Fachwissenschaftliches Seminar zur Zahlentheorie

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Margarete Klein
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1 Fachwissenschaftliches Seminar zur Zahlentheorie Vortragsunterlagen zu: Eigenschaften der Fibonacci-Folge Die Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,..., bei der jedes Folgenglied Summe seiner beiden Vorgänger ist, ist eine der einfachsten und gleichzeitig in Mathematik, Naturwissenschaften, aber auch Kunst und Architektur prominentesten rekursiven Zahlenreihen. Wird werden einige der wichtigsten arithmetischen Eigenschaften dieser Folge kennenlernen.

2 I.11 Die Folge der Fibonacci-Zahlen Der euklidische Algorithmus zur Berechnung des ggt zweier natürlicher Zahlen führt schnell zum Ergebnis, wenn ma^n in jedem Schritt ein recht großes Vielfaches des jeweiligen Divisors abspalten kann. Extrem ungirnstig ist also der Fall, daß in jedem Schritt nur das 1-fache des jeweiligen Divisors abzuspalten ist, wo also die Zahlen u; (0 ( i 1n - 1) in der Darstellung in I.6 alle 1 sind. Ftrr die Reste gilt dann ri : ri+l *r;+z (i : 1,...rn -2). Dieser ungturstige Fall tritt z.b. beim euklidischen Algorithmus für a : 2t, b: 13 ein: Die zugehörige Kettenbruchentwicklung ist 2l ).1 Lg : [1, t, 1, r,1,,2) bzw. : fr [1, 1,1, 1,1, 1,1], wobei in der zweiten Darstellung ausnahmsweise die Zahl 1 als letzter Nenner erlaubt sei. Hier ist der Anfang einer Folge natürlicher Zahlen aufgetreten, mit welcher wir uns nun näher beschäiftigen woilen. Die Folge {ll"} mit Fl - F2-1 und Fn+2 : F,+r * F'" für n IN heißt FrsoNeccrFolge. Sie beginnt mit 1,,L,2,3,5,8, 13r2r,34,55, 89,L44,233,,377,.... Sie geht auf eine Aufgabe zurück, die FtsoNACCI im Liber abbaci unter der Überschrift Quot paria coniculorum in uno anno er uno pario germinentur gestelit hat; sie lautet sinngemäß: Wie viele Kaninchenpaare stammen am Ende eines Jahres von einem Kaninchenpaar ab, wenn jedes Paar jeden Monat ein neues Paar gebiert, welches selbst vom zweiten Monat an Nachkommen hat? (Einschließlich des ersten Paares gibt es nach einem Jahr 377 Kaninchenpaa,re.) Die Definition der FtsoNlcct-Zahlen kann man auch mit Hilfe von Matrizen ausdrücken, wodurch sich diese Zahlen als die Zfiler und Nenner der Näherungsbrüche des Kettenbruchs [1,IJ zu erkennen geben (vgl. I.8): setzt man noch lls :0, 2I: : : : ,-, 1 (fi; f,.'): (i ä)(ä.'?^_,), dann ist also für alle n INo (x:: fr.'): (i ä)".' 3*

3 68 I Teilbarkeit ganzer Zahlen Der folgende Satz ist der Schlüssel zur Untersuchung der Eigenschaften der FtsoNnccl-Zahlen. Satz 30: Für alle rn, n IN mit rn > 1 gilt Beweis: (F^*.*, F'^+n*t\ \F-*,*, F*+n ) Satz 31: Für alle m, n II'{ gilt: a) F^. ist durch.tl, teilbar. b) ggt(fl" tfn+r) : t. F^+r:F*-rFn*F^Fn+r' :- (t \t 1\-*"*' o) / : t t ^lt-:l \- / r 1 \"*' l- \101 \10) / F**, F^ \ i a*, r"*t \ rl : [,; F^-, /\ CJ; 'r,-' ) c) Ist ggt(rn, n) : d, dann ist ggt(f'-, Fn) : Fa. Beweis: a) Die Behauptung ist für n : 1 offensichtlich richtig. Wir schließen induktiv, wobei n die Induktionsvariable sei: Nach Satz 30 giit Fmln+t\ : F^n+n : Fn -rf* + F^nF^+t, wegen F^ F*n (Induktionsvoraussetzung) ergibt sich also F^ F^fu+t). b) Es gilt ggt(f'l,fr):1. Aus ggt(f;' F"+t) : 1 folgt BBT(fl+r, Fn+2; : ggt(f""+r, r',+r + 4) : ggt(f"+r, F') : 1. c) Ist n 1-m und rn :un *r mit 0 ( r < n (Divison mit Rest), dann ist nach Satz 30 F^: Frn+, : Frn-tF, { FrnFrlr' Wegen fi I F,^ gilt ggt(f-,f-) : ggt(f,n-tf,,fn).nach b) gilt also ggt(f""-r, Fu,.) : 1, daher auch ggt(f,"-r, F,-) : 1 und somit sgt(f;, Fn) : ggt(l+,, F.)' Führt man den euklidischen Algorithmus zur Berechrrung von ggt(rn,n') : d durch, dann ergibt sich also ggt(tr;, F^): ggt(fd,0) : Fa. CI Aus Satz 31 erhdlt man sofort folgende Aussagen: '

4 1.11 Die Folge der Fibonacci-Zahlen 69 (1) Genau dann gilt f; I Fr,, -"nn mlk gilt. (2) Sind m und n teilerfremd, dann gilt F^F^ F^n. Satz 32: Für alle n e IN gilt: a) In:Fn+z- r i=l b) I4' z=l : FnFn+r c) FnFn+z - F]*r: (-1;"+t d) r3 + FT+r: Fzn+t e) F3*, - F2 : Fzn+z Beweis: a),f1*fzlf.+...+f; : ]l1 + (rr - rr) + (Fn-rr) (f; - Fn-z) * (4,*' - F,-t) - -Fz + F. + Fn+t : Fn*z - I. b) Wegen Fl : Fn(F.+t - Fn-t) : FnFn+t - Fn-ttrl für n ) I ergibt sich c) Es gilt F?+F;+F3+..+F: : 1 * (FrF,- &Fz)+ (rrli _ FzFs) (F.F,+r_ F^_rF.) FrFz 1- FnFn+t : FnFn+r. FnFn+z- F3*,:der (?:: fr.' ):d", ( 1 ä)".': (_r;n+r d) Aus c) folgt für n ) 1 mit Hilfe von Satz 30 Fl + Fl*t : Fn-'tFn+r+ (-1)" * FnFn+z* (-t;"+t : Fn-t Fn+r * FnEn+z : Fn*(n+t) : Fzn+t. Für n : 1 ist die Behauptung offensichtlich auch richtig. e) Diese Behauptung ergibt sich in gleicher Weise wie d). tr Die Aussage in Satz 32 b) wircl für n: n :2k - 1 liefert Satz 32 c) die Formel 6 durch Fig.1 veranschaulicht. Für F]*: Fz*-rFz*+r - 1' Auf dieser Formel beruht der bekannte geometrische Trugschluß, man könne eine Quadrat der Kantenlänge 8 (allgemein.f.rt) ir ein flächeninhaltsgleiches Rechteck mit den Kantenlängen 5 und 13 (allgemein Fr*-, und F2611) verwandeln (vgl. Fig.2).

5 70 I Teilbarkeit ganzer Zahlen 1 r 22 g b' 13 Fig.1 Fig.2 Wir haben die Betrachtung der FrsoNacct-Zahlerr zu Anfang dieses Abschnitts mit der Feststellung begonnen, daß der euklidische Algorithmus offenbar besonders lange dauert, wenn er auf benachbarte FtsoNaCCl-Zahlen angewandt wird. Nun wollen wir untersuchen, wie die Anzahl der Schritte in euklidischen Algorithmus für a, ä e IN abzuschätzen ist. Der folgende Satz geht auf G.q.sRIBl Lnuf ( ) zurück (vgl. auch [Heaslet/Uspensky 1939], [Lüneburg 1987]). Satz 33: Für a,b e IN mit a > b sei u.r(c, ö) die Anzahl der benötigten Divisionen mit Rest im euklidischen Algorithmus, ferner habe ö im Zehnersystem s(b) Stellen. Dann gilt u(a,b) < 5's(b). Beweis: Zunächst zeigen wir, daß für jedes k g IN mindestens vier und höchstens fünf ft-stellige FTnoNACCI-Zahlen existieren. Dies ist für k : 1 richtig, wenn man die einzige doppelt auftretende FtsoNncCr-ZahI1 nur einfach zählt 1,2,3,5,8 sind alle einstelligen FtSONeCCI-Zahlen. Es sei nun k > 1 und die Behauptung gelte frir k. Es sei.tl die kleinste FtsoNacct-Zahl mit mehr als k Stellen. Dann ist

6 1.11 Die Folge der Fibonacci-Zahlen 77 F,.:F,.-r+Fn-z Fr,+r:Fn+Fn-r Fn+2:Fn+r+Fn F"+a:Fn+2+F*+r Folglich sind "FL, Fn1rt Fn+2t F"+s (k * 1)-stellig, es gibt also mindestens vier (fr + l)-stellige FtnoNACCI-Zahlen. Andererseits gilt wegen 10k < Fn : F,-r * Fn-z 12Fn-t die Beziehung F,.-r t. ä f O*. Es folgt.f"+r:f,-+.f"-r Fn+z:Fn+t+Fn F"+t:Fn+2+Fn+r Fn+q:F'+s+Fn*2 Fn+s:Fn+a+Fr+s 1or + ä.too : i.too + 10fr : i.to*, ;.10*, i.tot + 3.to* : 3.to*, ;'10* + i.to* :1u.too, f.10* + 3.to* : T.tor. Also ist F*+s ) 1ga+t, so daß.t',,15 mindestens (fr + 2)-stellig ist. Damit ist gezeigt, daß es auch mindestens vier und höchstens frinf (/c+1)-stellige FtnoNacct- Zahlen gibt. Ist nun tri,t-stellig, dann ist n ( 5fr + 1, wie wir jetzt zeigen wollen: Die Aussage ist wahr für k : 1, denn,t'6-8 und Fz Wir nehmen an, die Aussage sei für k > I wahr. Ist.tl-. nun (h * 1)-stellig: so ist,fl"-s höchstens ß-stellig, also gilt n -5 < 5k + 1. Daraus folgt dann n I 5k*6 : 5(,b + 1) + 1. Es sei nun F]" < b < F,,+r.Wir zeigen mit Hilfe vollständiger Induktion über ä, daß dann w(a,,b) ( n gilt. Für ö : 1 ist das richtig. Für b > 1 sei r der Rest von d bei Divison durch b. Dann ist w(a,b):w(b,r)+i. Ist r (,F, dann ist nach Induktionsannahme w(b,r) L n - 1, es ergibt sich in diesem Fall also ut(a,b) ( n. Ist F^ 3 r < b ( F"+r, dann betrachten wir den Rest s, den ä bei Division durch r läßt: Es gilt s ( F,-r, denn wäre s ) Fn-t, dann wäre F"+r ) b: Qr *s ) r+s > f], + F,.-r: I,,+r, also s : F''-:.,t r : fl und b : Fn+r. Folglich ist nach Induktionsannahme u(r,s) 1n- 2unddamit w(a,b):w(r,s)+2(n. Gilt also Fn 1ö ( F,+t und ist fl",t-stellig, dann gilt w(a,b)(n(5fr<5."(b). Damit ist der Beweis von Satz 33 abgeschlossen. D

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