7.2 Kostenfunktionen und Skalenerträge

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1 7. Kostenfunktionen und Skalenerträge In diesem Abschnitt werden wir uns auf die langfristige Kostenminimierung konzentrieren. Mit anderen Worten, die beiden hier betrachteten Inputs sind frei variierbar. Bei vorgegebenen Inputpreisen (Faktorpreisen) und einem Outputniveau haben wir die kostenminimale Inputkombination als ( ( w, w, ), ( w, w, )) notiert. Wenn wir die Kosten berechnen wollen, die mit dieser Inputkombination verbunden sind, so ist dies offenbar: C( w, w, ): = w ( w, w, ) + w ( w, w, ). Dies ist die langfristige Kostenfunktion. Sie gibt zu allen Faktorpreisen und allen Outputniveaus an, wie hoch die minimalen Kosten zur Herstellung der Outputmenge sind. Um einen Eindruck zu gewinnen, wie solche Funktionen aussehen, betrachten wir ein Beispiel. Wir gehen von einer Cobb-Douglas Produktionsfunktion aus: f (, ) = α. Die technische Rate der Substitution ist in diesem Fall: α Aus der Gleichheit mit dem Relativpreis ergibt sich: w =. w α Setzt man dies in f (, ) = α = ein, so ergibt sich α α + α + α + α + w w ( w, w ) =. ( w, w) = w w α α

2 Daraus errechnet man dann - bei guten Nerven: C( w, w, ) = w w + α α α α +. Offenbar haben diese Funktionen ein gewisses Einschüchterungspotential. Netterweise kommt es aber nicht auf alle Details dieser Funktionen an. Als erstes kam es hier darauf an, daß man eine Kostenfunktion aus einer Produktionsfunktion herleiten kann. Zweitens haben diese Ergebnisse eine Struktur, die in vielen Zusammenhängen in den Wirtschaftswissenschaften oft ausgenutzt wird. Ein Aspekt davon ist, daß der Kostenminimale Produktionsprozeß nicht von dem Outputniveau abhängt, sondern nur von relativen Preisen. Dies läßt sich leicht nachprüfen, wenn man das Verhältnis / bildet. Dann fällt der Term mit heraus. Bei festen Preisen und variierendem Outputniveau liegen die Kosten-minimalen Inputkombinationen demnach auf einem Strahl vom Nullpunkt aus, also entsprechen sie einem Produktionsprozeß. Diese Eigenschaft kommt daher, daß die Cobb-Douglas Funktion homogen ist. Jede homogene (und noch allgemeiner jede homothetische) Produktionsfunktion erzeugt diese Eigenschaft der Kosten-minimalen Inputkombinationen. Im allgemeinen ist dies nur schwieriger zu überprüfen. Der letzte Aspekt, der an dem obigen Ergebnis interessant ist, ist die Abhängigkeit der Kostenfunktion vom Outputniveau. Wir ändern also für den Rest des Abschnittes nicht mehr die Faktorpreise (und die Parameter α, sowieso nicht). Deshalb können wir alle Faktoren, die vor dem Term mit stehen, mit der Konstanten A zusammenfassen: C( ) = A. Beachtet man, daß die Cobb-Douglas Funktion steigende, konstante oder fallende Skalenerträge abbildet, je nachdem, ob α + >, α + = oder α + < (Aufgabenblatt 0!), so findet sich hier ein Zusammenhang zwischen Skalenerträgen und der Form der Kostenfunktion. Für fallende Skalenerträge steigt die Kostenfunktion überproportional mit dem Output, bei konstanten steigt sie proportional (linear) und bei steigenden steigt sie unterproportional. Dieser Tatbestand kann noch deutlicher mit der sogenannten Durchschnittskostenfunktion ausgedrückt werden. Vernachlässigen wir wieder die Faktorpreise, dann ist die Durchschnittskostenfunktion durch

3 3 AC( ) = ( ) C definiert. Für die Cobb-Douglas Funktion ergibt sich dann AC( ) = A. Daraus liest man ab, daß die Durchschnittskosten fallen, konstant bleiben oder steigen, je nachdem, ob die Skalenerträge steigen, konstant sind oder fallen. Erinnert man sich daran zurück, daß wir im letzten Kapitel steigende Skalenerträge über Größenvorteile eingeführt haben und dies mit Kosten begründet haben, sehen wir hier nun, daß diese ursprüngliche Interpretation vollkommen konsistent mit dem Kostenfunktionsbegriff ist, den wir in diesem Kapitel eingeführt haben. Größenvorteile sind mit fallenden Durchschnittskosten verbunden! Diese Eigenschaft, die wir nur für Cobb-Douglas Funktionen hergeleitet haben, gilt allgemein für beliebige Produktionsfunktionen (Varian: Mikroökonomie,. Aufl, S. 7). Zum Schluß dieses Abschnittes werden wir ein weiteres Kostenkonzept einführen, die Grenzkosten, und die Zusammenhänge zu den anderen Kostenbegriffen herstellen. Formal ist die Grenzkostenfunktion als Ableitung der Kostenfunktion bzgl. des Outputs definiert: MC ( C ) = ( ) Die Grenzkosten geben also an, um wieviel die Kosten ansteigen, wenn die Outputmenge marginal erhöht wird. Grenzkosten können nicht negativ sein (bei positiven Faktorpreisen). Die Grenzkosten werden später eine viel wichtigere Rolle spielen als die Durchschnittskosten. Da andererseits die Durchschnittskosten viel anschaulicher sind, stellen wir hier einige Zusammenhänge zwischen diesen beiden Kostenbegriffen her. Zunächst können wir uns überlegen, daß die Durchschnittskosten genau da steigen, wo die Grenzkosten über den Durchschnittskosten liegen. Dies ergibt sich durch einfache Differentiation der Durchschnittskostenfunktion: C ( ) MC( ) C( ) MC C ( ) = = ( ) Daraus ergibt sich unmittelbar, daß sich ein eventueller Schnittpunkt der beiden Funktionen im Minimum der Durchschnittskostenkurve befindet. Außerdem stimmen die.

4 4 beiden Funktionen für = 0 überein, wenn C(0) = 0. Dies läßt sich mit der Regel von L'Hôpital zeigen. Für diesen Fall läßt sich der Zusammenhang wie folgt graphisch darstellen. MC AC Wie wir oben gesehen haben, fällt die Durchschnittskostenkurve durchgehend, wenn steigende Skalenerträge vorliegen. In diesem Fall liegt die Grenzkostenkurve demnach immer unterhalb der Durchschnittskostenkurve. Für den Fall fallender Skalenerträge gilt das Gegenteil. Im Fall konstanter Skalenerträge stimmen beide Funktionen überein. Schießlich wollen wir noch einen Zusammenhang zwischen der Kostenfunktion und den Grenzkosten herstellen. Einerseits läßt sich die Grenzkostenfunktion natürlich einfach durch Ableitung der Kostenfunktion finden. Manchmal ist es jedoch hilfreich, von der Grenzkostenfunktion ausgehend die Kostenfunktion zu finden. Dies geschieht naheliegenderweise durch die inverse Operation zur Ableitung, der Integration. Genauso, wie wir schon den Nutzen eines Gutes als Integral (Summe) der Grenznutzen darstellen konnten, können wir die Kostenfunktion durch C( ) = MC( z) dz 0 darstellen. Dies wird oft benutzt, um die Kosten als Fläche unter einer Grenzkostenkurve zu bestimmen:

5 5 MC Outputmenge Die eingefärbte Fläche entspricht C().

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