Kapitel 4 Folgen, Reihen & Funktionen

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1 Kapitel 4 Folgen, Reihen & Funktionen

2 Inhaltsverzeichnis FOLGEN REELLER ZAHLEN... 3 DEFINITION... 3 GRENZWERT... 3 HÄUFUNGSPUNKT... 4 MONOTONIE... 4 BESCHRÄNKTHEIT... 4 SÄTZE... 4 RECHNEN MIT GRENZWERTEN... 5 KONVERGENZUNTERSUCHUNGEN... 5 UNENDLICHE REIHEN... 6 BEGRIFF... 6 KONVERGENZKRITERIEN... 6 CAUCHYPRODUKT UND POTENZREIHEN... 7 ASYMPTOTISCHER VERGLEICH... 7 LANDAU-SYMBOLE... 7 STIRLING SCHE FORMEL... 7 ELEMENTARE FUNKTIONEN... 8 EINFACHE EIGENSCHAFTEN... 8 POTENZEN MIT REELLEN EXPONENTEN... 8 EXPONENTIALFUNKTION UND LOGARITHMUS... 8 DARSTELLUNG DER EXPONENTIALFUNKTION... 8 WINKELFUNKTIONEN UND ARCUSFUNKTIONEN... 9 GRENZWERTE UND STETIGKEIT... 0 DEFINITION UND BEISPIELE... 0 EIGENSCHAFTEN STETIGER FUNKTIONEN... 0 Folgen, Reihen & Funktionen Markus Kessler Seite 2 von

3 Folgen reel ler Zahlen D e f i n i t i o n Eine Folge ist eine Abbildung der natürlichen Zahlen in eine Menge M, die jeder natürlichen Zahl n ε N ein Element x n ε M zuordnet. Beispiel: N N für n N x n = 2n Konstante Folge x n = 2 2, 2, 2, 2, Arithmetische Folge x n = x 0 + n d 2, 5, 8, Geometrische Folge x n = x n q n 2, 6, 8,. Folgen können entweder explizit oder rekursiv definiert werden. G r e n z w e r t Eine reelle Zahl a heißt Grenzwert der Folge (x n ) n 0, falls in jeder ε-umgebung von a fast alle Folgenglieder x n liegen. Eine Folge mit dem Grenzwert 0 heißt Nullfolge. (Beispiel: lim n x n = n 2 ) ε > 0 N(ε) N n > N(ε) x n x < ε Schreibweise Divergenz lim x n = x oder x n x n Besitzt eine Folge keinen Grenzwert, heißt sie unbestimmt divergent. Das wäre zum Beispiel: ( ) n =,,,,, Konvergenz Besitzt eine Folge einen eindeutigen Grenzwert, ist sie bestimmt konvergent. Besitzt sie den Grenzwert ± heißt sie unbestimmt konvergent bzw. bestimmt divergent. Folgen, Reihen & Funktionen Markus Kessler Seite 3 von

4 H ä u f u n g s p u n k t Wenn in jeder ε-umgebung von x unendlich viele Folgengliederliegen, so ist x ein Häufungspunkt von (x n ) n 0. Im Gegensatz zum Grenzwert kann es mehrere Häufungspunkte geben. Der größte Häufungspunkt heißt: Limes superior Der kleinste Häufungspunkt heißt Limes inferior Konvergiert eine Folge, so gilt: lim n x n = lim sup n x n = lim inf n x n, da es nur einen Häufungspunkt geben darf. M o n o t o n i e Eine Folge heißt monoton fallend, wenn x n+ x n streng monoton fallend, wenn x n+ < x n monoton steigend, wenn x n+ x n streng monoton steigend, wenn x n+ > x n B e s c h r ä n k t h e i t Eine Folge x n heißt beschränkt, wenn es Zahlen a, b gibt, so dass a x n b n N. S ä t z e Allgemein Jede konvergente Folge ist beschränkt. Bolzano-Weierstrass Jede beschränkte Folge besitzt mindestens einen Häufungswert. Hauptsatz über monotone Folgen Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist. Vollständigkeitssatz für die reellen Zahlen Jede nach oben beschränkte Folge besitzt ein Supremum. Jede nach unten beschränkte Folge besitzt ein Infimum. Bernoulli sche Ungleichung n N n 2, x, x 0: ( + x) n > + nx Folgen, Reihen & Funktionen Markus Kessler Seite 4 von

5 R e c h n e n m i t G r e n z w e r t e n Seien (x n ) n 0 und (y n ) n 0 konvergente Folgen mit lim n x n = x und lim n y n = y. Somit ist die Menge F aller konvergenten Folgen mit der Folgenaddition und Folgenmultiplikation mit einem Skalar ein Vektorraum. Addition/Subtraktion lim n (x n + y n ) = x + y Multiplikation/Division lim n (x n y n ) = x y lim n (x n y n ) = x y Rechnen mit uneigentlich konvergenten Folgen Uneigentlich konvergent = Monoton steigend und unbeschränkt lim n ( x n y n ) = x y falls y n 0 und y 0 Sei (x n ) n 0 eine uneigentlich konvergente Folge und λ R. Es gelte lim n x n = und lim n y n = y. lim n (x n + y n ) =, falls y R oder y =, falls λ > 0 lim n λx n = {, falls λ < 0 Ko n v e r g e n z u n t e r s u c h u n g e n Sandwich-Theorem lim n x n y n =, falls y > 0 lim n y n x n = 0, falls b R Will man den Grenzwert einer Folge (z n ) berechnen, kann man zwei einfache, bekannte Folgen wählen, für die gilt: x n z n y n und lim n x n = lim n y n = z so folgt die Konvergenz: lim n z n = z. Cauchykriterium ε N(ε) N n > N(ε): x a n < ε Eine reelle Folge heißt Cauchyfolge, wenn für alle ε > 0 ein N(ε) existiert, so dass x n x m < ε für alle n, m > N(e). Das heißt, es gibt einen Index, ab dem die Folge immer näher zueinander rückt. Eine reelle Folge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchyfolge ist! Es gilt eigentlich dasselbe Prinzip wie beim Cauchy-Kriterium für Reihen. Cauchy-Folge Keine Cauchy-Folge Dieses Kriterium gilt nicht in Q. Folgen, Reihen & Funktionen Markus Kessler Seite 5 von

6 Unendliche Reihen B e g r i f f Unter einer unendlichen Reihe versteht man eine unendliche Summe Reihenglieder. Die Folge s n mit n S n = a k k=0 n=0 a n. Dabei ist (a n ) die Folge der heißt Folge der Partialsummen der Reihe. Unter dem Grenzwert (oder der Summe) der Reihe versteht man den Grenzwert ihrer Partialsummenfolge. Ist die Folge konvergent bzw. divergent, heißt auch die Reihe konvergent bzw. divergent. Falls die Reihe konvergiert, so ist die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge. Reihentypen Harmonische Reihe n n = s n = qn+ bei q > q Geometrische Reihe n q n s n = bei q < q s n = bei q = Teleskopsummen = n n(n+) n+ Alternierende Reihe ( ) n n a n Exponentialreihe n e n! Potenzreihe a n (x x 0 ) n R = Ko n v e r g e n z k r i t e r i e n Majorantenkriterium n lim n a n+ an (b n a n ) b n konvergent a n absolut konvergent n 0 Wähle eine größere, bereits bekannte Reihe die konvergiert. Minorantenkriterium k=0 k 2 ; k=0 n 0 k(k + ) (b n a n ) b n divergent a n n 0 n 0 Wähle eine kleinere, bereits bekannte Reihe die divergiert. divergent k=0 Wurzelkriterium n Gilt für k=0 a n, dass a n q < für fast alle n, dann ist k k=0 a n konvergent. Quotientenkritierum Gilt für k=0 a n, dass a n+ q < für fast alle n, dann ist a a k=0 n konvergent. n Folgen, Reihen & Funktionen Markus Kessler Seite 6 von

7 Cauchy-Kriterium ε N(ε) N m, n N m n > N(ε): a k < ε Man wählt einen bestimmten Index n einer Reihe und ein ε (z.b. 0,00). Ab diesem Index n darf die Summe aller restlichen Reste (= Summe der Partialsummen in einem bestimmten Intervall hinter n) nicht mehr den Wert von ε überschreiten. Kann man so einen Index wählen, ist die Reihe konvergent. Zu jeder beliebig kleinen Zahl ε existiert eine Stelle n ε sodass gilt: k=n a k < ε k m n ε. Leibnitz-Kriterium Eine alternierende Reihe konvergiert, wenn a n eine monoton fallende Nullfolge ist. C a u c h y p r o d u k t u n d P o t e n z r e i h e n Mit dem Cauchyprodukt lassen sich Reihen multiplizieren. m m k=n n (a n ) (b n ) = c n mit c n = a k b n k n=0 k=0 Eine Anwendung des Cauchyprodukts ist Aufgabe 6 in der Beispielsammlung. Asymptotischer Verglei ch L a n d a u - S y m b o l e a n = O(b n ) Bedeutet: a n ist ein groß O von b n, falls es eine Konstante C > 0 gibt, so dass gilt: a n = o(b n ) Bedeutet: a n ist ein klein O von b n, falls gilt: a n ~b n Bedeutet: a n ist asymptotisch gleich b n, falls gilt: a n b n C für fast alle n N a n lim = 0 n b n S t i r l i n g s c h e F o r m e l a n lim = n b n Die Stirling sche Formel gibt die Größenordnung von n! an. n! ~ ( n e ) n 2πn Eine Anwendung dazu ist die Aufgabe 2 in der Beispielsammlung. Folgen, Reihen & Funktionen Markus Kessler Seite 7 von

8 Elementare Funktionen E i n f a c h e E i g e n s c h a f t e n Streng monoton fallend bzw. steigend Eine Funktion f: R D ist streng monoton fallend, wenn für alle x R gilt: x < x 2 f(x ) > f(x 2 ) Umgekehrt heißt die Funktion streng monoton steigend, wenn für alle x R gilt: x < x 2 f(x ) < f(x 2 ) Eine Funktion kann auch nur auf einem Intervall I D streng monoton steigend bzw. fallend definiert werden. Bijektivität und Umkehrfunktion Ist eine Funktion injektiv und surjektiv, so folgt auch automatisch die Bijektivität und es existiert eine eindeutige Umkehrfunktion. Die Umkehrfunktion besitzt die gleichen Eigenschaften bezüglich der Monotonie. P o t e n z e n m i t r e e l l e n E x p o n e n t e n Bei Potenzen x α mit reellen Exponenten α R kann α als Grenzwert einer Folge a n angeschrieben werden. x α = lim n x a n mit lim n a n = α Somit übertragen sich alle Rechenregeln auch auf das Rechnen mit reellen Exponenten. E x p o n e n t i a l f u n k t i o n u n d L o g a r i t h m u s Exponentialfunktionen haben grundsätzlich die Form: f(x) = a x mit a R + Da eine Exponentialfunktion injektiv und surjektiv ist, folgt automatisch die Bijektivität. Somit existiert auch eine Umkehrfunktion. x = e y y = ln x log x x = a y y = log a Rechenregeln ln(ab) = ln a + ln b ln(a b ) = b ln a ln ( a ) = ln a ln b b D a r s t e l l u n g d e r E x p o n e n t i a l f u n k t i o n Darstellungen der natürlichen Exponentialfunktion Darstellung als Grenzwert einer Folge Darstellung durch eine Potenzreihe Funktionalgleichung e x = lim n ( + x n ) n e x = xn n! Folgen, Reihen & Funktionen Markus Kessler Seite 8 von n=0 e x e y = e x+y

9 W i n k e l f u n k t i o n e n u n d A r c u s f u n k t i o n e n Reihendarstellung Sonstige Formeln sin x = ( ) n (2n + )! n=0 x 2n+ cos x = ( ) n (2n)! n=0 x 2n e ix = cos x + i sin x cos 2 x + sin 2 x = cos(x + y) = cos x cos y + i sin x sin y sin(x + y) = sin x cos y + i sin y cos x Umkehrfunktionen Die Umkehrfunktionen zu den Winkelfunktionen heißen Arcussinus Arcuscosinus Arcustangens Bijektiv im Intervall ( π 2, π 2 ) Da die Umkehrfunktionen nur das Intervall [,] [0,2π] abbildet, spricht man auch vom Hauptzweig, wenn man sich nur auf das Intervall [0,2π] bezieht, da es offensichtlich unendlich viele Lösungen (Zweige) gibt. Elementare Funktionen Funktionen, die nur aus Polynomfunktionen, Logarithmus-, Exponential- und Winkelfunktionen, Arcusfunktionen, den Grundrechnungsarten, sowie Funktionskompositionen aufgebaut sind, heißen elementare Funktionen. Folgen, Reihen & Funktionen Markus Kessler Seite 9 von

10 Grenzwerte und Stetigkeit D e f i n i t i o n u n d B e i s p i e l e Bei Berechnung der Grenzwerte von Funktionen kann der Schritt über Folgen übersprungen werden. Nützliche Infos sin(x) = x x3 3! + x5 5! x7 7! ± ± x2k+ (2k+)! cos(x) = x2 2! + x4 4! + x6 6! + + x2k (2k)! E i g e n s c h a f t e n s t e t i g e r F u n k t i o n e n Nullstellensatz von Bolzano Sei f: [a, b] R eine auf dem ganzen Intervall [a, b] stetige Funktion mit f(a) < 0 und f(b) > 0. Dann besitzt f auf [a, b] mindestens eine Nullstelle, d.h. es gibt ein c [a, b] mit f(c) = 0. Fixpunktsatz Ein Fixpunkt ist ein Punkt, der durch die Funktion auf sich selbst abgebildet wird. Es gilt also f(x) = x Möchte man diesen Punkt in einer Rekursion herausfinden, kann man den Fixpunktsatz anwenden. Dafür benötigt man zuerst eine Funktion φ: I R, die folgende Eigenschaften erfüllen muss: x I: φ(x) I Lipschitzbedingung muss erfüllt sein Gilt die Lipschitzbedingung, dann besitzt die Funktion einen beschränkten Anstieg. Sie ist definiert mit: φ(x ) φ(x 2 ) x x 2 Die Funktion φ(x) ist definiert mit: λ < φ(x) = x f(x) Somit muss ich für den Fixpunktsatz zuerst ein geeignetes Intervall definieren, indem diese beiden Eigenschaften gelten. Habe ich ein geeignetes Intervall gefunden, dann zeichne ich φ(x) sowie g(x) = x, also die Ursprungsgerade ein. Der Schnittpunkt beider Funktion stellt ein Fixpunkt dar, da in diesem Punkt offensichtlich φ(x) = x gilt. Für die Überprüfung der Lipschitzbedingung kann ich auch die Ableitung verwenden. Dabei muss φ auf dem Intervall I stetig differenzierbar sein und es muss x I gelten: Undefiniertheit einer Funktion bei x 0 φ (x) λ < Wenn man beweisen will, dass eine Funktion an einem Punkt x 0 nicht definiert ist, bietet sich folgende Möglichkeit an. Zu zeigen: f(x 0 ) undefiniert Man suche sich zwei Folgen (a n und a n2 ), die als Grenzwert x 0 besitzen. Jetzt werden die Folgen in die Funktion eingesetzt (f(a n )und f(a n2 )) Wenn lim f(a n ) lim f(a n2 ) gilt, dann ist die Funktion am Punkt x 0 nicht definiert n n Ein Beispiel dazu wäre Aufgabe 9 in der Beispielsammlung. Folgen, Reihen & Funktionen Markus Kessler Seite 0 von

11 Newton sches Näherungsverfahren x n+ = x n f(x n) f (x n ) Ist eine Funktion f auf einem abgeschlossen Intervall zweimal stetig differenzierbar, also es gilt: f (x) 0 für alle x in I so kann man die oben angeführte Formel verwenden. Das Prinzip ist folgendes: Es funktioniert so, dass ich mich langsam der Nullstelle annähern möchte. x n+ ist jeweils der neue, an der Nullstelle nähere Wert. Ich beginne also mit einem Startwert x n, der entweder vorgegeben ist, oder anhand einer Tabelle eher mühselig ermittelt werden muss (zu verschiedenen x-werten f(x) berechnen; sobald sich das Vorzeichen ändert, habe ich einen Startwert). Ich subtrahiere also vom Startwert f(x) wobei ich für x wieder den Startwert einsetzte. Das erhaltene Ergebnis f (x) liegt näher an der Nullstelle und kann bei Bedarf wieder in die Funktion eingesetzt werden. Babylonisches Wurzelziehen Das babylonische Wurzelziehen ist eine alte Methode, um sich schrittweise der Wurzel einer Zahl anzunähern. x n+ = 2 (x n + a x n ) Für die graphische Lösung (Grafik von Martin Pickelbauer) zeichnet man sich die identische Funktion f(x) = x ein (= grün). Wie wir bereits wissen, ermittelt uns das Babylonische Wurzelziehen die Wurzel von a. In dieser Graphik ist a = 9 und somit φ(x) = 2 (x + 9 x ) (= blaue Linie). Die zweite blaue Linie ist die Funktion g(x) = 9 x. Wir starten nun bei einem beliebigem Punkt, hier wäre das 0, und ziehen eine senkrechte Linie bis zur Funktion φ(x). Anschließend ziehen wir die Linie waagrecht bis zur identischen Funktion und dann wieder senkrecht bis wir wieder die Funktion φ(x) schneiden. Das wiederholen wir solange, bis wir an dem Schnittpunkt ankommen, welcher übrigens auch der Grenzwert der Rekursion und die Wurzel von a ist. Folgen, Reihen & Funktionen Markus Kessler Seite von