5.5. Prüfungsaufgaben zu Integrationsmethoden

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Bastian Kirchner
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1 Aufgab a: Substitutionsrgl () Gbn Si für di Funktion f in Stammfunktion an. f().. Prüfungsaufgabn zu Intgrationsmthodn f() f(t) t d) f(t) t n F() F() 9 () () F c (t) t + c () d) F c (t) t + c () Qustion b: Substitution rul (8) Lt f (). Givn that f(), find f(). () Dtrmin d () Find th curv f() through th point ( ) with th gradint f (). () d) Dtrmin d () Solutions f() ln( + ) + () d f() d) () () d ln ln() () Aufgab : Substitutionsmthod Brchnn Si di folgndn Intgral: d [ln( + )] 9 d ( ) d d d) d ) f) g) d d 9 ( ) ( ) 8 9 ( ) ( ) 7

2 Aufgab : Partill Intgration Brchnn Si di folgndn Intgral: d) ) f) g) h) i) j) k) d d / / / ( ) d ln d ln d ln() d ln (ln ) ln() ( ) ln()d ( ) d t dt t t ( t ) dt ( ) d ( ) FE d ( ) ln d / / d / / ln d ( ) ln() t t t t dt ( 8 ) d 9 ( ) FE (ln ) FE / FE 8 / ln() d FE ( ) 8 d / / ( )d ( ) 8 / + FE 8 FE 8 Qustion : Substitution mthod () Watr bgins laking from a tank holding gallons of watr. Th rat at which it is laking, masurd in gallons pr minut, can b modld by th function r(t). Writ down an prssion for th volum s(t) of watr lost aftr t minuts. Us intgral notation. () Solv th intgral from. () Writ down an prssion for th volum v(t) of watr lft in th tank aftr t minuts. () d) How much watr is in th tank at th nd of minuts? () Qustion : Substitution mthod () t FE s(t) s(t) r( ) dt () t t dt [ ] ( t ) ( <!) () t v(t) + s(t) () d) v() 7,7 gallons ()

3 Qustion : Substitution mthod (7) Th diagram shows part of th graphs of and g. Rgions A and B ar shadd. Writ down an prssion for f() () Writ down an prssion for th ara of rgion A. () Show that A. () d) Writ down an prssion for g(). () ) Writ down an prssion for th ara of rgion B. () f) Show that B. () Qustion : Substitution mthod (7) f() sin(π) () A sin( ) d () A ( ) () d) g() cos(π) () ) B cos( ) d () f) B sin( ) ( ) ( ). () Qustion : Solids of rotation (8) Th diagram shows part of th graph of f(). Rgions A and B ar shadd. Writ down an prssion for th ara of rgion B. () Calculat th ara of rgion B. () Writ down an prssion for th total ara of shadd rgions A and B. () d) Evaluat th prssion from () ) Rgion B is rotatd about th -ais. Writ down an prssion for th volum of th solid formd. () f) Evaluat th prssion from ) () Qustion : Solids of rotation (8) Th diagram shows part of th graph of f(). Rgions A and B ar shadd. B ( ) d () B A + B d) A + B ( ) d ( ) + ( ) ( ) d () ) V π ( ) d () 7 f) V π ( ) d π 7 Aufgab 7: Rotationsvolumn () π( ) π () (),π () Ggbn sind di Funktionn f t () t t für > t >. Brchnn Si auf zwi Nachkommastlln gnau das Volumn in Litrn und das Gwicht in kg inr Salatschüssl aus Glas (ρ, g/cm ), di durch di im Brich um di -Achs rotirndn Schaubildr von f und f, bgrnzt wird. ( LE cm)

4 V V a V i π f () d, π f () d,8 l,9 l,99 l m ρ V,7 kg () Aufgab 8: Rotationsvolumn () Di Schaubildr dr Funktionn f() und g() bgrnzn in Fläch. Brchnn Si ihrn Inhalt Di Fläch aus Til rotirt um di -Achs. Brchnn Si dn Inhalt ds Rotationskörprs. : A V π d d FE () πve () Aufgab 9: Rotation um di y-achs (8) Dr Innnraum ins cm hohn Sktglass wird durch Rotation dr Graphn von y k um di y-achs bschribn. Dabi sind und y in cm anggbn und dr Paramtr k >. Für wlchs k hat dr obr Rand ds Sktglass inn Radius von cm? () Brchn das Volumn ds Slktglass aus. () Skt wird in Mngn von dl srvirt. Wi gross ist di Füllhöh im Glas? () d) An inm Apèro stossn all Tilnhmr jwils mitinandr an. Wi oft klingn di Glasr? () n k k. () V π dy (h) π dy Si klingn ydy h ydy y y π cm. () h h 8 h 8 Aufgab : Rotation um - und y-achs () Bstimm das Volumn ds Körprs, dr durch Rotation von f() im Brich < < um di -Achs im Brich < y < um di y-achs ntstht. Warum ist das Volumn ds. Körprs vil grössr, obwohl r dn glichn Qurschnitt hat? n: V 8 ( )d 8 π. () y y V ( )dy y 8 π. () Dr Körpr in ist dopplt so tif wi dr Körpr in () Qustion a: Hollow bodis Th outr surfac of a salad bowl is dfind by f() innr surfac is givn likwis by g() g bowl if it mad of glass with dnsity ρ cm. cm rotating about th -ais in th domain cm. Its cm in th domain 7 cm. Dtrmin th wight of th salad

5 Solution: Outr Volum V f () Innr Volum V g() d π,, d π d π d π π( ) cm (), π( + ) cm () Volum V V V π(8 ) ( 8 )π,87π cm, cm () Wight m ρ V 9,π g, g () Qustion b: Hollow bodis Th outr surfac of a salad bowl is dfind by f() cm rotating about th -ais in th domain cm. Its innr surfac is givn likwis by g() cm in th domain cm. Dtrmin th wight of th salad bowl if it g mad of glass with dnsity ρ cm. Solution: Outr Volum V f () d π d π π. cm () Innr Volum V g() d π d,, π( 9 8 ),π cm, () Volum V V V,87π cm 7, cm () Wight m ρ V,78 g () Aufgab a: Mittlwrt () Bstimmn Si dn Mittlwrt dr Funktion f() im Intrvall [; ]. m ( )d () Aufgab b: Mittlwrt () Bstimmn Si dn Mittlwrt dr Funktion f() im Intrvall [; ]. m ( )d () Aufgab a: Nährungsvrfahrn () Brchnn Si das Intgral d mit dm Hauptsatz dr Diffrntial- und Intgralrchnung () mit dr Shnntrapzmthod für n Intrvall () mit dr Kplrschn Faßrgl für n Intrvall () d d d ( + () + ), () ( + + ) ()

6 Aufgab b: Nährungsvrfahrn () Brchnn Si das Intgral d mit dm Hauptsatz dr Diffrntial- und Intgralrchnung () mit dr Shnntrapzmthod für n Intrvall () mit dr Kplrschn Faßrgl für n Intrvall () d d d () ( + + ) () ( + + ) () Aufgab c: Nährungsvrfahrn () Brchnn Si das Intgral d mit dm Hauptsatz dr Diffrntial- und Intgralrchnung () mit dr Shnntrapzmthod für n Intrvall () mit dr Kplrschn Faßrgl für n Intrvall () d d d,8 () ( ),8 () ( ),77 () Aufgab d: Nährungsvrfahrn () Brchnn Si das Intgral d mit dm Hauptsatz dr Diffrntial- und Intgralrchnung () mit dr Shnntrapzmthod für n Intrvall () mit dr Kplrschn Faßrgl für n Intrvall () d d d 9, () ( ), () ( ), () Aufgab : Nährungsvrfahrn () Brchnn Si das Intgral d mit dm Hauptsatz dr Diffrntial- und Intgralrchnung () mit dr Shnntrapzmthod für n Intrvall () mit dr Kplrschn Faßrgl für n Intrvall ()

7 d d d ln( ) ( + + ) 7,8 (),7 () ( + + ),8 () 7

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