Übungen zur Kursvorlesung Physik II (Elektrodynamik) Sommersemester 2008

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1 Übungsblatt 4 zu Physik II Von Patik Hlobil (38654), Leonhad Doeflinge (496) Übungen zu Kusvolesung Physik II (Elektodynamik) Sommesemeste8 Übungsblatt N. 4 Aufgabe 3: Feldstäke im Innen eines Ladungsinges a) Betachten wi nun zunächst mal die Längen s und s. Diese können duch eine Appoximation ausgedückt weden duch,,. Es ist nun nämlich so, dass in einem Keis mit dem Radius und dem Winkel die Stecke s des Keisausschnitts gegeben ist duch: s= Da wi hie nun keinen wiklichen Keis haben, sonden nu ungefäh, müssen wi eine kleine Annäheung duchfühen, die jedoch ziemlich gut ist, wie wi in de Skizze nebenan sehen. Daaus folgt fü unsee beiden Stecken s und s : s = s = Die Ladung betägt aus de Definition de Linienladungsdichte: = s = s Damit folgt fü die Ladungen de beiden Keisausschnitte: = = Zunächst betachten wi nu das Feld, das die Ladung auf dem Keissegment s hevouft. Da die Ladungen ja fü jeden Keisausschnitt (näheungsweise) in einem Keis um den Punkt P angeodnet sind, kann man die Kaft duch eine Punktladung im Abstand ausdücken: F E = F Genau analog funktioniet dies auch mit E : E = Betachten wi nun das Vehältnis von E zu E : = E E = Damit ezeugt die Ladung von s das stäkee Feld.

2 Übungsblatt 4 zu Physik II Von Patik Hlobil (38654), Leonhad Doeflinge (496) b) Fü die Ladungen und gilt imme noch dasselbe wie in de Aufgabe a). Wi müssen nun nu unsee Kaft F entspechend anpassen: F E = F Jetzt setzen wi wiede unsee Ladungen in E ein und die entspechenden : E = E = Damit ezeugen beide Ladungen dieselbe Feldstäke. c) Betachten wi nun statt eines Keisausschnitts einen Kugelausschnitt. Diese ist duch einen Öffnungswinkel gegeben. Diese hat folgende Beziehungen: 4 = s 4 (I) Wobei de entspechende Raumwinkel des Kugelsegments ist, 4 de volle Raumwinkel, s die Fläche des Kugelsegments und 4 die gesamte Obefläche de Kugel gibt. Wenn wi uns nun wiede unse spezielles Poblem anschauen, können wi wie schon in de a) eine seh gute Appoximation duch eine Kugel machen, sodass die Relation (I) gilt. Damit folgt fü unsee Kugelsegmente: 4 = s 4 s= s = s = Mit de Flächenladungsdichte = s folgt: = s = s Wenn wi nun das elektische Feld im Potential betachten: E s E s = = Damit ezeugen beide Kugelausschnitte dasselbe elektische Feld.

3 Übungsblatt 4 zu Physik II Von Patik Hlobil (38654), Leonhad Doeflinge (496) Wenn wi das ganze nun analog mit einem E = Potential machen, bekommen wi: E = Betachten wi nun das Vehältnis von E zu E : E E = Damit ezeugt die Ladung von s das stäkee Feld. A 4: Supeposition und Gauß'sche Satz a) Da wi das elektische Feld duch Supeposition beechnen sollen, beechnen wi die elektischen Felde de beiden Ladungen = und =. Da wi ein eindimensionales Poblem haben, müssen wi nicht mit Vektoen abeiten: Es gilt: E= F Damit folgt fü unsee elektischen Felde E und E : E E Übe das Supepositionspinzip folgt somit: E Ges = E E = a a a a a = a 9 = 8 9 9a a = 9 a b) De Gaußsche Satz besagt folgendes: =lin E da= (Heleitung steht seh gut in de Volesung) Mit dem Flächenelement da= sin d d und E nicht abhängig von, kann man das elektische Feld aus dem Integal ausziehen: = E sin d d =E 4 = E =4 3

4 Übungsblatt 4 zu Physik II Von Patik Hlobil (38654), Leonhad Doeflinge (496) Hiebei ist, da: die von die von de Gauß'schen Obefläche umhüllt ist. Diese ist nun abe in diesem Fall = = Dies escheint auch logisch, da dies ein Dipol ist und jede Feldlinie die aus de Kugel austitt auch wiede eintitt und damit ist de Fluss: = = Daaus folgt jedoch auch: =E 4 = Und damit, da eine Vaiable mit : E = c) Wi können dieses elektische Feld nicht übe den Gauß'schen Satz beechnen, da wi keine zum Radius symmetische und homogene Ladungsveteilung haben, sonden einen Dipol (siehe obee Skizze). Dahe ist de Fluss estens automatisch und zweitens sind gilt fü die Feldlinien, die aus de Gauß'schen Obefläche heausteten nicht: E da Damit kann man hie das elektische Feld nicht duch den Gauß'schen Satz beechnen. De Gauß'sche Satz macht zum Beispiel Sinn, wenn man die Feldstäken beide Kugelladungen zunächst einzeln beechnet und dann übe das Supepositionspinzip die Gesamtfeldstäke beechnet. Dann kommt man wiede auf: E Ges = E E = a 9 = a = 9 a A5: Ladungsveteilungen, E-Felde und Potentiale a) Da wi hie wiede eine symmetische Ladungsveteilung haben, können wi wiede mit dem Gauß'schen Satz abeiten. Hie noch mal eine kuze Heleitung: =E A= E A falls E A Anmekung: De Vekto A bzw. da wid senkecht zu wiklichen Obefläche definiet, ähnlich dem Dehimpuls, de ja auch nicht in die Richtung de Geschwindigkeitsfläche, sonden senkecht daauf steht. Somit folgt fü eine zu symmetischen und homogenen Ladungsveteilung: 4

5 Übungsblatt 4 zu Physik II Von Patik Hlobil (38654), Leonhad Doeflinge (496) = O E da Wobei wi in de Volesung gezeigt haben, dass es egal ist, übe welche Obefläche wi integieen. Also integieen wi übe eine Keisobefläche. Damit folgt da= sin d d. = O E da= E sin d d =E sin d d =E 4 Wenn wi nun eine zu symmetische Ladungsveteilung haben, ist es ähnlich ode wie eine Punktladung und es gilt fü E das Coulomb'sche Gesetz: =E 4 4 = Nun zu unseem konketen Poblem. Wi haben =4 R. Einsetzen in unse Gauß'sches Gesetz: =E 4 = = 4 R E = R Auf dieses Egebnis wäe man jedoch auch einfach übe einsetzen von in das Coulomb'sche Gesetz gekommen. Jedenfalls folgt daauf fü das Potential V : V = E ' d' =[ R ] = R Diese Felsstäken und Potentiale gelten jedoch nu fü R, da fü R keine Ladung von de Gauß'schen Obefläche umschlossen wäe und damit =E = und V = E d=konst. wäe. Die Konstante von V fü R ist genau das Potential an de Stelle V R, da das Potential stetig sein muss, also V R= R R = R. De Velauf von Feldstäke und Potential in de Skizze: 5

6 Übungsblatt 4 zu Physik II Von Patik Hlobil (38654), Leonhad Doeflinge (496) b) Fü R nutzen wi einfach das Coulomb'sche Gesetz: E= F 4 3 R3 = R3 3 V = E d= R3 3 Nun könnten wi noch betachten was passiet, wenn R ist. De Gauß'sche Satz besagt, das wenn die von de Gauß'schen (Kugel-)Obefläche umhüllte Ladung ist, die Feldstäke gegeben ist duch: E 4 = (I) Dies ist wie man sieht äuivalent zum Coulomb'schen Gesetz. Nun ist die Ladung Kugel abhängig von, wobei gilt: innehalb de Ges = V V Ges : Ladung V :Volumen = V Ges = 4/3 3 4 /3 R 3 = 4 V Ges 4 /3 R Einsetzen von in Gleichung (I) gibt uns: E 4/3 3 = 3. Somit wüde unse Potential natülich ~ sein. Da das Potential nun abe divegieen wüde, setzt man nomaleweise ein Standadpotential (z.b. bei R und beechnet dann den Potentialunteschied, auch Spannung U. 6

7 Übungsblatt 4 zu Physik II Von Patik Hlobil (38654), Leonhad Doeflinge (496) c) Fü diese Aufgabe benötigen wi nun zwingend das Gauß'sche Gesetz [wie schon ewähnt hätte man die a) und b) auch mit Coulomb echnen können], den nun handelt es sich nicht meh um eine Punktladung. Wie wi ja in de Volesung gezeigt haben, gilt de Gauß'sche Satz (falls wi wie hie eine zum Abstand symmetische Ladungsveteilung haben) fü jede beliebige Obefläche: = O E da Da wi hie einen Stab, also einen Zylinde haben, empfiehlt es sich, hie übe einen Zylinde zu integieen. Fü einen Zylinde gilt folgendes Flächenelement: da= dl Damit folgt: = O l E da= E dl= E l= E = l (I) Die Linienladungsdichte ist = R. Damit entspicht die Ladung : = l= R l Einsetzen in den Fluss (Gleichung (I)): E = l = R Fü das Potential folgt dann: V = E ' d' =[ R ln ] divegent Nun wi das Potential andes definiet. Wi nehmen uns ein Standadpotential an de Stelle geben das Potential bezüglich dieses Punktes als Potentialdiffeenz (Spannung U) an: U V R V = R [ R ] = R [ln ln R]= R ln R =R und Fü R müssen wi nun wiede schauen, wie man die von de Gauß'schen Fläche umschlossene Ladung in Abhängigkeit von bescheiben kann. Es gilt nun wiede: Ges = V V Ges : Ladung V :Volumen = V Ges = l R l = l V Ges R l 7

8 Übungsblatt 4 zu Physik II Von Patik Hlobil (38654), Leonhad Doeflinge (496) Eneutes einsetzen in unsee Gleichung (I): E = l = l l = Fü das Potential gilt dann: V = divegent Also definieen wi wiede den Potentialunteschied U : U =V R V = R Damit folgt fü die Velaufsskizzen E und U : d) Hie haben wi zunächst wiede ein Kabel wie bei de c), nu dass es von einem dünnen geladenen Hohlzylinde umgeben ist. In diesem geladenen Hohlzylinde hat diese keinen Einfluss, da es sich um eine symmetische Ladungsveteilung handelt und die äußee Ladung daauf keinen Einfluss nimmt (Gauß'sche Satz). Dahe veläuft die Feldstäke und die Spannung wie in de Aufgabe c). Nun betachten wi was passiet, wenn im Beeich des äußeen Hohlzylindes ist, also R R 3. Die Ladung des umschlossenen Außenzylindes ist wiede gegeben duch: Ges = V V Ges : Ladung V :Volumen V Ges = V Ges 8

9 Übungsblatt 4 zu Physik II Von Patik Hlobil (38654), Leonhad Doeflinge (496) Wobei das Volumen eines Hohlzylindes mit inneen Radius R und äußeen Radius gegeben ist duch: V =l R V Ges=l R 3 R Ges= l R 3 R Einsetzen bingt uns: = l R Damit folgt fü die Gesamtladung im inneen de Gauß'schen Zylindeobefläche in Abhängigkeit vom Radius : = =l R l R =l R R l Mit dem Gauß'schen Satz (fü Zylindeobefläche hegeleitet in c) )folgt damit: E = l = l R R l l l =K ~ K Nun beechnen wi wiede die Spannung (in Relation zu R also dem inneen Radius, da wi ein stetiges Potential haben wollen und damit einen allgemeinen Bezugspunkt. Wi haben schon in de c) den Radius des inneen Zylindes als Standadpotential genutzt): R U = E =K R R 4 Wobei die Ladung fü R 3 ist, da nun beide Ladungen, die entgegengesetzt gleich sind umschlossen sind. Damit ist die wikende Kaft fü R 3 gleich und das Potential konstant. 9