Musterlösung zur Klausur Differentialgeometrie für die Fachrichtung Geodäsie

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1 Karlsruher Institut für Technologie KIT) 4. März 20 Institut für Algebra und Geometrie PD Dr. Gabriele Link Musterlösung zur Klausur Differentialgeometrie für die Fachrichtung Geodäsie Aufgabe. Kurventheorie. Gegeben sei die Kurve mit der Parametrisierung ) x : R R 3, t t t3 3, t2, t + t Punkte) a) Überprüfen Sie, ob die Kurve x regulär ist, und ob x nach Bogenlänge parametrisiert ist. b) Berechnen Sie die Krümmung und Torsion von x. c) Zeigen Sie, dass alle Tangentialvektoren von x mit der x 3 -Richtung 0, 0, ) konstanten Winkel α einschließen. Berechnen Sie α. a) Da x t) = t 2, 2t, + t 2 ) o für alle t R wegen + t 2, ist x regulär. Weiter haben wir x t) 2 = t 2 ) 2 + 2t) t 2 ) 2 = 2t 2 + t 4 + 4t t 2 + t 4 = 2 + 4t 2 + 2t 4 = 2 + t 2 ) 2 2, also ist x nicht nach Bogenlänge parametrisiert. b) Wir berechnen weiter Damit folgt x t) = 2t, 2, 2t) = 2 t,, t), x t) = 2, 0, 2) = 2, 0, ), x x = 22t 2 t 2, t t 3 t + t 3, t 2 + 2t 2 = 2t 2, 2t, t 2 + ) x x = 2 t 2 ) 2 + 2t) 2 + t 2 + ) 2 c) Mit e 3 = 0, 0, ) haben wir = 2 t 4 2t t 2 + t 4 + 2t 2 + = 2 2t 4 + 4t = 2 2t 2 + ) κt) = x x x 3 = t 2 ) t 2 ) = 3 + t 2 ) 2, τt) = x x, x x x 2 = 4 t2 + + t 2 + ) 4 2t 2 + ) 2 = + t 2 ) 2 = κt). cos α = x t), e 3 x t) e 3 = + t2 2 + t 2 ) =, 2 d.h. α hängt nicht vom Parameter t ab. Wegen cos ) π 4 = 2 folgt weiter α = π 4 =45 ).

2 Aufgabe 2. Kegelfläche. Wir betrachten die Fläche mit der Parametrisierung 6 Punkte) x : 0, ) [0, 2π) R 3, u, u 2 ) xu, u 2 ) = u, u cos u 2, u + sin u 2 )). a) Untersuchen Sie, ob x regulär parametrisiert ist und berechnen Sie die ersten und zweiten Fundamentalgrößen von x. b) Zeigen Sie, dass x nur parabolische Punkte besitzt. c) Geben Sie alle Asymptotenlinien von x an. d) Zeigen Sie, dass die u -Parameterlinien Krümmungslinien sind. a) Wir berechnen zunächst x u u, u 2 ) =, cos u 2, + sin u 2 ), x u 2u, u 2 ) = 0, u sin u 2, u cos u 2 ), x u x u 2 = u + u sin u 2, u cos u 2, u sin u 2 ) = u + sin u 2, cos u 2, sin u 2 ). x ist regulär, da x u x u 2 o für u 0 gilt. Die ersten Fundamentalgrößen sind g = x u, x u = + cos u 2 ) sin u 2 ) 2 = sin u 2 = sin u 2, g 2 = x u, x u 2 = u cos u 2 = g 2, g 22 = x u 2, x u 2 = u ) 2, g = g g 22 g 2 2 = 3u ) 2 + 2u ) 2 sin u 2 u ) 2 cos u 2 ) 2 = u ) sin u 2 + cos u 2 ) 2) = u ) sin u 2 + sin u 2 ) 2). Insbesondere folgt n = g x u x u 2 = sin u 2 + sin u 2 ) 2 + sin u2, cos u 2, sin u 2 ). Weiter haben wir also x u u u, u 2 ) = 0, 0, 0), x u u 2u, u 2 ) = 0, sin u 2, cos u 2 ), x u 2 u 2u, u 2 ) = 0, u cos u 2, u sin u 2 ), b = x u u, n = 0, b 2 = x u u 2, n = 0 = b 2, b 22 = x u 2 u2, n = u ) 2 = g b = b b 22 b 2 2 = 0. u sin u 2 + sin u 2 ) 2,

3 b) Die Gaußkrümmung ist gegeben durch K = b g = 0, also besitzt die Fläche nur parabolische Punkte oder Flachpunkte. Für die mittlere Krümmung haben wir weiter H = ) b g 22 2b 2 g 2 + b 22 g = 2g 2g b 22g 0 für u 0, d.h. die Fläche kann nur parabolische Punkte haben. c) Da b = 0 ist, sind nach einem Satz der Vorlesung die u -Parameterlinien Asymptotenlinien. Da x nur parabolische Punkte hat, gibt es in jedem Punkt der Fläche genau eine Asymptotenrichtung, also gibt es außer den u -Parameterlinien keine weiteren Asymptotenlinien. d) Die Differentialgleichung DK) für Krümmungslinien vereinfacht sich in unserem Fall zu der Gleichung 0 = b 2 g b g 2 ) ) 2 + b22 g b g 22 ) 2 + b 22 g 2 b 2 g 22 ) 2) 2 = b 22 g 2 + b 22 g 2 2 ) 2 = b22 g + b 22 g 2 2 ) 2. Für die u -Parameterlinien ist u 2 t) = const, also 2 = 0. Damit folgt insbesondere b 22 g + b 22 g 2 2 ) 2 = 0, d.h. die u -Parameterlinien sind Krümmungslinien.

4 Aufgabe 3. Wendelfläche. Gegeben sei die Fläche mit der Parametrisierung 6 Punkte) x : R 2 R 3, u, u 2 ) xu, u 2 ) = sinhu 2 ) cos u, sinhu 2 ) sin u, u ). a) Berechnen Sie die Gaußkrümmung von x. b) Untersuchen Sie, ob es unter den Parameterlinien Asymptotenlinien gibt. c) Bestimmen Sie die Krümmungslinien der Fläche x. d) Zeigen Sie, dass die durch x : R 2 R 3, v, v 2 ) xv, v 2 ) = v 2 cos v, v 2 sin v, v ) gegebene Fläche eine Umparametrisierung von x ist. a) Wir berechnen zunächst x u u, u 2 ) = sinh u 2 sin u, sinh u 2 cos u, ), x u 2u, u 2 ) = cosh u 2 cos u, cosh u 2 sin u, 0), x u x u 2 = cosh u 2 sin u, cosh u 2 cos u, sinh u 2 cosh u 2 ) x ist regulär, da x u x u 2 o gilt. Die ersten Fundamentalgrößen sind Insbesondere folgt Weiter haben wir also = cosh u 2 sin u, cos u, sinh u 2 ). g = x u, x u = sinh u 2 ) 2 + = cosh u 2 ) 2, g 2 = x u, x u 2 = 0 = g 2, g 22 = x u 2, x u 2 = cosh u 2 ) 2, g = g g 22 g 2 2 = cosh u 2 ) 4. n = g x u x u 2 = cosh u 2 sin u, cos u, sinh u 2 ). x u u u, u 2 ) = sinh u 2 cos u, sinh u 2 sin u, 0), x u u 2u, u 2 ) = cosh u 2 sin u, cosh u 2 cos u, 0), x u 2 u 2u, u 2 ) = sinh u 2 cos u, sinh u 2 sin u,, 0), b = x u u, n = 0, b 2 = x u u 2, n = cosh u 2 cosh u2 = = b 2, b 22 = x u 2 u2, n = 0, b = b b 22 b 2 2 =.

5 Die Gaußkrümmung ist gegeben durch K = b g = cosh u 2 ) 4. b) Wegen b = b 22 = 0 sind alle Parameterlinien Asymptotenlinien. c) Die Differentialgleichung DK) für Krümmungslinien vereinfacht sich in unserem Fall zu der Gleichung 0 = b 2 g b g 2 ) ) 2 + b22 g b g 22 ) 2 + b 22 g 2 b 2 g 22 ) 2) 2 = b 2 g ) 2 b2 g 22 2 ) 2 = cosh u 2 ) 2 ) 2 cosh u 2 ) 2 2) 2. Wegen cosh u 2 > 0 ist dies äquivalent zu 2 ) 2 = ) 2 2 = ± u 2 = ±u + C mit C R. Die Krümmungslinien sind also gegeben durch c + : R R 3, t x t, t + C) = sinht + C) cos t, sinht + C) sin t, t), C R, c : R R 3, t x t, t + C) = sinh t + C) cos t, sinh t + C) sin t, t), C R. d) Wir betrachten die Abbildung v u, u 2 ) = u v 2 u, u 2 ) = sinh u 2. ) Dann gilt v, v 2 ) u, u 2 ) = det v u v u v 2 v 2 u 2 u 2 ) = 0 0 cosh u 2 = cosh u2 > 0. Weiter ist x v u, u 2 ), v 2 u, u 2 ) ) = sinh u 2 cos u, sinh u 2 sin u, u ) = xu, u 2 ), d.h. ) ist eine Parametertransformation, und x eine Umparametrisierung von x.

6 Aufgabe 4. Geodätische. Gegeben sei die Fläche mit der Parametrisierung 6 Punkte) x : R 2 R 3, u, u 2 ) xu, u 2 ) = sinu 2 u ), cosu 2 u ), u + u 2 ). a) Berechnen Sie alle Christoffelsymbole von x und geben Sie das System von Differentialgleichungen für Geodätische an. b) Bestimmen Sie alle Geodätische durch den Punkt x0, 0) = 0,, 0). c) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Teilstücks xv ) mit V := {u, u 2 ) R 2 : π 2 u π 2, π 2 u2 π 2 }. a) Wir berechnen zunächst x u u, u 2 ) = cosu 2 u ), sinu 2 u ), ), x u 2u, u 2 ) = cosu 2 u ), sinu 2 u ), ), g = x u, x u = + = 2, g 2 = x u, x u 2 = cos 2 u 2 u ) sin 2 u 2 u ) + = 0 = g 2, g 22 = x u 2, x u 2 = + = 2, g = g g 22 g 2 2 = 4. Damit folgt g ij,k = 0 und somit Γ k ij = 0 für alle i, j, k =, 2. Das System von Differentialgleichungen für Geodätische lautet also ü = 0, ü 2 = 0. b) Jede Geodätische ist daher von der Form ct) = xu t), u 2 t)) mit u i t) = a i t + d i, i =, 2. Verwendet man die Anfangsbedingungen u 0) = u 2 0) = 0, so folgt d = d 2 = 0, also ist jede Geodätische c mit c0) = x0, 0) gegeben durch ct) = xa t, a 2 t) = sina 2 a )t), cosa 2 a )t), a 2 + a )t). c) Für den Flächeninhalt des Teilstücks xv ) gilt OxV )) = gu, u 2 ) du du 2 = 2 du du 2 π/2 π/2 = 2 π/2 π/2 } {{ } =π du du 2 = 2π π/2 π/2 π/2 du 2 = 2 π 2.

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