(0 4) 4 :( 2) Bestimmung von Geradengleichungen Aufgabe 1

Transkript

1 Bestimmun von Geradenleichunen Auabe Geeben ist die Geradenleichun (x) = -x +. Gesucht sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Lösun: Mit der y-achse (x=0): S y (0 ) Mit der x-achse (y=0): x 0 x :( ) x N( 0)

2 Auabe Geeben sind die Punkte P(-; ) und Q(; 0). Gesucht ist die Gleichun der Geraden durch diese Punkte. Lösunswe : Eine Mölichkeit die Gleichun zu bestimmen, wäre die, die Komponenten der beiden Punkte in die Funktion (x) = mx + b einzusetzen. Diese Mölichkeit unktioniert auch bei anderen Funktionstypen und man muss sich keine Formel merken: () ( ) m b () () m b 0 Es handelt sich hier um ein Gleichunssystem mit zwei Unbekannten. Subtrahiert man die Gleichun () von der Gleichun (), so ällt b we : () - () 3m 6 :( 3) m Setzt man m = z.b. in () ein, so eribt sich b 0 b 8 Damit lautet die Gleichun: ( x) x 8 Lösunswe : Man könnte die Gleichun auch mit olenden Formeln bestimmen: (I) ( x) m( x x) y y y mit m x x Würde man diese Formel verwenden, so ilt: 0 m ( ) ( x) ( x ( )) x 8 Statt zwei Punkten könnte auch ein Punkt Px ( ; y ) und die Steiun m eeben sein. In diesem Fall kann man m und die Koordinaten des Punktes P direkt in (I) einsetzen. Man kommt aber auch ohne die Gleichun (I) aus. Wenn man (wie bei Lösunswe ), m bestimmt hat bzw. man weiß, dass m = ist, so ilt (x) = x + b. Nun muss man nur einen Punkt einsetzen und erhält b, denn mit P(-; ) olt, dass (-) = ÿ(-) + b = ilt, bzw. - + b =. Nach b auelöst eribt sich b = 8 und (x) = x + 8.

3 Auabe 3 Geeben ist die Gleichun (x) = x + der Geraden. a) Liet P(; ) au der Geraden? Lösun: () womit P au der Geraden liet. b) Bestimme die ehlenden Koordinaten der Punkte Q(3;?) und R(?; -) au der Geraden. Lösun: (3) 6 8 Q(3;8) ( x) x x 6 : x 3 also ist R( 3; ). Auabe Schnittpunkt und Schnittwinkel Berechne den Schnittpunkt und den Schnittwinkel der olenden Geraden: Lösun: ( x) x x ( ) x Da die Geraden im Schnittpunkt den leichen y-wert (natürlich auch den leichen x-wert) haben, werden die Funktionsterme leichesetzt: ( x) ( x) x x x 3x 3x 3 :3 x Nun kann man den y-wert des Schnittpunktes bestimmen, indem man x = - in eine der beiden Geradenleichunen einsetzt: Also ist S( ;) der Schnittpunkt. y ( ) ( )

4 Kommen wir nun zur Berechnun des Schnittwinkels: Der Neiunswinkel einer Geraden y = mx + b in Bezu zur x-achse eribt sich durch olende Gleichun: m tan( ) Hier kann sich auch ein neativer Wert ür ereben, alls die Gerade eine neative Steiun hat. In diesem Fall eribt sich die Gerade durch Drehun der x-achse in neativer Drehrichtun (d.h. mit dem Uhrzeiersinn) um die Nullstelle der Geraden. Der Schnittwinkel mit der x-achse ist. Somit ilt ür die Gerade : Und ür die Gerade : tan( ) tan tan( tan () 63,3 tan α ) tan ( ) 5 Da ist, eribt sich der Schnittwinkel durch: a = a - a º 63,3 - (-5 ) º 08,3 Für wäre dieser leich oder allemein: Nun ist noch eines zu beachten: Wenn sich bei dieser Berechnun ein Winkel rößer als 90 eribt, so ibt man 80 - a als Schnittwinkel an, d.h. in unserem Beispiel beträt dieser ca. 7,57.

5 Auabe 5 a) Schneiden sich die Geraden (x) = -x + 3 und (x) = ¼x orthoonal? Lösun: ja, da m m b) Gesucht ist die Gleichun einer Geraden, die orthoonal zur Geraden mit der Gleichun (x) = x + ist und die durch den Punkt P(; ) eht. Wie roß ist der Abstand des Punktes P zur Geraden? Lösun: x ( ) m x b soll orthoonal zur Geraden mit der Steiun m sein, also muss m m m elten, womit m ist. Also ilt x ( ) x b. Nun soll die Gerade durch den Punkt P(; ) ehen, somit ist () b b b und x ( ) x Der Punkt au der Geraden, der den kleinsten Abstand zu P hat, ist der Schnittpunkt der beiden Geraden, da senkrecht zu verläut und den Punkt P enthält. Wir bestimmen somit zunächst den Schnittpunkt: ( x) ( x) x x Löst man die Gleichun nach x au, so erhält man x = 0. y = (0) =. Somit ist der Schnittpunkt Q(0; ). Nun muss man noch den Abstand der beiden Punkte P und Q bestimmen, da dies der Abstand der Geraden vom Punkt P ist. Für den Abstand d von zwei Punkten P(x ; y ) und Q(x ; y ) ilt allemein (die Formel eribt sich über Pythaoras, siehe Graik): d ( x x )² ( y y )²

6 Hier ist der Abstand von P und Q bzw. der Abstand von zu P: d (0 )² ( )² 0