Aufgabe 3.1. Aufgabe 3.2 Man berechne den Schwerpunkt der nebenstehenden Platte aus homogenem Material mit Hilfe der Ergebnisse aus Aufgabe

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Aufgabe 3.1. Aufgabe 3.2 Man berechne den Schwerpunkt der nebenstehenden Platte aus homogenem Material mit Hilfe der Ergebnisse aus Aufgabe"

Arnim Winkler
vor 6 Jahren
Abrufe

1 Institut für ngewndte und Eperimentelle Mechnik Technische Mechnik I ZÜ 3.1 ufgbe 3.1 Bestimmen Sie mit Hilfe der entsprechenden Guldin schen Regel die Höhe der Schwerpunkte von homogenen Blechstücken, die in den Formen eines Hlb-, Viertel- bw. chtelkreises (jeweils Rdius r) usgestnt wurden. Tipp: Volumen eines kegelförmigen Kugelusschnitts: V = 3 πr h 4 r r 8 r r h ufgbe 3. Mn berechne den Schwerpunkt der nebenstehenden Pltte us homogenem Mteril mit Hilfe der Ergebnisse us ufgbe 3.1. ufgbe 3.3 H M D E Z O G F M B 3M C Fünf Mssenpunkte sind durch msselose Stäbe u einer prmidenförmigen Konstruktion mit qudrtischer Grundfläche (Seitenlänge ) und der Höhe usmmengefügt. ) Welches sind die Koordinten S, S, S des Schwerpunktes der Konstruktion? b) Der Schwerpunkt einer homogenen Prmide gleicher Größe liegt in der Höhe Sh =. In welchem der Punkte, B, C, D, E, F, G, H, O, Z muss eine Zustmsse ngebrcht werden, dmit der Schwerpunkt der Konstruktion mit dem der homogenen Prmide usmmenfällt? Wie groß ist dnn diese Msse? Überlegen Sie, wie viele Unbeknnte ds Problem ht, und welche Gleichungen ur Verfügung stehen!

2 Institut für ngewndte und Eperimentelle Mechnik Technische Mechnik I ZÜ 3. ufgbe 3.4 Eine Kurve C ist us wei Hlbkreisbögen mitdenrdien r 1 und r usmmengesett. Berechnen Sie die, -Koordinten des Linienschwerpunktes. r C r 1

3 Institut für ngewndte und Eperimentelle Mechnik Technische Mechnik I ZÜ 3.3 Lösung ur ufgbe 3.1 Über die Guldin sche Regel lässt sich ds Volumen eines Rottionskörpers us der Rottionsfläche und dem Flächenschwerpunkt berechnen. Ist ds Volumen des resultierenden Körpers beknnt, knn nch dem Flächenschwerpunkt ufgelöst werden. Die Rdien der Kreissektoren seien r. D die jeweiligen Schwerpunkte uf den Smmetriechsen der Sektoren liegen müssen, genügt es, die Schwerpunktsbstände von der -chse u bestimmen. h 4 8 r Blechfläche: = 1 πr 4 = 1 4 πr 8 = 1 8 πr Volumen der Rottionskörper bei Rottion um V = 4 3 πr3 V 4 = 3 πr3 V 8 = 3 πr3 (1 1 ) Ds Volumen des Rottionskörpers eines chtelkreises lässt sich mit der Formel des Kugelusschnitts berechnen, wobei sich die Höhe h durch den 45 -Winkel u h = r(1 1 ) ergibt. S Die entsprechende Guldin sche Regel lutet: V = π S, (1) S wobei V ds bei der Rottion um die -chse entstehende Volumen beeichnet. Durch uflösen von Gleichung (1) nch dem bstnd des Flächenschwerpunktes S und Einseten der Flächen und Volumen ergibt sich: = V π = 4r 3π 8 = V 8 π 8 = 4 3π ( ) r 4 = V 4 π 4 = 4r 3π

4 Institut für ngewndte und Eperimentelle Mechnik Technische Mechnik I ZÜ 3.4 Lösung ur ufgbe 3. Nch Definition gilt für den Flächenschwerpunkt: S = 1 Si i, S = 1 Si i. (1) i Die Oberfläche der skiierten Pltte ist = (6 4 π 1 4 π) = ( 5 4 π). Mit den Ergebnissen von ufgbe 3.1 erhält mn us (1) i S = 1 (3 4 3 π 5,5 4 π 3π 4 ) = π =, π S = 1 ( 4 π 1 4 3π π 4 = π 5 4 π =,1791 Lösung ur ufgbe 3.3 ) Die Koordinten des Schwerpunktes berechnen sich us r S = ri m i mi S M S S E G Sh M 3M Mit m i = 1 erhält mn für die drei Koordinten: S = M 1 ( ) = 1 7 S = M 1 ( ) = 0 S = M 1 ( ) = 4 7 b) Die unbeknnte Msse sei m = k M und hbe die Koordinten r = [ ] T. D mn sich die Msse m 1 = 1 der Prmide us ) im Schwerpunkt mit r 1 = r S konentriert denken knn, gilt die Formel für wei Mssenpunkte: r Sh = r 1m 1 + r m m 1 +m

5 Institut für ngewndte und Eperimentelle Mechnik Technische Mechnik I ZÜ 3.5 Für die drei Koordinten erhält mn us dieser Bedingung und km 0: ( 1 1 (14+k)M (14+k)M ) + km = 0 k = (1) (14+k)M (0+ km) = 0 = 0 () ( ) km = + k = k (3) 7 Der gesuchte Punkt muss wegen () in der Ebene EGZ liegen. D m > 0 sein muss, folgt us (1): < 0. Somit bleibt in dieser Ebene nur noch der Punkt G mit = und = 0 übrig. us (1) und (3) folgt für die Msse, die mn in G nbringen muss: km = M. Lösung ur ufgbe 3.4 Mn knn sich die Figur us wei Teilstücken usmmengesett denken. Die -Koordinten der Teilstückschwerpunkte erhält mn unmittelbr us der Smmetrie der Teilstücke: SL1 = r +r 1, SL = r Die -Koordinten bekommt mn m Bequemsten durch nwendung der Guldin schen Regel: Umfng Schwerpunktsweg = Oberfläche ; O Kugel = 4πr (πr 1 ) (πr SL1 ) = 4πr1, (πr ) (πr SL ) = 4πr SL1 = r SL1 = r π 1, SL = r SL = r π Zur Berechnung des gemeinsmen Linienschwerpunktes werden die Bogenlängen der beiden Hlbkreis- Teilstücke benötigt, welche sich jeweils us dem hlben Kreisumfng berechnen: l 1 = πr 1, l = πr. Den gemeinsmen Linienschwerpunkt der beiden Teilstücke erhält mn dnn us: SL = SL 1 l 1 + SL l l 1 +l = r 1 +r SL = SL 1 l 1 + SL l l 1 +l = π (r 1 r )

Ähnliche Dokumente

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei