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1 Fourier-Reihen und Fourier-ransformation Fourier-Reihen und Fourier-ransformation J.B.J. de Fourier beobachtete um 8, dass sich jede periodische Funktion durch Überlagerung von sin(t) und cos(t) darstellen lässt. f(t) f(t + ) t R Periode Dies trifft z.b. auf die Schwingungen von Licht und das von Atomen in einem Kristall gebildeten Gitter zu. Laut Fourier ist also: f(t) a + a k cos(kωt) + b k sin(kωt) () k Dabei heißen die a k, b k die Amplituden und ω π ist die Kreisfrequenz, die über ω πν mit der "normalen"frequenz ν zusammenhängt. Der erm kωt skaliert die Periodizität. sin(t), cos(t): Periode π sin(πt), cos(πt): Periode sin ( π t), cos ( π t) : Periode sin ( k π t), cos ( k π t) : Periode k Gleichung ist eine unendliche Fourier-Reihe. Betrachten wir eine endliche Fourier-Reihe, so sehen wir, dass sie sich kürzen und mit hilfe von komplexen Zahlen schreiben lässt: Also: a n + a n cos(kωt) + b k sin(kωt) k a + n k a + n n k n k a k ( e ikωt + e ikωt) + b k (e ikωt e ikωt) i a k ib k γ k e ikωt e ikωt + a k + ib k e ikωt { ak γ a ib k γ k k > a k +ib k k <

2 Fourier-Reihen und Fourier-ransformation Umkehrung: a γ a k γ k + γ k b k i(γ k γ k ) Endliche Fourier-Reihen definieren also eine Funktionenfolge f n (t) n k n γ k e ikωt die gegen die ursprüngliche Funktion konvergieren. lim f n(t) f(t) n Allerdings kann die Fourier-Reihe auch divergieren! Bsp.: a k b k ω f n (t) + cos(t) + cos(t) cos(nt) n k n e ikt Wenn t m π,dann : n f n (m π) e ikm π und damit k n lim f n(m π) n n k n n + Im Allgemeinen geht man aber auch anders herum vor: Die Funktion f(t) ist gegeben und die a k, b k bzw. γ k müssen bestimmt werden. Wie kann nun zu einem bestimmten gegebenen Index k das γ k berechnet werden? Dazu betrachten wir das Integral: f(t)e ik ωt dt k k γ k γ k e ikωt e ik ωt dt e i(k k )ωt Der Wert des Integrals hängt davon ab, ob der Exponent gleich Null ist oder nicht. Deshalb:

3 Fourier-Reihen und Fourier-ransformation 3.. Also: k k k k dt [t] ( ) e i(k k )ωt dt k [e ] i(k k )ωt i(k k )ω γ k e i(k k)ωt dt γ k Es ist nützlich, sich diese Eigenschaft des Integrals zu merken. ei(k k)ωt dt { δ k,k Kronecker-Delta k k δ k,k k k Für die reelle Fourier-Reihe folgt ganz ähnlich aus: k k cos(kωt)cos(k ωt)dt k k k k dass sin(kωt)cos(k ωt)dt { k k,k k sin(kωt)sin(k ωt)dt k k : Bemerkungen: a k b k f(t) cos(kωt)dt f(t) sin(kωt)dt. Wenn f(t) f( t) (gerade) b k k. Wenn f(t) f( t) (ungerade) a k k 3. Wenn g(t) die Periode hat : g(t)dt a+ a g(t)dt

4 Fourier-Reihen und Fourier-ransformation 4 4. Wenn g(t) gerade : a g(t)dt a g(t)dt 5. Wenn g(t) ungerade : a g(t)dt a g(t)dt Bsp.: Sägezahnkurve f(t) { t : t t : t Berechnung der reellen Fourier-Reihe: a k f(t)cos(kωt)dt Berechnung I t cos(kπt)dt Berechnung I : Zusammen: t cos(kπt)dt t cos(kπt)dt + t cos(kπt)dt I +I [ t sin(kπt) kπ ] sin(kπt)dt kπ [ ] cos(kπt) kπ kπ { : k gerade : k ungerade k π { a k { t cos(kπt) : k gerade 4 : k ungerade k π sin(kπt) dt kπ : k gerade : k ungerade k π

5 Fourier-Reihen und Fourier-ransformation 5 Da k in der partiellen Integration vorkam, muss a gesondert berechnet werden. a f(t) dt tdt + tdt tdt Für die Amplituden der Sinusfunktion ergibt sich aus der Symmetrie sofort Die Fourier-Reihe ist also: b k f(t)sin(kωt)dt f(t) 4 π cos(πt) 4 9π cos(3πt) 4 5π cos(5πt)... Die folgende Grafik zeigt, wie sich f n (t) an f(t) annähert Durchgezogene Linie: Sägezahnkurve. Gestrichelte und gepunktete Linien: f bis f 3 Die Sägezahnfunktion hat also das Spektrum Alle periodischen Funktionen haben ein Linienspektrum! Der Abstand zwischen den einzelnen Frequenzen ω k k ω ist gegeben durch: ω k+ ω k (k + )ω kω (k + ) π kπ π

6 Fourier-Reihen und Fourier-ransformation 6 Daraus folgt: je größer die Periode, desto dichter die Frequenzen. Nicht-periodische Funktionen können aufgefasst werden als Funktionen mit der Periode und einem kontinuierlichen Spektrum (Frequenzabstand ). In komplexer Schreibweise ergibt sich: f(t)e iωt dt g(ω) (stattγ k ) und g(ω)e iωt dω f(t) (statt Fourier-Reihe) π Dies ist die Fourier-ransformation. Es gibt sie auch in reeller Schreibweise. Diese ist aber so selten, dass darauf hier nicht näher eingegangen werden soll. Bsp.: Spalt Spektrum g(ω) f(x) { : a x a : sonstige x f(x)e iωx dx [ iω e iωx ] a a a a sin(ωa) ω : e iωx π/a ω

7 Fourier-Reihen und Fourier-ransformation 7. Nullstelle: sin(ωa) ω sin(ωa) ωa π ω π a D.h., je breiter der Spalt, desto schmaler das Spektrum. Bei der Fourier-Reihe hatten wir e i(k k )ωt dt δ k,k gefunden. Bei der Fourier-ransformation gilt etwas ähnliches: e i(k k )ωt dt δ(ω ω ) Delta-Funktion (Distribution) Die δ-funktion kann auch als Ableitung der Stufenfunktion (Heavyside-Funktion) angesehen werden:

8 Fourier-ransformation endlicher Ausschnitte einer Funktion 8 Mathematisch kann man die δ-funktion aus immer schmaler werdenden Gauß-Funktionen erhalten. n δ n (x x ) π e n(x x ) Der Vorfaktor ist so gewählt, dass lim δ n(x x ) δ(x x ) n δ n (x x )dx Eine wichtige Eigenschaft der δ-funktion ist δ(x x )dx y(x)δ(x x )dx y(x ) Fourier-ransformation endlicher Ausschnitte einer Funktion Die Regel für die Fourier-ransformation eines Produktes zweier Funktionen lautet: F(f(t) f F (t)) F(f(t)) F(f F (t)) : Faltung g(ω) g F (ω) g(ω )g F (ω ω )dω Bsp. : { f(t) e iω t a t a f F (t) sonst

9 Fourier-ransformation endlicher Ausschnitte einer Funktion 9 F(f(t)) e iω t e iωt dt g(ω) Als periodische Funktion hat f(t) wieder ein Linienspektrum. e i(ω ω)t dt δ(ω ω) F(f F (t)) a a e iωt dt sin(ωa) ω g F (ω) Die Fourier-ransformation des Produkts ist also: F(f(t) f F (t)) g(ω )g F (ω ω )dω δ(ω ω) sin((ω ω )a) ω ω dω sin((ω ω )a) ω ω Regel: Die Faltung mit δ(ω ω) ergibt eine Verschiebung an die Stelle ω. Bsp. : f(t) e iω t f F (t) { e Γt t sonst F(f(t)) δ(ω ω) F(f F (t)) (Γ + iω) Γ + iω e (Γ+iω)t [e (Γ+iω)t] e Γt e iωt dt (Γ + iω) ( ) Die Fourier-ransformierte des Produktes ist also (s. Regel aus Beispiel ): F(f(t) f F (t)) Γ + i(ω ω ) Da das Spektrum komplex ist, zeichnen wir das Betragsquadrat. F(f(t) f F (t)) Γ + i(ω ω ) Γ i(ω ω ) Γ + (ω ω )

10 Fourier-ransformation endlicher Ausschnitte einer Funktion ω Regel: Die Frequenz von f(t) bestimmt die Position der Peaks und F(f F ) bestimmt die Form und Breite. In beiden Beispielen wurde f(t) e iω t verwendet, was zur Delta-Funktion führte und damit die Berechnung des Faltungsintegrals sehr vereinfacht hat. Was kann man tun, wenn eine beliebige Funktion f(t) gegeben ist? Lösung: Wir denken uns die (beliebige) Funktion f unter der Fensterfunktion periodisch fortgesetzt x Dann ist f(t) γ k e ikω t k

11 3 Integraltransformationen und F(f(t) f F (t)) γ k F(e ikω t f F (t)) k k k γ k δ(ω kω ) g F (ω) γ k g F (ω kω ) 3 Integraltransformationen Die Fourier-ransformation ist ein Spezialfall der Integraltransformation. g(ω) f(x)h(x, ω)dx Mit h(x,ω) e iωx ergibt sich die Fourier-ransformation. Eine häufig genutzte, andere Integraltransformation ist die Laplace-ransformation. Zur Motivation schauen wir uns die Fourier-ransformation der Stufenfunktion (Heavyside-Funktion) an: { t f(t) t Die Fourier-ransformierte ist g(ω) f(t)e iωt dt e iωt dt [ e iωt ] iω (( ) ) lim cos(ωt) isin(ωt) nicht definiert t Der Grund hierfür ist, dass die Oszillationen von cos und sin nie aufhören. Kann dieses Problem durch Einführung einer Dämpfung behoben werden? e iωt e at e iωt e (a+iω)t e zt (a > ) Genau dies macht die Laplace-ransformation. g(z) f(t)e zt dt Über t< darf nicht integriert werden, da sonst die Dämpfung versagen würde. Bsp. : Heavyside-Funktion g(z) e zt z [ e zt ] z

12 3 Integraltransformationen Die Laplace-ransformierte existiert, die Fourier-ransformierte aber nicht. Bsp. : f(t)sin(bt) g(z) Zweimaliges partielles Integrieren führt auf g(z) Dies kann aufgelöst werden zu sin(bt)e zt dt sin(bt)e zt dt b z b g(z) sin(bt)e zt dt sin(bt)e zt dt b b + z Bsp. 3: Die erste Ableitung df dt f soll Laplace-transformiert werden. Oder kürzer: f (t)e zt dt [ f(t)e zt] f(t) ze zt dt f() + z f(t)e zt dt L(f (t)) f() + zl(f(t)) Die Laplace-ransformation lässt also Ableitungen verschwinden. Dies lässt sich zum Lösen von Differentialgleichungen ausnutzen, was insbesondere bei Ingenieuren sehr beliebt ist.

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