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1 Marin Nell, Philipp Pohl Werorieniere Seuerung von Lebensversicherungsunernehmen miels sochasischer Prozesse Working Papers on Risk and Insurance Hamburg Universiy No 5 November 5 Tor zur Wel der Wissenschaf

2 Marin Nell, Philipp Pohl Werorieniere Seuerung von Lebensversicherungsunernehmen miels sochasischer Prozesse No 5 November 5 ISSN Prof. Dr. Marin Nell, Universiä Hamburg, Insiu für Versicherungsberiebslehre, Von-Melle-Park 5, 46 Hamburg, Tel.: , Fax: , marin.nell@rrz.uni-hamburg.de. Philipp Pohl, Universiä Hamburg, Insiu für Versicherungsberiebslehre, Von-Melle-Park 5, 46 Hamburg, Tel.: , Fax: , philipppohl@web.de.

3 Marin Nell, Philipp Pohl Werorieniere Seuerung von Lebensversicherungsunernehmen miels sochasischer Prozesse Absrac In dieser Arbei wird das Konzep einer werorienieren Seuerung von Lebensversicherungsunernehmen basierend auf sochasischen Prozessen vorgesell. Dabei werden die sochasischen Prozesse dazu verwende, die zufälligen werbesimmenden Parameer der Unernehmensbewerung zu modellieren. Als Ergebnis erhäl man für den Unernehmenswer Vereilungsfunkionen, die approximaiv bzw. exak in der Klasse der Normalvereilungen liegen. Berache werden dabei sochasische Prozesse in diskreer bzw. seiger Zei und mi diskreem bzw. seigem Zusandsraum.

4 . Einleiung Nach dem gravierenden Einbruch der Kapialmärke in den vergangenen Jahren is das Webewerbsumfeld, in dem Lebensversicherungsunernehmen agieren, durch zunehmenden Kosendruck gepräg. In dieser Siuaion is ein eindeuig ausgerichees und klar messbares Insrumenarium für die Unernehmensseuerung unverzichbar. Ein solches Konzep wird mi der werorienieren Seuerung von Versicherungsunernehmen zur Verfügung gesell. Dabei komm der Schäzung zukünfiger finanzieller Überschüsse, die insbesondere auch von zufälligen Rahmenbedingungen abhängen, eine große Bedeuung zu. Die bisherigen Ansäze der werorienieren Seuerung von Versicherungsunernehmen gehen von deerminisischen Planungsrechnungen und dami von Punkschäzungen für den daraus abgeleieen Unernehmenswer aus. 3,4,5 Der in diesem Aufsaz vorgeselle grundlegend neue Ansaz modellier die Planungsrechnung auf Basis eines sochasischen Prozesses, also durch zufällige werbesimmende Parameer. 6 Als Konsequenz erhäl man für den Unernehmenswer eine Wahrscheinlichkeisvereilung. Das zenrale Ergebnis des Aufsazes is, dass diese Vereilung abhängig vom zu Grunde liegenden sochasischen Prozess approximaiv bzw. exak durch eine Normalvereilung beschrieben werden kann. Darüber hinaus wird erläuer, wie dieses Ergebnis auch auf Unernehmen anderer Branchen überragen werden kann. Der Aufsaz glieder sich wie folg: Zuers wird im folgenden Abschni der Cashflow eines Lebensversicherungsunernehmens als enscheidende Größe der werorienieren Rappapor, A. (995), S. 55 leie den für die Unernehmensbewerung relevanen Cashflow für Unernehmen beliebiger Branche explizi her. Olezky, T. (998) zeig, wie das Konzep der werorienieren Seuerungen für Versicherungsunernehmen in der Theorie zum Tragen komm. Olezky, T. / Pohl, P. (4) erläuern die Einführung der werorienieren Seuerung von Versicherungsunernehmen in der Praxis. Sochasische Prozesse kommen in der Schadenversicherung insbesondere für die Besimmung von Ruinwahrscheinlichkeien zum Einsaz, vgl. ewa Cai, J. / Dickson, D. (4), S , sind aber für die Werermilung von Versicherungsunernehmen sowie von Unernehmen anderer Branchen bisher nich verwende worden.

5 3 Seuerung aus akuarieller Sich analysier und als wesenliche Einflussparameer die Neoverzinsung, die Kosen und das Serblichkeisrisiko diskuier. Diese Parameer werden daraufhin im drien Abschni als sochasische Prozesse modellier und über die Cashflows Vereilungen des Unernehmenswers abgeleie. Dabei sollen Prozesse sowohl in diskreer bzw. seiger Zei als auch mi diskreem bzw. seigem Zusandsraum berache werden. Im abschließenden vieren Abschni erfolg ein Ausblick auf weiere mögliche beriebswirschafliche Anwendungen und ihre mahemaische Modellierung.. Akuarielle Analyse der Cashflows Das Ziel einer werorienieren Unernehmenseuerung beseh in der Maximierung des Markweres des Eigenkapials (Shareholder Value). 7 Dies bedeue, dass alle Managemenenscheidungen vor dem Hinergrund geroffen werden, den Markwer des Eigenkapials zu erhöhen. Dami is in eindeuiger Weise fesgeleg, ob Invesiionsvorhaben überhaup durchgeführ und in welcher Reihenfolge sie priorisier werden. Die zenrale Formel zur Ermilung des Shareholder Value, die zur werorienieren Seuerung verwende wird, is gegeben in der Form des folgenden Ausdrucks: EK = CF T T = i i= i= RW ( k ) ( k ) T i NBV 8, () wobei: EK: Wer des Eigenkapials, T: Prognosezeiraum (Anzahl der Perioden), 7 8 Vgl. Albach, H. (), S Da sich der Reswer zu edem Zeipunk aus der Summaion der noch aussehenden diskonieren Cashflows ergib, kann er in der Formel weggelassen werden, wenn dafür die Summaion der Cashflows bis unendlich durchgeführ wird. Das nich-beriebsnowendige Vermögen wird für die weieren Berachungen unerheblich sein, so dass wir es als null voraussezen wollen.

6 4 CF : Cashflow der Periode, k : Kapialkosen der Periode, RW T : Reswer des Bewerungsobeks am Ende des Prognosezeiraums, NBV: Wer des nich-beriebsnowendigen Vermögens 9. Wir werden die Überschüsse mi Hilfe der Konribuionsformel darsellen und darauf aufbauend den für die werorieniere Seuerung relevanen Cashflow aus dem einzelnen Verrag ableien. Anschließend wird als weiere Komponene der werorienieren Seuerung der Cashflow aus der Eigenkapialunerlegung, die zum Bereiben des Versicherungsgeschäfs nowendig is, hergeleie... Cashflows aus dem einzelnen Versicherungsverrag Wir berachen zunächs die für alle =,..., m gülige Äquivalenzgleichung V B = v q x T L β B γ S v p x V, wobei B : Prämienzahlung der Periode, L : Erlebensfallleisung der Periode, T : Todesfallleisung der Periode, S: Versicherungssumme, V : ausreichende Deckungsrücksellung der Periode, β, γ : Verwalungskosensäze der Periode, 9 Die Formel gib die Berechnung des Shareholder Value im Equiy-Ansaz wider. Im Eniy-Ansaz werden dagegen die den Eigen- und Fremdkapialgebern zusehenden Überschüsse berache und anschließend der Wer des Fremdkapials zum Abzug gebrach. Vgl. Heller, U. (), S. 34.

7 5 p x : einährige Überlebenswahrscheinlichkei eines x-jährigen, q x : einährige Todeswahrscheinlichkei eines x-jährigen und v : Diskonierungsfakor mi Neoverzinsung i der Periode. Dabei beschreib die linke Seie der Gleichung die dem Versicherungsunernehmen zusehenden Erräge, die reche Seie der Gleichung die dem Versicherungsunernehmen ensehenden Aufwendungen. Nach dem Äquivalenzprinzip müssen die beiden Seien gleich sein. Durch eine einfache Umformung erhäl man den Gewinn in der Form wie er in Abbildung dargesell is: G = = ( V B ) i ( V B ) q T L ( β B γ S) i ( L β B γ S) B { ( ) ( ) ( ) ( ) q x T L β B γ S i V B L β B γ S V p x V Pr ämie = E A Versicherungsleisung x 443 Kosen Zinserrag p x V, Änderung Deckungsrücksellung wobei E : asächliche Erräge der Periode, A : asächliche Aufwendungen der Periode, β, γ : asächliche Verwalungskosensäze der Periode, p x : asächliche einährige Überlebenswahrscheinlichkei eines x-jährigen, q x : asächliche einährige Todeswahrscheinlichkei eines x-jährigen und i : asächliche Neoverzinsung der Periode.

8 6 Aufbauend auf der Äquivalenzgleichung kann der Gewinn als Summe aus G ( i i )( V ( β ) B L γ S) ( q )( T V ) q x x (( β β ) B ( γ γ ) S)( i ) Zinsgewinn Risikogewinn () Kosengewinn dargesell werden. Diese Darsellung wird als Konribuionsformel bezeichne. Da für die werorieniere Seuerung die Cashflows des Unernehmens relevan sind, wollen wir aufbauend auf der soeben durchgeführen Errags- bzw. Aufwandsrechnung diese Zahlungsüberschüsse herleien. Dabei sind die Prämien, die Versicherungsleisungen und die Kosen per se zahlungswirksame Errags- bzw. Aufwandsposiionen. Gleiches gil für die Zinserräge des Versicherungsunernehmens. Da in die Berechnung der Cashflows weierhin die Zusazinvesiionen in das Anlage- und Umlaufvermögen einfließen, wird die Veränderung der Deckungsrücksellungen auch als nich zahlungswirksamer Aufwand zum Abzug gebrach, da ihr auf der Akivseie durch den Kauf von Werpapieren genau eine Zusazinvesiion ensprich. Dami ensprich der für die werorieniere Seuerung berachee Cashflow im Wesenlichen der in Gleichung () hergeleieen Überschussgröße. Anpassungen sind lediglich für die Zuführung zur Rücksellung für Beiragsrückersaung und der Seuerlas vorzunehmen. Die Konribuionsformel in der hier verwendeen Form finde sich in Heller, U. (), S. 34. Ähnliche Darsellungen der Konribuionsformel sind in Milbrod, H. / Helbig M. (999), Kap. und Wolfsdorf, K. (997), S. 55 hergeleie. Zu diesem Ergebnis komm auch Olezky, T. (998), S.6.

9 7 Wir erhalen also für den Unernehmenswer aufgefass als Werzuwachs bzw. Wervernichung für einen einzelnen Versicherungsverrag als geschlossenen Ausdruck UW Verrag T D x = ( SeuerQuoe )( RfBQuoe ) G, (3) D = x wobei x x = l xv diskoniere Zahl der asächlich Lebenden und D v = Diskonierungsfakor mi zugehörigen Eigenkapialkosen k EK. EK k Für diese Darsellung wurde lediglich auf die Gleichung () zurückgegriffen und der Sachverhal eingearbeie, dass nur noch ein im Besand befindlicher Verrag einen Werbeirag generieren kann. Die Planungsdauer T ensprich der Versicherungsdauer m. Berachen man die RfB-Quoe, so müsse man sreng genommen diese wie folg definieren: RfB Quoe ca.9% = % falls G falls G <. Nach 56a VAG is edoch das Versicherungsunernehmen berechig, mi Zusimmung der Aufsichsbehörde in Ausnahmefällen die Rücksellung für Beiragsrückersaung, sowei sie nich auf bereis fesgelege Überschussaneile enfäll, im Ineresse der Versicheren zur Abwendung eines Nosandes heranzuziehen. Wir können also auch für negaive RfB Quoe G annehmen. Ausschüung in Höhe von ( ) G eine Die Seuerquoe ergib sich als Aneil der vom Unernehmen zu zahlenden Erragsseuern bezogen auf den Vorseuergewinn. Dabei kann auf Grund der Lineariä der Seuerquoe ein Verlus und eine dami zusammenhängende negaive Seuerzahlung im Sinne

10 8 der Zusammenführung der Einzelverräge als wechselseiige Verrechnung der einzelnen Seuerzahlungen aufgefass werden. 3.. Cashflows aus der Unerlegung von Eigenkapial Um die eben hergeleieen Cashflows generieren zu können, muss das Versicherungsunernehmen ausreichend Eigenkapial bereisellen. 4 Für dieses Eigenkapial muss die von den Kapialgebern gefordere Verzinsung erwirschafe werden. Berücksichig man, dass das eingeseze Eigenkapial seuerpflichige Zinserräge erwirschafe, ergib sich als diskonierer Cashflow EK T ( Seuer ) i Quoe EK EK EK EK = ( k ) ( k ) T. Es wird unersell, dass das Versicherungsunernehmen das zur Verfügung sehende Eigenkapial am Kapialmark zur Anlagerendie i invesieren kann. Dabei is zu beachen, dass das Kapialanlageporefeuille von Lebensversicherern schon auf Grund der Kapialanlagevorschrifen zu einem großen Teil aus fesverzinslichen Werpapieren mi geringem Ausfallrisiko beseh. Daher is die Anlagerendie i grundsäzlich niedriger als die von den Kapialgebern gefordere Eigenkapialrendie, so dass der diskoniere Cashflow einen negaiven Wer annimm. Es bleib die Frage nach der Höhe des nowendigen Eigenkapials. Dieses definieren wir gemäß den gesezlichen Solvabiliäsbesimmungen als vorgeschriebenen Prozensaz der 3 Als Seuern auf Unernehmensebene sind die Gewerbeerrag- sowie die Körperschafseuer zu beachen. Auf Grund der Abzugsfähigkei der Körperschaf- von der Gewerbeerragseuer ergib sich die Seuerquoe zu Seuer = KöS Gews ( KöS ). Quoe Quoe Quoe Quoe 4 Auch Olezky, T. (998), S. 9 sell fes, dass der Wer der Eigenkapialunerlegung mi in die Verragsbewerung einfließen muss.

11 9 Deckungsrücksellungen und des Risikokapials der Periode. 5 Wir erhalen also eweils zum Ende der Perioden =,..., = T die Eigenkapialbasis ( V ),,4 V,3( S V ),...,,4 V,3( S V ),.,4 Vx,3 S x x x T x T x Der Cashflow berechne sich dami uner Beachung von Verzinsung und Veränderung des Eigenkapials zu UW Eigenkapial = T = Δ ( SeuerQuoe ) i EK ( k ) EK = T = v Δ ( Seuer ) i EK, { Quoe Zuführung neues EK Verzinsung vorhandenes EK wobei Δ : = EK EK die Veränderung des Eigenkapials in Periode und EK : = EK T : =. Nach diesen Vorarbeien sind wir in der Lage, den Unernehmenswer im Sinne einer Buom-up-Planung für die werorieniere Seuerung eines Lebensversicherungsunernehmens genauer zu unersuchen. Dabei is der Unernehmenswer als UW = UW Verrag UW Eigenkapial definier. 6 5 Alernaiv kann man argumenieren, dass die gesezliche Solvabiliässpanne eine Unergrenze darsell und von Lebensversicherern, die am Mark besehen wollen, wei überroffen werden muss. Dann würde sich anbieen, ein Vielfaches der Solvabiliässpanne als nowendige Eigenkapialunerlegung anzusezen. An der grundsäzlichen Argumenaion änder sich hierdurch edoch nichs. 6 Olezky, T. (998), S. 5 komm zu einem äquivalenen Ergebnis, wobei dieses Ergebnis über beriebswirschafliche und nich wie hier über akuarielle Schlussweisen hergeleie wird.

12 Die vorangegangenen heoreischen Überlegungen werden nun in Abbildung exemplarisch aufgezeig. Dabei werden die Überschüsse auf Basis eines Versicherungsverrags, der Leisungen in Höhe von. GE im Todes- und Erlebensfall für einen 3-ährigen männlichen Versicherungsnehmer vorsieh, in einer Plan-GuV- Rechnung dadurch erwirschafe, dass die Rechnungsgrundlagen zweier Ordnung von denen erser Ordnung im posiiven Sinne abweichen. Ebenfalls is die nowendige Eigenkapialunerlegung in diesem Modell dargesell. Der Unernehmenswer ergib sich durch die Diskonierung und Summaion der ensprechenden Überschüsse. = = = = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 = GuV Ende Beirag 946,7 944,87 943,48 94,8 94,6 939,7 937,43 935,68 933,8 93,78, Leisung Leben,,,,,,,,,, -9.83,64 Leisung Tod -4,76-4,74-4,85-5,44-6,3-7,34-8,5-9,85 -,38-3,8, Kosen bea -9,46-9,45-9,43-9,4-9,4-9,39-9,37-9,36-9,34-9,3, Kosen gamma,,,,,,,,,, -49, Änderung Deckungskapial -97,96-94,83-966,3-99,8 -.5,73 -.4, -.66,9 -.93,8 -.9, ,8 9.9,88 Zins 6,8 73,,97 7,7 8,48 63,8 38,3 355,7 43,5 465,48,33 Überschuss 3,89 5,86 74,94 97, 7,64 35,5 5,94 69, 86,49 7,95 5,45 Formel 3,89 5,86 74,94 97, 7,64 35,5 5,94 69, 86,49 7,95 5,45 Veränderung Eigenkapial -49,96-34,85-35,75-36,66-37,58-38,5-39,48-4,45-4,43-4,43 397, Verzinsung Eigenkapial,,73 3, 4,6 5,5 6,68 7,84 9,7,3,9 3, Überschuss -49,96-33, -3,75-3,4-3,8-3,84-3,64-3,38-3,3-3,5 4,3 Formel -49,96-33, -3,75-3,4-3,8-3,84-3,64-3,38-3,3-3,5 4,3 Eigenkapial 49,96 84,8,56 57, 94,8 33,3 7,8 33,4 354,68 397,, Solvabiliäskomponene,58 59,5 97,9 37,53 78,6 9,8 6,48 36, 35, 396,88, Solvabiliäskomponene 8,38 5,56,66 9,69 6,64 3,5,3 7,3 3,67,3, Deckungskapial 539,45.48,8.447, , , ,4 6.56, , ,6 9.9,88, Abbildung : Darsellung der Überschüsse 3. Sochasische Prozesse zur Modellierung des Cashflows Nachdem wir den Jahresüberschuss eines Lebensversicherungsunernehmens analysier und darauf aufbauend die relevanen Cashflows für die werorieniere Seuerung abgeleie haben, soll nun erläuer werden, welche der den Überschuss besimmenden Parameer miels eines sochasischen Prozesses modellier werden können. Dazu führen wir zunächs einen sochasischen Prozess ein.

13 Definiion (Sochasischer Prozess) Es seien ( Ω, Α) und (,Σ) T X : Ω S, X = ( X ) T Prozess bezüglich (, Α,S, Σ,T) S Messräume sowie T R eine Parameermenge. Weier sei eine Familie von Funkionen. Dann heiß X sochasischer diskreer sochasischer Prozess. Ω, falls T X messbar is. Is S diskre, so heiß X Alle sochasischen Prozesse lassen sich über einen diskreen bzw. seigen Zei- bzw. Zusandsraum eindeuig klassifizieren. Gemäß dieser Eineilung wollen wir im weieren Verlauf die möglichen Modelle diskuieren. Eine wichige Klasse sochasischer Prozesse sind dieenigen, deren Zusand zur Zei lediglich vom Zusand zur Zei - und nich von weieren vergangenen Zusänden abhäng. Formal läss sich dieser Sachverhal wie folg definieren. Definiion (Markoveigenschaf) 7 Es sei X ( X ) T = ein diskreer sochasischer Prozess. X besiz die Markoveigenschaf, falls n ℵ P ( X = i,..., X = i ) P X,,..., mi > <... <, i,..., i S : ( = i X = i,..., X = i ) = P( X = i X = i ). n n n n n n n n n n n n n Leg man als Zusandsraum die naürlichen bzw. reellen Zahlen zu Grunde und definier die gewünschen Randvereilungen des sochasischen Prozesses, so exisier im Allgemeinen ein Wahrscheinlichkeismaß auf einem Grundwahrscheinlichkeisraum, so dass der sochasische Prozess genau die vorgegebenen Randvereilungen besiz. 8 Wir können also 7 Diese Definiion gil nur für diskree sochasische Prozesse. Eine allgemeinere Definiion für sochasische Prozesse mi seigem Zusandsraum finde sich in Siegliz, M. (998), S Leg man eine Menge S als merisierbar, vollsändig und mi abzählbarer opologischer Basis zu Grunde man beache, dass die reellen Zahlen diesen Eigenschafen genügen, berache eine proekive Familie (P J ) von Wahrscheinlichkeismaßen und definier (X ) als eindimensionale Proekionen, so gib es genau ein Wahrscheinlichkeismaß P, so dass X ein sochasischer Prozess bezüglich P is und die Proekionen nach J

14 alle gewünschen Eigenschafen des sochasischen Prozesses feslegen und haben die Gewisshei, dass aus maßheoreischer Sich ein solcher Prozess auch exisier. Berachen wir nun die Neoverzinsung, die als der enscheidende Parameer den Jahresüberschuss eines Lebensversicherungsunernehmens beeinfluss, 9 so können wir die Neoverzinsung des Geschäfsahres als Neoverzinsung des Geschäfsahres - und einer zufälligen Änderungsgröße auffassen. Diese Änderungsgröße wiederum fass die Veränderung der Rahmenbedingungen, also insbesondere die Veränderung der Rendien von Akien und fesverzinslichen Werpapieren, zusammen. Somi läss sich die Neoverzinsung als sochasischer Prozess modellieren. Weierhin wollen wir die Neoverzinsung des Jahres nur von der Neoverzinsung des Jahres - und nich von weieren Jahren abhängen lassen, so dass der sochasische Prozess die Markoveigenschaf besiz. Die Kosen, die als weierer Parameer den Jahresüberschuss beeinflussen, können mi ähnlichen Überlegungen als sochasischer Prozess modellier werden. Dabei lassen wir uns von der Vorsellung leien, dass die Kosen des akuellen Geschäfsahres auf den Kosen des Vorahres basieren und durch eine zufällige Änderungsgröße angepass werden. Diese Änderungsgröße kann enweder als auf Grund gesezlicher Vorgaben oder markwirschaflicher Begebenheien nowendige, also vom Managemen in Ar und Höhe nur beding beeinflussbare Kosenseigerung oder als beabsichige aber in ihrer Höhe nich exak besimme Kosensenkung aufgefass werden. Dabei beseh eine gewisse Asymmerie in diesen beiden Ausprägungen: Kosenseigerungen werden im Allgemeinen von der Unernehmensführung nur als Begleierscheinungen sraegischer Invesiionsvorhaben in Kauf genommen und haben überwiegend sochasischen Charaker, Kosensenkungen dagegen werden explizi eingeleie. Die Realisierung und dami die asächliche Höhe der Kosensenkung bleib edoch in der Regel zufälliger Naur. Somi läss sich die Kosenenwicklung als sochasischer Prozess abbilden, von dem wir zusäzlich annehmen, dass er die Markoveigenschaf aufweis. angewand auf P gerade den endlich dimensionalen Vereilungen P J ensprechen. Dabei werden das Wahrscheinlichkeismaß P der proekive Limes der (P J ) und der sochasischer Prozess (X ) der zu (P J ) gehörige kanonische sochasische Prozess genann. Den Beweis dieser Aussage finde man in Bauer, H. (99) S. 37.

15 3 Als leze Einflussgröße haben wir schließlich das Serblichkeisrisiko kennen gelern. Dieses is für edes Ausscheideahr individuell gegeben. Auch hier wäre es denkbar, für die Enwicklung eines eden Ausscheiderisikos einen sochasischen Prozess zu unersellen. Insbesondere in der Renenversicherung sell bekannlich die immer höhere Lebenserwarung genau ein solches Problem dar. Über eine geeignee Klassifizierung der Ausscheidealer und homogene Prozessverläufe innerhalb dieser Klassen könne man die asächliche Ausscheidewahrscheinlichkei des Jahres als Ausscheidewahrscheinlichkei des Jahres - und einer zufälligen (aus Sich des Versicherungsunernehmens in die negaive Richung wirkende) Veränderung modellieren. Auf Grund der hohen Komplexiä für ede Klasse müsse ein adäquaer sochasischer Prozess gefunden werden und des vergleichsweise niedrigen Beirags des Risikogewinns zum Cashflow soll im Weieren auf eine Unersuchung der Ausscheidewahrscheinlichkeien verziche werden. Darüber hinaus is es auch möglich, die Ausscheidewahrscheinlichkeien und den dami zusammenhängenden Zahlungssrom des Versicherungsunernehmens an den Kunden als Realisierung einer Zufallsvariablen zu modellieren. Dami haben wir alle Wereparameer diskuier, die nach der Konribuionsformel den Überschuss eines Lebensversicherungsunernehmens besimmen. Im weieren Verlauf wollen wir nun differenzier nach den einzelnen Klassen der sochasischen Prozesse die Einflussgrößen Neoverzinsung und Kosen im Hinblick auf den Jahresüberschuss und darauf aufbauend den Unernehmenswer eines Lebensversicherungsunernehmens unersuchen. Dabei werden wir uns von der zenralen Frage leien lassen, ob die hergeleieen Vereilungen für den Unernehmenswer in einer vorgegebenen Klasse von Vereilungen liegen. Sysemaisch werden wir dabei einerseis die Einflussgrößen Neoverzinsung und Kosen, 9 Vgl. Heller, U. (), S. 3. Sanders, D. (968), S. 393f. sell einen Ansaz für eine sochasische Enwicklung der Ausscheidewahrscheinlichkeien mi Auswirkungen auf die Gewinn- und Verlusrechnung eines Lebensversicherungsunernehmens vor. Es wäre darüber hinaus auch möglich, die Eigenkapialkosen des Lebensversicherungsunernehmens als sochasischen Prozess zu modellieren. Wir wollen diese aber als vom Kapialmark vorgegebene Größe berachen und uns auf die Parameer der Konribuionsformel konzenrieren. Goldsein, A. / Markowiz, B. (98) S und Levine, K. (973) S sellen Modelle für die Geschäfsenwicklung eines Lebensversicherers vor und unersuchen die unerschiedlichen Einflussgrößen auf die Gewinn- und Verlusrechnung. Dabei werden die Parameer als Realisierungen von einzelnen Zufallsvariablen modellier und nich auf Basis eines sochasischen Prozesses.

16 4 andererseis die verschiedenen Klassen der sochasischen Prozesse unersuchen. Es wird sich zeigen, dass die vorgegebene Klasse von Vereilungen bzw. Dichefunkionen das Aussehen : = f : R R f ( x; μ, σ) = exp σ π ( x μ) Φ σ besiz, also genau aus den Normalvereilungen mi Parameern μ und σ beseh. Dabei werden wir zuers die unerschiedlichen Geschäfsverläufe mi zugehörigen Cashflows simulieren und die so gewonnenen Unernehmenswervereilungen miels einer Maximum- Likelihood-Schäzung anpassen. Daraufhin werden wir fessellen, dass bei hinreichenden Voraussezungen an den sochasischen Prozess die Unernehmenswervereilung auch exak heoreisch hergeleie werden kann. 3.. Prozesse in diskreer Zei und mi diskreem Zusandsraum In diesem Abschni soll zunächs ein sochasischer Prozess in diskreer Zei und mi diskreem Zusandsraum, der so genanne Randomwalk, eingeführ und dieser als Grundlage zur Simulaion der ensprechenden Unernehmenswervereilung berache werden. Diese Vereilung wollen wir daraufhin miels einer Maximum-Likelihood-Schäzung weier analysieren. Dabei sollen sowohl Ergebnisse hinsichlich einer sochasischen Neoverzinsung als auch einer sochasischen Kosenenwicklung unersuch werden Der Randomwalk Wir berachen zunächs als sochasischen Prozess den so genannen Randomwalk. Dieser is gegeben durch die Vorschrif, dass der Prozess zum Zeipunk im Zusand sare und dann eweils pro Zeieinhei einen Schri nach oben mi Wahrscheinlichkei p bzw. nach unen mi Wahrscheinlichkei -p machen kann. Im weieren Verlauf wird das Jahr in k ℵ Abschnie eingeeil denkbar sind hier k = 4 (vierelährlich) oder k = (monalich).

17 5 Wir erweiern die Definiion des Randomwalk dahingehend, dass die Schriweie des Prozesses nich sondern d R beräg. Dami läss sich der Prozess in der Gesal X = und X k = dy für k =, wobei {,} Y k =,... unabhängige Zufallsvariablen mi P( Y = ) = p darsellen. Die Neoverzinsung zum Zeipunk wird als eine von diesem sochasischen Prozess generiere Größe aufgefass. Das bedeue, dass wir, ausgehend von einem gewissen Sarniveau i, die neue Neoverzinsung durch über ein Jahr berache k zufällige Änderungen erhalen. Formal dargesell ergib sich I : = i X k =,,.... Dami gil I = i ( X X k ) = I ( X k X ( ) k ) X = I dy = i ( ) k k ( ) = k ( ) k k = dy. Der Erwarungswer von I is gegeben durch EI k k = i E dy i = de = = = k ( Y ) = i d( p ) = i kd( p ) =,,.... Die so modelliere Neoverzinsung wird verwende, um die für die werorieniere Seuerung relevanen Überschüsse nach der Konribuionsformel () zu ermieln. Dafür

18 6 wurde auf Basis der akuariellen Grundlagen ein Excelmodell enwickel, dass die ensprechenden Geschäfsverläufe simulier. Die als Ergebnis dieser Simulaion erhalene Vereilung für den Unernehmenswer is in Abbildung dargesell. Neben der Neoverzinsung kann auch die Kosenenwicklung mi Hilfe des Randomwalk modellier werden. Dazu sezen wir β : = β X k =,,.... Erneu ergeben sich die relevanen Überschüsse aus der Konribuionsformel (). Die simuliere Unernehmenswervereilung is in Abbildung 3 gezeig Ergebnisse der Simulaion Häufigkeisvereilung der simulieren Unernehmenswere ,56-3,3 -,7 -,83-9,59-8,34-7, -5,86-4,6-3,37 -,3 -,88,36,6,85 4,9 5,33 6,58 7,8 9,6,3,55,79 4,4 5,8 6,5 Abbildung : Unernehmenswervereilung bei sochasischer Neoverzinsung

19 7 Häufigkeisvereilung der simulieren Unernehmenswere ,3-4,63-3,3 -,83 -,43-9,3-7,63-6,3-4,83-3,43 -,3 -,63,77,7 3,57 4,97 6,37 7,77 9,7,57,97 3,37 4,77 6,7 7,57 8,97 Abbildung 3: Unernehmenswervereilung bei sochasischer Neoverzinsung und sochasischer Kosenenwicklung Berache man die Abbildungen genauer, so is feszusellen, dass die Vereilungen von der Srukur her in die Klasse der Normalvereilungen passen. Daher soll an diese empirischen Dichefunkionen miels einer Maximum-Likelihood-Schäzung die Diche einer Normalvereilung angepass werden. Dabei wähl die Maximum-Likelihood-Schäzung in einer vorgegebenen Klasse von Modellen enes Modell aus, das im Sinne einer Opimierung der Dichefunkion am besen auf die Daen pass. Wir erhalen für den Fall der sochasischen Neoverzinsung eine Normalvereilung mi μ =,64 und σ = 5, 6 (vgl. Abbildung 4) und im Fall der sochasischen Neoverzinsung und Kosenenwicklung eine Normalvereilung mi μ =,77 und σ = 5, 93.

20 8 Angepasse Vereilung als Ergebnis der Maximum-Likelihood-Schäzung,8,7,6,5 x kriisch,4,3,,, -, -5,6 -, -6,8 -,4, 6,4,8 5, 9,6 4, Abbildung 4: Angepasse Normalvereilung bei sochasischer Neoverzinsung Bezeichnen wir mi UW angepass die Zufallsvariable, die durch die angepasse Normalvereilung gegeben is, so läss sich eine Value a Risk Berachung vornehmen, indem für beliebige kriische Were x kriisch die Wahrscheinlichkei angegeben werden kann, mi der diese Were unerschrien werden. Weier berachen wir die folgenden Äquivalenzumformungen P ( UW x ) angepass kriisch = α UW P x x kriisch kriisch angepass σ μ = Φ σ = σφ μ x ( α) ( α) μ. kriisch σ μ x = Φ kriisch σ μ = α Inerpreier man die leze Gleichung, so is bei vorgegebenen Niveau α und über die durch Simulaion und Anpassung besimmen Parameer μ und σ der kriische Wer

21 9 gegeben. Die Leisung des Managemens im Sinne der werorienieren Seuerung beseh nun darin zu beureilen, ob dieser kriische Wer in Anberach der beabsichigen Werseigerung des Unernehmens hinreichend groß is Theoreische Berachung der Unernehmenswervereilung Wir wollen nun eine heoreische Begründung für die empirisch gewonnene Normalvereilung geben. Dazu berachen wir den Unernehmenswer UW Verrag in der folgenden Darsellung UW Verrag = T = a i b, wobei die Koeffizienen a und b durch () und (3) eindeuig gegeben sind. Um im Folgenden asympoische Überlegungen bereiben zu können, soll von einer unendlichen Lebensdauer ausgegangen werden. Mi μ ( a i b ) = a E( i ) b : = E definieren wir ξ : = a i b μ. Weier seien die σ - Algebren Α so gewähl, dass ξ Darüber hinaus seien die folgenden Voraussezungen erfüll: Α - messbar und Α Α sind. T (A) P( ξ > ε Α ), = P

22 T P ( ), (B) E ξ I[ ] Α ξ = T (C) V ξ I[ ] Α ξ ε = P ( ) σ. Dabei is (A) äquivalen zu P (A*) max ξ und bedeue dami die sochasische Konvergenz der ξ gegen in der Maximumnorm. (B) und (C) sellen Konvergenzkrierien für die ersen und zweien bedingen Momene der ξ dar. Im Fall der sochasischen Unabhängigkei der ξ ensprechen die bedingen Momene gerade den normalen Momenen und die Voraussezungen vereinfachen sich ensprechend. Uner den Voraussezungen (A), (B) und (C) gil 3 : T D ξ N(, σ ). = Dami is der Unernehmenswer UW Verrag für große T approximaiv normalvereil mi Erwarungswer μ = μ... μ T und Varianz σ. Analog kann eine approximaive Normalvereilung für den Unernehmenswer UW Eigenkapial hergeleie werden, so dass der Unernehmenswer UW als Summe aus zwei approximaiven Normalvereilungen wieder approximaiv normalvereil is. 3 Zum Beweis siehe Shiryaev, A. (989), S

23 Diese Überlegungen können darüber hinaus auf Unernehmen beliebiger Branche überragen werden, da der Unernehmenswer srukurell immer die Summe der diskonieren Cashflows is. Wähl man nun die sochasischen Prozesse und die darauf aufbauende Gewinnzusammensezung so, dass die Voraussezungen (A), (B), und (C) erfüll sind, so folg, dass der Unernehmenswer wiederum normalvereil is. 3.. Prozesse in seiger Zei und mi diskreem Zusandsraum Im Folgenden wird die Enwicklung der Neoverzinsung berache, die durch einen zu Grunde liegenden Poissonzählprozess beschrieben wird. Definiion (Zählprozess) Sei ( N ) R 3... Der Poissonzählprozess ein sochasischer Prozess mi diskreem Zusandsraum. Dann heiß N Zählprozess, falls ω Ω : (i) N ( ω ) = (ii) lim N ( ω) = (iii) N ( ω) monoon seigend und rechsseig. Definiion (Poissonzählprozess) Sei ( N ) R falls ein Zählprozess und λ R. Dann heiß N Poissonzählprozess mi Parameer λ, (i) N ha unabhängige Zuwächse

24 (ii) s, : N N ~ π( λ) s s d.h. i ℵ : P( N N = i) s s = e λ i ( λ). i! Wir unereilen ein Geschäfsahr wieder in k ℵ Abschnie, wählen als Parameer λ = k und definieren einen weieren sochasischen Prozess X wie folg X : = N N, X : = N N,..., X : = N N,.... k k k k k k Dami gil X ~ π k, X ~ π(),..., X k ~ π()...,. k Die Neoverzinsung, modellier als Zufallsgröße, die von einem Poissonzählprozess generier wird, ha dami das folgende Aussehen k I : = i dyx =, =,,..., wobei d R die Schriweie und Y {,} unabhängige Zufallsvariablen mi P( Y = ) = p. Der Erwarungswer von I is gegeben durch

25 3 EI = i E k = dy X = i k = k ( ) = i de( Y ) E( X ) de Y X = = i k = d ( p ) = i kd( p ) =,,.... Mi der so angesezen Neoverzinsung wurden wiederum verschiedenen Geschäfsverläufe simulier und als Ergebnis die Unernehmenswervereilung, wie sie in Abbildung 5 dargesell is, erhalen Ergebnisse der Simulaion Häufigkeisvereilung der simulieren Unernehmenswere ,87-9, -7,8-5,33-3,48 -,63-9,78-7,93-6,8-4,4 -,39 -,54,3 3,6 5, 6,86 8,7,55,4 4,5 6, 7,95 9,8,64 3,49 5,34 Abbildung 5: Unernehmenswervereilung bei sochasischer Neoverzinsung Wiederum is feszusellen, dass die simuliere Vereilung gu durch eine Normalvereilung beschrieben werden kann. Die Maximum-Likelihood-Schäzung liefer als Vereilungsparameer μ =,86 und σ = 7, 86. Dami lieg der Erwarungswer in dem Bereich des in 3.. ermielen Erwarungswers, die Varianz dagegen is deulich größer. Dies erschein bei dem Vergleich der beiden sochasischen Prozesse

26 4 k I = i = dy = für k =,,.. k I = i = dyx = für k =,,.. Var() sowie uner Beachung der Beziehungen E() = = E(X ) und = < = Var(X ) plausibel Prozesse in diskreer Zei und mi seigem Zusandsraum Wir wollen nun aus dem Poissonzählprozess den sochasischen Prozess der Zwischenankunfszeien als Prozess in diskreer Zei und mi seigem Zusandsraum ableien. Definiion (Ankunfszei, Zwischenankunfszei) Es sei N ein Poissonzählprozess und ℵ. Dann heiß W : = W Ω R { } ( ω) : = inf R N ( ω) die Ankunfszei von N in. Darüber hinaus heiß Z : = W W die Zwischenankunfszei von N zwischen - und bzw. die Verweilzei in -. ) ℵ Somi ergib sich ein neuer sochasischer Prozess ( Z in diskreer Zei und mi seigem Zusandsraum, den wir Exponenialprozess nennen wollen. Es läss sich zeigen, dass die Aussagen

27 5 N = ( N ) R Z = ( ) ℵ is Poissonzählprozess und Z unabhängig, idenisch vereil mi ~ exp( λ) Z äquivalen sind. 4 Es sei darauf hingewiesen, dass diese Äquivalenz nur für den ursprünglichen Poissonzählprozess und nich für den die Neoverzinsung generierenden abgewandelen Poissonzählprozess gil Der Exponenialprozess ) ℵ Berache wird ein Exponenialprozess ( X mi Parameer λ =, den wir uns als Zwischenankunfszei eines Poissonzählprozesses vorsellen können. Wir eilen das Geschäfsahr wiederum in k ℵ Abschnie. Somi ergib sich () X ~ exp(),..., X ~ exp( ),... X ~ exp, k. Die Neoverzinsung wird angesez auf Basis dieses sochasischen Prozesses als k I : = i dyx =, =,,..., wobei d R die Schriweie und Y {,} unabhängige Zufallsvariablen mi P( Y = ) = p. Der Erwarungswer von I is gegeben durch 4 Zum Beweis vgl. Billingsley, P. (995), S. 89.

28 6 EI = i E k = dy X = i k = k ( ) = i de( Y ) E( X ) de Y X = = i k = d ( p ) = i kd( p ) =,,.... Mi dieser Neoverzinsung wurden erneu unerschiedliche Geschäfsverläufe simulier mi dem Ergebnis der in Abbildung 6 gezeigen Unernehmenswervereilung Ergebnisse der Simulaion Häufigkeisvereilung der simulieren Unernehmenswere ,93-9,8-7, -5,37-3,5 -,67-9,8-7,96-6, -4,6 -,4 -,55,3 3,5 5, 6,86 8,7,57,4 4,7 6, 7,98 9,83,68 3,53 5,39 Abbildung 6: Unernehmenswervereilung bei sochasischer Neoverzinsung Die simuliere Vereilung läss sich erneu gu durch eine Normalvereilung beschreiben. Die Maximum-Likelihood-Schäzung liefer als Vereilungsparameer μ =,43 und σ = 7,6. Dami lieg der Erwarungswer in dem Bereich des in 3.. ermielen Erwarungswers, die Varianz dagegen is wiederum deulich größer. Die Erklärung für diese beiden Beobachungen kann analog 3.. vorgenommen werden.

29 Prozesse in seiger Zei und mi seigem Zusandsraum In diesem Abschni wird ein heoreisches Resula hergeleie, das die Vereilung des Unernehmensweres exak angib und nich wie in den vorherigen Abschnien näherungsweise besimm. Dabei ergib sich, dass wir auch in diesem Modell in der Klasse der vorgegebenen Normalvereilungen bleiben Der Wiener Prozess Wir führen zunächs mi der folgenden Definiion den Wiener Prozess ein. Definiion (Wiener Prozess) Ein sochasischer Prozess W = ( W ) R (i) W ( ω ) = (ii) die Zuwächse sind normalvereil und saionär, d.h. ( ω) W ( ω) ~ N(, u) W u für alle, u heiß sandardisierer Wiener Prozess, wenn gil: (iii) für alle < < < sind die Zuwächse... n ( ω) W ( ω),..., W ( ω) W ( ω) W unabhängig n n (iv) die Pfade von W sind seig. Wir berachen nun einen sochasischen Prozess, der durch die folgende sochasische Differenzialgleichung gegeben is: dx = rd sdw, wobei r R : Drifparameer,

30 8 s > : Sreuungsparameer und W : sandardisierer Wiener Prozess. Es gil 5 X X M X m ~ N r M r m M m ( μ, Σ ) mi μ = und Σ = s. M L L O (4) Herleiung der Unernehmenswervereilung Für den weieren Gang der Überlegungen benöigen wir den folgenden Hilfssaz für lineare Abbildungen von normalvereilen Zufallsvekoren. Hilfssaz 6 Es sei X ~ N d ( a,σ). Sind A eine ( s d) -Marix und s b R, so folg s T ( Aa b, AΣA ) AX b ~ N. ( ) Berache man den Rechnungszins. Ordnung I, der vom sochasischen Prozess X gemäß 5 Vgl. Fahrmeir, L. / Kneib, T. (5), S.. 6 Zum Beweis vgl. Henze, N. (997), S. 94.

31 9 für X i : I = erzeug wird, so ergib sich nach Anwendung des Hilfssazes für m I,..., I, I die Vereilung ( ). und i i mi, N ~ I I m = Σ Σ = μ μ Σ μ M M M M (5) Im Folgenden werden die ährlichen Überschüsse G, G,..., G m mi Hilfe der Konribuionsformel in Abhängigkei des Rechnungszinses. Ordnung m I,..., I, I dargesell. Für die ährlichen Überschüsse gil: G = Zinsüberschuss Kosenüberschuss Risikoüberschuss für =,..., m. Gemäß der Konribuionsformel () ergib sich ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ). S B V T q q S L B V i : B S und B S L B V : A wobei :b B m B I I :A A m A G G x x m m γ γ β β γ β = γ γ β β γ β = = = = 3 M M M M L O M M O L M M Die ährlichen Überschüsse hängen linear vom Rechnungszins. Ordnung ab. Daher kann der Hilfssaz erneu angewende werden und es ergib sich

32 3 G M G : = ~ N M G m T ( μ, Σ ) mi μ = Aμ b und Σ = AΣ A. (6) Ausgehend von G ergib sich durch Diskonierung der Unernehmenswer, der also erneu linear von G und dami auch linear vom Rechnungszins. Ordnung abhäng. Die ensprechende Gleichung ha die Gesal UW D D D = Quoe Quoe D x D x D x = :c x x x m ( Seuer )( RfB ) L G. Verrag Nach Anwendung des Hilfssazes erhalen wir das zenrale Resula dieses Abschnis in der Form UW Verrag T (, σ ) mi μ = cμ und σ = cσ c. ~ N μ (7) Verrag Verrag Verrag Verrag Das Ergebnis wird im folgenden Saz zusammengefass. Saz Es sei ( ) X ein sochasischer Prozess gemäß dx = rd sdw mi Parameern r R und s> sowie I = i X für der von ( ) X erzeuge Rechnungszins. Ordnung. Dann besiz der Unernehmenswer UW Verrag eine N ( σ ) μ gemäß (4) bis (7) berechne werden. Verrag und σ Verrag μ -Vereilung, wobei Verrag, Verrag

33 3 In. wurde gezeig, dass der für die werorieniere Seuerung relevane Cashflow als weiere Komponene die Eigenkapialunerlegung berücksichigen muss. Vergegenwärigen wir uns das zugehörige Formelwerk, so können wir den Unernehmenswer schreiben als UW Eigenkapi al I M = Quoe m M = :d I m m m ( Seuer )( v EK v EK L v EK ) v Δ. = 443 = :e Miels des Hilfssazes erhalen wir auch für diesen Unernehmenswerbesandeil eine Normalvereilung mi UW Eigenkapial ~ N ( μ, σ ) mi μ Eigenkapial Eigenkapial Eigenkapial = dμ e und σ Eigenkapial = dσ d T. (8) Saz Es sei ( ) X ein sochasischer Prozess gemäß dx = rd sdw mi Parameern r R und s> sowie I = i X für der von ( ) X erzeuge Rechnungszins. Ordnung. Dann besiz der Unernehmenswer UW Eigenkapial eine N( μ σ ) μ und σ gemäß (8) berechne werden. Eigenkapial Eigenkapial Eigenkapi al, Eigenkapial -Vereilung, wobei Als Folgerung aus den beiden Säzen erhalen wir uner erneuer Anwendung des Hilfssazes, dass auch der Unernehmenswer UW = UW Verrag UW Eigenkapial als Summe von zwei normalvereilen Zufallsvariablen wieder normalvereil is mi Parameern μ = μ und σ = σ Verrag σ Eigenkapial Cov Verrag / Eigenkapial, wobei sich der Verrag μ Eigenkapial Ausdruck Cov auf Cov( I,I ) für s, =,..., m Verrag / Eigenkapial zurückführen und gemäß (5) s exak berechnen läss.

34 3 Insbesondere lieg die Vereilung des Unernehmenswers in der unersuchen Klasse der Normalvereilungen. Der Unerschied zu den vorherigen Abschnien beseh aber darin, dass es hier gelungen is, die Vereilung exak heoreisch herzuleien und nich über den Weg der Simulaion und Maximum-Likelihood-Schäzung anzunähern. 4. Ausblick Aufbauend auf den in diesem Aufsaz vorgesellen Ansäzen erscheinen weiere Möglichkeien der mahemaischen Modellbildung zur Analyse der den Unernehmenswer beeinflussenden sochasischen Rahmenbedingungen ineressan. So is es denkbar, die Enwicklung der Neoverzinsung deaillierer zu berachen, indem die Neoverzinsung in ihre einzelnen Komponenen zerleg wird und daraufhin diese Komponenen als sochasische Prozesse modellier werden. Eine erse Unereilung wäre dabei sicherlich durch (im Allgemeinen negaiv korreliere) Prozessverläufe für Akien und fesverzinsliche Werpapiere gegeben. Weiere Deaillierungssufen können für Akien über Wirschafszweige und Regionen sowie für fesverzinsliche Werpapiere über Emienen und Laufzeien vorgenommen werden. Die Schwierigkei lieg dabei in der Besimmung der Korrelaionen der verschiedenen sochasischen Prozesse. Der in dieser Arbei diskuiere Ansaz geh immer von einer einzelverraglichen Bewerung auf Basis einer Buom-up-Planung aus. Darauf aufbauend sind verschiedene Möglichkeien denkbar, diese Bauseine für ökonomisch relevane Bereiche zusammenzufassen. Hier ineressieren insbesondere Aussagen zu Produk-, Kunden- und Vermilergruppen, die alle aus der Bewerung der Einzelverräge gewonnen werden können. Enscheidend is es weierhin, geeignee Klassen von Verrägen zu definieren, die hinreichend homogen sind, so dass ein einzelner Verrag sellverreend für die gesame Klasse bewere werden kann. Dami können die Ergebnisse der Buom-up-Planung konsequen bis auf Ebene sraegischer Geschäfseinheien oder auf Gesamunernehmensebene aggregier werden. Bei allen Verdichungsprozessen is es dabei äquivalen, die Cashflows der einzelnen Jahre oder den Unernehmenswer als diskoniere Summe der Cashflows aufzusummieren. Folg man dem hier enwickelen wahrscheinlichkeisheoreischen Ansaz für die Einzelverrags-

35 33 bewerung, so ergeben sich für die ensprechenden Verdichungseinheien Falungen von Vereilungen. Ein weieres ineressanes Anwendungsgebie sind Value a Risk Berechnungen. Die in diesem Umfeld für die werbesimmenden Parameer häufig verwendeen Normalvereilungen erfahren durch die hier vorgesellen sochasischen Prozesse eine heoreische Fundierung. Dafür wird lediglich eine Akienkursveränderung mi einer Veränderung des Unernehmenswers in Beziehung gesez, so dass sich wie gezeig approximaiv bzw. exak eine Normalvereilung ergib. Darauf aufbauend seh dann das gesame Insrumenarium der Value a Risk Berechnungen zur Verfügung. Insgesam bleib feszusellen, dass eine erfolgreiche werorieniere Seuerung von Lebensversicherungsunernehmen nur dann gelingen kann, wenn die Ergebnisse der in diesem Aufsaz zur Verfügung gesellen mahemaischen Modelle mi beriebswirschaflichem Sachversand beureil und die ökonomisch gewonnenen Erkennnisse wieder zur Verbesserung der Parameeranpassung bei den ensprechenden sochasischen Prozessen verwende werden. Die werorieniere Seuerung is also ein gelungenes Beispiel für die wechselseiige Bereicherung von Mahemaik und Beriebswirschafslehre.

36 34 Lieraurverzeichnis Albach, H. (): Shareholder Value, in: Zeischrif für Beriebswirschaf, 7. Jahrgang, Hef 6, S Bauer, H. (99): Wahrscheinlichkeisheorie, 4. Auflage, New York. Billingsley, P. (995): Probabiliy and Measure, 3. Auflage, New York. Bühner, R. (99): Das Managemen-Wer-Konzep Sraegien zur Schaffung von mehr Wer im Unernehmen, Sugar. Cai, J. / Dickson, D. (4): Ruin Probabiliies wih a Markov chain ineres model, in: Insurance: Mahemaics and Economics, 35. Jahrgang, Hef 3, S Copeland, T. / Koller, T. / Murrin, J. (994): Valuaion: measuring and managing he value of companies,. Auflage, New York. Fahrmeir, L. / Kneib, T. (5): Sochasische Prozesse, München. Goldsein, A. / Markowiz, B. (98): A Dynamic Insurance Model wih Invesmen Srucure, Policy Benefis and Taxes, in: The Journal of Finance, 37. Jahrgang, Hef, S Heller, U. (): Mahemaik der Lebensversicherung Grundwissen, Flensburg. Henze, N. (997): Sochasik II Maß- und Wahrscheinlichkeisheorie, Karlsruhe. Levine, K. (973): Corporae Modeling of a Life Insurance Company: A Developmenal Game Plan, in: The Journal of Risk and Insurance, 4. Jahrgang, Hef 4, S Milbrod, H. / Helbig, M. (999): Mahemaische Mehoden der Personenversicherung, Berlin. Olezky, T. (998): Werorieniere Seuerung von Versicherungsunernehmen, Hannover. Olezky, T. / Pohl, P. (4): Balanced Scorecard: Eine Brücke zwischen Theorie und Praxis, in: Versicherungswirschaf, 59. Jahrgang, Hef 4, S Rappapor, A. (986): Creaing Shareholder Value The New Sandard for Business Performance, New York. Rappapor, A. (995): Shareholder Value Werseigerung als Maßsab für die Unernehmensführung, Sugar. Sanders, D. (968): Some Mehods of Simulaing he Random Componens of Life Insurance Company Financial Resuls, in: The Journal of Risk and Insurance, 35. Jahrgang, Hef 3, S Shiryaev, A. (989): Probabiliy, New York. Siegliz, M. (998): Sochasische Prozesse, Karlsruhe.

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40 For orders please conac / Konakadresse für Besellungen: Prof. Dr. Marin Nell Geschäfsführender Direkor des Insius für Versicherungsberiebslehre Von-Melle-Park 5 D-46 Hamburg Tel.: 49-() Fax: 49-() marin.nell@rrz.uni-hamburg.de hp:// Mi freundlicher Unersüzung des Vereins zur Förderung der Versicherungswissenschaf in Hamburg e.v.

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