Gleiche Vorgehensweise wie beim Einheitsvektor in der Ebene (also wie bei 2D).Beispiel:

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1 VEKTOREN Vektoren im Raum (3D) Länge/Betrag eines räumlichen Vektors Um die Länge eines räumlichen Vektors zu bestimmen, berechnen wir dessen Betrag. Auch hier rechnet man genauso wie bei einem zweidimensionalen Betrag (Pythagoras), nur hier eben mit drei Komponenten. Beispiel: a = ( ) => a = + + 3² = 3,74 3 Einheitsvektor im Raum Gleiche Vorgehensweise wie beim Einheitsvektor in der Ebene (also wie bei D).Beispiel: a = ( ) => Der Betrag ist hier a = + + 3² = 3,74. Dividiert man nun alle 3 Komponenten durch 3,74, so bekommt man den Einheitsvektor. :3,74 = 0,7; :3,74 = 0,53; 0,7 3:3,74 = 0,80 => a E = ( 0,53). Würde man nun die Länge berechnen, so kommt heraus. a E = 0,80 0,7 ( 0,53) => a E = 0,7 + 0,53 + 0,80² = 0,80 Addition und Subtraktion von Vektoren Um Vektoren zu addieren, muss man einfach die x-, y- und z-komponenten zusammenzählen. Bei der Subtraktion zählt man diese voneinander ab Beispiel: a = ( ), b = ( 5) => a + b = ( )+( 5) = ( 7) a - b = ( )-( 5) = ( 3) Multiplikation zweier Vektoren (=Skalarprodukt.) Auch hier gleiche Vorgehensweise wie bei D-Vektoren, nämlich man multipliziert die beiden x-komponenten, die beiden y-komponenten, sowie die beiden z-komponenten und zählt 4 4 diese zusammen. Beispiel: a = ( ), b = ( 5) => a * b = ( )* ( 5)= *4 + *5 + 3*6 = Auch hier gilt: Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren Null, stehen die beiden Vektoren senkrecht (=orthogonal) aufeinander. Vektorprodukt oder Kreuzprodukt Werden zwei Vektoren miteinander so multipliziert, dass anstatt einer Zahl nun wieder ein Vektor heraus kommt, so spricht man von einem Vektor- oder Kreuzprodukt. Dies ist aber nur bei dreidimensionalen Vektoren (also Vektoren im Raum) möglich. Um die erste Zeile zu

2 berechnen, streicht man die erste Zeile der Angabe und rechnet übers Kreuz, also multipliziert man entlang des roten Pfeils, entlang des grünen Pfeils und zieht diesen dann vom roten Pfeil ab. Auch bei der dritten Zeile rechnet man gleich (also man streicht die Zeile in der Angabe und rechnet übers Kreuz). Bei der zweiten Zeile rechnet man genau umgekehrt, man rechnet den grünen minus dem roten Pfeil a = ( ), b = ( 3) => a x b = ( )x( 3) = ( 3 4 ) = ( 0) Vektor Kreuzprodukt Vektor a x Allgemein kann man es auch so ausdrücken: a x b = ( a y )x( a z Winkel zwischen zwei Vektoren a y b z a z b y ) = ( a z b x a x b z ) b z a x b y a y b x Auch im dreidimensionalen Raum lautet die Formel gleich, nämlich: cos(α) = a b ( )+( 3) 6+ ( 4) Beispiel: a = ( 3), b = ( 6 ), => cos(α) = 4 ²+( 3) +² ( ) +6 => cos(α) = +( 4)² 8 => cos(α) = - => α = Normalprojektion von einem Vektor auf den anderen Um einen Vektor auf einen anderen zu projizieren, so verwendet man, wie bereits oben erwähnt, das Skalarprodukt. Beispiel: Berechne die Länge der Normalprojektion des Vektors 3 b auf den Vektor a. Vektor a = ( ), Vektor b = ( 4) 4 8 Man berechnet nun das Skalarprodukt von a und b und dividiert diese durch die Länge (=Betrag) von a. Skalarprodukt: -3* + *(-4) + 4*8 = -9 Betrag Vektor a = 3 Länge der Normalprojektion: -9/3 = -,46 => Länge =,46 Darstellung von Geraden mit Parameterform Im dreidimensionalen Bereich werden Geraden mittels Parameterform gegeben. Dabei wird sie über einen Punkt mit einem unendlich langen Richtungsvektor definiert. Eine Parameterform sieht so aus: X = Punkt + Buchstabe (z.b. v)*richtungsvektor Das v steht für einen Faktor, um den der Richtungsvektor vergrößert wird. Ist v z.b., so wird er um das Doppelte vergrößert, ist v keine Zahl, sondern einfach nur der Buchstabe, so wird er unendlich vergrößert => man bekommt statt einer Strecke eine Gerade. Nachdem ein Vektor aber einfach ein Pfeil in eine bestimmte Richtung ist, dieser aber beliebig verschiebbar ist, gibt man davor noch einen Punkt an, sodass der Vektor durch diesen verläuft. b x b y

3 Beispiel: X = (//4) + v*( 4) 8 Gerade bestimmen Eine Gerade kann entweder durch Punkte oder Punkt und einen Vektor ermittelt werden. Sind ein Punkt und ein Vektor bereits gegeben, so hat man die Gleichung bereits im Vorfeld, denn man die Parameterform besteht ja (wie oben erwähnt) aus diesen beiden. Hat man zwei Punkte, so kann man zwischen diesen den Richtungsvektor bestimmen. Diesen erhält man wieder durch die Regel Spitze minus Schaft, also den Endpunkt minus den Anfangspunkt. Beispiel: Punkte A(-/3/4) und B(0/7/-) => Richtungsvektor = ( 4 ) 5 Nun verwendet man einen der beiden Punkte als Referenzpunkt (egal welchen, es kommt dieselbe Gerade heraus) und stellt die Parameterform auf: g: X = (-/3/4) + p*( 4 ) 5 Prüfen, ob Punkt auf Gerade liegt Wenn man überprüfen will, ob ein vorgegebener Punkt auf einer auch vorgegebenen Geraden liegt, so setzt man diesen Punkt einfach für das X am Beginn der Gleichung ein und stellt dann über jede Zeile eine Gleichung auf. Für den Buchstaben muss die gleiche Zahl herauskommen, ansonsten liegt Punkt nicht auf Geraden. Beispiel: Liegt C(//-6) auf der Geraden g: X = (-/3/4) + p*( 4 )? 5 x g: ( y) = ( 3 ) + p*( 4 ) => ( ) = ( 3 )+ p*( 4 ) => Gleichungen aufstellen z = - + p* => p = = 3 + p*4 => p = Punkt liegt auf Geraden -6 = 4 + p*(-5) => p = Weitere Punkte auf Geraden ermitteln Will man weitere Punkte auf der Geraden ermitteln, so braucht man nur einen beliebigen Wert für die Variable (im oberen Fall p) einzusetzen um wieder über jede Zeile die drei Komponenten zu erhalten. Beispiel: Gerade g: X = (-/3/4) + p*( 4 ) 5 x Punkt (für p einfach 3 eingesetzt): g: ( y) = ( 3 )+ 3*( 4 ) => ( 5 ) z 4 5 x 0,5 Punkt (für p einfach 0,5 eingesetzt): g: ( y) = ( 3 )+ 0,5*( 4 ) => ( 5 ) z 4 5,5

4 Abstand Punkt von Geraden Will man den kleinsten Abstand eines Punktes von einer Geraden ermitteln, so braucht man einfach in die folgende Formel einzusetzen. Diese Formel lautet: d = a x (r Q r ) a a steht für den Richtungsvektor der Geraden, r Q r für den Abstand vom Geradenpunkt zum vorgegebenen Punkt. 5 Beispiel: Punkt (5/3/-), Gerade g: X = (/0/) + p*( 5) => a = ( 5), r Q r = ( 3 0 ) => 4 Kreuzprodukt => ( 5)x( 3 ) = ( 4 ) => Betrag berechnen => a x (r Q r ) = 3 4 ( ) ( 4)² = 8,86 a = ² = 5,74 => d = 5,04 Es gibt auch noch weitere Möglichkeiten um den Abstand zu berechnen, wenn man die Formel nicht weiß bzw. nicht kapiert. Entweder man bestimmt den Punkt auf der roten Gerade, der bei rechten Winkel liegt und berechnet den Betrag des Vektors zwischen diesen und dem blauen Punkt (nähere Infos hier: oder man bestimmt den Normalvektor der roten Geraden, stellt die dazugehörige blaue Geradengleichung auf und schneidet die beiden Geraden => Punkt am rechten Winkel => Betrag des Abstands zum blauen Punkt = Länge. Schnittpunkt und Abstand zweier Geraden. Möglichkeiten der Lage zweier Geraden Zwei Geraden im Raum können ein der folgenden Lagen zueinander haben: parallel (kein Schnittpunkt, allerdings immer gleichbleibender Abstand zwischen den Geraden), identisch (unendlich viele Schnittpunkte), sie schneiden sich (ein Schnittpunkt), windschief (sie schneiden sich nicht). Nur für den dritten Fall kann man einen Schnittpunkt berechnen.

5 . Vorgehen bei der Untersuchung der Lage Sind die Richtungsvektoren der Geraden parallel (entweder gleich oder ein Vielfaches)? a) Ja => parallel oder identisch, b) Nein => schneiden sich oder sind windschief. Zu a: Liegt ein beliebiger Punkt (z.b. der Punkt in der Geradengleichung) auch auf der anderen? Ja => identisch, Nein => parallel. Zu b: Ergibt das Gleichsetzen der Geraden eine Lösung? Ja => dies ist der Schnittpunkt der Geraden, Nein => (z.b. 5=) die Geraden sind windschief. 4 Beispiel : g: X = (/0/) + p*( 5) und h: X = (5//3) + r*( 0) 4 4 Richtungsvektoren: ( 5) und ( 0) => der zweite ist gleich (alle drei Komponenten sind mit 4 *(-) multipliziert => entweder parallel oder identisch => Punkt von einer Geraden in die 5 andere einsetzen (z.b. (5//3) in die erste) und Gleichungen aufstellen=> ( ) = ( 0) + p*( 5) 3 5 = + p => p = 3 = 0 + 5p => p = /5 parallel, wenn bei allen p dasselbe herauskommen 3 = + p => p = würde, wären sie ident. 4 Beispiel : g: X = (/4/) + p*( 3) und h: X = (-//) + r*( 6 ) 4 Richtungsvektoren: ( 3) und ( 6 ) => Richtungsvektoren sind ungleich (man kann die ersten drei Komponenten mit keiner Zahl multiplizieren, damit die zweiten drei Komponenten herauskommen) => entweder sie schneiden sich oder sind windschief => gleichsetzen. +p = -+4r aus den ersten beiden p und r ausrechnen, in dritte 4-3p = +6r Gleichung einsetzen, wenn 5=5 => schneiden (Schnittpunkt +p = -r in erste Gerade einsetzen), wenn 5=6 => windschief In diesem Fall: +p = -+4r gleichsetzen mit 4-3p = +6r => p = 0, r = 0,5 => einsetzen in dritte Gleichung => +*0 = -*0,5 => = => schneiden sich => entweder für p=0 in die x erste Gerade oder für r=0,5 in die zweite Gerade einsetzen => g: ( y) = ( 4) + 0*( 3) => z Schnittpunkt berechnen => x = +0* =, y = 4+0*(-3) = 4, z = +0* = => Schnittp. (/4/) 3. Abstand zweier Geraden Möchte man den Abstand zwischen zwei parallelen Geraden berechnen, so kann man entweder wieder in eine vorgegebene Formel einsetzen oder sich den Abstand durch logisches Überlegen berechnen. Die Formel lautet (gleich wie beim Abstand von einem Punkt zu einer Geraden):

6 d = a x (r r ) a r ist der Fixpunkt der zweiten Gerade, r der Fixpunkt der ersten Gerade, a ist der Richtungsvektor der ersten Gerade. 4 Beispiel: g: X = (//0) + p*( ) und h: X = (//) + r*( ) a = ( ), r r = ( )=> Kreuzprodukt => ( )x( ) = ( 4) => Betrag berechnen => a x (r r ) = ( 3) + ( 4) + ()² = 5,39 a = + ( ) + ² =,45 => d =, Durch logisches überlegen kommt man drauf, wenn man von einer Geraden (egal welcher) den Richtungsvektor in den Normalvektor umwandelt, und Dann eine neue Gerade (die eben rechtwinkelig ist) definiert. Wenn man diese Gerade dann mit beiden parallelen schneidet, bekommt man zwei Schnittpunkte, zwischen diesen kann man einen Vektor ziehen, die Länge dieses Vektors ist der Abstand. Bestimmung einer Ebenengleichung Man kann eine Ebene entweder durch eine Gerade und einen Punkt, durch drei Punkte oder durch zwei Geraden definieren.. Durch drei vorgegebenen Punkte Auch hier gib es wieder die Möglichkeit die Ebene mittels Parametergleichung oder in Koordinatenform darzustellen. a) Parametergleichung: Diese hat die Form E: X = Punkt + v*vektor + w*vektor Vektor und Vektor werden einfach vom Ausgangspunkt zu den beiden anderen gespannt. Beispiel: Gegeben sind die Punkte A(//), B(3/5/7) und C(0/-/8), die Parametergleichung lautet nun: 3 0 X = ( ) + v*( 5 )+ w*( ) => X = ( ) + v*( 3)+ w*( 4) b) Koordinatengleichung: Diese hat die Form E: X = a*x + b*y + c*z = d Bei dieser Form muss man Gleichungen aufstellen und anschließend das Gleichungssystem lösen. Beispiel: Gegeben sind die Punkte A(//), B(3/5/7) und C(0/-/8), das Gleichungssystem lautet nun: a*x + b*y + c*z = d a* + b* + c* = d a*3 + b*5 + c*7 = d a*0 + b*(-) + c*8 = d a = 9 3 d, b = 7 6 d, c = 5 6 d Setzt man nun für d z.b. 6 ein, so bekommt man die Gleichung: E: -38x + 7x + 5z = 6

7 . Durch eine Gerade und einen vorgegebenen Punkt Die Parameterform ist hier leicht zu ermitteln, denn dazu braucht man einfach einen Punkt und zwei Richtungsvektoren. Ein Punkt und ein Vektor sind bereits in der Geradengleichung vorhanden, den zweiten Richtungsvektor bekommt man, indem man einen Vektor vom 3 Geradenpunkt zum gegebenen Punkt spannt. Beispiel: h: X = (//3) + r*( ), Punkt P(/-/) Vektor zwischen Geradenanfangspunkt und gegebenen Punkt ermitteln => ( ) = 3 3 ( 3) => E: (//3) + t*( ) + z*( 3) Für die Koordinatengleichung ermittelt man sich drei Punkte (zwei sind bereits gegeben, den dritten bekommt man, indem man vom Geradenstartpunkt den Richtungsvektor addiert), dann kann man es wieder mit einem Gleichungssystem (wie im vorherigen Punkt beschrieben) lösen. 3. Durch zwei vorgegebene Geraden Bei parallelen Geraden: g: X=A+r*U g: X=B+s*U E: X = A + r*u + s*(b-a) Bei schneidenden Geraden: g: X=A+r*U E: X = A + r*u + s*v g: X=B+s*V Bei windschiefen Geraden: keine Ebene möglich. Normalvektor einer Ebene Der Normalvektor kann einfach aus der Koordinatenform abgelesen werden. Diese hat die a Grundform a*x + b*y + c*z = d => n = ( b). Beispiel: x + 3y -5z = 4 => n = ( 3 ) c 5 Ist die Ebene in Parameterform gegeben, so wandelt man diese zuerst in die Koordinatenform um. Parametergleichung in Koordinatengleichung Um eine Parametergleichung in eine Koordinatengleichung zu wandeln, wandelt man das X vor dem = -Zeichen in einen Vektor um und stellt wieder bei allen Zeilen eine Gleichung auf. Anschließende löst man das Gleichungssystem. 4 x 4 Beispiel: E: X = ( 9) + t*( ) + w*( 0) => ( y) = ( 9) + t*( ) + w*( 0) x = 4 + t + w y = 9 + t 0 3 z 0 => t = 0,5y 4,5 3 z = + 3w => w = 0,33z 0,33 einsetzen in erste: x = 4 + 0,5y 4,5 + 0,33z 0,33 6x 3y z = -5

8 Koordinatengleichung in Parametergleichung Um eine Koordinatengleichung in eine Parametergleichung zu wandeln, wandelt man die Gleichung zuerst auf eine Variable (z.b. z) um, setzt x = r und y = s und schreibt die Gleichungen auf. Die ersten beiden Gleichungen sehen immer wie im folgenden Beispiel aus, die dritte ergibt sich aus der umgewandelten. Beispiel: 6x 3y z = -5 => z = 3x,5y +,5 => x=r und y=s setzen => z = 3r,5s +,5 => Gleichungen aufstellen => x = 0 + r + 0s y = 0 + 0r + s z = -3 + r + s Lage von Ebenen Hat man zwei Ebenen, so können diese parallel oder ident verlaufen oder sich schneiden (Bilder oben). Hat man drei Ebenen, so können diese parallel oder ident verlaufen oder sich in verschiedenen Varianten schneiden (Bilder links). D 0 0 E: X = ( 0 ) + r*( 0) + s*( ) 3 3D Abstand zweier Ebenen Um den Abstand zweier Ebenen zueinander zu finden, braucht man zuerst die beiden Normalvektoren. Sind diese gleich (oder ein Vielfaches), so sind die Ebenen parallel oder ident, ansonsten schneiden sie sich (kein Abstand). Sind die Normalvektoren gleich, prüft man, ob ein Punkt der ersten Ebene auf der zweiten liegt, wenn ja => ident, wenn nein => parallel. Dann die untenstehende Formel (Hess sche Normalenform) von einer der beiden Ebenen aufstellen und einen Punkt der zweiten Ebene einsetzen.

9 d = n x Punkt(x)+n y Punk(y)+n z Punk(z) a n Diese Formel schaut sehr kompliziert aus und wird so auch in keinem Formelheft stehen, aber mit der Erklärung ist diese gar nicht mehr schwer. n x, n y und n z stehen für den x-, y- und z-wert des Normalvektors, a für die alleinstehende Zahl in der ersten Ebene, Punkt(x), Punkt(y) und Punkt(z) stehen für den x-, y- und z-wert eines beliebigen Punktes auf der zweiten Ebene. Die Formel rechnet also den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene aus. 4 Beispiel: E: x + 4y + 8z =, E: 4x + 8y + 6z = 0 => Normalvektoren: n = ( 4), n = ( 8 ) 8 6 => Normalvektoren sind gleich, nur ein Vielfaches ( *) => parallel oder ident. Jetzt einen Punkt (z.b. für x =, für y = ) einsetzen und den dritten (in diesem Fall z) Wert berechnen. Setzt man diese Punkte dann auch in die zweite Gleichung ein, muss der Gleiche Wert herauskommen. Man erkennt es auch, indem man sieht, dass von einem Normalvektor auf den anderen in diesem Fall * gerechnet wird, deshalb müsse auch die rechte Seite () mit multipliziert werden, damit sie identisch sind (also 4x + 8y + 6z = wäre ident) => Ebenen sind parallel. n = ( 4), n = ² = 84, 8 Beliebiger Punkt auf zweiter Ebene (es muss ein x-, y- und z-wert gefunden werden, damit die Gleichung stimmt): P(,5/0/0) d = n x Punkt(x)+n y Punk(y)+n z Punk(z) n, => d = 4 => d = 4 => d = 0, Schnittgerade zweier Ebenen => d = (x)+4 (y)+8 (z) 84 => d = Hat man zwei Ebenen, die nicht ident oder parallel verlaufen, so schneiden sie sich und man kann die Schnittgerade ermitteln. Dazu ist es leichter wenn die Ebenengleichungen in Koordinatenform gegeben sind (ansonsten einfach auf diese umwandeln). Man ersetzt nun die z-komponente mit einer anderen Variablen und löst die beiden Gleichungen dann nach x, y und z auf und setzt diese Ausdrücke in eine Geradengleichung ein. Am besten erkennt man es an einem Beispiel: E: 3x + y - z =, E: x -y + z = z ersetzen durch t (z=t): E: 3x + y t = E: x y + t = 5x + t = => x = - *t => 5 5 => einsetzen in einer der beiden Gleichungen: 3*( 5-5 *t) + y t = => y = *t x t 5 5 g: X = ( y) => X = ( z + 8 t ) => X = ( 5 5 t ) + t ( 8 5 )

10 Schnittpunkt dreier Ebenen Den Schnittpunkt zwischen drei Ebenen kann man leicht berechnen. Man braucht nur ein Gleichungssystem aus den drei Koordinatenformen aufstellen und dieses lösen. Ist es lösbar, so hat man einen Schnittpunkt, ist es nicht lösbar, so muss man noch überprüfen, ob die Ebenen parallel oder ident sind oder ob eine Gerade zwischen allen dreien vorliegt (letztes Bild bei Lage von Ebenen ). Beispiel: x y + 3z = 0 3x + 4y z = 9 x y + 5z = 5 Winkel zweier Ebenen x =, y =, z = 3 => S(//) Um den Winkel zwischen Ebenen zu erhalten, muss man einfach die beiden Normalvektoren aufstellen und in die (wie oben bereits im Kapitel Winkel zwischen zwei Vektoren erklärt) in die folgende Formel einsetzen: cos(α) =. a b 5 Beispiel: E: -x + y - z = 0, E = 5x + y 3z = 9 => n = ( ) und n = ( ) 3 ( ) 5+ +( ) ( 3) cos(α) = => cos(α) = a b ( )²+ => cos(α) = +( )² 5 + +( 3)² 6 38 Lage ein Ebene und einer Geraden Es gibt 3 mögliche Arten, wie Geraden und Ebenen zueinander liegen können Gerade schneidet Ebene => Schnittpunkt Gerade liegt in Ebene => unendlich viele Schnittpunkte Gerade parallel zur Ebene => kein Schnittpunkt => α = 83,39 Schnittpunkt Gerade Ebene Um herauszufinden, welcher dieser drei Fälle vorliegt benötigt man die Ebene in Koordinatenform. Danach setzt man die Gerade einfach in die Ebenengleichung ein. Beispiel: 6 g: X = ( ) + t ( 7), E: x + 3y + z = => g in E einsetzen => 8 *(+6t) + 3*(+7t) + *(+8t) = Kommt nun für t ein Wert (also z.b. t=5) heraus, so liegt ein Schnittpunkt vor, kommt eine wahre Aussage (also z.b. =) heraus, so liegen unendlich viele Schnittpunkte vor => Gerade liegt in der Ebene, kommt eine falsche Aussage (also z.b. =3) heraus, so liegt kein Schnittpunkt vor => Gerade ist parallel zur Ebene. *(+6t) + 3*(+7t) + *(+8t) = => t =, => einsetzen in Gleichung =>

11 6 x 6 X = ( ) +, ( 7) => ( y) = ( ) +, ( 7) => x = +,*6 = 3,73; y = +,*7 = 8 z 8 5,86; z = +,*8 = 7,98 Winkel Gerade Ebene Bei den oberen Winkelkapitel wurde stets die Formel cos(α) = a b verwendet, diese ist hier nicht mehr gültig, denn bei der Ebene kann man nur den Normalvektor aufstellen (90 zur Ebene) und bei der Geraden den Richtungsvektor. Hätte man Ebenen, so kann man die Formel deswegen verwenden, da bei beiden Ebenen mit dem Normalvektor gerechnet wird. Deswegen einfach in die leicht geänderte Formel einsetzen: sin(α) = a b a steht für den Richtungsvektor der Geraden, b steht für den Normalvektor der Ebene. 3 7 Beispiel: g: X = ( 0) + t ( ), E: 7x y + 5z = 4 => n = b = ( ), a = ( ) 5 sin(α) = a b => sin(α) = 7+( ) ( )+ 5 Abstand Punkt Ebene Sie Kapitel Abstand zweier Ebenen. ²+( ) => sin(α) = 8 => α = 58,05 +² 7 +( )²+5² 6 75