normalverteilung und exponentielle Nutzenfunktion kann - -Regel angewendet werden! EU x = x c 2 x 2 ( x 2 = Varianz) für beliebiges c, welches die Risikoeinstellung / Risikoscheu widerspiegelt, 1 c heißt Risikotoleranz Portefeuilleoptimierung mit einem Wertpapier Investmentfondsbeteiligung mit Rendite r, DAX-orientiert (d.h. Marktrendite) Investorenvermögen in t=0 beträgt w 0 Optimierung des Basisfalls: Wie viel vom Fonds kaufen, um Erwartungsnutzen zu maximieren? Investierter Betrag a reduziert Rückfluss in t=1 um (sichere) a 1 i, aber erhöht ihn um (unsichere) a 1 r w 1 B =w 0 1 i a 1 i a 1 r =w 0 1 i a r i EU w B 1 = w B 1 c 2 w B 1 2 = w 0 1 i a r i c 2 a 2 r 2 <-??? Abgeleitet ergibt dies nach Buch S. 145: EU w B 1 = r i c a r 2 a <-??? (innere/äußere Ableitungen?) Nullsetzen: r i a= c r 2 Investitionsfall: w 1 I =w 0 1 i b r i z z 0 1 i r i c cov z, r b= ( cov a,b = a, b a b ) c r 2 d.h. es ergibt sich die Änderung b a= cov z, r z, r z = r 2 r Naheliegend: Erhöhung der Anlage in Wertpapier, wenn Korrelation bzw. Kovarianz negativ sind, d.h. Wertpapier und Investition gegenläufige Ergebnisse liefern.

26 Vorteilhaftigkeit der Investition: EU w I 1 EU w B 1 = z z 0 1 i r i cov z, r c r 2 2 z 2 1 z, r 2 Prämie unsystematisches Risiko Prämie systematisches Risiko z z 0 1 i entspräche unter sicheren Erwartungen dem Endwert. Da Erwartungen unsicher, fließt Unsicherheit als zusätzlich addierte bzw. subtrahierte erme (Risikoprämien) ein. systematisches Risiko: wird durch gesamten Markt verursacht (z.b. allgemeine Konjunktur) unsystematisches Risiko: investitionsspezifisch (z.b. Konkurrent eröffnet Geschäft gegenüber) Prämie für systematisches Risiko berücksichtigt Effekte, die sich durch eine Änderung der Anlagesumme für den Fond ergeben. (Kovarianz zwischen Fondsrendite und Investitionsauszahlung) Prämie für unsystematisches Risiko ist relevant, wenn Korrelation zwischen Fondsrendite und Investitionsauszahlung nicht 1 oder -1 ist, hat größten Effekt, wenn beides komplett unkorreliert ist. (Dann ist die Prämie für systematisches Risiko ebenfalls Null, und die Prämie für unsystematisches Risiko maximal.) Prämie für unsystematisches Risiko ist IMMER ein Abschlag! (Siehe Vorzeichen.) Korrelation zwischen Investition und Marktrendite sehr relevant! Bei entgegengesetzter Korrelation zwischen Investition und Fonds-/Marktrendite ist Investitionsrisiko geringer, da Risiko durch höhere Investition in Fonds aufgefangen werden kann! Bei gleichförmiger (?) Korrelation zwischen Investition und Fonds-/Marktrendite ist Investitionsrisiko höher, da um das Risiko unter Kontrolle zu halten die Investition in den Fonds reduziert werden muss Das Modell der Beteiligungsfinanzierung Kapitalgeber: trägt eil des Investitionsrisikos mit Investmentfonds mit Rendite r und sichere Festanlage mit Zins i stehen weiter allen zur Verfügung. Risikotoleranz Investor: 1 c I, Risikotoleranz Kapitalgeber: Ergebnis vorweggenommen: Risikoaufteilung zwischen beiden im gleichen Verhältnis, wie die Risikotoleranzen zueinander stehen. (Risikotoleranter trägt mehr Risiko) Durch Verteilung des Risikos weniger negative Bewertung. Das Risiko wird durch die Standardabweichung der Investitionsauszahlung z repräsentiert. D.h. zur Bewertung der Investition für Investor und Kapitalgeber wird jeweils z angepasst zu 1 1 K 1 1 z I 1 c bzw. I 1 1 I 1 c z, der Rest der Rechnung bleibt unverändert. K c c c c K Rechnet man die Bewertungen der einzelnen Investoren zum Schluss zusammen, hat sich die systematische Risikoprämie in der Summe nicht geändert, aber die unsystematische ist geschrumpft. Rechnet man die Gesamtformel mit 1 = 1 1, d.h. c= 1 c c I c K 1 aus, 1 c I c K gleiche, bessere Ergebnis. 1 c K bekommt man in der Summe das Diese Vorgehensweise kann unproblematisch auf mehr als eine Person erweitert werden. Wieso keine Anpassung von r?

27 Muss für den Kapitalgeber bei dieser Rechnung dann nicht genau die gleichen Nutzenfunktion gelten wie für den Investor? Ist das realistisch / ist das so? Das CAPM-Bewertungskalkül Bewertung bei sehr vielen zusammenarbeitenden Investoren (z.b Aktionäre), für die stellvertretend ein Gremium (z.b. Vorstand einer AG) entscheidet? Anwendbarkeit des bereits hergeleiteten Kalküls, wenn der Vorstand im Sinne der Aktionäre entscheidet! (Shareholder-Value-Maximierung, gehen wir von aus) Weitere vereinfachende Annahme: Risikotoleranz aller Investoren identisch mit 1 c, d.h. gemeinsame Risikotoleranz von m Investoren ist m c. Das führt dazu, dass in der Kapitalwertnutzenfunktion oben die Prämie für unsystematisches Risiko für eine steigende Anzahl Investoren gegen Null geht. CAPM-Bewertungskalkül (Capital Asset Pricing Model): Bewertungsfunktion von oben, aber ohne die unsystematische Risikoprämie CAPM-Modell wird üblicherweise anders hergeleitet: Annahme Kapitalmarkt im Gleichgewicht : keine ransaktionskosten keine Steuern identische Erwartungen bezüglich Renditen und Unsicherheiten bei allen eilnehmern Unter diesen Bedingungen werden Investitionen wie oben angegeben bewertet! Sowohl im CAPM-Modell als auch in hier verwendeter Herleitung unrealistisch idealisierte Annahmen, z.b. gibt es in Realität andere Anlagemöglichkeiten als Festanlage mit Zins i und Fonds mit Rendite r, Steuern und ransaktionskosten usw. Weswegen Kalkül doch halbwegs sinnvoll verwendet werden kann: bei vielen Investoren (alle Marktteilnehmer, Aktionäre einer AG,...) gleichmäßige Aufteilung des Risikos gute Diversifikation Restrisiko bleibt Marktrisiko Anlagemöglichkeit zur Marktrendite, machen alle Investoren, fällt nur unterschiedlich hoch aus Investitionen werden als sehr lukrativ angesehen, wenn sie dem Marktrisiko entgegen laufen, d.h. bei schlechter Marklage (= niedriger Marktrendite) viel abwerfen! Ex. wenige dieser Investitionen. Investitionen, die mit Marktrendite mehr oder weniger stark gekoppelt sind (= die meisten) uninteressanter.