9: Gewichtete Graphen

Transkript

1 Chr.Nelius: Graphentheorie (WS 06/7) 9 9: Gewichtete Graphen Beispiel: Eine Straßenkarte mit Entfernungsangaben zwischen den Orten ist ein Beispiel für einen gewichteten Graphen. (9.) DEF: Ein Graph G heißt ein gewichteter Graph, wenn es eine Gewichtsfunktion g : K(G) Ê 0 gibt, die jeder Kante α K(G) ein Gewicht g(α) zuordnet. Dabei bezeichne Ê 0 die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen. (9.) BEM: a) Sei K, der Stern Graph mit den Ecken 0,,,,,, wobei 0 die Ecke im Mittelpunkt bezeichnen soll. Das Gewicht einer Kante 0i sei definiert durch g(0i) := i. Damit wird K, zu einem gewichteten Graphen. b) Wir betrachten den gewichteten Graphen b c G : a g d f e Dabei sind die Gewichte mit rot an die Kanten geschrieben. Von einem Weg bilden wir das Gesamtgewicht, indem wir die Gewichte aller beteiligten Kanten aufsummieren. Unter allen möglichen Wegen von a nach d ist der Weg a g c d derjenige, der das kleinste Gesamtgewicht besitzt, nämlich ++ =. (9.) DEF: Sei G ein gewichteter Graph mit der Gewichtsfunktion g. Das Gesamtgewicht g(a) einer Kantenfolge A = (α,α,...,α r ) in G ist definiert als Summe der Gewichte der einzelnen Kanten, d.h. g(a) := g(α ) +g(α ) g(α r ) = r g(α k ) k=

2 Chr. Nelius: Graphentheorie (WS 06/7) 0 (9.) BEM: a) Häufig wird in einem gewichteten Graphen ein Weg oder Kreis mit kleinstem bzw. größtem Gesamtgewicht gesucht. b) In Beispiel (9.b) ist a g c d ein Weg zwischen a und d mit kleinstem Gesamtgewicht, und a b c g d ein Weg zwischen a und d mit größtem Gesamtgewicht. c) Gilt g(α) = für alle α K(G), so ist das Gesamtgewicht eines Kantenzuges geich dessen Länge. In diesem Falle ist ein Weg mit kleinstem Gesamtgewicht bzgl. g nichts anderes als ein Weg kleinster Länge. (9.) Das Problem der günstigsten Verbindung (Connector Problem) Zwischen n Städten A,A,...,A n soll ein Eisenbahnnetz so gebaut werden, dass ein Reisender von jeder Stadt aus jede andere Stadt erreichen kann. Die Baukosten k(a i,a j ) für die Strecke zwischen A i und A j sind bekannt. Gesucht ist ein Netz mit den niedrigsten Baukosten. (9.6) BEM: Graphentheoretisch verlangt eine Lösung von (9.), in einem schlichten zusammenhängenden gewichteten Graphen einen aufspannenden Baum mit minimalem Gesamtgewicht zu finden. (9.7) Der Greedy Algorithmus Sei G = (E, K) ein schlichter zusammenhängender gewichteter Graph mit n Ecken und der Gewichtsfunktion g. Dann liefert das folgende Verfahren einen aufspannenden Baum von G mit minimalem Gesamtgewicht bzgl. g: ) Wähle eine Kante α K mit dem kleinsten Gewicht ) Wähle eine Kante α K \ {α } mit dem kleinsten Gewicht ) Sind für i die Kanten α,α,...,α i passend gewählt, so wähle eine Kante α i+ K \ {α,α,...,α i } mit dem kleinsten Gewicht, die mit den vorher ausgewählten Kanten keinen Kreis bildet. Dann ist (E,{α,α,...,α n }) ein aufspannender Baum von G mit minimalem Gesamtgewicht bzgl. g. Wählt man in jedem Schritt eine Kante größten Gewichts, so erhält man einen aufspannenden Baum mit maximalem Gesamtgewicht.

3 Chr. Nelius: Graphentheorie (WS 06/7) (9.8) Das Problem des Handlungsreisenden (Travelling Salesman Problem) Ein Handlungsreisender möchte eine Rundreise durch eine bestimmte Anzahl von Städten unternehmen. Dabei soll jede Stadt nur einmal besucht werden und die zurückgelegte Entfernung soll möglichst klein sein. (9.9) BEM: Graphentheoretisch verlangt eine Lösung von (9.8), in einem gewichteten (vollständigen) Graphen einen Hamilton Kreis mit minimalem Gesamtgewicht zu finden. (9.0) SATZ: Sei G ein gewichteter Hamilton Graph mit der Gewichtsfunktion g. Ferner sei v eine beliebige Ecke von G. Ist dann T ein aufspannender Baum mit minimalem Gesamtgewicht in dem Graphen G v und sind α und α zwei zu v inzidente Kanten minimalen Gewichtes, so ist g(t) +g(α ) +g(α ) eine untere Schranke für das Gesamtgewicht eines jeden Hamilton Kreises in G. Bew: Ein Hamilton Kreis in G hat die Länge n. Die Ecken von G bilden zusammen mit den Kanten eines beliebigen Hamilton Kreises in G einen aufspannenden Untergraphen H, der n Ecken und n Kanten besitzt. Wir bilden jetzt für eine beliebige Ecke v von G den Untergraphen G v, indem wir die Ecke v und alle zu v inzidenten Kanten löschen. α H α In dem linksstehenden Bild ist H ein Hamilton Kreis in dem Graphen G. (G kann natürlich noch mehr Ecken und Kanten haben als eingezeichnet.) Die Ecke v wird aus G und H gelöscht. β β v In dem Graphen H werden dabei die Ecke v und die beiden zu v inzidenten Kanten aus H, die wir mit β und β bezeichnen wollen, gelöscht, so dass H v jetzt n Ecken und n Kanten hat. Da H v zusammenhängend geblieben ist, ist H v nach (6.) ein Baum Graph, also ein aufspannender Baum von G v. Sei jetzt T ein aufspannender Baum minimalen Gesamtgewichtes von G v (diesen können wir mit dem Greedy Algorithmus bestimmen). Dann gilt g(t) g(h v). Sind α und α zwei Kanten minimalen Gewichtes aus G, die zu v inzident sind (diese müssen nicht unbedingt von β und β verschieden sein), so gilt auf jeden Fall

4 Chr. Nelius: Graphentheorie (WS 06/7) g(α ) + g(α ) g(β ) + g(β ), und es folgt g(t) + g(α ) + g(α ) g(h v) + g(β ) + g(β ) = g(h). Damitist g(t)+g(α )+g(α ) eine untere Schranke fürdasgesamtgewicht eines jeden Hamilton Kreises in G und damit auch eine untere Schranke für das minimale Gesamtgewicht eines Hamilton Kreises in G. (9.) BEM: a) Einen aufspannenden Baum minimalen Gesamtgewichtes kann man mit dem Greedy Algorithmus bestimmen. b) Mit dem in (9.0) beschriebenen Verfahren findet man i.a. nicht das minimale Gesamtgewicht M eines Hamilton Kreises, sondern nur eine untere Schranke S dafür, d.h. es gilt S M, Gleichheit muss aber i.a. nicht gelten. c) Führt man das Verfahren aus (9.0) für mehrere Ecken durch, erhält man i.a. unterschiedliche untere Schranken. Die größte unter ihnen kommt dann dem gesuchten minimalen Gesamtgewicht am nächsten. d) Analog zu (9.0) kann man auch eine obere Schranke für das maximale Gesamtgewicht eines Hamilton Kreises in G finden. (9.) Das Problem des Briefträgers (Chinese Postman Problem) Ein Briefträger holt in seinem Postamt die auszutragende Post ab, liefert sie bei den Empfängern ab und kehrt zum Postamt zurück. Dabei muss er in seinem Zustellbereich jede Straße mindestens einmal passieren. Natürlich möchte er insgesamt einen möglichst kurzen Weg zurücklegen. Der chinesische Mathematiker Kuan hat dieses Problem im Jahre 96 als erster ausführlich untersucht, daher der englische Name dieses Problems! (9.) BEM: Graphentheoretisch bedeutet dieses Problem, dass man in einem zusammenhängenden gewichteten Graphen einen geschlossenen Kantenzug sucht, der jede Kante des Graphen mindestens einmal enthält und dessen Gesamtgewicht möglichst klein ist. Wir werden nur zwei Spezialfälle dieses Problems behandeln, die allgemeine Situation ist zu kompliziert für uns. (9.) BEM: Wir betrachten den Fall, dass der Graph ein gewichteter Euler Graph ist. Dann kann der Briefträger jede Euler Rundtour benutzen. Eine solche enthält nämlich jede Kante (Straße) genau einmal und hat daher unter allen geschlossenen Kantenzügen, die jede Kante mindestens einmal enthalten, das kleinste Gesamtgewicht. (9.) BEM: Als zweites behandeln wir den Fall, dass der Graph zusammenhängend ist und genau zwei ungerade Ecken u und v enthält. Dann gibt es eine Euler Tour von u nach v, bei der jede Kante des Graphen genau einmal durchlaufen wird. Dies ist also eine kürzeste Verbindung zwischen u und v, bei der jede Straße genau einmal durchlaufen wird. Damit der Postbote aber einen Rundgang machen kann, muss er zwischen u und v einige Straßen ein zweites Mal entlanggehen. Dieser Rückweg muss möglichst kurz sein, d.h. wir suchen einen Weg minimalen Gesamtgewichtes zwischen u und v. Wenn wir einen solchen kürzesten Weg gefunden haben, verdoppeln wir alle seine Kanten. Es entsteht dadurch ein gewichteter Euler Graph, in dem jede Euler Rundtour eine kürzeste Route für den Briefträger ist. Es gibt Algorithmen, kürzeste Wege zu bestimmen, etwa den Algorithmus von E.W.Dijkstra(99), die wir hier jedoch nicht behandeln können.

5 Chr. Nelius: Graphentheorie (WS 06/7) Beispiel: Der zusammenhängende Graph G hat genau zwei ungerade Ecken, so dass es eine Euler Tour zwischen u und u gibt. u u u 8 u 7 u u 6 u u u u u 6 u 7 u ist ein Weg kleinsten Gesamtgewichtes zwischen u und u. Verdoppelt man seine Kanten, so entsteht der Euler-Graph H := G +{α,α,α,α }. Eine Euler Rundtour in H ist ein geschlossener Kantenzug minimalen Gesamtgewichtes, der jede Kante von G mindestens einmal enthält. u u α u 8 u 7 u α α α u 6 u u