In the areas linear and network optimization

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1 References In den Bereichen Lineare und Netzwerkoptimierung gibt es eine große Vielzahl von Lehrbüchern und Veröffentlichungen in wissenschaftlichen Zeitschriften. Wir verzichten darauf einen Versuch zu unternehmen, einen repräsentativen Überblick über diese Literatur zu geben, sondern beschränken uns darauf, einige wenige Lehrbücher zu zitieren, die besonders geeignet sind, zur Vertiefung und Ergänzung des von uns ausgewählten Stoffs beizutragen. In the areas linear and network optimization there is a great variety of textbooks and publications in professional journals. No attempt is made to give a representative overview of this literat ure, but we restrict ourselves to quote few textbooks which are particularly well-suited to add on and deepen the subjects which we have chosen in our book. Ahuja, R.K.; Magnanti, T.L.; Orlin, J.B.: "Network Flows: Theory, Algorithms and Applications", Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, Bazaraa, M.S.; Jarvis, J.J.; Sherali, H.D.: "Linear Programming and Network Flows", 2nd. edition, Wiley, New York, Cook, W.J.; Cunningham, W.H.; Pulleyblank, W.R.; Shrijver, A.: "Combinatorial Optimization", Wiley, New York, Jungnickel, D.: "Graphen, Netzwerke und Algorithmen", 3. Auflage, BI Wissenschaftsverlag, Mannheim, Jungnickel, D.: "Graphs, Networks and Algorithms", Springer Verlag, Papadimitriou, C.H.; Steiglitz, K.: "Combinatorial Optimization: Algorithms and Complexity", Dover Pub!.,

2 Stichwort verzeichnis Adjazenzmatrix Algorithmen Algorithmus von Dijkstra Algorithmus von Floyd-Warshall Algorithmus von Karmarkar... 82, 93 Blattalgorithmus zur Berechnung von Basisflüssen Duales Simplexverfahren Ellipsoid Algorithmus innere Punkte Verfahren Knotenpotentialalgorithmus Label Correcting Algorithmus Label Setting Algorithmus Markierungsalgorithmus für MFPs 152 Minimale Kosten Matchingprobleme (MKMP) Negativer Dikreis Algorithmus Netzwerksimplexalgorithmus. 160, 174 Primal-dualer Simplex Algorithmus 75 Simplexverfahren 2-Phasen-Methode Duales Simplexverfahren Revidiertes Simplexverfahren Ungarische Methode Ungarischer Algorithmus ,216 Basis... 13, 50 Basen in NFP Basisaustausch Basisdarstellung Basisfluß Basisknoten Basislösung degenerierte Basislösung entartete Basislösung Optimalitätskriterium für Basislösungen zulässige Basislösung Basisvariablen... 14, 51 Baum alternierender Baum kürzester spannender Baum spannender Baum ungarischer Baum Wurzel eines Baumes , 202 Bland's Pivotregel Blatt Blattalgorithmus zur Berechnung von Basisflüssen Blüte Auflösung einer Blüte Degeneriertes LP Digraph antisymmetrischer Digraph azyklischer Digraph spannender Unterdigraph Unterdigraph zusammenhängender Digraph Dijkstra, Algorithmus von Dikreis konformer Dikreis Dikreisfluß Diweg Duales Simplexverfahren... 68, 69 Dualität duale Nebenbedingungen duale Quotientenregel duale Variablen duales LP duales Matching-LP schwacher Dualitätssatz starker Dualitätssatz Edmonds, Satz von Ellipsoid Algorithmus

3 234 Stich wort verzeichnis Floyd-Warshall, Algorithmus von Flussprobleme... 6 maximales Flussproblem (MFP) , 149 Zirkulationsproblem Fluß... 8, 135 Basisfluß Flußwert... 8 kreisfreier Fluß maximaler Fluß Fluß-Erhaltungsgleichungen Flußvergrößernder Weg Graph azyklischer Graph bipartiter Graph , 191 Inkrementgraph spannender Untergraph Untergraph zusammenhängender Graph Greedy-Methode Hauptsatz der Linearen Optimierung.. 30, 32 Inkrementgraph Inkrementnetzwerk Inkrementzirkulation innere Punkte Verfahren... 79, 82 Inzidenzmatrix Vollrang-Inzidenzmatrix Inzidenzvektor Kante... 7,105 freie Kante Kantenmenge Matchingkanten Kapazität , 212, 213 obere Kapazität untere Kapazität Kapazitätsbedingung... 8, 135 Karmarkar, Algorithmus von... 82,93 Klee-Minty, Beispiel von Knoten... 7, 105 äußerer Knoten Basisknoten Bedarfsknoten Durchflußknoten Endknoten exponierte Knoten gematchte Knoten gerade Knoten , 202 gesättigte Knoten innerer Knoten Knotenmenge Knotenpotentiale Knotenüberdeckung Pseudoknoten ungematchte Knoten ungerade Knoten , 202 Vorratsknoten Knotenpotentialalgorithmus Komplementaritätsbedingungen Komplexität exponentielle Algorithmen polynomiale Algorithmen Kreis Kreisen des Simplexverfahrens Kürzester Diwege Baum Kürzestes Diwege Problem , 130 Kürzestes Wegeproblem... 8 Label Correcting Algorithmus Label Setting Algorithmus Lineares Programm (LP)... 1, 2 degeneriertes LP LP in allgemeiner Form... 12, 60 LP mit 0-1 Variablen nicht-degeneriertes LP nicht-entartetes LP Markierungsalgorithmus für MFPs Matching Bipartite Matchingprobleme duales Matching-LP eigentliches Matching Kosten des Matchings Matching vergrößernder Baum Matching vergrößernder Weg Matching-LP Matchingkanten

4 Stichwort verzeichnis 235 Matchingprobleme in beliebigen Graphen Max-Min Satz für Matchings Maximale Matchingprobleme (MMP) , 186, 216 maximales Matching Minimale Kosten Matchingprobleme (MKMP) , 191,217,227 MK-Matching perfektes Matching Max Fluß - Min Schnitt Satz Max-Min Satz für Matchings Nebenbedingungen... 2 duale Nebenbedingungen funktionelle Nebenbedingungen... 2 Negativer alternierender Kreis Negativer Dikreis Algorithmus , 159 Netzwerk... 7, 134 s, t-netzwerk Netzwerkflußprobleme (NFP) , 148 Optimalitätskriterium für Netzwerkflußprobleme Netzwerksimplexalgorithmus , 174 Nichtbasisvariable Normalisierungsbedingung Optimalitätskriterium... 17, 46, 51 Perfektes Matching Pivotoperation Polyeder... 4 Potentialfunktion Primal-dualer Simplex Algorithmus primales Problem eingeschränktes primales Problem.. 73 Produktionsplanung... 1 Projektive Transformation Pseudoknoten Quelle... 8, 137 Quotientenregel... 20, 46 duale Quotientenregel Reduzierte Kosten Relative Kosten Satz vom komplementären Schlupf Satz von Edmonds Satz von König Schlupfvariablen Schnitt (s, t) Schnitt Schwacher Dualitätssatz Senke... 8, 137 Simplextableau optimales Simplextableau reduziertes Simplextableau Simplexverfahren. 2-Phasen-Methode... 43, 44 Duales Simplexverfahren Primal-dualer Simplex Algorithmus 75 Revidiertes Simplexverfahren... 45, 48 SST Standardform Starker Dualitätssatz Symmetrische Differenz Trennende Kantenmenge Tucker-Diagramm Überdeckung , 212 Knotenüberdeckung , 212 Überschußvariablen Ungarische Methode Ungarischer Algorithmus , 216 Ungarischer Baum Ungleichungen für ungerade Mengen Variable Basisvariablen... 14, 51 duale Variablen künstliche Variablen nicht vorzeichenbeschränkte Variablen os-nichtbasisvariablen us-nichtbasisvariablen Vollrang-Inzidenzmatrix Vorzeichenbedingungen... 2 Wald spannender Wald Weg , 181

5 236 Stichwort verzeichnis (i,j)-diweg... 8 alternierender Weg einfacher Weg Länge von Wegen Zielfunktion... 2 Zielfunktionswert... 3, 4 Zirkulation Zirkulationsnetzwerk Zirkulationsproblem Zulässige Basislösung... 39, 51 Zulässige Kantenmenge Zulässige Spalten Zulässige Startlösung Zulässiger Fluß , 157 Zulässigkeitsgraph Zuordnungsproblem

6 Index Adjacency matrix Aigorithms Aigorithm for MCMP in Arbitrary Graphs Aigorithm of Dijkstra Aigorithm of Floyd-Warshall Aigorithm of Karmarkar... 82, 93 Aigorithm of Kruskal Aigorithm of Prim Dual Simplex Method Ellipsoid Aigorithm Hungarian Method Hungarian Method for MCMP in Bipartite Graphs Interior-point algorithms Label Correcting algorithm Label Setting Aigorithm , 120 Labeling Aigorithm for MFP Leaf Aigorithm to Determine Basic Flows Minimal cost matching problems (MCMP) MMP in Arbitrary Graphs MMP in Bipartite Graphs Negative DicycIe Algorithm Network Simplex Aigorithm.. 160,174 Node Potential Aigorithm Primal-Dual Simplex Method Simplex Method 2-Phase-Method Dual Simplex Method Revised Simplex Method Are Assignment problem Basic feasible solution... 39, 51 Basis... 13, 50 base bases in NFP basic ßow basic representation basic solution basic feasible solution degenerate basic solution optimality condition for basic solutions basic variables... 14, 51 basis exchange Bland's pivot rule Blossom expansion of a blossom Capacity , 212, 213 lower capacity upper capacity Capacity constraints Circulation Circulation network Circulation problem Complementary slackness conditions66, 67 Complexity polynomial algorithms Conservation constraints Constraints capacity constraints... 8 dual constraints ßow conservation constraints... 8 functional constraints... 2 nonnegativity constraints... 2 normalization constraint Cover odd-set-(vertex)-cover Cut (s,t) cut CycIe Cycling of the Simplex Method

7 238 Index Dicycle conform dicycle Dicycle flow Digraph acyclic digraph antisymmetric digraph connected digraph spanning subdigraph subdigraph Dijkstra, Algorithm of Dipath Directed cycle Directed path Disconnecting set of edges Dual Simplex Method... 68, 69 Duality dual constraints dual LP dual matching-lp dual min ratio rule dual variables strong duality theorem weak duality theorem Edge... 7,105 free edges matching edges Edmonds, Theorem of Ellipsoid Algorithm Endpoint Feasibility graph Feasible columns Feasi ble edge set Feasible flow , 157 Feasible starting solution Flow... 8,135 basic flow flow value... 8 maximal flow Flow augmenting path Flow problem... 6 circulation problem max flow problem , 149 Floyd-Warshall, Algorithm of Forest spanning forest Full-rank incidence matrix Fundamental theorem of linear programming... 30, 32 Graph acyclic graph bipartite graph , 191 connected graph directed graph spanning subgraph subgraph Greedy Approach Head Hungarian Method Hungarian Method for MCMP in Bipartite Graphs Hungarian tree Incidence matrix full-rank incidence matrix Incidence vector Incremental circulations Incremental graph Incremental network Interior point methods... 79, 82 König's Theorem Karmarkar, Algorithm of , 93 Klee-Minty, example of Label Correcting algorithm Label Setting Algorithm , 120 Labeling Algorithm for MFP Leaf Leaf Algorithm to Determine Basic Flows 165 Linear Program (LP)... 1, 2, 12 LP in general form... 12, 60 LP with 0-1 variables non-degenerate LP Matching bipartite matching problems complete matching

8 Index 239 cost of the matching unmatched vertex dual matching-lp Node Potential Algorithm matching augmenting path Non-basic variables matching augmenting tree matching edges matching LP matching problems in arbitrary graphs Max-min theorem for matchings maximal matching maximal matching problems (MMP) , 186, 216 MC-matching minimal cost matching problems (MCMP) ,191,217,227 perfect matching proper matching Max-flow min-cut theorem Max-min theorem for matchings Min ratio rule... 20, 46 dual min ratio rule Objective (function) value... 4 Objective function... 2 objective (function) value... 3 Odd-set-inequalities Optimality condition... 17, 46, 51 Path... l06 (i, j)-dipath... 8 alternating path length of a path simple path Pivot operation Polyhedron... 4 Potential function Primal problem restricted primal problem Primal-Dual Simplex Method Production planning... 1 Projective transformation Pseudo vertex Nafets Algorithm For Exact Type Setting Negative alternating cycle Reduced costs Negative Dicycle Algorithm , 159 Relative costs Network... 7, 134 Residual network s, t-network Network flow problems (NFP) , 148 Shortest dipath problem , 130 Network Simplex Algorithm , 174 Shortest dipath tree Node (vertex)... 7, 105 Shortest path problem... 8 demand node Shortest spanning tree even vertex , 202 Simplex Method exposed vertex Phase-Method....43, 44 inner vertex degeneracy of the Simplex Method. 33 matched vertex Dual Simplex Method... 68, 69 node cover finiteness of the Simplex Method node potentials Primal-Dual Simplex Method odd vertex , 202 Revised Simplex Method odd-set-(vertex)-cover revised Simplex Method outer vertex Simplex tableau pseudo vertex optimal (simplex-) tableau saturated vertex reduced simplex tableau supply node Sink... 8, 137 transshipment node Slack variables... 12

9 240 Index Souree... 8, 137 SST... 1U Standard form Strong duality theorem Surplus variables Symmetrie differenee Tail Theorem of Edmonds Tree aiternating tree H ungarian tree root of a tree , 202 spanning tree Tueker diagram Variable artifieal variable basie variable dual variable lb-nonbasic variable not sign constrained variable ub-nonbasic variable Vertex (node)... 7, 105 Weak duality theorem... 63