Formelsammlung Aktien-, Zins- und Währungsderivate

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1 Formelsammlung Aktien-, Zins- und Währungsderivate

2 Susanne Kruse Formelsammlung Aktien-, Zins- und Währungsderivate

3 Susanne Kruse Hochschule Karlsruhe Karlsruhe, Deutschland ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Gabler Springer Fachmedien Wiesbaden 2015 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichenund Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Fachmedien Wiesbaden ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (

4 Vorwort Begleitend zu dem im gleichen Verlag erschienenen Lehrbuch Aklien-, Zins- und Währungsderivate - Märkte, Einsatzmäglichkeiten, Bewertung und Risikoanalyse soll mit dieser Formelsammlung den Lesern, darunter insbesondere Studierende und Praktiker in den Bereichen TreasuryJ Risikocontrolling und Innenrevision von Banken und Industrieuntemehmen, ein übersichtliches Nachschlagewerk der Formeln zur Bewertung und Risikoanalyse von Derivaten in die Hand gegeben werden. Hierbei konzentriert sich diese Formelsammlung nicht nur auf die im Lehrbuch dargestellten Formeln, sondern ergänzt das Lehrbuch hinsichtlich der dort aus didaktischen Gründen oftmals skizzierten Bewertungsideen. Bonn, September 2014 Susanne Kruse

5 Inhaltsverzeich nis Notations- und Abkiirzungsveneichni... XI Teil I Finanzmathematische Grundlagen 1 Grundprinzipien der Finanzmathematik und der Zinsrechnung... 2 Annahme des vollkommenen und vollständigen Finanzmarktes 2 Diskontfaktoren 2 Zinsrechnungskonventionen 3 Barwertberechnung 3 Risikoneutrale Bewertung nicht deterministischer Zahlungsströme von Derivaten 3 2 Bewertung von festverzinslichen Finanzinstrumenten... o Diskontfaktor- und Zinsstruktorkurve 6 Forward-Diskontfaktoren und Forward-Zer<>-Zinssätze 6 Bedingungen für die Arbitragefreiheit von Diskont- und Zinsstrukturkurven 6 Zinsstrukturkurven für unterschiedliche Bonitätsklassen Bewertung von Kuponanleihen 7 Berechnung der Kuponzahlung einer Kuponanleihe 7 Quotierung von Anleihen 7 Rendite (bis Fälligkeit) oder Yield to Maturity einer Kuponanleihe 7 Bewertung von Kuponanleihen in einem Kupontermin 7 Bewertung von Kuponanleihen mit Kreditrisiko in einem Kuponterrnin Floating Rate Notes 8 Berechnung der Kuponzahlung einer Floating Rate Note 8 Bewertung von Floating Rate Notes (Modell mit einer Zinskurve) in einem Kupontermin 8 Bewertung von Floating Rate Notes (Modell mit unterschiedlicher Diskont- und Forward-Kurve) in einem Kuponterrnin 9

6 VIII Inhaltsverzeichnis 3 Ermittlung von Zin trukturkurven Bootstrapping von KuponanIeihen 10 Bootstrapping von Floating Rate Notes im Fall unterschiedlicher Diskont- und Forward-Kurven 10 Interpolation von Zinssätzen 10 4 Risikoanalyse zin.tragender Finanzin.trumente Sensitivitätsanalyse festverzinslicher Finanzinstrumente 11 Sensitivitätsanalyse eines Zero Bonds 11 Sensitivitätsanalyse einer FestkuponanIeihe 12 Sensitivitätsanalyse einer FestkuponanIeihe unter der Annalune einer flachen Zinsstruktur 12 Sensitivitätsanalyse einer Floating Rate Note (Modell mit einer Zinskurve) 13 Teil 11 Forwards und Future. 5 Allgemeine. zu Forward- und Future-Ge.chäften Grundpositionen in Forwards und Futures 16 Ermittlung des fairen Forward-Preises und Bewertung eines Forward- und Future-Geschäftes 16 6 Aktienforwards und -future Ermittlung des fairen Forward-Preises einer Aktie und Bewertung von Aktienforwards 17 Risikoanalyse von Aktienforwards und -futures 18 7 Zin.forward. und -future i\nleiheforwards 19 Forwards auf Geldmarktgeschäfte 20 8 Devi.enforward. und -future Ermittlung der fairen Devisenterminkurse 21 Bewertung von Devisenforwards 21 Risikoanalyse von Devisenforwards 22

7 Inhaltsverzeichnis IX Teil III Swapo 9 Allgemeine. zu Swapge.chäften Bewertung eines Swapgeschäftes Equity Swap Bewertung von Equity Swaps 25 Risikoanslyse von Equity Swaps Zin wap Bewertung von Kupon.waps 26 Risikoanslyse von Kuponswaps Währung wap Bewertung von Währungsswaps 27 Risikoanalyse von Währungsswaps 27 Teil IV Optionen 13 Allgemeine. zu Option.ge.chäften Grundpositionen in Optionen 30 Generelle Analyse von Optionen 30 Grundlagen der Bewertung und Risikoanalyse von Optionen 31 Sensitivitätsanalyse von Optionen Aktienoptionen Allgemeine Bewertungsrelationen für Aktienoptionen Optionsbewertung im Binomialmodell von Cox, Ross und Rubinstein 32 Das einstufige Binomialmodell ohne Dividenden 32 Das einstufige Binomialmodell mit Dividenden 34 Bewertung europäischer Optionen im zweistufigen Binomialmodell 35 Bewertung amerikanischer Call-Optionen im zweistufigen Binomialmodell ohne Dividenden 36 Das mehrstufige BinomialmodeIl Bewertung europäischer Optionen im Modell von Black und Scholes 37 Annahmen im Black-Scholes-Modell 37 Bewertung europäischer Optionen im Black-Scholes-Modell 38 Zusammenhang Black-Scholes-Modell und Binomialmodell 38 Risikoanalyse von Aktienoptionen im Black-Scholes-Modell 39

8 X Inhaltsverzeichnis 15 Zinsoptionen Anleiheoptionen 41 Generelle Analyse von Anleiheoptionen 41 Risikoneutrale Bewertung von Anleiheoptionen nach dem Modell von Black Caps und Floors 42 Generelle Analyse von Caps und Floors 42 Risikoneutrale Bewertung von Caps und Floors nach dem Modell von Black Swaptions 44 Generelle Analyse von Swaptions 44 Risikoneutrale Bewertung von Swaptions nach dem Modell von Black45 16 Devisenoptionen Allgemeine Bewertungsrelationen für Devisenoptionen Bewertung von Devisenoptionen 47 Bewertung europäischer Devisenoptionen nach Garman und Kohlhagen 47 Risikoanalyse von Devisenoptionen im Modell von Garman und Kohlhagen 48 Normalverteilungstabelle... 51

9 Notations- und Abkürzungsverzeichnis a(o, t) BPV, BW BW kt C vergangene Zinstage einer Zinsperiode im Falle der Zinsrechnungskonvention 30/360 Basis Point Value der Zahlungen im Zeitpunkt t Barwert heutiger, aktueller Barwert Höhe der Kuponzahlungen einer Anleihe Betrag der Mittelanlage/-aufnalune der Handelsstrategie zur Absicherung einer Call-Option im Binomialmodell Betrag der Mittelanlage/-aufnalune der Handelsstrategie zur Absicherung einer Put-Option im Binomialmodell Co C(O) C(T) c(o, t) c,(o, t) c,(t, T) Co (0) c:t(t) Stückzinsen heutiger Preis einer Call-Option Auszahlungsprofil einer Call-Option zum Zeitpunkt T aktueller Kuponzins mit Laufzeit t aktueller Swap-Satz mit Laufzeit t aktueller Forward-Swap-Satz für einen Swap beginnend in t mit Laufzeit T - t heutiger Preis einer amerikanischen Call-Option Preis einer amerikanischen Call-Option mit Abwärtsbewegung zum Zeitpunkt t Preis einer amerikanischen Call-Option mit Aufwärtsbewegung zum Zeitpunkt t Preis einer Call-Option mit einfacher Abwärtsbewegung zum Preis einer Call-Option mit zweifacher Abwärtsbewegung zum

10 XII Notations- und Abkürzungsverzeichnis C"(O) C;(t) C!i(t) heutiger Preis einer europäischen Kaufoption Preis einer europäischen Call-Option mit Abwärtsbewegong zum Zeitpunkt t Preis einer europäischen Call-Option mit Aufwärtsbewegong zum heutiger innerer Wert einer CaII-Option Preis einer CaII-Option mit einfacher Aufwärtsbewegung zum Preis einer Call-Option mit Auf- und Abwärtsbewegung zum Preis einer Call-OpIion mit zweifacher Aufwärtsbewegung zum heutiger Wert eines Cross Currency Swaps aus Sicht des Fremdwährungszahlers CCSFX-R~cet"er(o) CF, CP(O) d heutiger Wert eines Cross Currency Swaps aus Sicht des Fremdwährungsempfängers Zahlungsstram eines Finanzinstrumentes in den Zeitpunkten t= l,...,t Oean Price einer Anleihe Abwärtsrendite Anzahl Tage im letzten Monat der Zinsperiode D(t) Wert des Derivates zum Zeitpunkt t spezielle Stellen der Normalverteilungsfunktion N(d) durch Aufwärtsrendite d definierter Derivatwert zum Zeitpunkt der Fälligkeit T durch Aufwärtsrendite u definierter Derivatwert zum Zeitpunkt der Fälligkeit T DF(O,t) DF(t,T) aktueller Diskontfaktor mit Laufzeit t Forward-Diskontfaktor von t bis T

11 Notations- und Abkürzungsverzeichnis XIII DFA(O,t) DF'(O,t) div Div(t), Div e E[... ] E[D(T)] E[U(T)] aktueller Diskontfaktor in der Auslandswährung mit Laufzeit t aktueller Diskontfaktor in der Inlandswährung mit Laufzeit t proportionale Dividendenrendite einer Aktie bzw. eines Aktienindex Dividendenzahlung einer Aktie zum Zeitpunkt t Eulersche Zahl Erwartungswert Erwartungswert einer zukünftigen Derivatauszahlung Erwartungswert eines zukünftigen Kurses des Basiswerts Wert eines Equity for Floating Swaps aus Sicht des Payers im Zeitpunkt t' Wert eines Equity for Floating Swaps aus Sicht des Receivers im Zeitpunkt t' EURIBOR F European Interbank Offered Rate vereinbarter Forward-Preis aktueller, fairer Forward-Preis einer Kuponanleihe für den Erfüllungszeitpunkt T aktueller, fairer Forward-Preis eines Zero Bonds für den Erfüllungszeitpunkt T Fs(T) Fs,(T) F.T/Z(T) s. F.T/Z(T) S,u Fu(T) Fx(t) aktueller, fairer Forward-Preis einer Aktie für den ErfüllungszeitpunktT Forward-Preis eines Aktienindex mit bekannter Dividendenrendite Forward-Preis einer Aktie zum Zeitpunkt T /2 mit Erfüllungszeitpunkt T im Falle der Abwärtsbewegung um d Forward-Preis einer Aktie zum Zeitpunkt T /2 mit Erfüllungszeitpunkt T im Falle der Aufwärtsbewegung um u aktueller, fairer Forward-Preis des Underlyings U mit Erfüllungszeitpunk T aktueller, fairer Terminwechselkurs für den Zeitpunkt T

12 XIV Notations- und Abkürzungsverzeichnis FICt) FRA FPS(O) FR(t,T) aktueller fairer Terrninwechselkurs in Mengennotierung für den ZeitpunktT Forward Rate Agreement heutiger Wert eines Forward Payer Swaps aktueller Forward-Zero-Zinssatz/fenninzinssatz für die Periode vontbis T FRROf(t,T),FRFwd(t,T) aktueller Forward-Zero-Zinssatz/fenninzinssatz aus der Zinsstruktur der Referenzzinssätze für die Periode von t bis T aktueller, linear verzinslicher Forward-Zinssatz für die Periode von tbist FRr(t,T) FRS(O) FSR(t, T) let) IRsPayor (0) IRSR~cet"er(o) ;(0, t) ;A(O, t) ;J(O, t) aktueller, stetiger Forward-Zins für die Periode von t bis T heutiger Wert eines Forward Receiver Swaps Forward Swap Rate für die Periode von t bis T Stand eines Aktienindex im Zeitpunkt t heutiger Wert eines Kuponswaps aus Sicht des Payers heutiger Wert eines Kuponswaps aus Sicht des Receivers lineare Rendite eines Zero Bonds mit Laufzeit t linearer Zinssatz in der Auslandswährung mit Laufzeit t linearer Zinssatz in der Inlandswährung mit Laufzeit t zum Zeitpunkt tarnmarkt vorliegender Referenzzins mit Laufzeit T - t bis zum Zeitpunkt T, k K Basiszinssatz (Strike) Basispreis/ Ausübungspreis einer Option heutiger Kurs einer Kuponanleihe heutiger Kurs der Auslandsanleihe KFRN(O) K/!i;/CO) heutiger Wert einer Floating Rate Note heutiger Wert einer Floating Rate Note mit Fälligkeit in T heutiger Kurs der Inlandsanleihe

13 Notations- und Abkürzungsverzeichnis xv heutiger Wert.mer Kuponanleihe mit Fälligkeit in T aktueller Wert.mer Kuponanleihe bzw. Floating Rate Note zur vorliegenden ZinBstruktur KSZO",(O) Klien(O) KzB(O),K1I'(O) K(t) KRD, In neuer Wert.mer Kuponanleihe bzw. Floating Rate Note in.mem kurzfristigen ZinBszenario neuer Wert eines Zero Bonds in einem kurzfristigen Zinsszenario aktueller Wert.mes Zero Bonds zur vorliegenden Zinsstruktur Wert einer Kuponanleihe zum Zeitpunkt t Key Rate Duration der Zahlungen im Zeitpunkt t natürlicher Logarithmus zur Basis e Anzahl Monate der Zinsperiode MD N n n(d),n'(d) N(d) Modified Duration Nominal, Nominalvolumen unterjährige Zinszahlungsfrequenz Dichte der Standardnorrnalverteilung Wert der Norrna1verteilungsfunktion an der Stelle d risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten im Binomialmodell pet) p.(t) Auszahlungsprom einer Put-Option zum Zeitpunkt T Preis einer Put-Option mit einfacher Abwärtsbewegung zum Preis einer Put-Option mit zweifacher Abwärtsbewegung zum heutiger Preis einer europäischen Put-Option heutiger innerer Wert einer Put-Option Preis einer Put-Option mit einfacher Aufwärtsbewegung zum p.. (t) Preis einer Put-Option mit Auf- und Abwärtsbewegung zum Preis.mer Put-Oplion mit zweifacher Aufwärtsbewegung zum

14 XVI Notations- und Abkürzungsverzeichnis PS(O) PS(t) r r(o, t) Barwert einer Payer Swaption Auszahlungsprofil einer Payer Swaption im Fälligkeitszeitpunkt t stetiger Zins einer flachen Zinsstruktur aktueller, stetiger Zins mit der Laufzeit t stetiger Zinssatz in Fremd- bzw. Eigenwährung RS(O) RS(t) s S(O) s(o, t) Set) heutiger Barwert einer Receiver Swaption Auszahlungsprofil einer Receiver Swaption im Fälligkeitszeitpunktt SpreadlQuoted Margin/Zinsaufschlag heutiger Aktienkurs laufzeitabhängiger Kreditrisikospread mit Laufzeit t Aktienkurs zum Zeitpunkt t Aktienkurs mit einfacher Abwärtsbewegung zum Zeitpunkt t Aktienkurs mit zweifacher Abwärtsbewegung zum Zeitpunkt t SI(O) Su(t) Sud(t) Suuet) Aktienindex mit bekannter Dividendenrendite Aktienkurs mit einfacher Aufwärtsbewegung zum Zeitpunkt t Aktienkurs mit Auf- und Abwärtsbewegung zum Zeitpunkt t Aktienkurs mit zweifacher Aufwärtsbewegung zum Zeitpunkt t Zeitpunkte T Laufzeit/Fälligkeit eines Kontraktes Fälligkeitszeitpunkt einer Anleihe Zeitpunkt der Kuponzahlungen einer Anleihe u U(O) U(t) Aufwärtsrendite heutiger Wert eines Underlying Wert eines allgemeinen Basiswertes (Underlying) eines Derivates zum Zeitpunkt t

15 Notations- und Abkürzungsverzeichnis XVII Ud(T) Uu(T) V Vc V p W(t) X(O) X M (0) y z zen, t) ZC'HDlT(O,t) zfwd(o,l) zn(o, t) durch Abwärtsrendite d definierter Basiswert (Underlying) zum Zeitpunkt der Fälligkeit T durch Aufwärtrendite u definierter Basiswert (Underlying) zum Zeitpunkt der Fälligkeit T Vega,Optionssensitivität Vega einer Call-Option Vega einer Put-Option Brownsche Bewegung aktueller Wechselkurs in Preisnotierung aktueller Wechselkurs in Mengennotierung Rendite bis Fälligkeit (Yield to Maturity) einer Kuponanleihe exponentieller NuIIkuponzins einer flachen Zinsstruktur aktueller, exponentieller Nullkuponzins mit Laufzeit t aktueller, exponentieller NuIIkuponzins unter Berücksichtigung des Kreditrisikos mit Laufzeit t Terminzinssatz der Forward-Kurve aktueller, exponentieller NuIIkuponzins mit Zinszahlungsfrequenz n und Laufzeit t p, Interpolationsparameter bei der Zinsstrukturschätzung durch die Bundesbank!J,.dabsBW!J,.b,CCSFX-P y<r(o).dabsccsfx-receil1fjt(o)!j,.b,k(o)!j,.b,kzb(o)!j,c Delta, Sensitivität bzgi. des Basiswertes absolute Barwertänderung absolute Wertänderung eines Währungsswaps aus Sicht des Fremdwähxtungszahiers absolute Wertänderung eines Währungsswaps aus Sicht des Fremdwährungsempfängers absolute Wertänderung einer Kuponanleihe absolute Wertänderung eines Zero Bonds Delta einer Call-Option

16 XVIII Notations- und Abkürzungsverzeichnis II~(K) = x, normalisiertes Call-Delta Delta eines Devisenforwards Delta einer Put-Option Delta eines Portfolios relative Wertänderung einer Kuponanleihe IIbp, IIt liy IIz(O, t) Zinsänderung für die Laufzeit tinbasispunkten ausgedrückt Länge einer Periode Änderung der Yield to Maturity Änderung des aktuellen Zero-Zinssatzes in Prozent Investitionsbetrag in den Basiswert zum Bewertungszeitpunkt t=o Investitionsbetrag im Rahmen der Handelsstrategie im BinomialmodelI in den Basiswert eines Calls bzw. Puts zum Bewertungszeitpunkt t = 0 1 Gamma, Optionssensitivität Gamma einer Call-Option Ip Gamma einer Put-Option Theta, Optionssensitivität Theta einer Call-Option Theta einer Put-Option q n SchwankungsmaßN olatilität eines Basiswertes Interpolationsparameter bei der Zinsstrukturschätzung durch die Bundesbank Omega, prozentuale Änderung des Optionswertes bzgl. prozentualer Änderungen des Basiswertes