AUFGABEN. Klausur: Modul Problemlösen in graphischen Strukturen. Termin:

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1 Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ.-Prof. Dr. Andreas Kleine AUFGABEN Klausur: Modul Problemlösen in graphischen Strukturen Termin: Prüfer: Univ.-Prof. Dr. Andreas Kleine

2 Modul vom Problemlösen in graphischen Strukturen Aufgabe 1 Erreichbare Punktzahl: 15 Fünf Personen nehmen am Sicherheitstraining eines Automobilclubs teil und jeder hat sich für insgesamt vier verschiedene Trainingseinheiten eingetragen. Es stehen vier Fahrzeuge zur Verfügung, für jede Einheit eins, und die unterschiedlichen Trainingseinheiten können somit gleichzeitig stattfinden. a) Stellen Sie diese Situation in einem Graphen dar! Um welches allgemeine Problem handelt es sich und welche besondere Eigenschaft hat der resultierende Graph. Geben Sie die zur Beantwortung der Fragen die graphentheoretischen Fachbegriffe an. b) Falls immer vier Trainingseinheiten parallel stattfinden und jede einzelne Einheit nach jeweils 15 Minuten beendet ist, wieviel Zeit benötigt der Automobilclub mindestens für das Training der fünf Personen? c) Wieviel Zeit benötigen n Personen für m Trainingseinheiten, wenn k Einheiten gleichzeitig stattfinden können ( k m n )? Welcher Zeitkomplexität entspricht das? Verwenden Sie bei der Angabe der Komplexität das Landausche Symbol.

3 Modul vom Problemlösen in graphischen Strukturen Einführungstext für die Aufgaben 2, 3 und 4 In einem Leitungsnetz sollen Verbindungen zwischen jeweils zwei Stationen hergestellt werden. Die Verbindungen werden normalerweise nicht direkt, sondern nur indirekt über verschiedene Zwischenstationen, Knotenpunkte genannt, realisiert, wobei der Weg der Verbindungen im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt ist. Die Übertragungskapazität der Leitungen ist begrenzt; man spricht von hier von Bandbreite einer Leitung. Die benötigte Gesamtkapazität ist im betrachteten Fall nicht ausreichend, um alle Verbindungen wie angefordert herzustellen. Um die Kapazitätsrestriktion einzuhalten muss die Menge der herzustellenden Verbindungen entsprechend ausgewählt und geschickt geroutet werden. In Aufgabe 2 wird das Leitungsnetz präsentiert, und es müssen kürzeste Wege berechnet werden. Aufgabe 3 hat mit dem Fokus der Erlösmaximierung die Bestimmung einer Ausgangslösung zum Ziel. Die Optimierung mittels Tabu Search ist Gegenstand der Aufgabe 4. Aufgabe 2 Erreichbare Punktzahl: 25 Ihre Aufgabe ist es nun zunächst, für das in der nachfolgenden Abbildung gegebene Leitungsnetz die kürzesten Wege zu bestimmen. Die relevanten Stationen werden durch sechs Knoten repräsentiert, die Kantenbeschriftungen entsprechen den Leitungslängen zwischen jeweils inzidenten Knoten. a) Berechnen Sie mit dem Tripel-Algorithmus (Algorithmus 3.4) die kürzesten Wege aller Knotenverbindungen. Nutzen Sie das im Lösungsteil vorgegebene Schema. Ein Mitführen der Vorgängermatrizen Q ist zwingend erforderlich.

4 Modul vom Problemlösen in graphischen Strukturen b) Sie haben als Ergebnis die Matrizen D und Q bestimmt. In welchem Teil der jeweiligen Matrizen können Sie die Länge, in welchem den Verlauf der kürzesten Wege von Knoten 1 zu allen anderen Knoten ablesen? Machen Sie hierzu konkrete Angaben. Beschreiben Sie auf Basis der soeben gemachten Angaben die Vorgehensweise bei der Bestimmung des kürzesten Weges von Station 1 zu Station 5. c) Zeichnen Sie den Wegebaum aller kürzesten Wege von Knoten 1 zu den Knoten 2 bis 6. Aufgabe 3 Erreichbare Punktzahl: 8 Für das Leitungsnetz aus Aufgabe 2 wurden jeweils zwei Wege (1. Weg, 2. Weg) zwischen allen Knoten ermittelt. Nun sollen insgesamt 10 Verbindungen mit den in der nachfolgenden Tabelle angegebenen Daten geschaltet werden. Tabelle 1: Verbindungsdaten zur Bandbreitennutzung Nr. Start Ziel 1. Weg 2. Weg Bedarf Gesamterlös Die Übertragungskapazität der Leitungen ist begrenzt und somit die benötigte Gesamtkapazität im betrachteten Fall nicht ausreichend, um alle Verbindungen wie angefordert herzustellen. Das Problem besteht nun darin, die Menge der herzustellenden Verbindungen auszuwählen und geschickt zu routen, d.h. einen Weg mit ausreichender Kapazität über die Zwischenknoten zu ermitteln. Die Kapazitätsgrenzen κ ij sind in der nachfolgenden Abbildung an den Kanten notiert.

5 Modul vom Problemlösen in graphischen Strukturen a) Die in der Tabelle 1 notierten Verbindungen sollen nun mittels einer Heuristik der Reihe nach eingeplant werden. Gemäß der Vorgehensweise zur Erzeugung einer Ausgangslösung für das Praxisbeispiel Bandbreitennutzung im Kurs ist zunächst die Reihenfolge zu bestimmen, bei der die höchsten Erlöse pro benötigter Bandbreite (Bedarf) zuerst eingeplant werden. Notieren Sie die Verbindungen mit der Nummer aus Tabelle 1 und dem Erlös/Bandbreite. b) Benutzen Sie die in a) ermittelte Reihenfolge und verwenden Sie für eine Ausgangslösung nach Möglichkeit den 1. Weg. Wird die Kapazität überschritten, muss auf den 2. Weg ausgewichen werden. Ist dies auch nicht möglich, kommt die Verbindung nicht zustande. Notieren Sie im Lösungsteil eine Zeichenkette x = (x 1 x 2 x 10 ) (x i mit i = 1,,10 gemäß der Nummerierung der Verbindungen in Tabelle 1) und geben Sie in jeder Position i an, ob der 1. Weg (x i = 1) oder der 2. Weg (x i = 2) realisiert wurde oder ob keine Verbindung hergestellt werden konnte (x i = 0). Aufgabe 4 Erreichbare Punktzahl: 22 Für das Leitungsnetz aus Aufgabe 2 wurden jeweils zwei Wege (1. Weg, 2. Weg) zwischen allen Knoten ermittelt. Aufgabe 3 diente der Ermittlung einer Ausgangslösung für das Bandbreitennutzungsproblem. Nun soll eine (veränderte) aktuelle Lösung mittels Tabu Search optimiert werden. Dazu wird die Tabelle 1 benötigt, die hier nochmals angegeben ist. Tabelle 1: Verbindungsdaten zur Bandbreitennutzung Nr. Start Ziel 1. Weg 2. Weg Bedarf Gesamterlös Eine Lösung wird durch eine Zeichenkette x = (x 1 x 2 x 10 ) angegeben (x i mit i = 1,,10 gemäß der Nummerierung der Verbindungen in Tabelle 1), wobei in jeder Position i notiert ist, ob der 1. Weg (x i = 1) oder der 2. Weg (x i = 2) realisiert wurde oder ob keine Verbindung hergestellt werden konnte (x i = 0).

6 Modul vom Problemlösen in graphischen Strukturen a) Sei x 1 = ( ) die aktuelle Lösung des beschriebenen Problems. Wie im Kurs wird die Menge möglicher Nachbarlösungen bestimmt, indem zu zwei Positionen j, k {1,..10}, i j, alle möglichen 0/1/2-Kombinationen gebildet, auf Zulässigkeit geprüft und bewertet werden. Notieren Sie alle möglichen Nachbarn von x 1 für die Positionen (j, k) = (3,6), geben Sie an, ob die jeweilige Lösung zulässig ist, und bestimmen Sie bei Zulässigkeit die Gesamterlösänderung. b) Notieren Sie eine Eigenschaft für die Optimierung mit Tabu Search, die in geeigneter Weise für ein from- und ein to-attribut eingesetzt werden kann. Notieren Sie für alle in a) angegebenen zulässigen Nachbarn sowohl den from- als auch den to-attributenvektor. c) Tragen Sie die beste zulässige Nachbarlösung mit dem zugehörigen to- Attributenvektor in das Schema auf dem Antwortbogen ein, und führen Sie eine zweite Iteration mit den Positionen (j, k) = (9,10) durch, machen Sie Angaben zur Zulässigkeit und bestimmen Sie für die zulässigen Lösungen den Gesamterlös.

7 Modul vom Problemlösen in graphischen Strukturen Aufgabe 5 Erreichbare Punktzahl: 30 Fünf Studierende wurden für ein Zusatzseminar des Lehrstuhls für BWL, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik ausgewählt und haben Präferenzen bezüglich der fünf angebotenen Themen abgegeben. Die Angaben der Studierenden i zu den Themen j entnehme man der folgenden Tabelle. (1 entspricht der höchsten und 5 der niedrigsten Präferenz.) T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 S S S S S Bestimmen Sie mit Hilfe der Ungarischen Methode eine optimale Zuordnung von Studierenden zu Seminarthemen. a) Bestimmen Sie gemäß der Schritte 1 und 2 der Ungarischen Methode (Algorithmus 9.2, tableauorientierte Berechnung, 00852, KE2) die reduzierte Matrix und markieren Sie eine Menge UN von unabhängigen Nullen. b) Setzen Sie den Algorithmus fort, und bestimmen Sie mit Ausführung der nächsten erforderlichen Schritte (3 bis 5) eine optimale Zuordnung. Verwenden Sie für jeden Schritt ein eigenes Schema, dem für Schritt 3 auch die Marken zu entnehmen sind. c) Notieren Sie die von Ihnen ermittelte (evtl. auch unvollständige) Zuordnung von Studierenden zu Seminarthemen unter Nennung der jeweiligen Präferenzangaben. Achtung! Sollten Sie nach zweimaliger vollständiger Durchführung des Schrittes Markierung mit anschließender Korrektur der Dualvariablen und der reduzierten Kostenmatrix bzw. Korrektur der Menge Unabhängiger Nullen nicht zur optimalen Lösung gelangt sein, beenden Sie das Verfahren.

8 Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ.-Prof. Dr. Andreas Kleine LÖSUNGSBÖGEN Klausur: Modul Problemlösen in graphischen Strukturen Termin: Prüfer: Univ.-Prof. Dr. Andreas Kleine Name, Vorname: Matrikelnummer: Aufgabe Summe maximale Punktzahl erreichte Punktzahl Gesamtpunktzahl: Datum: Note: Unterschriften der Prüfer:

9 Hinweise für die Bearbeitung Füllen Sie zunächst das Deckblatt und den Kopf der Lösungsbögen aus. Trennen Sie von den Lösungsbögen keine Blätter ab; am Ende der Klausur müssen alle Lösungsbögen abgegeben werden. Die Lösungen müssen in den vorgesehenen Raum auf den Lösungsbögen eingetragen werden. Falls der Platz nicht ausreicht, benutzen Sie bitte die Rückseite, und geben Sie einen deutlichen Hinweis hierauf. Bedenken Sie, dass vor allem der Lösungsweg einschließlich Ansatz und Zwischenschritten bewertet wird. Die Klausur umfasst 5 Aufgaben, die in 120 Minuten zu bearbeiten sind. Zu jeder Aufgabe ist die maximal erreichbare Punktzahl angegeben; die Summe aller Punkte beträgt 100. Die Klausur ist auf jeden Fall bestanden, wenn 50 Punkte erreicht wurden. Als Hilfsmittel für diese Klausur sind zugelassen: Die Verwendung eines Taschenrechners ist dann und nur dann erlaubt, wenn dieser einer der drei folgenden Modellreihen angehört: Casio fx86, Texas Instruments TI 30 X II, Sharp EL 531. Die Verwendung anderer Taschenrechnermodelle wird als Täuschungsversuch gewertet und mit der Note nicht ausreichend (5,0) sanktioniert. Ob ein Taschenrechner einer der drei Modellreihen angehört, können Sie selbst überprüfen, indem Sie die vom Hersteller auf dem Rechner angebrachte Modellbezeichnung mit den oben angegebenen Bezeichnungen vergleichen: Bei vollständiger Übereinstimmung ist das Modell erlaubt. Ist die auf dem Rechner angebrachte Modellbezeichnung umfangreicher, enthält aber eine der oben angegebenen Bezeichnungen vollständig, ist das Modell ebenfalls erlaubt. In allen anderen Fällen ist das Modell nicht erlaubt. Darüber hinaus sind ausschließlich die zum Modul gehörenden Kurseinheiten einschließlich der darin enthaltenen Lösungen zu den Übungsaufgaben zugelassen. Die Kurse dürfen Markierungen und textbezogene Anmerkungen enthalten. Lesen Sie den Aufgabentext gut durch und nun: Viel Erfolg!

10 Modul vom Name: 1 Aufgabe 1

11 Modul vom Name: 2 Aufgabe 2 a) Achtung! In den nachfolgenden Matrizen sind D (1) und Q (1) vollständig auszufüllen. In die weiteren Schemata sind mindestens jeweils alle Veränderungen gegenüber Werten der vorhergehenden Matrizen einzutragen. D (7) und Q (7) sind auf jeden Fall wieder vollständig auszufüllen. D (1) = Q (1) = D (2) = Q (2) = D (3) = Q (3) = D (4) = Q (4) =

12 Modul vom Name: 3 Lösung zu Aufgabe 2 (Fortsetzung) D (5) = Q (5) = D (6) = Q (6) = D (7) = Q (7) =

13 Modul vom Name: 4 Lösung zu Aufgabe 2 (Fortsetzung) b) c)

14 Modul vom Name: 5 Lösung zu Aufgabe 3

15 Modul vom Name: 6 Lösung zu Aufgabe 4 a) b)

16 Modul vom Name: 7 Lösung zu Aufgabe 4 (Fortsetzung) c) i x i f(x i ) (j,k) N(x i ) f(x i ) to-attribut 1 ( ) (3,6) 2 (9,10)

17 Modul vom Name: 8 Lösung zu Aufgabe 5 a) b) T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 u i Marken S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 u j Marken S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 u j Marken T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 u i Marken

18 Modul vom Name: 9 Lösung zu Aufgabe 5 (Fortsetzung) S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 u j Marken T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 u i Marken c) Zuordnung?

19 Modul vom Name: 10 Zusätzliche Seite 1; Bezug zu den Aufgaben bitte deutlich machen.

20 Modul vom Name: 11 Zusätzliche Seite 2; Bezug zu den Aufgaben bitte deutlich machen.