Semidiskretisierung der PDA-Systeme

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1 Kapitel 4 Semidisretisierung der PDA-Systeme Eine Möglicheit zur numerischen Behandlung von Anfangsrandwertproblemen partieller Differentialgleichungen ist die Linienmethode method of lines, MOL, vgl. Strehmel/Weiner [53], Großmann/Roos []. Die Lösung erfolgt in zwei Teilschritten. Zuerst wird die Differentialgleichung semidisretisiert. Bei der horizontalen Linienmethode Rothe-Methode erfolgt die Semidisretisierung bezüglich der Zeitvariablen, das Anfangsrandwertproblem wird durch eine Folge von Randwertaufgaben approximiert, die dann mit geeigneten Verfahren gelöst werden müssen. Bei der vertialen Linienmethode dagegen erfolgt die Semidisretisierung bezüglich der räumlichen Variablen, zum Beispiel durch finite Differenzen oder die Methode der finiten Elemente. Parabolische Anfangsrandwertprobleme werden dadurch in ein Anfangswertproblem für ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung überführt, welches im allgemeinen steif ist, die Steifheit ist von der Feinheit der Ortsdisretisierung abhängig. Dieses semidisrete Problem wird anschließend durch geeignete implizite Disretisierungsmethoden für Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen gelöst. Die vertiale Linienmethode wird in Abschnitt 4. auf die hier betrachteten semilinearen PDA-Systeme angewendet. Die Disretisierung bezüglich des Ortes wird dabei mittels finiter Differenzen durchgeführt. Daran anschließend wird in Abschnitt 4. die Konvergenz der Ortsdisretisierung linearer PDA-Systeme sowohl auf der Grlage der Lösungsdarstellung der linearen Fehlergleichung mittels Drazin-Inverser als auch mit einer Weierstraß-Kronecer- Transformation gezeigt. Eine loale Konvergenzaussage für semilineare PDA-Systeme vom Zeitindex findet man in Lucht/Strehmel [36]. Die Disretisierung des entstandenen Anfangswertproblems erfolgt dann in Kapitel 5 durch implizite Runge-Kutta-Verfahren. 4. Finitisierung des Ortsraumes Diagonalisierung des disretisierten Ortsdifferentialoperators Im folgenden werden für das PDA-System 3. Ortsdisretisierungen für Dirichlet-, für periodische für eumann-randbedingungen angegeben. Dabei werden Abschätzungen für die Eigenwerte die Matrix der Eigenvetoren der disretisierten Ortsdifferentialoperatoren aufgeführt, die für die nachfolgenden Konvergenzuntersuchungen benötigt werden. 4.. Räumlich eindimensionales PDA-System 4... Dirichlet-Randbedingungen Um eine übersichtlichere Darstellung zu erhalten, wird zunächst der räumlich eindimensionale Fall d = betrachtet, also anstelle von 3.a 9

2 Au t t, x + B u xx t, x + ru x t, x + Cut, x = ft, x, u, x Ω = l, l. 4. Es seien I + h = l Dann ann Ω durch das äquidistante Ortsgitter { } Ω h = x : x = l + h, =,..., 4.3 disretisiert werden. Mit den 3-Punt-Differenzenapproximationen u xx t, x h ut, x + ut, x + ut, x, =,...,, für die zweite Ortsableitung den Approximationen u x t, x h δut, x + + δut, x + δ ut, x, 4.4 =,...,, δ [, ], für die erste Ortsableitung x = l, x + = l ergibt sich aus Gleichung 4. für jeden Gitterpunt x die semidisrete Gleichung A u t + h B + hrδ u + t hr δ u t + + hrδ u t + C u t = f t, u, 4.5 wobei u t äherung der Funtion ut, x in den einzelnen Gitterpunten x, =,...,, f t, u = ft, x, u sind für Bu Bu + die vorgegebenen Randwerte eingesetzt werden. Bemerung 4. Für δ = liefert die Approximation 4.4 den rücwärtsgenommenen, für δ = den zentralen für δ = den vorwärtsgenommenen Differenzenquotienten. Durch Taylor-Entwiclung bis zur m-ten Ordnung im Gitterpunt x erhält man h + hrδ ut, x + hr δ ut, x + + hrδ ut, x = h m i= h i i! i x i ut, x + hrδ + i + hrδ + hm + hrδ m+ m +! x m+ ut, ζ t + m+ + hrδ m+ x m+ ut, ζ t = ru x t, x + u xx t, x + h p γ t, 4.6 dabei ist { : r = ein onvetiver Term oder δ = p = zentraler Differenzenquotient : sonst 4.7 die Approximationsordnung der verwendeten Disretisierung, γ ist für p = m = durch rδ γ t = x ut, x + { + hrδ 3 6 x 3 ut, ζ t + hrδ 3 x 3 ut, ζ t } 4.8a

3 für p = m = 3 durch 3 γ t = r 6 x 3 ut, x + 4 definiert mit den Zwischenwerten Existiert K= max t,x [,t e] Ω } { + hrδ 4 x 4 ut, ζ t + + hrδ 4 x 4 ut, ζ t 4.8b ζ t x, x +, ζ t x, x, =,..,. 4.9 { r } ut, x + +l r x 3 3 ut, x : p x 3 = r 6 3 ut, x + +l r x 3 <, 4. 4 ut, x : p x 4 = so gilt γ t K, =,...,. 4. Aus dem System semidisreter Gleichungen 4.5 erhält man mit dem in Abschnitt.3. eingeführten Kronecer-Produt die ompate Schreibweise I A Ut + h P B + I C Ut = F t, U ωt =: F t, U. 4. Dabei ist I die -dimensionale Einheitsmatrix, Ut = u t,..., u t IR n F t, U = f t, u,..., f t, u enthalten die Vetoren u f in den Gitterpunten, + hrδ ωt = h ψ t, l,,...,, + hrδ h ψ t, l 4.3 enthält die vorgegebenen Randwerte. Der zum Differentialoperator disrete Operator h P ist durch P = + r x x zugehörige hr δ + hrδ + hrδ hr δ + hrδ... + hrδ hr δ mit P IR, gegeben. Ferner sei 4.4 Ut IR n 4.5 ein onsistenter Anfangsvetor vgl. Abschnitt.. Für singuläres A ist 4. mit 4.5 ein Anfangswertproblem eines DA-Systems. Da im Abschnitt 5. für die Untersuchung der Konvergenz der Gesamtdisretisierung die Eigenwerte die orm einer diagonalisierenden Matrix von h P benötigt werden, sollen

4 diese nun angegeben bzw. abgeschätzt werden. ach A.5 ergeben sich die Eigenwerte von P zu h hr δ λ j = h + + hrδ + hrδ jπ h cos + hrδ + = r + hrδ + hrδ h h 4 + hrδ + hrδ + hrδ h sin jπ + hrδ +, j =,...,. Sie sind sämtlich voneinander verschieden. ach A.3 ist S P = v j j,=,..., mit v j = c j d h sin die zugehörige Matrix der Eigenvetoren. Dann gilt S P läßt sich schreiben als mit 4.6 jπ + hrδ +, d h =, hrδ h PS P = S P diag{λ,..., λ }. S P = D S Q S D S = diag{d h, d h,..., d h } Q S = q j j,=,...,, q j = c sin jπ Q S entspricht der Matrix der Eigenvetoren von P für den Fall, daß d h h = gilt, d. h. r = ein onvetiver Term. In diesem Fall ist P symmetrisch, da die Eigenwerte sämtlich voneinander verschieden sind, sind die Eigenvetoren untereinander orthogonal. Durch Wahl von c = sin j= = + jπ + = j= Re eπi e π + i jπ cos = + + = +, =,...,, Re j= e jπ + i in 4.8 ann man sie bezüglich der eulidischen orm normieren erhält in diesem Fall, daß Q S eine symmetrische Orthogonalmatrix ist, Q S = Q S = Q S. Für genügend leine h r h < ist d h > also S P regulär, es gilt S P j = sin jπ Die eulidische Matrixnorm ist invariant unter orthogonalen Transformationen, so daß d h S P = D S Q S = D S S P folgen. Da D S eine Diagonalmatrix ist, gelten D S = max { d h, d } h = Q S D S = max { d h, D S = D S 4. d h }. 4.

5 Aus folgt vgl. Mangoldt/Knopp [39] daraus Da gilt, erhält man schließlich lim h hr + hrδ = lim hr +hrδ hr h + hrδ lim hr l+hrδ h h + hrδ Für genügend leine h folgt damit für r = e = e lr. lim hr lrδ+ = h + hrδ lim hr l h = e lr h + hrδ lim d h = e lr. e lr d h d h 4.a für r < < d h < d h 3 e lr 4.b damit e l r max{d h, d h } 3 el r. Aus folgen für genügend leine h e l r S P 3 el r, 3 e l r S P el r. 4.3 Im folgenden wird eine Ortsdisretisierung für periodische Randbedingungen betrachtet Periodische Randbedingungen Wird anstelle einer Dirichlet-Randbedingung eine periodische Randbedingung ut, x = ut, x + l, x IR, t [t, t e ] 4.4 vorgegeben, so ist eine Disretisierung zum Beispiel mit I + h = l { } auf dem Ortsgitter x : x = l + h, Z möglich. Da aus ut, x = ut, x + für alle Z 3

6 folgt, reicht es aus, die Disretisierung auf dem Ortsgitter 4.3 mit h = l durchzuführen die erhaltene äherungslösung periodisch fortzusetzen. In diesem Fall bleiben die Gleichungen mit ωt d. h. F t, U F t, U gültig, 4.4 wird durch P = hr δ + hrδ + hrδ + hrδ hr δ + hrδ... + hrδ + hrδ hr δ ersetzt. Aus Lemma A. folgt für die Eigenwerte von h P + hrδ λ j = h cos jπ + i r h 4.6 jπ sin, j =,...,, 4.7 also für genügend leine h h < r für r < Reλ j. Die Matrix der Eigenvetoren S P = v j j,=,..., mit v j = e jπ i 4.8 ist nach Lemma A. eine Orthogonalmatrix, damit gilt eumann-randbedingungen Die eumann-randbedingungen 3.f sollen mittels S P = S P =. 4.9 χt, l = Bu x t, l B ut,x ut,x h, χt, l = Bu x t, l B ut,x + ut,x h 4.3 approximiert werden. Entsprechend Thomas [55] wäre die sich daraus ergebende Ortsdisretisierung auf dem Gitter 4.3 mit x = l, x + = l nicht onsistent siehe Definition 4.7. Wie dort soll für eumann- Randbedingungen deshalb ein sogenanntes Offsetgitter verwendet werden, mit Ω h = {x : x = l h + h, =,..., }, 4.3 h = l 4.3 x = l h, x + = l + h. Dabei wird vorausgesetzt, daß die exate Lösung u auf dem erweiterten Ortsintervall Ω = l h, l + h 4.33 mit einem h > existiert hinreichend glatt ist. Es gelten weiterhin die semidisreten Gleichungen 4.5, wobei entsprechend 4.3 Bu t = Bu t hχt, l, Bu + t = Bu t + hχt, l 4.34a 4.34b 4

7 gesetzt werden. Für =,..., gilt wieder die Taylor-Entwiclung 4.6. Für = erhält man dagegen für die Approximation 4.34a mit den Zwischenwerten ζ x, x, ζ l, x mit p = γ t = r δ h + hrδ But, x hr δ But, x + + hrδ But, x hχt, l hu x t, x + h u xxt, x + h3 6 u xxxt, ζ t + hrδ hr B u x t, x h h u xxt, x + h 8 u xxxt, ζ t = B ru x t, x + u xx t, x + h p γ t 4.35 = + hrδ h B für = gilt analog mit p = γ t = r δ u xx t, x + + hrδ u xxx t, ζ t 6 + hrδ u xxx t, ζ t, h + hrδ But, x + hχt, l hr δ But, x + + hrδ But, x = B ru x t, x + u xx t, x + h p γ t 4.37 u xx t, x + + hrδ u xxx t, ζ t 8 mit ζ x, l, ζ x, x. Es folgt deshalb aus 4. wieder 4., mit anstelle 4.3 P = ωt = + hrδ h + hrδ u xxx t, ζ t χ t, l,,...,, + hrδ χ t, l h + hrδ + hrδ + hrδ hr δ + hrδ... + hrδ + hrδ anstelle 4.4 erhält man wieder das DA-System 4.. Für die Eigenwerte von h P folgt aus A hr δ λ j = h + + hrδ + hrδ h cos jπ + hrδ = r + hrδ + hrδ h h 4 + hrδ + hrδ + hrδ h + hrδ λ =. j =,...,, sin jπ, 4.4a 4.4b 5

8 Die zugehörige Matrix der Eigenvetoren ist nach A.8 durch S P = v j j,=,..., mit v j = c jd h v = c sin jπ d h sin j π, j =,...,, 4.4a 4.4b für =,..., d h aus 4.7 gegeben. Auch für die Matrizen S P S P ann man wieder zeigen, daß ihre eulidischen Matrixnormen für genügend leine h nach oben gegen ull beschränt sind. Zur einfacheren Darstellung soll dies hier nur für den Fall r =, das heißt d h =, gezeigt werden: In diesem Fall gilt für die Eigenvetoren von P h v j = c j sin jπ j π sin = c j sin jπ j π cos j π = c j cos, j =,...,, =,...,, 4.4a v = c, =,...,, 4.4b P ist symmetrisch. Da die Eigenwerte sämtlich voneinander verschieden sind, sind die Eigenvetoren orthogonal. Durch Wahl von c j c = = j π cos = + jπi Re e = = = + e jπi cos = j π =, j =,...,, ann man sie orthonormieren, es gilt mit dieser Wahl der Konstanten wieder S P = S P = Verallgemeinerung auf räumlich mehrdimensionales PDA-System Sei nun d beliebig. Dann ann das in 3.b gegebene Gebiet Ω disretisiert werden durch Ω h = Ω h... Ω hd, 4.44 l i i + wobei Ω hi für Dirichlet- periodische Randbedingungen d. h. i M D M P gemäß 4.3 für eumann-randbedingungen i M gemäß 4.3 gewählt wird. Dabei ist der Vetor der Ortsschrittweiten h = h,..., h d gegeben durch h i = für Dirichlet-Randbedingungen h i = l i i für periodische eumann-randbedingungen, i I +, i =,..., d. Sei vt, x L Ω, IR n für t [t, t e ]. Auf dem Ortsgitter Ω h aus 4.44 mit dem Gitterparameter h erhält man die zugeordnete Gitterfuntion v h t aus dem Raum L, h Ω, IR n der Gitterfuntionen. Man fordert nun, daß die orm L, h in diesem Raum so beschaffen ist, daß für alle vt, x L Ω, IR n jedes t [t, t e ] für die zugeordnete Gitterfuntion v h t L, h Ω, IR n v h t L, h vt, x L für h gilt, d. h. die ormen aufeinander abgestimmt sind, vgl. Samarsij [45]. Daraus ergibt sich die Definition der disreten L -orm : 6

9 Definition 4. Ist v h = v,,...,,..., v,,...,, v,,...,,..., v,..., d IR n... d, dann ist die disrete L -orm von v h gegeben durch v h = d h i v v h h. i= Die der disreten L -orm zugeordnete Matrixnorm ist die Spetralnorm. Beide sind invariant unter orthogonalen Transformationen. Für jeden Gitterpunt x =x,,..., x d,d Ω h, =,..., d, seien u t=u,..., d t ut, x eine äherung für die exate Lösung im Gitterpunt x Mit f t, u = f,..., d t, u =ft, x, u. = d... erhält man in Analogie zum räumlich eindimensionalen Fall ein DA-System der Gestalt M Ut = DUt + F t, U, 4.45 wobei d D = h i= i M = I A, I d... i+ P i I i... B i + I C F t, U = F t, U ωt sind. Die I i... j sind dabei Einheitsmatrizen der Dimension i i... j, Ut = u,,...,t,..., u,,...,t, u,,...,t,..., u,..., d t IR n F t, U = f,,...,t, u,,...,,..., f,..., d t, u,..., d enthalten die Vetoren u f in den Gitterpunten, ωt = r,,...,t,..., r,,...,t, r,,...,t,..., r,..., d t 4.46 mit r t = i M D + i M + h i r i δ i h ψ i t, x,..., i,, i+,..., d : i = i + h i r i δ i h ψ i t, x,..., i, i +, i+,..., d : i = i i : sonst + h ir i δ i χ i t, x,,..., x i,i, l i, x i+,i+,... : i = h i + h i r i δ i χ i t, x,,..., x i,i, l i, x i+,i+,... : i = i h i : sonst 7

10 enthält die vorgegebenen Randwerte, Ut IR n sei ein onsistenter Anfangsvetor. Die Matrizen P i IR i, i sind durch 4.4, 4.6 bzw gegeben, i =,..., d. Es gilt mit entsprechend 4.7, 4.8 bzw. 4.4 definierten Matrizen S Pi = v j j,=,..., i stets S P i h P i S Pi = diag{λ i,..., λ ii } 4.47 i mit λ i,j aus 4.6, 4.7 bzw. 4.4, es existieren nach 4.3, 4.9 bzw positive Konstanten C i, C i mit C i max{ S Pi, S P i } C i Ausgehend von dem DA-System 4.45 ann der differentielle Zeitindex des PDA-Systems 3.a in Anlehnung an Lucht/Strehmel [36] nun wie folgt definiert werden: Definition 4.3 Kann h > so gewählt werden, daß der Differentiationsindex des DA- Systems 4.45 für alle h mit < h i h, i =,..., d, existiert unabhängig von h ist, so wird dieser Index als differentieller Zeitindex ν dt des PDA-Systems bezeichnet. Bemerung 4.4 Im linearen Fall f unabhängig von u ist dies gleichbedeutend damit, daß ein h > existiert, so daß für alle h mit < h i h, i =,..., d, das Matrizenbüschel {D + λm} regulär sein ilpotenzindex unabhängig von h ist. Dann ist der differentielle Zeitindex ν dt gleich diesem ilpotenzindex. Bemerung 4.5 Die PDA-Systeme in den Beispielen 3., 3., haben den differentiellen Zeitindex, das System in Beispiel 3.5 hat den differentiellen Zeitindex, die PDA-Systeme in den Beispielen haben den differentiellen Zeitindex. 4. Konsistenz Konvergenz der Semidisretisierung linearer PDA-Systeme Zur Definition der Konsistenz der Ortsdisretisierung wird zunächst der loale Ortsdisretisierungsfehler eingeführt: Definition 4.6 Sei U h t der Vetor der auf Ω h eingeschränten exaten Lösung des PDA- Systems 3.. Dann heißt α h t = M U h t D U h t F t, U h 4.49 loaler Ortsdisretisierungsfehler. Der loale Ortsdisretisierungsfehler α h stellt nach 4.45 den Defet der Gitterfuntion U h bezüglich des semidisreten Systems dar. Definition 4.7 Die Semidisretisierung heißt onsistent mit der Ordnung p,..., p d, falls max α t [t,t h t = e] d i= Oh p i i für h gilt. Mit den Taylor-Entwiclungen 4.6 bzw folgt α h t = d i= h p i i I B i γ i t, 4.5 8

11 wobei p i {, } ist in Abhängigeit von der jeweiligen Ortsdisretisierung γ i t gleich den entsprechend 4.8 bzw definierten γ i sind. Analog zu 4. existieren Konstanten K i mit γ i t K i, 4.5 das heißt α h t = d i= Oh p i i. Um die Güte der Semidisretisierung abschätzen zu önnen, wird neben dem loalen Ortsdisretisierungsfehler der globale Ortsdisretisierungsfehler untersucht: Definition 4.8 Seien Ut die exate Lösung des DA-Systems 4.45 zu gegebenem onsistentem Anfangswert U h t der Vetor der auf Ω h eingeschränten exaten Lösung des PDA-Systems 3.. Dann heißt der Vetor η h t=ut U h t globaler Ortsdisretisierungsfehler. Definition 4.9 Die Semidisretisierung heißt onvergent mit der Ordnung p,..., p d, falls max η t [t,t h t = e] d i= Oh p i i für h gilt. Für semidisretisierte lineare PDA-Systeme, das heißt ft, x, u ft, x bzw. F t, U F t, 4.5 ann die Konvergenz wie folgt gezeigt werden: Aus der Definitionsgleichung 4.49 für den loalen Ortsdisretisierungsfehler, dem DA-System 4.45 der Definition des globalen Ortsdisretisierungsfehlers erhält man das lineare DA- System M η h = Dη h α h t 4.53a mit der Anfangsbedingung η h t = Ut U h t. 4.53b Im folgenden wird vorausgesetzt, daß der differentielle Zeitindex ν dt des PDA-Systems entsprechend Bemerung 4.4 existiert. Dann ist das Matrizenbüschel {D + λm} regulär, nach Satz.7 ann die eindeutige Lösung von 4.53 bei genügender Glattheit der exaten Lösung u x, t damit des loalen Ortsdisretisierungsfehlers α h t durch η h t = e ˆM D ˆDt t D ˆM ˆM Ut U h t t ˆM D + I n ˆM ˆM D ν dt i= t ˆM e D ˆDt s ˆα h s ds ˆM ˆDD i ˆDD ˆα i h t 4.54 dargestellt werden, wobei mit einem c C, für das D + cm regulär ist, ˆM ˆD durch ˆD = D + cm D, ˆM = D + cm M

12 ˆα h t durch ˆα h t = D + cm α h t 4.56 definiert sind es gilt nach Bemerung 4.4 der Beziehung. für den Index eines Matrizenbüschels ind ˆM = indd, M = ν dt. Durch direte Abschätzung der rechten Seite der Fehlergleichung 4.54 wie in Eichler-Liebenow [6] würde man nur schwer nachprüfbare Bedingungen für die Konvergenz der Ortsdisretisierung erhalten, weil die Dimensionen der zu berechnenden Matrizen für gegen ull gehende Ortsschrittweiten gegen Unendlich gehen. Mittels einer Diagonalisierung dieser Matrizen läßt sich erreichen, daß nur noch Matrizen fester Dimension, d. h., die Dimension ist unabhängig von der Ortsschrittweite h, für die Konvergenzuntersuchungen betrachtet werden müssen. Sei Q = S Pd... S P I n 4.57 mit S Pi aus Dann gelten Q MQ = M Q DQ = diag {D }, 4.58 wobei d D = v= λ v,v B v + C 4.59 mit λ i,j aus 4.47 diag {D } = diag{d,...,,..., D,,...,, D,,,...,,..., D,..., d }. Aus den Gleichungen 4.55 für ˆD ˆM folgen deshalb Q ˆDQ = diag {D + ca D } = diag { ˆD }, Q ˆMQ = diag {D + ca A} = diag { ˆM }, 4.6a 4.6b wobei ˆD = D + ca D, ˆM = D + ca A. 4.6 Da die Drazin-Inverse nach. verträglich mit Ähnlicheitstransformationen ist, ergibt sich daraus Q ˆDD Q = diag { ˆD D }, Q ˆM D Q = diag { ˆM D }. 4.6 Aus der Fehlergleichung 4.54 erhält man durch Einsetzen der Beziehungen 4.56, 4.58, Berücsichtigung der Kommutativität von ˆM D ˆD mit η h t = Q diag {e ˆM } D ˆD t t D ˆM ˆM Q Ut U h t t Q +Q t ν dt i= diag { e ˆM D ˆD t s ˆM D D + ca } Q α h s ds { diag I n ˆM D ˆM ˆM ˆD } i D ˆDD D + ca Q α i t 4.63 h ν dt = ind ˆM = inddiag { ˆM } = max{ind ˆM } = max{indd, A}

13 Da für alle Matrizen S, T S T = λ max S S T T = λ max S S λ max T T = S T gilt, folgt aus der Definitionsgleichung 4.57 der Matrix Q der für S Pi S P i geltenden Abschätzung 4.48, daß positive Konstanten C, C mit C max{ Q, Q } C 4.65 existieren. Wird A C n s,n s durch A = A j in s j s Blocmatrizen der Dimension j i =,...,s i n n unterteilt, so gilt für die Spetralnorm s Ā diag {A j j } = λ max diag { j i =,...,s ji A il } i = max = max i= s Ā λmax ji A il i= λ max Ā A = max j,l=,...,s j,l=,...,s A Mit der Gleichung 4.5 für den loalen Ortsdisretisierungsfehler den Beziehungen 4.65, für die Spetralnorm folgt aus der Fehlergleichung 4.63 der folgende Konvergenzsatz: Satz 4. Die Ortsdisretisierung sei mit der Ordnung p,..., p d onsistent. Gilt Ut U h t = d i= Oh p i i für h sind die logarithmische Matrixnorm µ [ ˆM D ˆD ] sowie die Matrizen D D ˆM ˆM, ˆM D + ca B j, I n ˆM D ˆM ˆM ˆD i D ˆDD D + ca B j normmäßig nach oben beschränt für alle, i =,..., ν dt, j =,..., d h, so ist die Ortsdisretisierung auch onvergent mit der Ordnung p,..., p d. Bemerung 4. Die Spetralnormen der Matrizen in Satz 4. brauchen nicht berechnet zu werden, da nach Ungleichung.8 K für eine Matrix K genau dann beschränt ist, wenn alle Elemente von K beschränt sind. Bemerung 4. Verwendet man als onsistenten Anfangswert des DA-Systems 4.45 Ut = ˆM ˆM D U h t I n ˆM ˆM D ν dt i= ˆM ˆDD i ˆDD D + cm F i t 4.67 gemäß., so ist unter den übrigen Voraussetzungen des Satzes 4. die Voraussetzung Ut U h t = d Oh p i i für h erfüllt, da mit i= U h t = ˆM ˆM D U h t I n ˆM ˆM D ν dt i= 3 i ˆM ˆDD ˆDD D + cm F i t + α i t h

14 aus 4.67 der für den loalen Ortsdisretisierungsfehler geltenden Gleichung 4.5 bei genügend glatter exater Lösung Ut U h t d i= ν dt j= In max ˆM D ˆM ˆM ˆD j D Oh ˆDD D + ca p B i i i folgt. Beispiel 4.3 Betrachtet wird das lineare PDA-System u t t, x + u xx t, x + } {{ } =A } {{ } =B Es gilt nach 4.59 mit d = λ =λ, λ D = λ. } {{ } =C Für alle c, für die D + ca regulär ist d. h. c, folgen aus 4.6 λ c λ ut, x = ft, x. c λ λ ˆD = c λ λ λ c c λ c = λ =, c c λ λ λ λ c c c ˆM = =. λ Daraus folgen ˆD D = ˆD = c c λ D, ˆM = c D, ˆM ˆM = sowie D + ca B = µ [ ˆM D ˆD ] = µ = c λ c λ c λ = c λ. Ferner erhält man aus 4.64 indd, A = ind ˆM = = ν dt, 3

15 es gilt i I n ˆM D ˆM ˆM ˆD i D ˆDD D + ca B = λ λ : i = λ =. : i Da wegen λ die orm aller dieser Matrizen für h beschränt bleibt, ist nach Satz 4. die Ortsdisretisierung mit Anfangswert 4.67 für dieses Beispiel onvergent. Auf der Grlage einer Weierstraß-Kronecer-Transformation soll nun ein zweiter Konvergenzsatz hergeleitet werden, der bei beannten Transformationsmatrizen einfacher als Satz 4. ist. Wegen 4.58 M = I A folgt detd + λm = det Q D + λmq = det diag {D + λa} = detd + λa, das Matrizenbüschel {D + λm} ist nach Definition.4 also genau dann regulär, wenn die Matrizenbüschel {D + λa} alle regulär sind. Dann existieren nach Satz.5 reguläre Matrizen P Q mit P AQ = diag{i n,..., I n s, m,..., m l }, P D Q = diag{r,..., R s, I m,..., I m l }, 4.68a 4.68b wobei R i = κ i κ i κ i Cn i,n i, m i = Cm i,m i. 4.68c Daraus folgt für den differentiellen Zeitindex ν dt = max {m i : i =,..., l }. Aus den Gleichungen 4.6 für ˆD ˆM erhält man daraus ˆD = Q diag{..., R j + ci n j R j,..., I m j + c m j,...}q ˆM = Q diag{..., R j + ci n j,..., I m j + c m j m j,...}q ˆD D = Q diag{..., R j + ci n j R D j,..., I m j + c m j,...}q ˆM D = Q diag{..., R j + ci n j,...,,...}q 33

16 sowie ˆM D ˆM ˆM D ˆD = Q diag{..., R j,...,,...}q, = Q diag{..., I n j,...,,...}q, ˆM D D + ca = Q diag{..., I n j,...,,...}p, ˆM ˆDD = Q diag{..., R D j,..., m j,...}q, ˆD D D + ca = Q diag{..., R D j,..., I m j,...}p. Einsetzen in die Fehlergleichung 4.63 liefert mit der für den loalen Ortsdisretisierungsfehler geltenden Gleichung 4.5 } } η h t = Q diag {Q diag {..., e R j t t,...,,... Q Q Ut U h t Q +Q d t v= t d v= ν dt i= diag { } } Q diag {..., e R j t s,...,,... P B v Q h pv v γ v s ds { } } diag {Q diag...,,..., m i j,... P B v Q h pv v d i dt i γv t. Mit den Beziehungen für die disrete L -orm der Darstellung.5 für die Matrixfuntion eines Jordan-Blocs folgt daraus der folgende Konvergenzsatz: Satz 4.4 Die Ortsdisretisierung sei mit der Ordnung p,..., p d onsistent. Für h v v, v =,..., d, gelte Ut U h t = d Oh p i i, es seien für alle mit v =,..., v die folgenden Voraussetzungen erfüllt: a Q diag{n i,,..., }Q,..., Q diag{,...,, n i s,,..., }Q, Q diag{n i,,..., }P B v,..., Q diag{,...,, m i l }P B v, sind für i =,..., ν dt beschränt, b in 4.68c sind κ i für i =,..., s nach oben beschränt. Dann ist die Ortsdisretisierung auch onvergent mit der Ordnung p,..., p d. Beispiel 4.5 Betrachtet werde das PDA-System aus Beispiel 4.3. Mit λ P =, Q = λ gelten P AQ = P B = i=, P D Q =, Q = Da Q P B damit beschränt sind Q Q = λ gilt, ist die Ortsdisretisierung mit Anfangswert 4.67 nach Satz 4.4 onvergent.. 34