0.5. Der Tangentenvektor T ist der Einheitsvektor in Richtung vo dr/dt (oder dr/ds).

Transkript

1 = 8Exp@- a td Cos@tD Exp@- a td Sin@tD 0<; XPlot = PaameticPlot3D@@tD. a 0. 8t 0 6 Π<D De Tangentenvekto T ist de Einheitsvekto in Richtung vo d/dt (ode d/ds). v@t_d = D@@tD td 9- a ã-a t Cos@tD - ã-a t Sin@tD ã-a t Cos@tD - a ã-a t Sin@tD 0= nomv = Simplify@Sqt@v@tD.v@tDDD I + a M ã- a t nomv = ã-a t I + a M + a ã-a t T@t_D = v@td nomv ãa t H- a ã-a t Cos@tD - ã-a t Sin@tDL ãa t Hã-a t Cos@tD - a ã-a t Sin@tDL 0 +a +a De Hauptnomalenvekto ist popotional de Ableitung von T nach s. Es ist dt dt = vhtl dt v = vκh = ds H

2 lsg_au_80303.nb = td nomv ãa t a ãa t H- a ã-a t Cos@tD - ã-a t Sin@tDL + + a + a ãa t I- ã-a t Cos@tD + a ã-a t Cos@tD + a ã-a t Sin@tDM + a ãa t a ãa t Hã-a t Cos@tD - a ã-a t Sin@tDL + +a +a ãa t I- a ã-a t Cos@tD - ã-a t Sin@tD + a ã-a t Sin@tDM 0 +a Htt@tD = FullSimplify@Ht@tDD ãa t H- Cos@tD + a Sin@tDL ãa t Ha Cos@tD + Sin@tDL a + a Die Nom von H ist die Kümmung Κ = Simplify@Sqt@Htt@tD.Htt@tDDD ã a t + a Κ = ãa t I + a M ãa t + a H@t_D = Htt@tD Κ - Cos@tD + a Sin@tD a Cos@tD + Sin@tD - + a 0 + a De Binomalenvekto egibt sich aus dem äußeen Podukt B@t_D = Coss@T@tD H@tDD Simplify 80 0 < << VectoFieldPlots`; TPlot = ListVectoFieldPlot3D@Table@8@tD T@tD<. a 0. 8t 0 6 Π<D ScaleFacto 0. VectoHeads TueD; HPlot = ListVectoFieldPlot3D@Table@8@tD H@tD<. a 0. 8t 0 6 Π<D ScaleFacto 0. VectoHeads TueD; BPlot = ListVectoFieldPlot3D@Table@8@tD B@tD<. a 0. 8t 0 6 Π<D ScaleFacto 0. VectoHeads TueD;

3 lsg_au_80303.nb TPlot HPlot BPlot BoxRatios 8 <D Simplify@T@DD H@D B@D a Cos@D + Sin@D Cos@D - a Sin@D a + a - Cos@D + a Sin@D a Cos@D + Sin@D - + a 0 + a 80 0 < 3. Es ist T = v v v=vt a = v = v T +v T De Hauptnomalenvekto egibt sich aus de Ableitung von T nach s. Es ist dt = vhtl dt v = vκh = dt ds und dahe v a=vt+ H H 3

4 4 lsg_au_80303.nb 4. Wi bestimmen zuest die Schnittkuve x + y - 6 z = - x+y = 0 x=t y = - t 6 z = + t + 4 t z = + = 9t - t + t =; Fläche = Plot3DAI x + y + - M 6 8x - < 8y - < BoxRatios 8 < Mesh False ViewPoint <E; Kuve = PaameticPlot3D@@tD 8t - < BoxRatios 8 < ViewPoint <D; Show@Fläche KuveD v@t_d = D@@tD td 8 - t< nomv = Sqt@v@tD.v@tDD t T@t_D = v@td nomv t - 5+4t 5+4t 5+4t

5 lsg_au_80303.nb = td nomv Simplify 4t 8t 0 I5 + 4 t M I5 + 4 t M I5 + 4 t M kappa = Sqt@Htest@tD.Htest@tDD FullSimplify 5 3 I5 + 4 t M 5. = 8 a Cos@jD + b Sin@jD a Sin@jD b Cos@jD< 8a Cos@jD + b Sin@jD a Sin@jD b Cos@jD< Zu Visualisieung betachten wi die Kuvenscha (ich nehme fü das Plot a= und vaiiee b); sie hat die Fom PaameticPlot3D@@jD. a 8j 0 Π< 8b 0 < AxesLabel 8x y z< ViewPoint <D x y z (a) Tt@j_D = D@@jD jd 8b Cos@jD - a Sin@jD a Cos@jD - b Sin@jD< nomt = Sqt@Tt@jD.Tt@jD TigExpand TigReduceD a + b - a b Sin@ jd 5

6 6 lsg_au_80303.nb = nomt b Cos@jD - a Sin@jD a Cos@jD b Sin@jD - a + b - a b Sin@ jd a + b - a b Sin@ jd a + b - a b Sin@ jd Ht@j_D = D@T@jD jd nomt TigExpand Simplify a3 Cos@jD + b3 Sin@jD Ia + b - a b Sin@ jdm a I- a b Cos@jD + Ia + b M Sin@jDM b IIa + b M Cos@jD - a b Sin@jDM - Ia + b - a b Sin@ jdm Ia + b - a b Sin@ jdm Κ = Sqt@Ht@jD.Ht@jD SimplifyD a4 + a b + b4 3 Ia + b - a b Sin@ jdm (b) Die Ebenengleichung lautet a - b - a - a b Cos@tD - a b Sin@tD + a b Ha Cos@tD + b Sin@tDL Expand@%D 0 Die Kuve efüllt damit die Ebenengleichung. Ebene = Plot3DAIa b x - b ym a. 8a b 0< 8x -.5.5< 8y -.5.5< Mesh FalseE; Kuve = PaameticPlot3D@@jD. 8a b < 8j 0 Π< AxesLabel 8x y z< ViewPoint <D;

7 lsg_au_80303.nb KuveD Damit muss die Tosion veschwinden. Wi übepüfen das H@t_D = Ht@tD Κ Simplify 3 Ia3 Cos@tD + b3 Sin@tDM Ia + b - a b Sin@ jdm 4 4 a +a b +b Ia + b - a b Sin@ tdm 3 - Ja I- a b Cos@tD + Ia + b M Sin@tDM Ia + b - a b Sin@ jdm a4 + a b + b4 Ia + b - a b Sin@ tdm 3 - Jb IIa + b M Cos@tD - a b Sin@tDM Ia + b - a b Sin@ jdm a4 + a b + b4 Ia + b - a b Sin@ tdm N N B@t_D = Coss@T@tD H@tDD Simplify b ab a4 + a b + b4 a a4 + a b + b4 a4 + a b + b4 D@B@tD td < B ist also konstant und dahe ist âb ΤT = - = 0. âs 6. Da gibt es zumindest zwei Methoden () Man vewendet die Beziehung von Aufgabe 3 und bildet das Vektopodukt mit H v a=vt + H 7

8 8 lsg_au_80303.nb v a v = v T v + H v Da T in die Richtung von v zeigt (T = v/v) veschwindet de este Tem. Da H v = H Hv TL = v H T = v B egibt sich v3 a v = B Auf beiden Seiten den Betag nehmen ( B = ) egibt die gesuchte Fomel. () Umständlichee Methode Kümmungsadius = Κ und ât Κ= = âs â I. M = - ât = H L3 H L I - I.0 M 0 M wi haben dabei den Einheitvekto in Richtung de Geschwindigkeit 0 eingefüht. De Absolutbetag I - I.0 M 0 M ist genau de des Keuzpodukts wie man folgendemaßen sieht I I - I.0 M 0 M M = I - I.0 M 0 M.I - I.0 M 0 M =. - I.0 M I.0 M + I.0 M 0.0 =. - I.0 M - I.0 M + I.0 M =. - I.0 M M I - Hcos HΑLL M = I =I sin HΑLM 0 M =I Dabei ist Α de Winkel zwischen und 0. Damit ist 0 H L wie zu zeigen wa a = 9t - t - t =; v = D@ td 8 - t< Κ= = 3 H L = 0

9 lsg_au_80303.nb nomv = Sqt@v.vD + H - tl T = v nomv -t + H - tl + H - tl Ht = D@T td nomv Simplify 4 H- + tl - I5-8 t + 4 t M I5-8 t + 4 t M Κ = Sqt@Ht.HtD Simplify 3 I5-8 t + 4 t M 7. b b = D@v td 80 - < T ist de Einheitvekto in v - Richtung. bpa = b.t Expand 4 4t H - tl + H - tl bpavec = bpa T Simplify 8 H- + tl 4 H- + tl t + 4 t 5-8 t + 4 t bpepvec = b - bpavec Simplify 4-4t t + 4 t 5-8 t + 4 t Test De Einheitsvekto senkecht zu v ist vpep = 8T@@DD - T@@DD< -t - + H - tl + H - tl bpep = b.vpep Simplify + 4 H- + tl Damit ehalten wi wie soeben 9

10 0 lsg_au_80303.nb bpep vpep Simplify 4-4t t + 4 t 5-8 t + 4 t