Das Bogenintegral einer gestauchten Normalparabel

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1 Ds Bogenintegrl einer gestuchten Normlprbel Jn Günther und Luks Vrnhorst Im Mthemtikleistungskurs der Jhrgngsstufe sind wir uf folgende Aufgbe gestoÿen: Bestimmen Sie eine Stmmfunktion von f(x) + x mit der ngegebenen Substitution x (et e t ). Zunächst dchten wir uns: Kein Problem! Als wir dnn ber uf einige Schwierigkeiten bei der Resubstitution stieÿen und uns unser Lehrer druf hinwies, dss wir es hier mit einem Bogenintegrl zu tun hben, beschlossen wir, dss die Aufgbe doch eine usführliche Berbeitung verdiene. Im folgenden möchten wir nun unser Ergebnis vorstellen Herleitung des Bogenintegrls Unsere ersten Frgen wren: Ws ist eigentlich ein Bogenintegrl? Wrum gibt diese Funktion eine Bogenlänge n? Und zu welcher Kurve bestimmt sie die Bogenlänge? Die Bogenlänge lässt sich für jedes beliebige Intervll m, m + n] pproximieren durch: l (m,n) f(x) + x (f(m + n) f(m)) + n (.) Diese Länge ist jedoch nur korrekt, wenn für Intervll m, m + n] n 0 gilt. Aus diesem Grund bilden wir die Summe vieler Einzelintervlle. l f(x) + x (.) l ( ) f(x) + x (.3) x Bildet mn nun den Grenzwert für x 0 so ergibt sich ds Integrl: lim x 0 ( ) f(x) + x (.) x

2 b b + ( ) d dx f(x) dx (.5) + (f (x)) dx (.6) Integrieren Es ergibt sich nun lso folgendes Integrl ls Länge l des Grphen der Funktion f(x) x uf dem Intervll, b] mit, b R: b + x dx. Substitutionsregel (.) Wir substituieren x (et e t ) worus sich die Ableitung dx dt (et + e t ) ergibt. Nch der Substitutionsregel b f(x)dx g(b) f(g(t)) g() g (t) dt gilt:. Umformungen + (et e t ) (et + e t )dt (.) Nun werden wir einige Äquivlenzumformung m oben gennntem Term durchführen. Vor llen Dingen werden wir hier die binomischen Formeln nwenden. + (et e t ) (et + e t )dt (.3) Zunächst hben wir (e t e t ) usmultipliziert. Dbei ergibt sich e t e t. + (et e t e t + e t ) (et + e t )dt (.) + (et + e t ) (et + e t )dt (.5) Dnn hben wir weiter usmultipliziert... + et + e t (et + e t )dt (.6)

3 ... und / / gerechnet. et + + e t (et + e t )dt (.7) Jetzt hben wir / wieder usgeklmmert. (et + + e t ) (et + e t )dt (.8) Hier fällt uf, dss dies der binomischen Formel in Schritt (.5) ähnelt, besonders, wenn mn durch e t e t ersetzt. (et + e t e t + e t ) (et + e t )dt (.9) Nch Anwendung der binomischen Formel ergibt sich: (et + e t ) (et + e t )dt (.0) Hier knn mn jetzt leicht die Wurzel ziehen und zusmmenfssen. (e t + e t ) dt (.) Zum Integrieren eignet sich eine Summendrstellung... e t + e t e t + e t dt (.)...die mn uch noch vereinfchen knn. + e t + e t dt (.3).3 Stmmfunktion Zu diesem Integrl lässt sich nun einfch eine Stmmfunktion nden: + e t + e t dt ] t(b) t + et e t (.) 3

4 . Resubstitution Um diese Stmmfunktion nun uch sinnvoll verwenden zu können, müssen wir zullererst die Gleichung, mit der wir zuvor substituiert hben nch t uösen: x e t e t (.5) Wir substituieren nun mit k e t : x k k (.6) kx k (.7) k kx 0 (.8) k kx + x x 0 (.9) (k x) x 0 (.0) (k x) x + (.) k x ± x + (.) Und erhlten so die Gleichung k x ± x + (.3) Nun setzen wir wieder e t für k ein: e t x ± x + (.) Jetzt kommt ein kleiner Trick: Wir wissen, dss e t immer positiv sein muss. Drus folgt lut (.), ds uch x ± x + immer positiv sein muss. D ber immer x + > x gilt, wird ds Vorzeichen von x± x + einzig und llein vom Vorzeichen von ± x + bestimmt. es gilt dher: e t x + x + (.5) Nch Anwendung der Logrithmus Nturlis ergibt sich: t ln(x + x + ) (.6) Dies lässt sich nun einfch in unsere Stmmfunktion einsetzten: ln(x + ] b ln(x+ x x e + ln(x+ x e (.7)

5 3 Vereinfchung der Stmmfunktion Nun werden wir die Stmmfunktion durch einfche Äquivlenzumformungen vereinfchen: Als erstes klmmern wir / us. ln(x + x + + ] b (e ln(x+ x + e ln(x+ x + ) (3.) Dbei heben sich e x und ln x gegenseitig uf, und nch dem Potengesetz mn ( m ) n gilt: ln(x + x + + ((x + x + ) (x + ] b x + ) ) (3.) Eine ndere Drstellung für x ist /x: ln(x + x + + ( (x + x + ) (x + x + ) D ( ) und gelten erhlten wir: b b ln(x + ( x + + (x + ( ) )] b x + ) x + x + )] b (3.3) (3.) Nun kommt der entscheidende Trick: Wir erweitern mit x x + : ln(x + x + + ((x + x + ) x x ( + (x + x + )(x x + ) ) )] b (3.5) Und wenden nun die 3. Binomische Formel ( + b)( b) b n: ln(x + x + + (x + x + ) ( x ) x + x (x + ) ( D x (x + ) ist entfällt der Nenner. D der gesmte Term qudriert wird, spielt die entstehende keine Rolle. ln(x + x + + ((x + x + ) (x ) x + ) }{{} ] b b (3.6) x x + x (x +) ) (3.7) 5

6 Erneut knn die 3. binomische Formel verwendet werden Die mrkierte Stelle lässt sich dnn so vereinfchen: (( (x + x + ) + (x ) ( x + ) (x + x + ) (x )) x + ) (3.8) (x)( x + ) (3.9) x x + Für unsere Stmmfunktion ergibt sich lso ds Endergebnis: ln(x + x + ) + x ] b x + (3.0) (3.) ln(x + x + ) + x ] b x + (3.) Anwendung n einem Fllbeispiel Wir hben nun llgemein die Bogenlänge der Funktion f(x) x im Intervll ; b] hergeleitet. Wir wollen nun bschlieÿend den konkreten Wert für die Bogenlänge im Intervll 0; ] berechnen. Wir setzten nun lso in der Formel (3.) für und b die entsprechenden Werte 0 und ein und erhlten: l 0;] ln(x + x + ) + x ] x + (.) 0 Dieser Term lässt sich nun wie üblich schreiben ls: l 0;] ln( + + ) + + ln( ) 0 ] 0 + (.) l 0;] ln( + ) + ] ln() (.3) Dieser Wert lässt sich nun mit Hilfe eines Tschenrechners leicht nden: l 0;] ln( + ) (.) 6