Heidelberger Taschenbücher Band 114

Transkript

1 Heidelberger Taschenbücher Band 114

2 J. Stoer R. B ulirsch Einführung in die Numerische Mathematik II unter Berücksichtigung von Vorlesungen von F. L. Bauer Zweite, neubearbeitete und erweiterte Auflage Mit 22 Figuren Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1978

3 Josef Stoer Institut für Angewandte Mathematik und Statistik der Universität Würzburg Am Hubland 8700 Würzburg Roland Bulirsch Institut für Mathematik der TU München Postfach München 2 AMS Subject Classification (1970) , , 65 BOS, 65 B15, 65 DOS, 65 D30, 65 FOS, 65 F20, 65 F25, 65 F35, 65 GOS, 65 HOS, 65 H10 ISBN DOI / ISBN (ebook) CIP-Kurztitalaufnahme der Deutschen Bibliothek. Stoer, Josef: Einftihrung in die numerische Mathematik: unter Berücks. von Vorlesungen von F.L. Bauer/J.Stoer; R.Bulirsch.- Berlin, Heidelberg, New York: Springer. Teil I. verf. von Josef Stoer. NE : Bulirsch, Roland : , neubearb. u. erw. Aufl (Heidelberger Taschenbücher; Bd. 114) Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdruckes, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung. vorbehalten. Bei Vervielfältigungen ftir gewerbliche Zwecke ist gemäß 54 UrhG eine Vergütung an den Verlag zu zahlen, deren Höhe mit dem Verlag zu vereinbaren ist. by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1973, 1978 Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1973, /

4 Vorwort zur zweiten Auflage Der Text der ersten Auflage wurde an verschiedenen Stellen verbessert und um einige neue Abschnitte erweitert. So wurden in Kapitel 6 über Eigenwertprobleme (Abschnitte 6.4, 6.7) zusätzlich die wichtigsten theoretischen Eigenschaften der singulären Werte von Matrizen und das Verfahren von Golub und Reinsch zu ihrer praktischen Berechnung beschrieben. In Kapitel 7 über gewöhnliche Differentialgleichungen gehen die Abschnitte und näher auf verschiedene praktisch bedeutsame Möglichkeiten der Schrittweitensteuerung bei Ein- und Mehrschrittverfahren ein. Ferner wurde ein neuer Abschnitt über steife Differentialgleichungen aufgenommen. Zur Lösung der großen speziell strukturierten linearen Gleichungssysteme, auf die man z. B. bei der Anwendung von Differenzenverfahren oder finiteeierneut Methoden stößt, werden seit einigen Jahren mit wachsendem Erfolg neue direkte Verfahren eingesetzt. Stellvertretend für diese sehr effektiven Methoden wurde in Abschnitt 8.8 der Algorithmus von Buneman zur Lösung der diskretisierten Poissongleichung beschrieben. Herrn Dr. Ch. Reinsch sind wir für die kritische Durchsicht des Textes und flir zahlreiche Verbesserungsvorschläge zu Dank verpflichtet. Wir danken ebenfalls Frau I. Brugger flir die Ausflihrung der umfangreichen Schreibarbeiten und dem Hause Springer flir das verständnisvolle Eingehen auf unsere Änderungswünsche. Würzburg,München Januar 1978 J. Stoer R. Bulirsch V

5 Vorwort zur ersten Auflage Das vorliegende Buch schließt sich an den ersten Teil der Einführung in die Numerische Mathematik an. Kapitel6 ist dem Eigenwertproblern für Matrizen gewidmet. In Kapitel 7 finden sich eine Reihe von Methoden zur numerischen Behandlung von Anfangs- und Randwertproblemen für gewöhnliche Differentialgleichungen. Ein verhältnismäßig breiter Raum ist der Diskussion von Randwertproblemen eingeräumt, insbesondere der Beschreibung der Mehrzielmethode, da diese noch zu wenig bekannte Methode nach der Erfahrung der Verfasser zu den besten Verfahren zur Lösung von Randwertproblemen zählt. Partielle Differentialgleichungen werden nicht systematisch, sondern nur in dem Maße behandelt, wie es nötig ist, um die Analogie zu den üblichen Methoden für gewöhnliche Differentialgleichungen (Differenzenverfahren, Variationsverfahren) zu zeigen. In Kapitel 8 werden schließlich die wichtigsten Iterationsverfahren zur Lösung von großen linearen Gleichungssystemen dargestellt, die man gewöhnlich bei der Lösung von Randwertaufgaben für partielle Differentialgleichungen mittels Differenzenverfahren erhält. Wie schon im ersten Teil dieser Einführung wurde großer Wert darauf gelegt, Verfahren darzustellen, die für Digitalrechner geeignet sind. Zahlreiche Beispiele sollen dem Leser das Verhalten der Algorithmen illustrieren und ihm einen Vergleich zwischen verschiedenen Verfahren ermöglichen. Demselben Zweck dienen auch eine Reihe von Aufgaben am Schluß jedes Kapitels. Die Autoren erkennen dankbar den Einfluß von Prof. Dr. F. L. Bauer an, dessen Vorlesung Geist und Inhalt dieser Einführung beeinflußt hat. Herrn Dr. Ch. Reinsch danken wir für eingehende Diskussionen und zahlreiche detaillierte Verbesserungsvorschläge, die an vielen Stellen in den Text eingegangen sind. Bei der Ausarbeitung des Manuskripts, dem ein Skriptum des Instituts für Angewandte Mathematik der Universität Würzburg zugrunde lag, haben uns die Herren Dipl.-Math. Klaus Butendeich, Dipl.-Phys. Günther Schuller und Dr. Jochern Zowe mit großer Einsatzbereitschaft unterstützt. VI

6 Nicht zuletzt gilt unser besonderer Dank auch Frau Isolde Brugger für die geduldige und gewissenhafte Ausführung der Schreibarbeiten und den Mitarbeitern des Springer-Y erlagesfür Ihre verständnisvolle Hilfe bei der Drucklegung dieses Buches. Würzburg, Köln März 1973 J. Stoer R. Bulirsch VII

7 Inhaltsverzeichnis 6 Eigenwertprobleme 6.1 Einführung Die Jordansehe Normalform einer Matrix Die Frobeniussche Normalform einer Matrix Die Schursehe Normalform einer Matrix. Hermitesche und normale Matrizen, singuläre Werte von Matrizen Reduktion von Matrizen auf einfachere Gestalt Reduktion einer Hermiteschen Matrix auf T ridiagonalgestal t. Das Verfahren von Hauseholder Reduktion einer Hermiteschen Matrix auf Tridiagonalgestalt bzw. Diagonalgestalt: Die Verfahren von Givens und Jacobi Reduktion auf Frobeniusgestalt Reduktion auf Hessenberggestalt Methoden zur Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren Berechnung der Eigenwerte einer Hermiteschen Tridiagonalmatrix Berechnung der Eigenwerte einer Hessenbergmatrix. Die Methode von Hyman Die einfache Vektoriteration und die inverse Iteration von Wielandt Das LR-Verfahren Die praktische Durchführung des LR-Verfahrens Das QR-Verfahren Berechnung der singulären Werte einer Matrix Allgemeine Eigenwertprobleme Eigenwertabschätzungen 74 Übungsaufgaben 88 Literatur IX

8 7 Gewöhnliche Differentialgleichungen 99 X 7.0 Einleitung Einige Sätze aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen Anfangswertprobleme Einschrittverfahren. Grundbegriffe Die Konvergenz von Einschrittverfahren Asymptotische Entwicklungen flir den globalen Diskretisierungsfehler bei Einschrittverfahren Rundungsfehlereinfluß bei Einschrittverfahren Einschrittverfahren in der Praxis Beispiele flir Mehrschrittverfahren Allgemeine Mehrschrittverfahren Ein Beispiel Lineare Differenzengleichungen Die Konvergenz von Mehrschrittverfahren Lineare Mehrschrittverfahren Asymptotische Entwicklungen des globalen Diskretisierungsfehlers flir lineare Mehrschrittverfahren Mehrschrittverfahren in der Praxis Extrapolationsverfahren zur Lösung des Anfangswertproblems Vergleich der Verfahren zur Lösung von Anfangswertproblemen Steife Differentialgleichungen Randwertprobleme Einleitung Das einfache Schießverfahren Das einfache Schießverfahren bei linearen Randwertproblemen Ein Existenz- und Eindeutigkeitssatz flir die Lösung von Randwertproblemen Schwierigkeiten bei der Durchflihrung des einfachen Schießverfahrens Die Mehrzielmethode Hinweise zur praktischen Realisierung der Mehrzielmethode Ein Beispiel: Optimales Bremsmanöver eines Raumfahrzeugs in der Erdatmosphäre (Re-entry Problem)

9 7.3.8 Der Grenzfall m--+oo der Mehrzielmethode (Allgemeines Newton-Verfahren, Quasilinearisierung) 7.4 Differenzenverfahren. 7.5 Variationsmethoden. 7.6 Vergleich der Methoden zur Lösung von Randwertproblemen ftir gewöhnliche Differentialgleichungen Variationsverfahren ftir partielle Differentialgleichungen. Die "Finite-Element" Methode... Übungsaufgaben Literatur Iterationsverfahren zur Lösung großer linearer Gleichungssysteme, einige weitere Verfahren Einleitung Allgemeine Ansätze ftir die Gewinnung von Iterationsverfahren Konvergenzsätze Relaxationsverfahren Anwendungen auf Differenzenverfahren - ein Beispiel Block-Iterationsverfahren Das ADI-Verfahren von Peaceman-Rachford Das cg-verfahren von Hestenes und Stiefel Der Algorithmus von Buneman zur Lösung der diskretisierten Poisongleichung Vergleich der Verfahren Übungsaufgaben. 294 Literatur Namen- und Sachverzeichnis. 305 XI