9 Pythagoras Tripel. Nach Pythagoras gilt: In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheden a und b und der Hypothenuse c ist.

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1 9 Pthagoras Tripel Nah Pthagoras gilt: In einem rehtwinkligen Dreiek mit den Katheden a und b und der Hpothenuse ist Speziell gilt die sogenannte a + b = Zimmermannsregel. Drei Latten der Länge 3, 4 und 5 Meter ergeben zusammengenagelt ein rehtwinkliges Dreiek, denn = 5 Definition. x,, z heißt Pthagoras Tripel, wenn x, und z positive Zahlen sind mit x + = z Frage: Wie vershafft man sih einen Überblik über alle Pthagoras Tripel? 9.1 Bemerkung. Sei x,, z ein Pthagoras Tripel. Dann gilt: a) x und sind niht beide ungerade. b) Für alle λ 1 aus N ist auh λx, λ, λz ein Pthagoras Tripel. ) Teilt t die Zahlen x, und z, so ist auh x t, t, z t ein Pthagoras Tripel. Beweis. x, ungerade = x 1 mod 4 siehe den Beweis von 8.1) = x + mod 4 = x + ist kein Quadrat Beweis von 8.1). b) und ) sind offensihtlih rihtig. Zur Beantwortung obiger Frage genügt es danah, diejenigen Pthagoras Tripel zu finden mit i) x,, z sind paarweise) teilerfremd, ii) x ist gerade und ungerade. Die übrigen Pthagoras Tripel entstehen aus solhen durh Strekung und evtl. Vertaushung von x und. 1

2 9. Satz. Indishe Formeln für Pthagoras Tripel.) a) Sind a 1, b 1 mit a > b, a b ungerade und a, b) = 1, so bilden x = ab, = a b, z = a +b ein Pthagoras Tripel mit den Eigenshaften i) und ii) ein sogenanntes normiertes Pthagoras Tripel). b) Jedes normierte Pthagoras Tripel x,, z ist von der Form x = ab, = a b, z = a + b mit a 1, b 1, a b ungerade und a, b) = 1 ) Es gibt unendlih viele Pthagoras Tripel. Beweis. a) Seien a, b, x,, z wie in a) beshrieben. Dann ist x gerade und x + = 4a b + a 4 a b + b 4 = a 4 + a b + b 4 = a + b ) = z Wegen a b ungerade ist auh a + b ungerade und daher = a + b)a b) ungerade. Noh zu zeigen: x und sind teilerfremd. Angenommen die Primzahl p teilt x und. = p ist ungerade und p x + = z = p ungerade, p z = p + z = a und p z = b und p ungerade = p a und p b, im Widerspruh zu a, b) = 1. ) a durhlaufe alle ungeraden Primzahlen p und b :=. Das Paar a, b erfüllt dann die Voraussetzungen von a). Also ist nah a) 4p, p 4, p + 4 ein normiertes Pthagoras Tripel für alle Primzahlen p 3. b) Sei x,, z ein normiertes Pthagoras Tripel. = z = x + ist ungerade = z ungerade; ungerade = z ± gerade = x = z )z + ) = 4x 0 = x = x 0, x 0 = z z+, x 0 1. ) = 1 Behauptung. z, z+ Beweis. Angenommen die Primzahl p teilt z± = p z+ p z )z + ) = z = x. z = und Es folgt p und p x, im Widerspruh zur Voraussetzung. Also ist z, ) z+ = 1 und z z+ = x 0 ist ein Quadrat = z = b, z+ = a, a 1, b 1.

3 = x 0 = a b = x 0 = ab = x = x 0 = ab, = z+ = a b, z = z+ + z = a + b = a, b) x und a, b) und x, ) = 1 = a, b) = 1 = a b = a + b)a b) ungerade = a b ungerade. z Der große Satz von Fermat. Andrew Wiles, Oktober 1994) Für n 3 hat die Gleihung X n +Y n = Z n keine positive ganzzahlige Lösung x,, z. Ein Highlight der Mathematik.) Wir notieren hier den Beweis für n = 4, der von Fermat stammt. Euler hat den shwierigen) Fall n = 3 bewiesen. 9.3 Satz. Die Gleihung 1) X 4 + Y 4 = Z 4 hat keine Lösung in positiven ganzen Zahlen x,, z. Beweis. Zeige, daß die Gleihung ) X 4 + Y = Z 4 keine positive ganzzahlige Lösung hat. Dann hat auh 1) keine solhe Lösung; denn wäre x = z 4 so wäre x 4 + w = z 4 mit w = eine Lösung von ). Angenommen es gibt positive ganze Zahlen x,, z mit x 4 + = z 4. Sei x,, z ein solhes Tripel mit minimalen z. Dann sind x,, z paarweise teilerfremd, denn: Ist p ein gemeinsamer Primteiler von zwei dieser Zahlen, so teilt p wegen x 4 + = z 4 ) auh die dritte Zahl und p 4 = z 4 x 4, also p. Es folgt Widerspruh zur Minimalität von z. x p ) 4 + p ) = z p ) 4, im Es gilt: x ) + = z ), also ist x,, z ein Pthagoras Tripel aus paarweise teilerfremden Zahlen. 1. Fall. x ist ungerade und gerade. Nah 9. gibt es a 1, b 1 mit a, b) = 1, a b > 0 ungerade und x = a b, = ab und z = a + b. Es folgt: xz) = x z = a b )a + b ) = a 4 b 4, also b 4 + xz) = a 4 und a < z, also a < z. Dies steht im Widerspruh zur Minimalität von z.. Fall. x ist gerade und ungerade. Nah 9. gibt es a > b 1 mit x = ab, = a b, z = a +b und a, b) = 1. Wegen = a b ungerade 3

4 ist a b ungerade. Es folgt x = αβ, z = α + β, α ungerade, β gerade α, β) = 1. Wende erneut 9. an und zwar auf z = α + β : Es gibt r 1, s 1 mit z = r + s, α = r s, β = rs und r, s) = 1. Es ist x = αβ = r s )4rs; r, s und r s sind paarweise teilerfremd. Wegen x = r s )4 r s sind daher r, s und r s Quadrate: r = u, s = v, r s = w, also v 4 + w = s + r s ) = r = u 4. Ferner ist u u 4 = r < r + s = z. Dies steht im Widerspruh zur Minimalität von z. Also ist die zu Anfang des Beweises gemahte Annahme falsh und ) hat keine positive ganzzahlige Lösung. 9.4 Korollar. ) x a) Auf dem EinheitskreisK = { R x + = 1} liegen unendlih viele Punkte mit rationalen Koordinaten x und. ) x b) Auf der Kurve C = { R x = 1} liegen außer den Punkten ) ) ±1 0 und keine Punkte mit rationalen Koordinaten. 0 ±1 Beweis. a) Ist a, b, ein normiertes Pthagoras Tripel, ) so ist a + b =, also a a ) + b ) = 1, d.h. der Punkt b rationale Koordinaten. liegt auf dem Kreis K und hat Für vershiedene normierte ) Pthagoras ) Tripel a, b, und a, b, sind a a auh die Punkte b und vershieden, denn die Brühe a, b, a, b b liegen in gekürzter Form vor. Aus 9.) folgt die Behauptung. ) x b) Sei C mit rationalen Zahlen x,. Ist x = 0 oder = 0, so ist = ±1 oder x = ±1. 4

5 Angenommen x 0 und 0, o.e. x > 0 und > 0. Sei d der Hauptnenner von x und : Dann ist d 4 x ) = d 4 1 = d 4, also dx) 4 + d) 4 = d 4 mit positiven ganzen Zahlen dx, d und d, im Widerspruh zu