Logische Folge. Hannes Leitgeb. Oktober K(l)eine Einführung in die Logik. LMU München
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1 Logische Folge K(l)eine Einführung in die Logik Hannes Leitgeb LMU München Oktober 2012 Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012 in die 1 / 26 Lo
2 Was ist Logik? Traditionelle Antwort: Logik ist die Lehre vom richtigen Schließen (Schlüsse ziehen). Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012 in die 2 / 26 Lo
3 Was ist Logik? Traditionelle Antwort: Logik ist die Lehre vom richtigen Schließen (Schlüsse ziehen). Das ist auch heute noch eine ganz gute Antwort, allerdings nur wenn man dabei im Kopf behält: 1 Logik ist normativ. 2 Logik behandelt logische Folge. 3 Logik ist formal. 4 Logik kann auch induktiv sein. 5 Logik ist fundamental für die Philosophie. 6 Logik ist vielfältig. Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012 in die 2 / 26 Lo
4 Logik ist normativ Wason Selection Task (Wason 1966): Vier Spielkarten liegen auf einem Tisch. Jede Spielkarte hat auf der einen Seite eine Ziffer und auf der anderen Seite eine farbige Fläche. Die Karten auf dem Tisch sehen so aus: Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012 in die 3 / 26 Lo
5 Logik ist normativ Wason Selection Task (Wason 1966): Vier Spielkarten liegen auf einem Tisch. Jede Spielkarte hat auf der einen Seite eine Ziffer und auf der anderen Seite eine farbige Fläche. Die Karten auf dem Tisch sehen so aus: Frage: Welche Karte(n) muss man umdrehen, um die Wahrheit des folgenden Satzes zu überprüfen: Wenn auf der einen Seite eine gerade Ziffer ist, dann ist die andere Seite rot. Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012 in die 3 / 26 Lo
6 Wenn auf der einen Seite eine gerade Ziffer ist, dann ist } {{ }} die andere {{ Seite rot }. p q Karte p q p q 1. f? w 2. w?? (drehe Karte um!) 3.? w w 4.? f? (drehe Karte um!) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012 in die 4 / 26 Lo
7 Wenn auf der einen Seite eine gerade Ziffer ist, dann ist } {{ }} die andere {{ Seite rot }. p q Karte p q p q 1. f? w 2. w?? (drehe Karte um!) 3.? w w 4.? f? (drehe Karte um!) Die Antwort ist also: Die 2. Karte und die 4. Karte. Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012 in die 4 / 26 Lo
8 Im klassischen Wason Selection Task Experiment gaben weniger als 10 Prozent der Probanden die korrekte Antwort. Logik ist normativ: Es geht darum, wie man schließen darf und soll. Richtig schließen heißt hier nicht: so wie die Mehrheit schließt. Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012 in die 5 / 26 Lo
9 Im klassischen Wason Selection Task Experiment gaben weniger als 10 Prozent der Probanden die korrekte Antwort. Logik ist normativ: Es geht darum, wie man schließen darf und soll. Richtig schließen heißt hier nicht: so wie die Mehrheit schließt. In dem Wason Selection Task Experiment ging es darum festzustellen, wie Menschen tatsächlich schließen. In der Logik jedoch meint man mit Schluss gar keinen geistigen Prozess sondern eine Abfolge von Sätzen, wobei Sätze als abstrakte Gegenstände und ihre logischen Beziehungen als abstrakte Beziehungen aufgefasst werden. Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012 in die 5 / 26 Lo
10 Im klassischen Wason Selection Task Experiment gaben weniger als 10 Prozent der Probanden die korrekte Antwort. Logik ist normativ: Es geht darum, wie man schließen darf und soll. Richtig schließen heißt hier nicht: so wie die Mehrheit schließt. In dem Wason Selection Task Experiment ging es darum festzustellen, wie Menschen tatsächlich schließen. In der Logik jedoch meint man mit Schluss gar keinen geistigen Prozess sondern eine Abfolge von Sätzen, wobei Sätze als abstrakte Gegenstände und ihre logischen Beziehungen als abstrakte Beziehungen aufgefasst werden. Gottlob Frege ( ), Edmund Husserl ( ): Psychologismusdebatte im 19. Jahrhundert. (Google: Wason Selection Task; plato.stanford.edu/entries/psychologism/ ) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012 in die 5 / 26 Lo
11 Logik behandelt logische Folge Ein Mord hat stattgefunden. Detective Bert Russell weiß, dass entweder Smith oder Jones der Mörder ist, und dass sie nicht zusammengearbeitet haben. Weiters stellt er im Zuge seiner Ermittlungen fest: 1 Wenn Smith zur Tatzeit betrunken war, dann ist Jones der Mörder oder Smith lügt. 2 Jones ist der Mörder oder es ist so, dass Smith nicht betrunken war und der Mord nach Mitternacht stattgefunden hat. 3 Wenn der Mord nach Mitternacht stattgefunden hat, dann ist Jones der Mörder oder Smith lügt. 4 Wenn Smith nicht betrunken war, dann lügt er nicht. Wer ist der Mörder? Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012 in die 6 / 26 Lo
12 Bert Russell repräsentiert dies in der Sprache der Aussagenlogik wie folgt: p: Smith war zur Tatzeit betrunken. q: Jones ist der Mörder. ( q: Jones ist nicht der Mörder bzw. Smith ist der Mörder.) r: Smith lügt. s: Der Mord fand nach Mitternacht statt. Was Russell weiß, ist dann: P1 p (q r) P2 q ( p s) P3 s (q r) P4 p r Daraus Schlüsse zu ziehen, heißt nun: Die Information, die in P1 P4 implizit enthalten ist, explizit zu machen. Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012 in die 7 / 26 Lo
13 P1 schränkt die Welt auf folgende Zeilen der Wahrheitstafel ein: p q r p (q r) w w w w w w w f w w w f w w w w f f f f f w w w w f w f w w f f w w w f f f w f Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012 in die 8 / 26 Lo
14 P1: Alles außer p: w, q: f, r: f. P2 schränkt die Welt auf folgende Zeilen der Wahrheitstafel ein: p q s q ( p s) w w w w f f w w f w f f w f w f f f w f f f f f f w w w w w f w f w w f f f w w w w f f f f w f Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012 in die 9 / 26 Lo
15 P1: Alles außer p: w, q: f, r: f. P2: Alles außer p: w, q: f und p: f, q: f, s: f. P3 schränkt die Welt auf folgende Zeilen der Wahrheitstafel ein: q r s s (q r) w w w w w w w f w w w f w w w w f f w w f w w w w f w f w w f f w f f f f f w f Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 10 / 26 Lo
16 P1: Alles außer p: w, q: f, r: f. P2: Alles außer p: w, q: f und p: f, q: f, s: f. P3: Alles außer q: f, r: f, s: w. P4 schränkt die Welt auf folgende Zeilen der Wahrheitstafel ein: p r p r w w f w f w f f w w f w w f f f f w w w Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 11 / 26 Lo
17 Russell weiß also, dass die Welt folgenden Bedingungen genügen muss: P1: Alles außer p: w, q: f, r: f, s: w/f. P2: Alles außer p: w, q: f, r: w/f, s: w/f und p: f, q: f, r: w/f, s: f. P3: Alles außer p: w/f, q: f, r: f, s: w. P4: Alles außer p: f, q: w/f, r: w, s: w/f. Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 12 / 26 Lo
18 Russell weiß also, dass die Welt folgenden Bedingungen genügen muss: P1: Alles außer p: w, q: f, r: f, s: w/f. P2: Alles außer p: w, q: f, r: w/f, s: w/f und p: f, q: f, r: w/f, s: f. P3: Alles außer p: w/f, q: f, r: f, s: w. P4: Alles außer p: f, q: w/f, r: w, s: w/f. Das heisst aber auch, dass die Welt keiner der folgenden Möglichkeiten genügt: p : w q : f r : w s : w p : w q : f r : w s : f p : w q : f r : f s : w p : w q : f r : f s : f p : f q : f r : w s : w p : f q : f r : w s : f p : f q : f r : f s : w p : f q : f r : f s : f Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 12 / 26 Lo
19 Russell weiß also, dass die Welt folgenden Bedingungen genügen muss: P1: Alles außer p: w, q: f, r: f, s: w/f. P2: Alles außer p: w, q: f, r: w/f, s: w/f und p: f, q: f, r: w/f, s: f. P3: Alles außer p: w/f, q: f, r: f, s: w. P4: Alles außer p: f, q: w/f, r: w, s: w/f. Das heisst aber auch, dass die Welt keiner der folgenden Möglichkeiten genügt: p : w q : f r : w s : w p : w q : f r : w s : f p : w q : f r : f s : w p : w q : f r : f s : f p : f q : f r : w s : w p : f q : f r : w s : f p : f q : f r : f s : w p : f q : f r : f s : f Und das heisst: q muss wahr sein! Jones ist der Mörder. Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 12 / 26 Lo
20 Definition (Log. Folge; in mehreren Varianten) (1) Ein Aussagesatz Q folgt logisch aus den Aussagesätzen P 1,...,P n genau dann, wenn es logisch notwendig ist, dass wenn P 1,...,P n wahr sind, auch Q wahr ist. (2) Ein Aussagesatz Q folgt logisch aus den Aussagesätzen P 1,...,P n genau dann, wenn in allen logisch möglichen Welten, in denen P 1,...,P n wahr sind, auch Q wahr ist. (3) Ein Aussagesatz Q folgt logisch aus den Aussagesätzen P 1,...,P n genau dann, wenn in allen Zeilen der Wahrheitstafel für die logische Formen von P 1,...,P n,q, in denen die logischen Formen von P 1,...,P n wahr sind, auch die logische Form von Q wahr ist. Insbesondere folgt in unserem Mörder-Beispiel Jones ist der Mörder logisch aus P1, P2, P3, P4. Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 13 / 26 Lo
21 Definition (Log. Folge; in mehreren Varianten) (1) Ein Aussagesatz Q folgt logisch aus den Aussagesätzen P 1,...,P n genau dann, wenn es logisch notwendig ist, dass wenn P 1,...,P n wahr sind, auch Q wahr ist. (2) Ein Aussagesatz Q folgt logisch aus den Aussagesätzen P 1,...,P n genau dann, wenn in allen logisch möglichen Welten, in denen P 1,...,P n wahr sind, auch Q wahr ist. (3) Ein Aussagesatz Q folgt logisch aus den Aussagesätzen P 1,...,P n genau dann, wenn in allen Zeilen der Wahrheitstafel für die logische Formen von P 1,...,P n,q, in denen die logischen Formen von P 1,...,P n wahr sind, auch die logische Form von Q wahr ist. Insbesondere folgt in unserem Mörder-Beispiel Jones ist der Mörder logisch aus P1, P2, P3, P4. Alfred Tarski ( ): Präzise Definitionen von Wahrheit und von logischer Folge. (Siehe: ) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 13 / 26 Lo
22 Den Schluss auf q in unserem vorigen Beispiel hätten wir auch schneller ziehen können: 1. p (q r) (P1) 2. q ( p s) (P2) 3. s (q r) (P3) 4. p r (P4) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 14 / 26 Lo
23 Den Schluss auf q in unserem vorigen Beispiel hätten wir auch schneller ziehen können: 1. p (q r) (P1) 2. q ( p s) (P2) 3. s (q r) (P3) 4. p r (P4) 5. q (Annahme für Reductio ad Absurdum) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 14 / 26 Lo
24 Den Schluss auf q in unserem vorigen Beispiel hätten wir auch schneller ziehen können: 1. p (q r) (P1) 2. q ( p s) (P2) 3. s (q r) (P3) 4. p r (P4) 5. q (Annahme für Reductio ad Absurdum) 6. p s (aus 2. und 5. mit Disjunktivem Syllogismus) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 14 / 26 Lo
25 Den Schluss auf q in unserem vorigen Beispiel hätten wir auch schneller ziehen können: 1. p (q r) (P1) 2. q ( p s) (P2) 3. s (q r) (P3) 4. p r (P4) 5. q (Annahme für Reductio ad Absurdum) 6. p s (aus 2. und 5. mit Disjunktivem Syllogismus) 7. p (aus 6. mit Abschwächung der Konjunktion) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 14 / 26 Lo
26 Den Schluss auf q in unserem vorigen Beispiel hätten wir auch schneller ziehen können: 1. p (q r) (P1) 2. q ( p s) (P2) 3. s (q r) (P3) 4. p r (P4) 5. q (Annahme für Reductio ad Absurdum) 6. p s (aus 2. und 5. mit Disjunktivem Syllogismus) 7. p (aus 6. mit Abschwächung der Konjunktion) 8. s (aus 6. mit Abschwächung der Konjunktion) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 14 / 26 Lo
27 Den Schluss auf q in unserem vorigen Beispiel hätten wir auch schneller ziehen können: 1. p (q r) (P1) 2. q ( p s) (P2) 3. s (q r) (P3) 4. p r (P4) 5. q (Annahme für Reductio ad Absurdum) 6. p s (aus 2. und 5. mit Disjunktivem Syllogismus) 7. p (aus 6. mit Abschwächung der Konjunktion) 8. s (aus 6. mit Abschwächung der Konjunktion) 9. q r (aus 8. und 3. mit Modus Ponens) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 14 / 26 Lo
28 Den Schluss auf q in unserem vorigen Beispiel hätten wir auch schneller ziehen können: 1. p (q r) (P1) 2. q ( p s) (P2) 3. s (q r) (P3) 4. p r (P4) 5. q (Annahme für Reductio ad Absurdum) 6. p s (aus 2. und 5. mit Disjunktivem Syllogismus) 7. p (aus 6. mit Abschwächung der Konjunktion) 8. s (aus 6. mit Abschwächung der Konjunktion) 9. q r (aus 8. und 3. mit Modus Ponens) 10. r (aus 9. und 5. mit Disjunktivem Syllogismus) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 14 / 26 Lo
29 Den Schluss auf q in unserem vorigen Beispiel hätten wir auch schneller ziehen können: 1. p (q r) (P1) 2. q ( p s) (P2) 3. s (q r) (P3) 4. p r (P4) 5. q (Annahme für Reductio ad Absurdum) 6. p s (aus 2. und 5. mit Disjunktivem Syllogismus) 7. p (aus 6. mit Abschwächung der Konjunktion) 8. s (aus 6. mit Abschwächung der Konjunktion) 9. q r (aus 8. und 3. mit Modus Ponens) 10. r (aus 9. und 5. mit Disjunktivem Syllogismus) 11. r (aus 7. und 4. mit Modus Ponens) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 14 / 26 Lo
30 Den Schluss auf q in unserem vorigen Beispiel hätten wir auch schneller ziehen können: 1. p (q r) (P1) 2. q ( p s) (P2) 3. s (q r) (P3) 4. p r (P4) 5. q (Annahme für Reductio ad Absurdum) 6. p s (aus 2. und 5. mit Disjunktivem Syllogismus) 7. p (aus 6. mit Abschwächung der Konjunktion) 8. s (aus 6. mit Abschwächung der Konjunktion) 9. q r (aus 8. und 3. mit Modus Ponens) 10. r (aus 9. und 5. mit Disjunktivem Syllogismus) 11. r (aus 7. und 4. mit Modus Ponens) 12. r r (aus 10. und 11. mit Konjunktionseinführung) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 14 / 26 Lo
31 Den Schluss auf q in unserem vorigen Beispiel hätten wir auch schneller ziehen können: 1. p (q r) (P1) 2. q ( p s) (P2) 3. s (q r) (P3) 4. p r (P4) 5. q (Annahme für Reductio ad Absurdum) 6. p s (aus 2. und 5. mit Disjunktivem Syllogismus) 7. p (aus 6. mit Abschwächung der Konjunktion) 8. s (aus 6. mit Abschwächung der Konjunktion) 9. q r (aus 8. und 3. mit Modus Ponens) 10. r (aus 9. und 5. mit Disjunktivem Syllogismus) 11. r (aus 7. und 4. mit Modus Ponens) 12. r r (aus 10. und 11. mit Konjunktionseinführung) 13. q (aus , Ende der Reductio) Anstatt mit Wahrheitstafeln zu arbeiten, lässt sich q also auch einfach aus den Prämissen herleiten. (Man sieht auch, dass P1 gar nicht benötigt wurde.) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 14 / 26 Lo
32 Ist das immer so? D.h.: Wenn Q logisch aus P 1,...,P n folgt, ist dann Q immer auch herleitbar aus P 1,...,P n (mittels einfacher geeigneter Regeln)? Und wenn Q herleitbar ist aus P 1,...,P n (mittels einfacher geeigneter Regeln), folgt dann Q immer auch logisch aus P 1,...,P n? Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 15 / 26 Lo
33 Ist das immer so? D.h.: Wenn Q logisch aus P 1,...,P n folgt, ist dann Q immer auch herleitbar aus P 1,...,P n (mittels einfacher geeigneter Regeln)? Und wenn Q herleitbar ist aus P 1,...,P n (mittels einfacher geeigneter Regeln), folgt dann Q immer auch logisch aus P 1,...,P n? JA! Dies wurde von zuerst von Kurt Gödel im Jahre 1929 bewiesen (und zwar gleich für die komplexere sogenannte Prädikatenlogik): (Siehe: ) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 15 / 26 Lo
34 Logik ist formal Was woraus logisch folgt, hängt ausschließlich von der logischen Form der nämlichen Aussagesätze ab. Zum Beispiel: Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 16 / 26 Lo
35 Logik ist formal Was woraus logisch folgt, hängt ausschließlich von der logischen Form der nämlichen Aussagesätze ab. Zum Beispiel: Eine Kochsendung hat stattgefunden. Detective Bert Russell weiß, dass entweder Schuhbeck oder Lafer der Koch ist, und dass sie nicht zusammengearbeitet haben. Weiters stellt er fest: 1 Wenn Schubeck zur Tatzeit betrunken war, dann ist Lafer der Koch oder Schubeck lügt. 2 Lafer ist der Koch oder es ist so, dass Schubeck nicht betrunken war und die Kochsendung nach Mitternacht stattgefunden hat. 3 Wenn die Kochsendung nach Mitternacht stattgefunden hat, dann ist Lafer der Koch oder Schubeck lügt. 4 Wenn Schuhbeck nicht betrunken war, dann lügt er nicht. Wer ist der Koch? Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 16 / 26 Lo
36 Logik ist formal Was woraus logisch folgt, hängt ausschließlich von der logischen Form der nämlichen Aussagesätze ab. Zum Beispiel: Eine Kochsendung hat stattgefunden. Detective Bert Russell weiß, dass entweder Schuhbeck oder Lafer der Koch ist, und dass sie nicht zusammengearbeitet haben. Weiters stellt er fest: 1 Wenn Schubeck zur Tatzeit betrunken war, dann ist Lafer der Koch oder Schubeck lügt. 2 Lafer ist der Koch oder es ist so, dass Schubeck nicht betrunken war und die Kochsendung nach Mitternacht stattgefunden hat. 3 Wenn die Kochsendung nach Mitternacht stattgefunden hat, dann ist Lafer der Koch oder Schubeck lügt. 4 Wenn Schuhbeck nicht betrunken war, dann lügt er nicht. Wer ist der Koch? Natürlich Lafer!!! Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 16 / 26 Lo
37 Logik ist formal: Die Gültigkeit eines Schlusses hängt nur von seiner logischen Form ab. Daher die Formalisierung mittels p,q,r,s,... Dies hat schon Aristoteles (Organon) in seiner Syllogistik dazu gebracht, die logischen Formen von einfach strukturierten Sätzen durch formale Symbole darzustellen, wie Alle S sind P: SaP Kein S ist P: SeP Einige S sind P: SiP Einige S sind nicht P: SoP und logische Folgebeziehungen gleich für Letztere zu studieren. Bernard Bolzano ( ) erkannte als Erster, dass man logische Folgebeziehungen charakterisieren kann durch Invarianz unter grammatikalisch korrekten Ersetzungen von nicht-logischen Ausdrücken. ( Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 17 / 26 Lo
38 Logik kann auch induktiv sein Wenn Q aus P 1,...,P n logisch folgt, dann zieht die Wahrheit von P 1,...,P n notwendigerweise die Wahrheit von Q nach sich. Abgesehen von solchen logisch gültigen Schlüssen, gibt es aber auch sogenannte induktiv starke Argumente, bei denen die Wahrheit von P 1,...,P n die Wahrheit von Q nur wahrscheinlich macht: Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 18 / 26 Lo
39 Logik kann auch induktiv sein Wenn Q aus P 1,...,P n logisch folgt, dann zieht die Wahrheit von P 1,...,P n notwendigerweise die Wahrheit von Q nach sich. Abgesehen von solchen logisch gültigen Schlüssen, gibt es aber auch sogenannte induktiv starke Argumente, bei denen die Wahrheit von P 1,...,P n die Wahrheit von Q nur wahrscheinlich macht: Definition Ein Argument P 1,...,P n Q ist induktiv stark, wenn es nicht logisch gültig ist, und wenn, gegeben die Wahrheit von P 1,...,P n, die Wahrscheinlichkeit von Q hoch ist. (Achtung: SEHR viel muss hier hinzugefügt werden, um daraus eine klare und sinnvolle Definition zu machen was heißt hier gegeben, welches Wahrscheinlichkeitsmaß wird verwendet, wie hoch ist hoch, usw.) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 18 / 26 Lo
40 Logik kann auch induktiv sein Wenn Q aus P 1,...,P n logisch folgt, dann zieht die Wahrheit von P 1,...,P n notwendigerweise die Wahrheit von Q nach sich. Abgesehen von solchen logisch gültigen Schlüssen, gibt es aber auch sogenannte induktiv starke Argumente, bei denen die Wahrheit von P 1,...,P n die Wahrheit von Q nur wahrscheinlich macht: Definition Ein Argument P 1,...,P n Q ist induktiv stark, wenn es nicht logisch gültig ist, und wenn, gegeben die Wahrheit von P 1,...,P n, die Wahrscheinlichkeit von Q hoch ist. (Achtung: SEHR viel muss hier hinzugefügt werden, um daraus eine klare und sinnvolle Definition zu machen was heißt hier gegeben, welches Wahrscheinlichkeitsmaß wird verwendet, wie hoch ist hoch, usw.) Mit Rudolf Carnaps ( ) Arbeiten dazu wurde die Wahrscheinlichkeitstheorie zu einem wichtigen Teil der Logik, der Wissenschaftstheorie und der Erkenntnistheorie. Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 18 / 26 Lo
41 Das hat auch praktische Bedeutung: Eine Maschine wurde erfunden, mittels derer man Terroristen entlarven kann. Die Maschine hat eine Zuverlässigkeit von 0.9 (bzw. 90%): D.h.: Ein Terrorist wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.9 als solcher erkannt, ein Nicht-Terrorist wird ebenfalls mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.9 als solcher erkannt. Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 19 / 26 Lo
42 Das hat auch praktische Bedeutung: Eine Maschine wurde erfunden, mittels derer man Terroristen entlarven kann. Die Maschine hat eine Zuverlässigkeit von 0.9 (bzw. 90%): D.h.: Ein Terrorist wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.9 als solcher erkannt, ein Nicht-Terrorist wird ebenfalls mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.9 als solcher erkannt. Eines Tages informiert der Bundesnachrichtendienst den deutschen Bundestag, dass sich in die gerade stattfindende Sitzung ein einzelner Terrorist eingeschlichen hat. Alle Zugänge werden abgeriegelt und die 3000 Leute im Gebäude werden nacheinander mit der neuen Maschine getestet. Beim Test schlägt die Maschine bei einer Person an: Große Aufregung! Frage: Wie sicher darf man sein (auf einer Skala von 0 bis 1), dass es sich bei der Person um den gesuchten Terroristen handelt? Etwa 0.9 (90%) oder etwa 0.1 (10%) oder etwa (0.3%)? Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 19 / 26 Lo
43 Das hat auch praktische Bedeutung: Eine Maschine wurde erfunden, mittels derer man Terroristen entlarven kann. Die Maschine hat eine Zuverlässigkeit von 0.9 (bzw. 90%): D.h.: Ein Terrorist wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.9 als solcher erkannt, ein Nicht-Terrorist wird ebenfalls mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.9 als solcher erkannt. Eines Tages informiert der Bundesnachrichtendienst den deutschen Bundestag, dass sich in die gerade stattfindende Sitzung ein einzelner Terrorist eingeschlichen hat. Alle Zugänge werden abgeriegelt und die 3000 Leute im Gebäude werden nacheinander mit der neuen Maschine getestet. Beim Test schlägt die Maschine bei einer Person an: Große Aufregung! Frage: Wie sicher darf man sein (auf einer Skala von 0 bis 1), dass es sich bei der Person um den gesuchten Terroristen handelt? Etwa 0.9 (90%) oder etwa 0.1 (10%) oder etwa (0.3%)? Die Antwort ist (0.3%)! Das Argument Es piepst. Daher ist das ein Terrorist ist induktiv schwach. Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 19 / 26 Lo
44 Denn: Es befinden sich 3000 zu untersuchende Leute in dem Gebäude. Darunter befinden sich 1 Terrorist und 2999 Nicht-Terroristen. Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 20 / 26 Lo
45 Denn: Es befinden sich 3000 zu untersuchende Leute in dem Gebäude. Darunter befinden sich 1 Terrorist und 2999 Nicht-Terroristen. Der Terrorist wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.9 durch die Maschine entlarvt. Von den 2999 Nicht-Terroristen wird die Maschine etwa 10 Prozent (fälschlicherweise) als Terroristen einstufen. Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 20 / 26 Lo
46 Denn: Es befinden sich 3000 zu untersuchende Leute in dem Gebäude. Darunter befinden sich 1 Terrorist und 2999 Nicht-Terroristen. Der Terrorist wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.9 durch die Maschine entlarvt. Von den 2999 Nicht-Terroristen wird die Maschine etwa 10 Prozent (fälschlicherweise) als Terroristen einstufen. Somit wird die Maschine insgesamt etwa 301 Leute für Terroristen halten. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Person, bei der die Maschine angeschlagen hat, wirklich ein Terrorist ist, beträgt also ungefähr (Google: Base Rate Fallacy; ) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 20 / 26 Lo
47 Logik ist fundamental für die Philosophie In der Philosophie braucht man die Logik, um philosophische Fragen, Begriffe und Thesen logisch zu analysieren und auf diese Weise zu klären, überraschende Folgerungen aus (scheinbar) unkontroversiellen philosophischen Annahmen zu rechtfertigen zum Beispiel: Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 21 / 26 Lo
48 Logik ist fundamental für die Philosophie In der Philosophie braucht man die Logik, um philosophische Fragen, Begriffe und Thesen logisch zu analysieren und auf diese Weise zu klären, überraschende Folgerungen aus (scheinbar) unkontroversiellen philosophischen Annahmen zu rechtfertigen zum Beispiel: K : irgendjemand weiß zu irgendeiner Zeit, dass : es ist möglich, dass : es ist notwendig, dass Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 21 / 26 Lo
49 Logik ist fundamental für die Philosophie In der Philosophie braucht man die Logik, um philosophische Fragen, Begriffe und Thesen logisch zu analysieren und auf diese Weise zu klären, überraschende Folgerungen aus (scheinbar) unkontroversiellen philosophischen Annahmen zu rechtfertigen zum Beispiel: K : irgendjemand weiß zu irgendeiner Zeit, dass : es ist möglich, dass : es ist notwendig, dass P1 p(p Kp) ( Alles was wahr ist, kann man wissen ) P2 p(p Kp) ( Es gibt etwas Wahres, das man nicht weiss ) P3 p,q (K (p q) Kp Kq) ( Wenn man eine Konjunktion weiss, dann auch jedes ihrer Konjunkte ) P4 p(kp p) ( Wissen impliziert Wahrheit ) P5 p( p p) ( Wenn nicht-p notwendig ist, dann ist p nicht möglich ) R Wenn A rein logisch ableitbar ist, dann auch A ( notwendigerweise A ). Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 21 / 26 Lo
50 Aus diesen Annahmen folgern wir nun: 1. p Kp (aus P2: p(p Kp); sei p ein entsprechendes Beispiel.) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 22 / 26 Lo
51 Aus diesen Annahmen folgern wir nun: 1. p Kp (aus P2: p(p Kp); sei p ein entsprechendes Beispiel.) 2. (p Kp) K (p Kp) (aus P1: p(p Kp)) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 22 / 26 Lo
52 Aus diesen Annahmen folgern wir nun: 1. p Kp (aus P2: p(p Kp); sei p ein entsprechendes Beispiel.) 2. (p Kp) K (p Kp) (aus P1: p(p Kp)) 3. K (p Kp) (aus 1. und 2. mit Modus Ponens) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 22 / 26 Lo
53 Aus diesen Annahmen folgern wir nun: 1. p Kp (aus P2: p(p Kp); sei p ein entsprechendes Beispiel.) 2. (p Kp) K (p Kp) (aus P1: p(p Kp)) 3. K (p Kp) (aus 1. und 2. mit Modus Ponens) 4. K (p Kp) (Annahme für Reductio ad Absurdum) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 22 / 26 Lo
54 Aus diesen Annahmen folgern wir nun: 1. p Kp (aus P2: p(p Kp); sei p ein entsprechendes Beispiel.) 2. (p Kp) K (p Kp) (aus P1: p(p Kp)) 3. K (p Kp) (aus 1. und 2. mit Modus Ponens) 4. K (p Kp) (Annahme für Reductio ad Absurdum) 5. K (p Kp) Kp K ( Kp) (aus P3: p,q(k (p q) Kp Kq)) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 22 / 26 Lo
55 Aus diesen Annahmen folgern wir nun: 1. p Kp (aus P2: p(p Kp); sei p ein entsprechendes Beispiel.) 2. (p Kp) K (p Kp) (aus P1: p(p Kp)) 3. K (p Kp) (aus 1. und 2. mit Modus Ponens) 4. K (p Kp) (Annahme für Reductio ad Absurdum) 5. K (p Kp) Kp K ( Kp) (aus P3: p,q(k (p q) Kp Kq)) 6. Kp K ( Kp) (aus 4. und 5. mit Modus Ponens) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 22 / 26 Lo
56 Aus diesen Annahmen folgern wir nun: 1. p Kp (aus P2: p(p Kp); sei p ein entsprechendes Beispiel.) 2. (p Kp) K (p Kp) (aus P1: p(p Kp)) 3. K (p Kp) (aus 1. und 2. mit Modus Ponens) 4. K (p Kp) (Annahme für Reductio ad Absurdum) 5. K (p Kp) Kp K ( Kp) (aus P3: p,q(k (p q) Kp Kq)) 6. Kp K ( Kp) (aus 4. und 5. mit Modus Ponens) 7. K ( Kp) Kp (aus P4: p(kp p)) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 22 / 26 Lo
57 Aus diesen Annahmen folgern wir nun: 1. p Kp (aus P2: p(p Kp); sei p ein entsprechendes Beispiel.) 2. (p Kp) K (p Kp) (aus P1: p(p Kp)) 3. K (p Kp) (aus 1. und 2. mit Modus Ponens) 4. K (p Kp) (Annahme für Reductio ad Absurdum) 5. K (p Kp) Kp K ( Kp) (aus P3: p,q(k (p q) Kp Kq)) 6. Kp K ( Kp) (aus 4. und 5. mit Modus Ponens) 7. K ( Kp) Kp (aus P4: p(kp p)) 8. Kp Kp (aus 6. und 7., Abschwächung des rechten Konjunktes) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 22 / 26 Lo
58 Aus diesen Annahmen folgern wir nun: 1. p Kp (aus P2: p(p Kp); sei p ein entsprechendes Beispiel.) 2. (p Kp) K (p Kp) (aus P1: p(p Kp)) 3. K (p Kp) (aus 1. und 2. mit Modus Ponens) 4. K (p Kp) (Annahme für Reductio ad Absurdum) 5. K (p Kp) Kp K ( Kp) (aus P3: p,q(k (p q) Kp Kq)) 6. Kp K ( Kp) (aus 4. und 5. mit Modus Ponens) 7. K ( Kp) Kp (aus P4: p(kp p)) 8. Kp Kp (aus 6. und 7., Abschwächung des rechten Konjunktes) 9. K (p Kp) (aus 4. 8., Ende der Reductio) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 22 / 26 Lo
59 Aus diesen Annahmen folgern wir nun: 1. p Kp (aus P2: p(p Kp); sei p ein entsprechendes Beispiel.) 2. (p Kp) K (p Kp) (aus P1: p(p Kp)) 3. K (p Kp) (aus 1. und 2. mit Modus Ponens) 4. K (p Kp) (Annahme für Reductio ad Absurdum) 5. K (p Kp) Kp K ( Kp) (aus P3: p,q(k (p q) Kp Kq)) 6. Kp K ( Kp) (aus 4. und 5. mit Modus Ponens) 7. K ( Kp) Kp (aus P4: p(kp p)) 8. Kp Kp (aus 6. und 7., Abschwächung des rechten Konjunktes) 9. K (p Kp) (aus 4. 8., Ende der Reductio) 10. K (p Kp) (aus 9. mit R) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 22 / 26 Lo
60 Aus diesen Annahmen folgern wir nun: 1. p Kp (aus P2: p(p Kp); sei p ein entsprechendes Beispiel.) 2. (p Kp) K (p Kp) (aus P1: p(p Kp)) 3. K (p Kp) (aus 1. und 2. mit Modus Ponens) 4. K (p Kp) (Annahme für Reductio ad Absurdum) 5. K (p Kp) Kp K ( Kp) (aus P3: p,q(k (p q) Kp Kq)) 6. Kp K ( Kp) (aus 4. und 5. mit Modus Ponens) 7. K ( Kp) Kp (aus P4: p(kp p)) 8. Kp Kp (aus 6. und 7., Abschwächung des rechten Konjunktes) 9. K (p Kp) (aus 4. 8., Ende der Reductio) 10. K (p Kp) (aus 9. mit R) 11. K (p Kp) K (p Kp) (aus P5: p( p p)) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 22 / 26 Lo
61 Aus diesen Annahmen folgern wir nun: 1. p Kp (aus P2: p(p Kp); sei p ein entsprechendes Beispiel.) 2. (p Kp) K (p Kp) (aus P1: p(p Kp)) 3. K (p Kp) (aus 1. und 2. mit Modus Ponens) 4. K (p Kp) (Annahme für Reductio ad Absurdum) 5. K (p Kp) Kp K ( Kp) (aus P3: p,q(k (p q) Kp Kq)) 6. Kp K ( Kp) (aus 4. und 5. mit Modus Ponens) 7. K ( Kp) Kp (aus P4: p(kp p)) 8. Kp Kp (aus 6. und 7., Abschwächung des rechten Konjunktes) 9. K (p Kp) (aus 4. 8., Ende der Reductio) 10. K (p Kp) (aus 9. mit R) 11. K (p Kp) K (p Kp) (aus P5: p( p p)) 12. K (p Kp) (aus 10. und 11. mit Modus Ponens) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 22 / 26 Lo
62 Aus diesen Annahmen folgern wir nun: 1. p Kp (aus P2: p(p Kp); sei p ein entsprechendes Beispiel.) 2. (p Kp) K (p Kp) (aus P1: p(p Kp)) 3. K (p Kp) (aus 1. und 2. mit Modus Ponens) 4. K (p Kp) (Annahme für Reductio ad Absurdum) 5. K (p Kp) Kp K ( Kp) (aus P3: p,q(k (p q) Kp Kq)) 6. Kp K ( Kp) (aus 4. und 5. mit Modus Ponens) 7. K ( Kp) Kp (aus P4: p(kp p)) 8. Kp Kp (aus 6. und 7., Abschwächung des rechten Konjunktes) 9. K (p Kp) (aus 4. 8., Ende der Reductio) 10. K (p Kp) (aus 9. mit R) 11. K (p Kp) K (p Kp) (aus P5: p( p p)) 12. K (p Kp) (aus 10. und 11. mit Modus Ponens) 13. K (p Kp) K (p Kp) (aus 3. und 12., Konjunktionseinführung) Es folgt also ein Widerspruch aus unseren Annahmen!! Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 22 / 26 Lo
63 Hätten Sie das den Annahmen auch ohne logische Herleitung angesehen? Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 23 / 26 Lo
64 Hätten Sie das den Annahmen auch ohne logische Herleitung angesehen? Und welches der vorausgesetzten Prinzipien ist der bad guy (wenigstens eines davon muss falsch sein, da ja ein Widerspruch aus diesen folgt)? P1 p(p Kp) ( Alles was wahr ist, kann man wissen ) P2 p(p Kp) ( Es gibt etwas Wahres, das man nicht weiss ) P3 p,q (K (p q) Kp Kq) ( Wenn man eine Konjunktion weiss, dann auch jedes ihrer Konjunkte ) P4 p(kp p) ( Wissen impliziert Wahrheit ) P5 p( p p) ( Wenn nicht-p notwendig ist, dann ist p nicht möglich ) R Wenn A rein logisch ableitbar ist, dann auch A ( notwendigerweise A ). Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 23 / 26 Lo
65 Hätten Sie das den Annahmen auch ohne logische Herleitung angesehen? Und welches der vorausgesetzten Prinzipien ist der bad guy (wenigstens eines davon muss falsch sein, da ja ein Widerspruch aus diesen folgt)? P1 p(p Kp) ( Alles was wahr ist, kann man wissen ) P2 p(p Kp) ( Es gibt etwas Wahres, das man nicht weiss ) P3 p,q (K (p q) Kp Kq) ( Wenn man eine Konjunktion weiss, dann auch jedes ihrer Konjunkte ) P4 p(kp p) ( Wissen impliziert Wahrheit ) P5 p( p p) ( Wenn nicht-p notwendig ist, dann ist p nicht möglich ) R Wenn A rein logisch ableitbar ist, dann auch A ( notwendigerweise A ). Vermutlich P1! Fitch s Paradox (Siehe: Timothy Williamson, Knowledge and Its Limits) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 23 / 26 Lo
66 Logik ist vielfältig Dieser Tage umfasst die Logik eine Vielzahl von Semantiken und logischen Systemen, die in den verschiedensten Bereichen der Philosophie, der Mathematik und der Informatik angewendet werden: Prädikatenlogik: Logik von für alle und es gibt Modallogik: Logik von notwendig, das und möglich, dass Konditionallogik: Logik von wenn-dann Epistemische Logik: Logik von weiß, dass Doxastische Logik: Logik von glaubt, dass Deontische Logik: Logik von es soll der Fall sein, dass, es darf der Fall sein, dass Temporale Logik: Logik von es wird der Fall sein, dass, es war der Fall, dass Handlungslogik: Logik von handelt so, dass Beweisbarkeitslogik: Logik von es ist beweisbar, dass Nichtmonotones Schliessen: Logik von normalerweise gilt, dass Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 24 / 26 Lo
67 Vagheit: Logik für vage Prädikate wie ist ein Haufen oder kahlköpfig Wahrheitstheorien: Logische Prinzipien für ist wahr und ist falsch Glaubensrevision: Logische Prinzipien für Glaubensänderungen Freie Logik: Logik ohne Existenzannahmen Mehrwertige Logik: Logik mit mehr als zwei Wahrheitswerten Induktive Logik: Logik induktiv starker Argumente Parakonsistente Logik: Logik, gemäß derer Widersprüche wahr sein können Logik 2. Stufe und Mengentheorie: Logische Prinzipien für für alle Mengen, es gibt eine Menge. Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 25 / 26 Lo
68 Vagheit: Logik für vage Prädikate wie ist ein Haufen oder kahlköpfig Wahrheitstheorien: Logische Prinzipien für ist wahr und ist falsch Glaubensrevision: Logische Prinzipien für Glaubensänderungen Freie Logik: Logik ohne Existenzannahmen Mehrwertige Logik: Logik mit mehr als zwei Wahrheitswerten Induktive Logik: Logik induktiv starker Argumente Parakonsistente Logik: Logik, gemäß derer Widersprüche wahr sein können Logik 2. Stufe und Mengentheorie: Logische Prinzipien für für alle Mengen, es gibt eine Menge. Welche Logik werden Sie verwenden? Welche Logik werden Sie entdecken? Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 25 / 26 Lo
69 Vagheit: Logik für vage Prädikate wie ist ein Haufen oder kahlköpfig Wahrheitstheorien: Logische Prinzipien für ist wahr und ist falsch Glaubensrevision: Logische Prinzipien für Glaubensänderungen Freie Logik: Logik ohne Existenzannahmen Mehrwertige Logik: Logik mit mehr als zwei Wahrheitswerten Induktive Logik: Logik induktiv starker Argumente Parakonsistente Logik: Logik, gemäß derer Widersprüche wahr sein können Logik 2. Stufe und Mengentheorie: Logische Prinzipien für für alle Mengen, es gibt eine Menge. Welche Logik werden Sie verwenden? Welche Logik werden Sie entdecken? Und nicht vergessen: Logik macht Spaß logisch, oder? Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 25 / 26 Lo
70 Hausübung: Googlen Sie MCMP und verweilen Sie wenigstens 5 Minuten! (Wenn Sie sonst nichts zu tun haben: Sie könnten sich einen der 220 Filme unter MCMP on itunes ansehen.) Hannes Leitgeb (LMU München) Logische Folge K(l)eine Einführung Oktober 2012in die 26 / 26 Lo
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