Weitere NP-vollständige Probleme

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1 Weitere NP-vollständige Probleme Wir betrachten nun folgende Reduktionskette und weisen dadurch nach, daß alle diese Probleme NP-hart sind (sie sind auch in NP und damit NP-vollständig). SAT p 3-SAT p DHC p HC p TSP 3-SAT: Erfüllbarkeit von aussagenlogischen Formeln in konjunktiver Normalform mit höchstens drei Literalen pro Klausel. DHC: Enthält ein gerichteter Graph einen Hamiltonkreis? HC: Enthält ein ungerichteter Graph einen Hamiltonkreis? TSP: Travelling Salesman Problem 248

2 3-SAT ist NP-vollständig Erfüllbarkeitsproblem 3-SAT EINGABE: eine aussagenlogische Formel F in konjunktiver Normalform mit höchstens drei Literalen pro Klausel. FRAGE: Hat F eine erfüllende Belegung? Definition 3-SAT 3-SAT ist die Menge der erfüllbaren aussagenlogischen Formeln in konjunktiver Normalform mit höchstens drei Literalen pro Klausel. Beispiel: Die Formel F =(x 1 x 2 ) (x 1 x 2 x 3 ) x 1 x 3 ist in der geforderten Form und hat keine erfüllende Belegung. Das heißt F 3-SAT. 249

3 3-SAT ist NP-vollständig Satz 57 (NP-Vollständigkeit von 3-SAT) Das Problem 3-SAT ist NP-vollständig. Beweis: Wie SAT ist auch 3-SAT in NP. Für die NP-Härte reicht es, SAT p 3-SAT zu zeigen (da SAT NP-hart ist). Wir müssen also in polynomieller Zeit aus einer beliebigen Formel F eine Formel F in KNF mit höchstens drei Literalen pro Klausel bestimmen, so daß F erfüllbar F erfüllbar Beispiel: F =(x 1 x 2 ) (x 2 x 3 ) 250

4 3-SAT ist NP-vollständig 1. Schritt: Betrachte die Formel F als Baum, dessen innere Knoten mit den Operatoren, und und dessen Blätter mit Variablen x i beschriftet sind. Beispiel x 1 x 2 x 3 x 2 251

5 3-SAT ist NP-vollständig 2. Schritt: Ordne jedem inneren Knoten eine neue Variable y 0, y 1, y 2,... zu. Der Wurzel wird y 0 zugeordnet. y 0 y 1 y 2 y 3 x 1 x 2 x 3 x 2 252

6 3-SAT ist NP-vollständig 3. Schritt: für jeden inneren Knoten bilden wir eine Formel und betrachten deren Konjunktion (zusammen mit der Formel y 0 ): ist y i die Beschriftung eines inneren Knotens mit Operator und u die des Kindes, so betrachte Formel y i u ist y i die Beschriftung eines inneren Knotens mit binärem Operator und sind u, v die Beschriftungen der Kinder, so betrachte Formel y i u v In unserem Beispiel ergibt sich: (y 0 (y 1 y 2 )) (y 1 (x 1 y 3 )) (y 2 (x 2 x 3 )) (y 3 x 2 ) y 0 Beachte: die so konstruierte Formel ist erfüllbar gdw. F erfüllbar 253

7 3-SAT ist NP-vollständig 4. Schritt: Forme diese Formel in die verlangte KNF mit maximal drei Literalen pro Klausel um: y (u v) ( y u v) ( (u v) y) ( y u v) (( u v) y) ( y u v) ( u y) ( v y) (Distributivgesetz!) Analog: y (u v) ( y u) ( y v) ( u v y) und y z ( y z) (y z) Damit erhält man eine Formel F, die genau dann erfüllbar ist, wenn F erfüllbar ist. Außerdem wurden alle Umformungsschritte mit nur polynomialem Aufwand durchgeführt. 254

8 3-SAT ist NP-vollständig Alternativer Vorschlag (schlechte Idee): Warum wird die Formel F nicht mit Hilfe der Regeln von demorgan und des Distributivgesetzes in konjunktive Normalform gebracht? (Und dann weiter umgeformt, so daß man weniger als drei Literale pro Klausel hat?) Antwort: Bei dieser Umwandlung kann die Formel exponentiell größer werden! Beispiel: Die Größe der Formel (x 1 x 2 ) (x 3 x 4 ) (x 2n 1 x 2n ) ist linear in n. Bei Umformung in konjunktive Normalform mittels des Distributivgesetzes ( ausmultiplizieren ) erhält man jedoch 2 n Klauseln, jede der Größe n. Eine solche Klausel ist beispielsweise (x 1 x 3 x 2n 1 ) 255

9 3-SAT ist NP-vollständig Wir haben gezeigt: Satz Die Probleme SAT und 3-SAT sind NP-vollständig. Das heißt, schon Formeln in KNF mit höchstens drei Literalen pro Klausel enthalten die volle Schwierigkeit des Erfüllbarkeitsproblems SAT. Was ist mit noch einfacher aussehenden Formeln? DNF: Das Erfüllbarkeitsproblem ist in P. 2-SAT: Formeln in KNF, die höchstens zwei Literale pro Klausel enthalten? Satz 58 (2-SAT in P) Mit Hilfe des Resolutionsverfahrens ist in Polynomialzeit entscheidbar, ob eine Formel F in KNF mit höchstens zwei Literalen pro Klausel erfüllbar ist. 256

10 Betrachtung von 2-SAT Komplexitätstheorie Für das Resolutionsverfahren benötigen wir die folgenden beiden Aussagen. Resolutionsregel Es gilt: (F 1 x i ) (F 2 x i ) F F (F 1 F 2 ) Das heißt, man kann neu gebildete Klauseln zu einer Formel hinzufügen, ohne ihren Wahrheitswert und ihre Erfüllbarkeit zu verändern. Beispiel: (x 1 x 2 ) (x 3 x 2 ) (x 1 x 2 ) (x 3 x 2 ) (x 1 x 3 ). 257

11 Betrachtung von 2-SAT Komplexitätstheorie Satz (Resolutionsverfahren) Eine Formel F ist genau dann unerfüllbar, wennmanmithilfeder Resolutionsregel aus ihr die einelementigen Klauseln x i und x i (für ein i) ableiten kann. (Daraus kann man dann noch in einem weiteren Schritt die sogenannte leere Klausel ableiten.) 258

12 Betrachtung von 2-SAT Komplexitätstheorie Beispiel: Aus F =(x 1 x 2 ) (x 1 x 2 x 3 ) x 1 x 3 kann man folgende Klauseln ableiten: (x 1 x 2 ), x 1 x 2 (x 1 x 2 x 3 ), x 1 (x 2 x 3 ) Daraus folgt, daß F unerfüllbar ist. (x 2 x 3 ), x 3 x 2 x 2, x 2 (leere Klausel) 259

13 Betrachtung von 2-SAT Komplexitätstheorie Bei der Resolution von zwei zweielementigen Klauseln ergibt sich wieder nur eine maximal zweielementige Klausel (das ist bei dreielementigen Klauseln anders!). Da es bei n verschiedenen atomaren Formeln nur 2n 2 = 2n(2n 1) 2 viele zweielementige und 2n viele einelementige Klauseln gibt, werden nach spätestens dieser polynomialen Anzahl von Schritten keine neuen Klauseln mehr abgeleitet. Je nachdem, ob die leere Klausel entstanden ist oder nicht, kann man jetzt entscheiden, ob die ursprüngliche Formel unerfüllbar ist. 260

14 Das Erfüllbarkeitsproblem Wir haben gezeigt: Satz Die Erfüllbarkeitsprobleme SAT und 3-SAT sind NP-vollständig. Das Erfüllbarkeitsproblem 2-SAT ist in P. Die Grenze zwischen einfachen und schwierigen Formeln liegt also zwischen Formeln in KNF mit höchstens zwei bzw. höchstens drei Literalen pro Klausel. 261

15 Kreise in Graphen Im folgenden betrachten wir das Problem, ob ein Graph einen Kreis enthält, der durch jede Kante bzw. durch jeden Knoten genau einmal führt. EC Eulerkreis EINGABE: ein ungerichteter Graph G =(V, E) mit Knotenmenge V und Kantenmenge E V 2 = {X V X =2}. FRAGE: Besitzt der Graph G einen Eulerkreis, d.h. kann man den Graphen so durchlaufen, daß jede Kante genau einmal benutzt wird? Definition EC EC ist die Menge der ungerichteten Graphen, die einen Eulerkreis enthalten. 262

16 Eulerkreise Satz (Euler 1736) Ein Graph (V, E) enthält einen Eulerkreis genau dann, wenn er zusammenhängend ist und jeder Knoten geraden Grad hat (d.h. jeder Knoten hat eine gerade Anzahl von Nachbarn). Folgerung EC ist in P, denn die genannten Bedingungen lassen sich in polynomieller Zeit prüfen. 263

17 Gerichtete Hamiltonkreise DHC Gerichteter Hamiltonkreis EINGABE: ein gerichteter Graph G =(V, E) mit Knotenmenge V und Kantenmenge E V V. FRAGE: Besitzt der Graph G einen Hamiltonkreis, d.h. kann man den Graphen so durchlaufen, daß jeder Knoten genau einmal besucht wird? Definition DHC DHC ist die Menge der gerichteten Graphen, die einen Hamiltonkreis enthalten. 264

18 Gerichtete Hamiltonkreise Beispiele für Graphen mit und ohne Hamiltonkreis: Kein Hamiltonkreis! Kein Hamiltonkreis! Hamiltonkreis existiert! Man kennt keine Charakterisierung dieser Graphen wie im Satz über die Existenz von Eulerkreisen (obwohl man seit 1857 danach sucht) - wie zeigt man, daß es keine geben kann? 265

19 DHC ist NP-vollständig Komplexitätstheorie Satz 59 (NP-Vollständigkeit von DHC) Das Problem DHC ist NP-vollständig. Beweis: zunächst gilt DHC NP, denn man kann einen Hamilton-Kreis raten und in polynomieller Zeit prüfen, ob es sich tatsächlich um einen handelt. noch zu zeigen ist NP-Härte, wofür 3-SAT p DHC ausreicht. Wir bestimmen dazu eine Reduktionsfunktion, die einer gegebenen Formel F einen gerichteten Graphen G zuordnet, so daß F genau dann erfüllbar ist, wenn G einen Hamiltonkreis besitzt. Dabei können wir davon ausgehen, daß F in konjunktiver Normalform ist (und höchstens drei Literale pro Klausel hat). 266

20 DHC ist NP-vollständig Sei also F Formel in KNF mit Klauseln c 1, c 2,...,c M und Variablen x 1, x 2,...,x N Ziel: Berechnung eines gerichteten Graphen G in polynomieller Zeit, der genau dann einen Hamilton-Kreis enthält, wenn F erfüllbar ist. Der Graph G enhält für jede Klausel c j (1 j M) einen Knoten C j und für jede Variable x i (1 i N) das folgende Diamantengadget D i : s i i v i1 v i2 v i,m v i,m+1 r i t i 267

21 DHC ist NP-vollständig Komplexitätstheorie Die Diamantengadgets D i werden in einem Ring angeordnet durch Kanten (t i, s i+1 )(1 i < N) und(t N, s 1 ). jeder Hamiltonkreis muß die Gadgets in der Reihenfolge D 1, D 2,...,D N durchlaufen und jedes Gadget von rechts nach links oder umgekehrt Idee: Durchlauf von D i von links nach rechts kodiert die Variable x i wird mit 1 belegt, Durchlauf von D i von rechts nach links kodiert die Variable x i wird mit 0 belegt damit: Hamiltonkreise in diesem Ring entsprechen den Belegungen der Variablen x 1,...,x N 268

22 DHC ist NP-vollständig Komplexitätstheorie Enthält die Klausel c j das Literal x i,sofüge Kantenzug v i,j C j v i,j+1 hinzu: s i C j i v i1 v i,j v i,j+1 v i,m+1 r i t i Idee: Durchlauf von D i von links nach rechts hieß Variable x i mit 1 belegt, alsoklauselc j wahr - und der ihr zugeordnete Knoten C j kann im Hamiltonkreis beim Durchlauf von D i besucht werden 269

23 DHC ist NP-vollständig Komplexitätstheorie Enthält die Klausel c j das Literal x i,sofüge Kantenzug v i,j+1 C j v i,j hinzu: s i C j i v i1 v i,j v i,j+1 v i,m+1 r i t i Idee: Durchlauf von D i von rechts nach links hieß Variable x i mit 0 belegt, alsoklauselc j wahr - und der ihr zugeordnete Knoten C j kann im Hamiltonkreis beim Durchlauf von D i besucht werden 270

24 DHC ist NP-vollständig Komplexitätstheorie Damit gilt für den so definierten Graphen G: G hat Hamilton-Kreis F ist erfüllbar G kann aus F in polynomieller Zeit berechnet werden. also: 3-SAT p DHC, womit folgt, daß DHC NP-hart und damit -vollständig ist. 271

25 HC ist NP-vollständig Komplexitätstheorie Im nächsten Schritt zeigen wir, daß auch das analoge Problem für ungerichtete Graphen NP-vollständig ist. HC Ungerichteter Hamiltonkreis EINGABE: ein ungerichteter Graph G =(V, E) mit Knotenmenge V und Kantenmenge E V 2 = {X V X =2}. FRAGE: Besitzt der Graph G einen Hamiltonkreis, d.h. kann man den Graphen so durchlaufen, daß jeder Knoten genau einmal besucht wird? Definition HC HC ist die Menge der ungerichteten Graphen, die einen Hamiltonkreis enthalten. 272

26 HC ist NP-vollständig Komplexitätstheorie Beispiele für Graphen mit und ohne Hamiltonkreis: Hamiltonkreis existiert! Kein Hamiltonkreis! Hamiltonkreis existiert! 273

27 HC ist NP-vollständig Komplexitätstheorie Satz 60 (NP-Vollständigkeit von HC) Das Problem HC ist NP-vollständig. Beweis: HC NP ist einfach zu sehen, da ein Hamilton-Kreis geraten und in polynomieller Zeit überprüft werden kann, daß es sich in der Tat um einen Hamilton-Kreis handelt. Für die NP-Härte reicht es, DHC p HC zu zeigen. Daher müssen wir zu jedem gerichteten Graphen G einen ungerichteten Graphen G konstruieren, so daß G genau dann einen Hamiltonkreis hat, wenn G einen Hamiltonkreis hat. Idee: Ersetze einen Knoten mit ein- und ausgehenden Kanten wie folgt 274

28 TSP ist NP-vollständig Komplexitätstheorie Wir zeigen nun, daß auch das Travelling-Salesman-Problem NP-vollständig ist. TSP Travelling Salesman EINGABE: eine n n-matrix M =(M i,j ) von Entfernungen zwischen n Städten und eine Zahl d. FRAGE: Gibt es eine Tour durch alle Städte, die maximal die Länge d hat? Das heißt, gibt es eine Indexfolge i 1,...,i m, so daß gilt: {i 1,...,i m } = {1,...,n} (jede Stadt kommt vor) M i1,i 2 + M i2,i M im 1,i m + M im,i 1 d (die Länge der Tour ist höchstens d) 275

29 TSP ist NP-vollständig Komplexitätstheorie Satz 61 (NP-Vollständigkeit von TSP) Das Problem TSP ist NP-vollständig. Beweis: TSP NP ist einfach zu sehen, da eine Indexfolge geraten und in polynomieller Zeit überprüft werden kann, daß sie die Bedingungen erfüllt. Für die NP-Härte zeigen wir HC p TSP: Sei G =(V, E) ein ungerichteter Graph, o.e. V = {1,...,n}.Wir konstruieren dazu folgende Matrix: M i,j = 1 falls {i, j} E 2 falls {i, j} E Außerdem setzen wir d = n. 276

30 Weitere wichtige Probleme k-färbbarkeit von Graphen EINGABE: Ein ungerichteter Graph G =(V, E). FRAGE: Gibt es Zuordnung von k verschiedenen Farben zu Knoten in V, so daß keine zwei benachbarten Knoten v 1, v 2 dieselbe Farbe haben? Ein Graph ist genau dann 2-färbbar, wenn er bipartit ist. Für k =2istdas Problem daher in P, für alle k 3 ist es NP-vollständig (Reduktion von 3-SAT). Effiziente Lösungen des Färbbarkeitsproblems sind relevant für die Lösung von Scheduling-Problemen (z.b. Konstruktion von Stundenplänen). 277

31 Weitere wichtige Probleme Bin Packing EINGABE: Eine Behältergröße b N, dieanzahlk N der Behälter und Objektgrößen a 1, a 2,...,a n. FRAGE: Können die n Objekte so auf die k Behälter verteilt werden, daß kein Behälter überläuft? Dieses Problem ist NP-vollständig (Reduktion von 3-SAT über verschiedene Zwischenprobleme). Es ist klar, daß dieses Problem in der Praxis relevant sein kann (Verpackung und Lagerung von Objekten). 278

32 Weitere wichtige Probleme Primzahlproblem EINGABE: Eine natürliche Zahl k N. FRAGE: Ist k eine Primzahl? Es war lange bekannt, daß dieses Problem in NP liegt (der Beweis ist nicht offensichtlich). Im Jahr 2002 wurde dann von Agrawal, Kayal, Saxena gezeigt, daß es sogar in Polynomzeit lösbar ist. Der derzeit beste bekannte Algorithmus hat Laufzeit O(n 6 ). Daher werden für konkrete Anwendungen (vor allem in der Kryptographie) weiterhin randomisierte Primzahltests verwendet. 279

33 Weitere wichtige Probleme Während in Polynomialzeit bestimmt werden kann, ob eine Zahl eine Primzahl ist, ist es anscheinend schwieriger, die Faktorisierung einer Zahl in ihre Primfaktoren zu bestimmen. Die Aufgabe, eine Zahl k in Primfaktoren zu zerlegen, ist eine Abbildung und kein Problem bzw. keine Sprache in unserem Sinne. Wir benötigen daher eine Sprachversion des Faktorisierungsproblems. Faktorisierung EINGABE: Zwei Zahlen k, r N. FRAGE: Besitzt k einen Faktor s = 1, der kleiner als r ist? 280

34 Weitere wichtige Probleme Wenn man dieses Problem lösen könnte, dann könnte man durch binäre Suche auch den kleinsten Faktor von k bestimmen und damit k faktorisieren. Der Status dieses Problems ist nicht geklärt. Es ist in NP: Primzahlfaktorisierung von k raten, überprüfen (verwendet Ergebnis von Agrawal u.a.) und den kleinsten Faktor mit r vergleichen. Bisher ist weder bewiesen noch widerlegt, daß es in P liegt bzw. daß es NP-vollständig ist. 281

35 Weitere wichtige Probleme Anwendungen in der Kryptographie: Die Schwierigkeit, das Faktorisierungsproblem zu lösen, ist die Grundlage einiger kryptographischer Verfahren (z.b. RSA). Interessanterweise ist das Faktorisierungsproblem dazu besser geeignet als viele als NP-vollständig bekannte Probleme, weil im wesentlichen alle Zahlen schwer zu faktorisieren sind. Bei bekannten NP-vollständigen Problemen gibt es oft viele leicht zu lösende Instanzen. Es gibt Algorithmen für Quantencomputer (Algorithmus von Shor), die das Faktorisierungsproblem effizient lösen könnten (wenn es funktionierende Quantencomputer gäbe). 282

36 Weitere wichtige Probleme Graphisomorphie EINGABE Zwei ungerichtete Graphen G 1 und G 2. FRAGE: Sind G 1 und G 2 isomorphi? Der Status dieses Problems ist ebenfalls nicht geklärt. Es ist offensichtlich in NP (Abbildung raten und prüfen, daß es Isomorphismus ist). Bisher ist weder bewiesen noch widerlegt, daß es in P liegt bzw. daß es NP-vollständig ist. 283

37 Lange Liste weiterer wichtiger Probleme Michael R. Garey und David S. Johnson: Computers and Intractibility: A guide to the theory of NP-completeness W.H. Freeman, 1979 (und später). 284