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1 Vorlesung Hochschule Rhein-Main Sommersemester 2015 Dr. Roland Stamm 29. Juni 2015

2 Erinnerung Bewertung eines Bonds mit Kupon k, Nominal N, Laufzeit t n: n Π(t) = N k δ(t i 1, t i ) P (t, t i ) + N P (t, t n). (1) i=1 Annuität: A(t, t 0, t n) := n δ(t i 1, t i ) P (t, t i ). (2) i=1 Replizierte Forwardrate zum Zeitpunkt t für die Periode von t 1 bis t 2 : ( ) 1 P (t, t1 ) F (t; t 1, t 2 ) := δ(t 1, t 2 ) P (t, t 2 ) 1. (3) Bewertung einer Floating Rate Note, LIBOR plus Spread s auf ein Nominal N zahlt: Π(t) = N n {F (t; t i 1, t i ) + s} δ(t i 1, t i ) P (t, t i ) + N P (t, t n) i=1 = N + s A(t, t 0, t n).

3 Ein Swap besteht aus einem Grundgeschäft typischerweise einem Wertpapier oder Darlehen und einem Zinsswap, der die (festen) Zahlungsströme des Grundgeschäfts in LIBOR plus Spread umwandelt. Die beiden Instrumente werden zusammen gehandelt. Die häufigste Form ist der Par Swap. Der Spread wird dabei so gewählt, dass der Wert beider Instrumente zusammen dem Nominalwert entspricht, das Paket insgesamt also at par ist. Angenommen, das Wertpapier zahlt einen Kupon c, der Marktpreis des Bonds ist P, und das Paket wird genau an einem Zahlungstermin des Grundgeschäfts abgeschlossen. Wir wollen den -Swap-Spread s auf dem variablen Bein bestimmen: 1 = P c A f (t 0, t 0, t n) + (1 P (t 0, t n) + s n δ(t i 1, t i ) P (t 0, t i ) i=1 = P c A f (t 0, t 0, t n) + (1 P (t 0, t n)) + s A δ (t 0, t 0, t n) s = P (t 0, t n) + c A f (t 0, t 0, t n) P A δ (t 0, t 0, t n) = P RF P A δ (t 0, t 0, t n). (4) Dabei ist P RF der risikolose Preis des Wertpapiers: Die Zahlungen werden dafür mit der risikolosen Diskontkurve abgezinst.

4 Beispiele Abbildung : 10-jährige Renditen für einige europäische Staatsanleihen per 03/02/2015. Quelle: Bloomberg.com. 10 Y EURIBOR Swaprate (03/02/2015): 0.70%.

5 Beispiele, Forts. Die Renditen sind einfach verzinst zu verstehen. Angenommen wir haben identische Wertpapiere aus Deutschland (G), Portugal (P) und Griechenland (Γ): Jedes zahlt jährlich 5% Kupon und läuft noch genau 10 Jahre. Diskontieren der Zahlungsströme auf ein Nominal von 1 mit den gezeigten Renditen gibt den Marktpreis: 10 P G = 0.05 i=1 10 P P = 0.05 i=1 10 P Γ = 0.05 i=1 10 P RF = 0.05 i= i = % i = % i = 66.41% i = % Je höher die Rendite, desto niedriger der Preis. Die Rendite beinhaltet die Marktsicht auf die Kreditwürdigkeit des Emittenten.

6 Beispiele, Forts. Abbildung : Swap Spread einer zehnjährigen Anleihe mit 5% Kupon in Abhängigkeit von der Rendite.

7 Beispiele, Forts. Gemäß Formel (4) errechnen sich die -Swap- wie folgt: s G = s P = s Γ = = 49bp = 217bp = 779bp Je höher der Wertpapierpreis, desto niedriger der -Swap-Spread. Je höher die Rendite, desto höher der -Swap-Spread. Der Spread hängt aber auch von der Höhe des Kupons ab.

8 Beispiele, Forts. Abbildung : Swap für Staatsanleihen aus Deutschland, Portugal und Griechenland in Abhängigkeit vom Kupon.

9 Swap in der Periodenmitte In der Regel findet ein Swap-Geschäft innerhalb einer Kuponperiode statt. Da der Marktpreis stets ein Clean Price ist, müssen in diesem Fall bei der Berechnug des einige Anpassungen vorgenommen werden: Es wird der risikolose Clean Price verwendet Die erste variable Periode beginnt erst ab Geschäftsabschluss und ist damit normalerweise kürzer als eine reguläre Periode Entsprechend muss in Formel (4) der Annuitätsfaktor angepasst werden: A δ (t; t, t n) := δ(t, t 1 ) P (t, t 1 ) + Es wird also nur t 0 := t gesetzt. n δ(t i 1, t i ) P (t, t i ). i=2

10 Beispiel Gegeben sei ein Wertpapier mit 5% Kupon, Restlaufzeit 5 Jahre und 3 Monate (5,25 Jahre). Der risikolose Zins betrage 3%. Der aktuelle (Clean) Preis des Bonds sei P = 105%. Unter der Annahme, dass die variablen Perioden dieselbe Länge wie die festen Perioden haben, können wir den Swap Spread wie folgt berechnen: 4 P RF = 0.05 (e ) e 0.03 (i+0.25) + e i=0 = % 4 A δ (t; t, t 5 ) = 0.25 e e 0.03 (i+0.25) i=0 = s = (P RF P )/A δ (t; t, t 5 ) = ( % 105%)/ = Basispunkte.

11 Der Yield Spread oder manchmal Simple Spread ist die Differenz zwischen der (einfach verzinsten) Rendite eines Wertpapiers und der Rendite eines Standardinstruments, typischerweise einer Staatsanleihe oder eines. Seine Höhe ist Ausdruck der Kreditwürdigkeit des Schuldners. Die Differenz zwischen den Zero-Raten nennt man den Z Spread. Im Beispiel oben sind folgende Yield gegeben: Land Rendite Spread über Deutschland Spread über Swap Deutschland 0.31% 0% 0.39% Portugal 2.64% 2.33% 1.94% Griechenland 10.61% 10.30% 9.91% Frankreich 0.54% 0.13% 0.16%

12 Beispiele, Forts %& 70.00%& Yield&Spread& 60.00%& 50.00%& 40.00%& 30.00%& 20.00%& 10.00%& 0.00%& 0%& 10%& 20%& 30%& 40%& 50%& 60%& 70%& 80%&!10.00%& Abbildung : Yield einer zehnjährigen Anleihe mit 5% Kupon in Abhängigkeit von der Rendite.

13 Kritische Würdigung Wenn der Markt den baldigen Ausfall des Schuldners erwartet, werden alle Wertpapiere unabhängig von der Laufzeit mit der erwarteteten Recovery Rate bewertet, d.h. mit dem Bruchteil des Nominalbetrages, der erwartungsgemäß zurückgezahlt wird. Wenn der Preis für alle Laufzeiten gleich ist, bedeutet das, dass die Rendite mit der Laufzeit immer weiter abnehmen muss. Da die Rendite nicht ausfallgefährdeter Schuldner in der Regel mit der Laufzeit zunimmt, muss der Yield/Z Spread der riskanten Bonds mit der Laufzeit zwangläufig fallen. Dasselbe gilt für den Swap Spread.

14 kurz vor dem Ausfall %$ %$ %$ %$ Risk.free$Price$ Spread$ 80.00%$ ASW$Spread$ 60.00%$ 40.00%$ 20.00%$ 0.00%$ 0$ 2$ 4$ 6$ 8$ 10$ 12$ 14$ 16$ 18$ 20$ Abbildung : Risikolose Preise, Z Spread und Swap Spread für ausfallgefährdete Wertpapiere mit 5% Kupon in Abhängigkeit der Laufzeit. Recovery Rate ist 40%, der risikolose Zins 2%.

15 Beispiel: Griechische Renditekurve Abbildung : Quelle: finanzen.net

16 kurz vor dem Ausfall Trotz der negativen Swap ist die vom Markt gesehene Ausfallwahrscheinlichkeit für Deutschland nicht gleich 0. Abbildung : Ausfallwahrscheinlichkeit pro Jahr für die Bundesrepublik Deutschland, abgeleitet aus -Default-Swap-Quotierungen. Quelle: dbresearch.de

17 1 Gegeben sei ein Wertpapier mit 10 Jahren Laufzeit, 3% Kupon und konstanter risikoloser Rate 2%. Bestimmen Sie das theoretische Maximum für den Z Spread Swap Spread des Bonds unter der Annahme einer Recovery Rate von 50% bzw. 0%. 2 Wie ändert sich die Formel (4), wenn man folgende Details berücksichtigt: Diskont- und Forwardkurve sind unterschiedlich; Der Swap startet nicht sofort bei Abschluss, sondern mit einer Spot-Periode (typischerweise 3 Werktage).

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