Kurvenintegral, Tangenten

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Christina Martin
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1 Vorzeigeaufgaben: HS10 Aufgabe 2 WS05/06 Aufgabe 1a+b HS11 Aufgabe 2: falls Zeit am Ende vom Kursblock 1, ansonsten als Hausaufgabe. Empfohlene Bearbeitungsreihenfolge: HS09 Aufgabe 1 HS08 Aufgabe 3 HS12 Aufgabe 5 HS12 Probeprüfung Aufgabe 5 HS07 Aufgabe 1 WS06/07 Afgabe 2 WS04/05 Aufgabe 1 gebrauchte Formeln: Ganghöhe: (Höhe, bis man wieder über demselben Punkt steht Periodizität) Meistens wird die Höhe mit der z-koordinate bestimmt (wie im Bsp). Periodizität = kgv der Periodizitäten für die x- und y-komponenten - falls sin(t) & cos(t) / sin(2t) & cos(t) / sin(t) & cos(2t) t = 2π. - falls sin(2t) & cos(2t) t = 2π = π. falls sin(c t) & cos(c t) t = 2π. 2 c Formel für Tangente im Punkt x(t 0 ) : y(s) = x(t 0 ) + x(t 0 ) s. x(t) ist die Ableitung von x(t). Bsp: x(t) = sin(t) cos(t) a t 2 x(t) = cos(t) sin(t) 2at Formel für Kurvenintegral: C F ( x)d x = gemäss Vorgabe gemäss Vorgabe F ( x(t)) x(t)dt. Orthogonal / senkrecht heisst Skalarprodukt ( ) ist 0. a b c d e f = a d + b e + c f Vielfaches/parallel/kollinear heisst v 1 = λ v 2. 1

2 Prüfung HS10 - Aufgabe 2: Wir betrachten die durch t x(t) := 3 sin(t) 3 cos(t) at definierte Schraubenlinie C, wobei a eine Konstante ist. a) Wählen Sie a so, dass die Ganghöhe 3 wird, und skizzieren Sie die Situation. b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangente an C im Punkt x(π) mit der - -Ebene, und skizzieren Sie die Situation. c) Berechnen Sie F ( x)d x für das Vektorfeld C a) a = 3 2π. b) (3π/ 3/0) c) 18π. 2

3 Prüfung 05/06 - Aufgabe 1: Die Kurve B sei gegeben durch die Parameterdarstellung cos(t) t x(t) := t sin(t) definierte Schraubenlinie B, wobei a eine Konstante ist. a) Beschreiben Sie die Kurve möglichst treffend mit Worten und machen Sie eine Skizze. b) Sei t 0 = π/2 und t 1 = 3π/2. Sei g 0 die Kurventangente im Punkt x(t 0 ) und sei g 1 die Kurventangente im Punkt x(t 1 ). Geben Sie für beide Tangenten eine Parameterdarstellung an und entscheiden Sie, ob die Tangenten g 0 und g 1 orthogonal sind. c) Berechnen Sie das Kurvenintegral F ( x) d x für das Vektorfeld B x 2 /π d) Sei G( x) ein Vektorfeld so, dass der Feldvektor G( x(t)) für jeden Parameterwert t [0, 2π] senkrecht steht zur Kurventangente im Punkt x(t). Welchen Wert hat das Kurvenintegral J = G( x) d x? B a) Es handelt sich um eine Schraubenlinie mit Radius 1 entlang der -Achse. Die Gangweite ist 2π. b) y 0(s) = 0 π/ s, y 1(s) = 0 3π/ s sind orthogonal (SP der Richtungsvektoren = 0). c) 0. d) 0. 3

4 Prüfung HS11 - Aufgabe 2: Wir betrachten die Vektorfunktion wobei a > 0 eine Konstante ist. a) Zeigen Sie, dass t x(t) := a sin(t) sin(2t) x(t) = x(2π t),, und skizzieren Sie die Kurve D mit der Parametrisierung x(t), 0 t 2π, für a = 1. Hinweis: sin( π 6 ) = 1 2 ; sin( π 4 ) = ; sin( π 3 ) = b) Berechnen Sie für a > 0 zwei Tangentialvektoren an D im Punkt P (0, 0), die keine Vielfachen voneinander sind. Für welchen Wert a > 0 sind diese senkrecht zueinander? c) Berechnen Sie das Kurvenintegral von F längs dem Kurvenstück C gegeben durch t x(t), 0 t π, für das Vektorfeld F gegeben durch F = ( a) siehe Lösungen. b) x(0) = a 2 ) (, x(π) = a 2 ). für a = 2. c) 4 3 a. 4

5 Prüfung HS12 - Aufgabe 5: Gegeben sei die Kurve ξ : t x(t) := 2 cos(t) 2 sin(t) at, (0 t 4π) wo a eine Konstante ist. a) Wie muss man a wählen, damit die Ganghöhe 8 wird? b) Sei zusätzlich das Vektorfeld F gegeben: x F y = z Berechnen Sie F ( x)d x, wenn Sie obige Ganghöhe wählen. ξ y x y a) 4 π b) 16π. 5

6 ProbePrüfung HS12 - Aufgabe 5: cos(t) Gegeben sei die Kurve ξ : t x(t) := sin(t), (0 t π). g sei die Tangente zur Kurve im Punkt x( π 2 ). t a) Wo trifft g die x-y-ebene? b) Sei zusätzlich das Vektorfeld F gegeben: x y F y = x z 0 Berechnen Sie F ( x)d x. ξ a) im Punkt ( π 2, 0) b) π. 6

7 Prüfung HS09 - Aufgabe 1: Wir betrachten die durch t x(t) := 2 cos(t) 2 sin(t) at definierte Schraubenlinie C, wobei a eine Konstante ist. a) Wählen Sie a so, dass die Ganghöhe 4 wird, und skizzieren Sie die Situation. b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangente an C im Punkt x( π 4 ) mit der, -Ebene, und skizzieren Sie die Situation. c) Berechnen Sie F ( x) d x für das Vektorfeld C x 1 2π a) a = 2 π. b) S = ( 2 4 (4 + π), 2 4 (4 π), 0) c) 0. 7

8 Prüfung HS08 - Aufgabe 3: Wir betrachten die durch t x(t) := cos(t) sin(t) tπ definierte Kurve C. a) Skizzieren Sie die Situation und prüfen Sie nach, ob die Vektoren x(t) und x(t) aufeinander senkrecht stehen. b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangente an C im Punkt x( 1 2 π) mit der - -Ebene, und skizzieren Sie die Situation. c) Berechnen Sie F ( x)d x für das Vektorfeld C x 1 a) Skalarprodukt = 0 (d.h. stehen senkrecht aufeinander). b) ( π 2 /1/0) c) 2π. 8

9 Prüfung HS07 - Aufgabe 1: Wir betrachten die durch t x(t) := 2 cos(t) 2 sin(t) at definierte Schraubenlinie C, wobei a eine Konstante ist. a) Wählen Sie a so, dass die Ganghöhe 4 wird und skizzieren Sie die Situation. b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangente an C im Punkt x( 3 2 π) mit der - -Ebene, und skizzieren Sie die Situation. c) Berechnen Sie F ( x)d x für das Vektorfeld C x 1 a) a = 2 π. b) ( 3π/ 2/0) c) 8π. 9

10 Prüfung WS06/07 - Aufgabe 2: Wir betrachten die durch t x(t) := 2 sin(t) 2 cos(t) at definierte Schraubenlinie B, wobei a eine Konstante ist. a) Wählen Sie a so, dass die Ganghöhe 2 wird und skizzieren Sie die Situation. b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangente an B im Punkt x( π 2 π) mit der - -Ebene, und skizzieren Sie die Situation. c) Berechnen Sie F ( x)d x für das Vektorfeld B x 1 + a) a = 1 π. b) (2/π/0) c) 8π. 10

11 Prüfung WS04/05 - Aufgabe 1: Die Kurve B sei gegeben durch die Parameterdarstellung 6 cos(t) t x(t) := 6 sin(t) t 2π definierte Schraubenlinie B, wobei a eine Konstante ist. a) Skizzieren und beschreiben Sie die Kurve in Worten. b) Sei t 0 = π 2. Sei g 0 die Tangente an die Kurve B im Punkt x(t 0 ). Geben Sie eine Parameterdarstellung y(s) = s a + c von g an und bestimmen Sie den Schnittpunkt von g mit der x-y-ebene. Skizzieren Sie die Situation. c) Bestimmen Sie das Kurvenintegral F ( x)d x für das Vektorfeld B x 1 24π a) Schraubenlinie der Ganghöhe 1 über dem Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius b) y 0(s) = s, S = ( 6π 2 / 6/0). c) 0. 1/4 1/(2π) 11

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