KAPITEL 5. Kurven im R 2. Definition 5.1. Kurve im R 2. Sei G R 2 und [a, b] R ein abgeschlossenes Intervall. Jede Abbildung

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1 KAPITEL 5 Kurven im R 2 1. Kurven In der Physik und in den Ingenieurwissenschaften besteht oft das Problem die Bewegungskurve\ von Objekten zu beschreiben. Der Einfachheit halber betrachten " wir Kurven im R 2, dies ist z.b. auch dann der Fall, wenn man die 3. Dimension vernachlassigen kann z.b. im Straen- und Schienenbau. Definition 5.1. Kurve im R 2. Sei G R 2 und [a, b] R ein abgeschlossenes Intervall. Jede Abbildung x 1 (t) x(t) : [a, b] G, x(t) =, x 2 (t) mit stetig dierenzierbaren Funktionen ( x 1 ) und x 2 heit Kurvenstück in x G mit dem Anfangspunkt 1 (a) x(a) = und dem Endpunkt x(b) = x 2 (a) x 1 (b) und der Spur { x(t) : a t b}. x 2 (b) Ein Kurvenstuck heit regulär, wenn Man bezeichnet x 1(t) 2 + x 2(t) 2 > 0 fur alle t [a, b] gilt. x(t) = ( x 1 (t) x 2 (t) als Parameterdarstellung des Kurvenstucks mit dem Parameter t. Durch wachsende Werte des Parameters ist fur das Kurvenstuck eine Orientierung gegeben. Eine Kurve ist eine Aneinanderreihung von Kurvenstucken. ) Beispiel 5.1. Jede Funktion ist eine Kurve. y = f(x) auf dem Intervall [a, b] 57

2 58 5. KURVEN IM R 2 lasst sich als Kurve wie folgt parametrisieren: x 1 (t) t x(t) := =, a t b. x 2 (t) f(t) Beispiel 5.2. Die Einheitskreislinie x 2 + y 2 = 1 ist eine Kurve. Die ubliche Parametrisierung ergibt sich mit Hilfe von Polarkoordinaten zu cos ϕ x(t) :=, 0 ϕ < 2π. sin ϕ Dies ist aber nicht die einzig mogliche Parametrisierung, da Parametrisierungen nicht eindeutig sind. Fur die Einheitskreislinie ist z.b. auch sin ψ x(t) :=, 0 ϕ < 2π, cos ψ eine Parametrisierung, die sich von der vorigen aber in Anfangs- und Endpunkt sowie der Orientierung unterscheidet. Beispiel 5.3. Zykloide (Rollkurve). x(t) = rt a sin t, y(t) = r a cos t, t 0. gewohnliche Zykloide a = r, verkurzte Zykloide a < r, verlangerte Zykloide a > r, analytische Gleichung (a = r): ( r y x(y) = r arccos ) y(2r y). r

3 1. KURVEN 59 Ahnliche Kurven sind die Epizykloiden und Hypozykloiden. Bei der Konstruktion von Zahnradern werden die verschiedenen Zykloiden, bei Zahnstangen wird auch die Konchoide verwendet: x(ϕ) = a+b cos ϕ, y(ϕ) = a tan ϕ+b sin ϕ, 0 ϕ < 2π, bzw. (x a) 2 (x 2 +y 2 ) b 2 x 2 = 0. Weniger bekannt, aber weit verbreitet ist die Verwendung des Zahnstangenantriebs als Schubladenantrieb von CD-Spielern, DVD-Playern, CD- und DVD- Laufwerken und weiteren technischen und elektronischen Geraten. Beispiel 5.4. Pascalsche Schnecke, a, b > 0. kartesisch: (x 2 + y 2 ax) 2 b 2 (x 2 + y 2 ) = 0, in Polarkoordinaten: r = a cos ϕ + b, Parameterdarstellung: x(t) = (a cos t + b) cos t + (a cos t + b) sin t.

4 60 5. KURVEN IM R 2 2. Kurventangente und -normale Wir wollen die Tangente an die Kurve bestimmen, dazu bestimmen wir zun achst die Geradengleichung der Sekante: Tangente y=ax+b x(t)= (x(t);y(t)) T x(t+h) = (x(t+h);y(t+h)) T Sekante y=ax+b Kurve y(t) x(t)= (x(t);y(t)) T y(t+h) x(t+h) = (x(t+h);y(t+h)) T Sekante y=ax+b Kurve x(t+h) x(t) Die Tangente ergibt sich aus der Sekante für h > 0 Die Sekante verlauft durch die Punkte (x(t + h); y(t + h)) T und (x(t); y(t)) T, deshalb mussen beide Punkte die Geradengleichung erfullen: y(t + h) = Ax(t + h) + B, y(t) = Ax(t) + B ziehen wir von der ersten die zweite Gleichung ab, so erhalten wir = A() bzw. A = und wir benutzen die zweite Gleichung um B zu bestimmen, d.h. die Sekantengleichung lautet: y = x + y(t) x(t) = (x x(t)) + y(t). (Man beachte, dass t und h feste reelle Zahlen fur eine konkrete Sekante sind.) Aus dem Grenzwert h 0 ergibt sich die Tangentengleichung im Kurvenpunkt

5 2. KURVENTANGENTE UND -NORMALE 61 (x(t); y(t)) T : y = lim h 0 (x x(t)) + y(t) = lim y(t+h) y(t) h 0 h x(t+h) x(t) lim h 0 h (x x(t)) + y(t) = y (t) ẏ(t) (x x(t)) + y(t) = (x x(t)) + y(t), x (t) ẋ(t) so die Grenzwerte existieren und der Nenner ungleich Null ist. Bei der Ableitung nach einem Parameter schreibt man oft anstelle von x den Ausdruck ẋ, dass kommt daher, dass in der Physik und den Anwendungen Ableitungen nach der Zeit mit einem Punkt geschrieben werden. Der Parameter in unserem Fall muss nicht die Zeit sein, trotzdem schreiben wir den Punkt. Beispiel 5.5. Tangente an die gewohnliche Zykloide: Parameterdarstellung: x(t) = r(t sin t), y(t) = r(1 cos t), t R, Ableitungen: ẋ(t) = r(1 cos t), ẏ(t) = sin t, t R, die Tangentengleichung lautet: y = ẏ(t) sin (x x(t)) + y(t) = ẋ(t) t r(1 cos t) (x x 0) + y 0, t R, t 2kπ, k Z, mit x 0 = x(t) und y 0 = y(t). An den Stellen t = 2kπ, k Z, existiert die Tangente nicht, wie man leicht in der Skizze sieht. Die Normale steht senkrecht auf der Tangente, deshalb hat die Normale den Anstieg tan(α + π ), wenn die Tangente den Anstieg tan α hat. 2 Normale Tangente y=ax+b x(t)= (x(t);y(t)) T Kurve Fur den Tangens gilt nun tan(α + π 2 ) = sin(α + π 2 ) cos(α + π 2 ) = cos α sin α = 1 tan α = ẋ(t) ẏ(t). Folglich lautet die Normalengleichung an die Kurve im Punkt (x(t); y(t)) T : y = ẋ(t) (x x(t)) + y(t). ẏ(t)

6 62 5. KURVEN IM R 2 Beispiel 5.6. Normale an die gewohnliche Zykloide: Parameterdarstellung: x(t) = r(t sin t), y(t) = r(1 cos t), t R, Ableitungen: ẋ(t) = r(1 cos t), ẏ(t) = sin t, t R, die Normalengleichung lautet: y = ẋ(t) r(1 cos t) (x x(t)) + y(t) = (x x 0 ) + y 0, t R, t 2kπ, k Z, ẏ(t) sin t mit x 0 = x(t) und y 0 = y(t). An den Stellen t = kπ, k Z, existiert die Normale nicht, da fur k = 2kπ schon die Tangente nicht existierte und fur die anderen Ausnahmewerte die Normale parallel zur y-achse verlauft, d.h. der Anstieg unendlich\ ist. "