Bayessche Statistik-Denken in Wahrscheinlichkeit

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1 Bayessche Statistik-Denken in Wahrscheinlichkeit

2 Habe ich Aids? Test fällt bei 98% der Aids kranken positiv aus. P(positiv Aids)=0.98 Test fällt bei 97% der gesunden negativ aus. P(negativ kein Aids)=0.97

3 Ereignis N Test positiv Test negativ Aids Gesund

4 Ereignis N von Menschen Test positiv Test negativ Aids Gesund P = 98/3098 = 1/30 = 3.3%

5 Gesucht: P(Aids positiv) Gegeben: P(positiv Aids) P(negativ kein Aids) P(Aids) Formel?

6 P(A) Wahrscheinlichkeit für A P(A Λ B) Wahrscheinlichkeit für A und B P(A B) Wahrscheinlichkeit für A, wenn B bereits eingetreten ist P(A Λ B) = P(B)*P(A B) = P(A)*P(B A)

7 P(A)=1 P(B) = P(B A)

8 P(Ω)=1 P(B) = P(B A)*P(A) = P(B Ω) Ω

9 Ω P(A Λ B) = P(B A)*P(A) = P(A B)*P(B)

10 Formel von Bayes Posterior Likelihood Prior P(A B) = P(B A)*P(A) P(B) Evidenz

11 Evidenz P(B)? Beispiel: Münzwurf P(Kopf)? 1/2 1 }Verschiedene Hypothesen

12 A: Münze ist manipuliert P(Kopf) = 1 B: Münze ist fair P(Kopf) = ½ P(3xKopf) = P(3xKopf A)*P(A) + P(3xKopf B)*P(B) = 1 * (1/2)^3 * 0.9 = 0.21 P(A 3xKopf) = P(3xKopf A)*P(A) P(3xKopf) = 0.1/0.21 = 47%

13 P(B) = Σ P(BΛ A i ) = Σ P(A i )*P(B A i )

14 P(A B) = P(B A)*P(A) P(A i )*P(B A i ) Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsdichten: f(x θ)*p(θ) P(θ x) = P(θ)*f(x θ)dθ

15 Frequentist Bayesian

16 Frequentist Bayesian Messunsicherheit Parameterunsicherheit

17 Frequentist: In wiederholten Datensätzen wird der wahre Wert mit einer Wahrscheinlichkeit von 68% innerhalb der Messunsicherheit liegen. Bayesian: Für den vorliegenden Datensatz ist die Wahrscheinlichkeit 68%, dass der wahre Wert innerhalb der Unsicherheit liegt.

18 Frequentismus Relative Häufigkeit Anwendbar auf wiederholbare Ereignisse Hypothese wird akzeptiert, wenn p(x H)>α

19 Bayesian Erlaubt es die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen/Hypothesen anzugeben Man benötigt einen Prior (Vorwissen) Wie viel Geld wäre man bereit auf die Richtigkeit einer Hypothese zu wetten? Kritik: Prior ist unwissenschaftlich

20 Beispiel: Messung der Lebensdauer eines Teilchens Messwerte:

21 Prior:

22 Was ist besser? Richtig angewandt führen beide Methoden zu richtigen Ergebnissen Je nach Problem kann die eine, oder andere Vorgehensweise Vorteile haben. Die Bestmögliche Datenauswertung erfordert daher immer auch Kompromisse

23 P-Wert, Was bedeutet statistisch Signifikant? Medizinischer Test mit 6 Probanden 3 erhalten neues Medikament X 3 erhalten einen Placebo

24 Ergebnis: Alle mit neuem Medikament behandelten Personen leben länger Wie wahrscheinlich ist dieses Ergebnis?

25 Ergebnis: Alle mit neuem Medikament behandelten Personen leben länger Wie wahrscheinlich ist dieses Ergebnis?

26 Kombinatorisches Problem PPPNNN, PPNNNP, PPNNPN Anzahl Möglichkeiten: N= 6! 3!3! =20

27 Kombinatorisches Problem PPPNNN, PPNNNP, PPNNPN Anzahl Möglichkeiten: N= 6! 3!3! =20

28 Es gibt genau eine Realisierung mit PPPNNN P = 1/20 = 5% Statistisch signifikantes Ergebnis

29 p-wert Wie wahrscheinlich ist das Ergebnis, wenn Medikament X unwirksam ist? P(Daten Unwirksam) Was man wissen will: Wie wahrscheinlich ist es, dass Medikament X wirkt, bzw. nicht wirkt. P(Wirksam Daten) Bzw. P(Unwirksam Daten)

30 p-wert P(U D) = P(D U)*P(U) P(D U)*P(U)+P(D W)*P(W) P(B A)*P(A) P(B) P(Unwirksam)?

31 Naturheilkunde oder Pharma? NHK: testet irgendwelche Pflanzen auf gut Glück Pharma: Gezielte Erforschung von Wirkstoffen P(Wirksam)??

32 Nochmal zum Arzt Ereignis N von 3000 Menschen Test positiv Test negativ Aids Gesund P = 98/188 = 50 %

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34 Folgerung Prior sollte so wenig Information wie möglich enthalten, aber so viel wie nötig

35 Nicht informativer Prior Keine Information über θ Gleichverteilung als Prior? Keine Information über 1/θ 1/θ ebenfalls Gleichverteilt? z.b. Messung der Frequenz und Periodendauer

36 P(θ)dθ = 1 Substitution: Φ = 1/θ, dθ = θ^2dφ = dφ/φ^2 P(Φ) dφ/φ^2 = Ṕ(Φ)dΦ

37 Ein Prior sollte einen möglichst geringen Effekt auf die Daten haben Ein Prior sollte Symmetrien des Problems ausnutzen Im Zweifel: mehrere Priors durchprobieren

38 Lokalisationsparameter f(x-θ) invariant unter Y=X+a z.b. Mittelwert P(θ)=P(θ-a) P(θ)=1

39 Skalen Parameter 1 f( ) invariant unter Y=c*X σ x σ z.b. Standardabweichung σ 1 P(σ) = P( ) P(σ) = 1/σ c c

40 Konjugierter Prior + = Prior Likelihood Posterior

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