4.6 Das Pumping-Lemma für reguläre Sprachen:

Transkript

1 Theoretsche Informatk 1 Vorlesungsskrpt vom Fretag, 30 Jun 000 Index: Erstellt von: (Matrkelnummer: 70899) Sete : 46 Das Pumpng-Lemma für reguläre Sprachen 1 Satz W 1 Zugrundelegende Idee des Pumpng-Lemma Bewes des Pumpng-Lemma Hnwese zum Pumpng-Lemma3 Bespele zum Pumpng-Lemma3 47 Reguläre Grammatken4 Allgemene Grammatken4 Zusammenfassung des bsher behandelten Stoffes 4 Bespel ener allgemenen Grammatk 4 Defnton X 5 Bespele für allgemene Grammatken nach der Defnton X 5 Reguläre Grammatken 6 Defnton Y6 Bespel ener regulären Grammatk nach der Defnton Y 6 Satz Z6 Bewes6 Bewes für 6 Bewes für 7 46 Das Pumpng-Lemma für reguläre Sprachen: Das Pumpng-Lemma st en zentrales Hlfsmttel um zu entscheden bzw um nachzuwesen, dass ene Sprache ncht regulär st Satz W : Es se X en Alphabet, dann exstert zu jeder regulären Sprache R X en n IN, so dass für alle Wörter z R mt z u ene Zerlegung z = uvw mt u, v, w X, v ε und uv n exstert, für de glt: uv w R für alle 0 Formal: R Re g n IN z R, z n uvw X : z = uvw v ε uv n : n IN 0 : uv w R - 1 -

2 Theoretsche Informatk 1 Vorlesungsskrpt vom Fretag, 30 Jun 000 Zugrundelegende Idee des Pumpng-Lemma : Es exstert ene Pumpstelle n allen regulären Wörter z ab ener gewssen Länge n Endlche Akzeptoren : Um unbeschränkte Wörter zu erkennen, muss en Akzeptor n Zyklen laufen, wobe man dese Zyklen mehrfach durchlaufen kann v (*) Graphsche Veranschaulchung: u w S 0 S j S Reguläre Ausdrücke : En * -Operator ermöglcht enge Methoden ene unendlche Sprache zu beschreben Des ergbt, dass sehr lange Wörter vele Wederholungen desselben Telwortes enthalten w 1 L* w n n IN Bewes des Pumpng-Lemma : Es se R ene reguläre Sprache und zu R exstert en endlcher determnstscher Akzeptor A = (X, S, δ, s 0 ) mt L(A ) = R Nun wähle man n:= s, wobe z R und z n st Dann gbt es mndestens enen Zustand, welcher be der Engabe von z zwemal durchlaufen wrd, also : z = x,,, wobe glt: r n und x X für = 1,, r 1 x r Graphsche Darstellung: x R x 1 x x j x j+1 x j+ x k-1 S 0 S 1 S j = S k S j+1 S k-1 u x k+1 w x k+ S k+1 x r S Nun erkennt man: Für das erste Auftreten enes Zustandes s j = s k glt: v u : = x x j und v : = x j+ 1 xr ε 1 Damt glt für das erste Auftreten : uv = x1 x n Damt st w : = x k 1 xr + Daraus lässt sch nun folgern: δ s n = δ s, uv 0, 0 0 0, 0 Offenbar st ( ) ( ) = δ( s, uv ) mt 0, woraus folgt δ ( s uv w) = δ( s, uvw) = s F uv w R mt 0 - -

3 Theoretsche Informatk 1 Vorlesungsskrpt vom Fretag, 30 Jun 000 Hnwese zum Pumpng-Lemma : Das Pumpng-Lemma st kene Äquvalenzaussage Es st nur ene Implkaton: Ist ene Sprache L regulär, dann erfüllt L das Pumpng-Lemma Der umgekehrte Weg st ncht möglch Ene Typsche Anwendung des Pumpng-Lemma st um zu zegen, dass ene Sprache L ncht regulär st Aber das Pumpng-Lemma kann oft ncht Angewendet werden, da es Sprachen gbt, welche de Bedngungen des Pumpng-Lemma erfüllen, aber dennoch ncht regulär snd Bespel : m n n Man nehme an es exstert ene ncht reguläre Sprache L mt L { c a b m n 0} { a, } =, b, dann exsteren folgende Pumpmöglchketen für L : L untertelt n uvw: 1) v = c, mt 0 v wrd gepumpt und das Wort blebt Element von L ) v = a b, mt 0 a, b wrd gepumpt und das Wort blebt Element von L Bespele zum Pumpng-Lemma : P 1) Man defnere ene ncht reguläre Sprache L { O p st ene Prmezahl} = Annahme : L st regulär Dann muss L das Pumpng-Lemma erfüllen Daraus folgt dese Bewesführung: Man wähle en n nach dem Satz W und es se r ene Prmezahl mt r > n Des weteren se r z = O L Dann exstert ene Zerlegung z = uvw mt r r t s uv n, u = O, v = O mt s, t 0 Für O glt auch O + L für alle 0 Folglch snd alle Zahlen r + t Prmezahlen Nach spätestens t Zahlen kommt also mmer ene Prmezahl Nun setze man = r, dann st r + r t ene Prmezahl r ( 1+ t) st ene Prmezahl, anderersets snd r und 1 + t Faktoren von r ( + t) L st ncht regulär m ) Es se de Sprache L { O m st Quadratzahl} = ncht regulär Man gehe auch her von der Annahme aus, dass L regulär st De Bewesführung lautet dann folgendermaßen: Unter der Bedngung, dass L regulär st, muss es en n IN t 1 exsteren, so dass sch jedes Wort zu der Form O m mt m n und m Quadratzahl, sch n de Form z = uvw zerlegen lässt, mt den entsprechenden Egenschaften: v ε, uv n, uv w L mt 0 Nun wähle man spezell: z = 0 n und betrachte zuglech de Zerlegung z = uvw Daraus folgt wegen der Bedngung des Pumpng-Lemma : 1 v uv n Ferner st für = : uv ( w) < ( n + 1 ) w L nv L st ncht regulär! L, andersets soll gelten: n = z = uvw < uv w n + n < n + n + 1 = ( n + 1 ) - 3 -

4 Theoretsche Informatk 1 Vorlesungsskrpt vom Fretag, 30 Jun Reguläre Grammatken Allgemene Grammatken : Zusammenfassung des bsher behandelten Stoffes : - Prozesse des Erlernen von Sprachen Automaten - Charakterserungen Pumpng-Lemma, Abschlussegenschaften, algebrasch - Beschrebungen reguläre Ausdrücke - Erzeugungprozesse Grammatken Bespel ener allgemenen Grammatk : Produktons- / Abletungsregeln : Es handelt sch herbe um jene Regeln, nach denen de verschedenen Symbole verwendet bzw ersetzt werden dürfen <Satz> <Subjekt> <Prädkat> <Objekt> <Subjekt> Hund <Subjekt> Katze <Objekt> Katze <Objekt> Maus <Prädkat> beßt <Prädkat> jagt Erläuterung der verschedenen Symbolen: <> : Nchttermnalsymbole Hund, Katze, beßt, : Termnalsymbole <Satz> : Startsymbol Abletungsprozess : Bespel ener Anwendung der Produktonsregeln deser Grammatk <Satz> <Subjekt> <Prädkat> <Objekt> Katze <Prädkat> <Objekt> Katze beßt <Objekt> Katze beßt Maus - 4 -

5 Theoretsche Informatk 1 Vorlesungsskrpt vom Fretag, 30 Jun 000 Defnton X : Ene Grammatk G beschrebt man durch en Quadrupel G = (N, T, P, σ ) wobe folgendes glt: - N st de nchtleere endlche Menge von Nchttermnalsymbolen - T st de nchtleere endlche Menge von Termnalsymbolen - N T =, Es gbt kene Termnalsymbolen de glechzetg Nchttermnalsymbolen snd und umgekehrt - σ N st das Startsymbol { } - P ( α β) α, β ( N T ), st de endlche Menge der Produktonen oder auch Produktons- oder Abletungsregeln Bemerkung : α, β schrebt man auch α G β oder auch α β, wenn der Bezug zur Grammatk endeutg Statt ( ) st Es seen w ( N T ) v, Dann se des weteren v abletbar aus w ( Formal dargestellt: w G v, bzw verenfacht w v oder w v ), wenn Wörter der Art v,, v ; u,, u ; z,, z ; α,, α ; β β ( N T ) 1,, exsteren, dann glt: v 1 k 1 k 1 k 1 k 1 1 k 1 1 = w, vk = v, v = uα z, v+ 1 = uβ z für alle = 1,, k Darstellung: v1 = u1α1z1 u1β1z1 = uα z uβ z = u3α 3 z3 v De von ener Grammatk G erzeugte Sprache L(G ) st defnert durch: L ( G) = { w T a w} G Bespele für allgemene Grammatken nach der Defnton X : n n 1) Man nehme de Sprache L = { a b n IN} 1, für welche de Grammatk G 1 = ( N1, T1, P1, σ1 ) mt 1 = { σ 1 } 1 = { a b} und P 1 = { σ1 aσ1b, σ1 ε} T, In desem Fall seht der Abletungsprozess folgendermaßen aus: n n n n 1 aσ1b aaσ1bb a σ1b a b σ, woraus folgt: ( G 1 ) L1 L = N, ) Man defnere für de korrekte Klammerung durch begn und end n enem Programm folgende Grammatk G = ( N, T, P, σ ) mt N = { σ }, T = { begn, end} und P = { σ begn σ end σ, σ ε} Der Abletungsprozess bestzt folgendes Aussehen: σ begn σ end σ begn σ end begn begn σ end σ end begn begn end σ end begn begn end begn σ begn begn end begn end end end σ end begn begn end begn σ end end begn begn end begn end end - 5 -

6 Theoretsche Informatk 1 Vorlesungsskrpt vom Fretag, 30 Jun 000 Reguläre Grammatken : De Typserung von Grammatken und der Bezug zu spezellen Sprachklassen erfolgt über de Enschränkung der Form der Produkton Defnton Y : Ene Grammatk G = (N, T, P, σ ) heßt rechtslneare Grammatk, wenn glt Für alle ( α, β) P exstert en α N und en β T oder en β = β' B mt β' T und B N Analog : Be der lnkslnearen Grammatk wrd das β = β' B durch β = B β' ersetzt Bespel ener regulären Grammatk nach der Defnton Y : Man nehme an, zu der Sprache = { a } { } b defnerte st mt = { a, σ' } L ( G) = L L exstert ene reguläre Grammatk G = ( N, T, P, σ) N, T = { a, b} und P = { σ aσ, σ σ', σ' σ' b, σ' ε}, welche Satz Z : Se X en Alphabet, dann exstert zu jeder regulären Sprache L X ene rechtslneare Grammatk G, führ de glt: L ( G) = L und umgekehrt Bewes : Der Bewes st untertelt n zwe Bewese für jewels ene Rchtung, also ener für und ener für Bewes für : Es se de Sprache X L regulär Dann exstert en endlcher determnstscher Akzeptor A = ( X, S, δ, s0, F ) mt der Egenschaft L = L( A) Bewesdee : Man konstruere ene Grammatk aus der Zustandsüberführungsakton δ De Zustandsüberführungsakton δ wrd also zur Grammatk Bewesführung: Es se ene Grammatk G = ( N, T, P, σ) defnert durch: N := S, T := X, σ := s 0 und P s xs' s, s' S : δ( s, x) Nun st zu zegen: L ( G) = L Es se en Wort L( G) w mt w = x1 xk, x X defnert s 0 w s0 x1s1 x1x s x1 x G { = s } { s ε s F} : = ' {,, k 1} : δ( s, x 1 ) s 1 und s F δ ( s, w) = s F w L( A) L 0 + = + k k 0 k = - 6 -

7 Theoretsche Informatk 1 Vorlesungsskrpt vom Fretag, 30 Jun 000 Bewes für : G = N, T, P, σ ene rechtslneare Grammatk Es se ( ) Bewesdee : Wr konstrueren enen nchtdetermnstschen Akzeptor A ( X S, δ, s, F ) Bewesführung: A X S, δ, s, F Es se = ( ) mt ( G) L( A), 0 L = defnert durch : { } =, 0 σ, α, falls σ ε P S : = N { α} mt α N, s0 := { σ} und F = { α}, falls σ ε P B δ( A, x), falls A xb P Des weteren gelten de folgenden Gesetzmäßgketen : α δ A, x, falls A x Nun soll gelten für n 1: En Wort w = x x mt X 1 n x st Element von ( G) L ( ) P Es exstert ene Folge von Nchttermnalsymbolen A1,, A n 1 für de glt: σ x1 A1 x1x A x1 xn 1An 1 x1 xn = w Es exstert ene Folge von Zuständen A1,, A n 1 mt A δ( σ, x1 ), A δ( A1, x ),, α δ( A n 1, x n ) L( A) w 1-7 -