Bei 10 dieser Würfe wurde gleichzeitig eine 1 gewürfelt. Bei 25 dieser Würfe wurde gleichzeitig eine Augenzahl größer als 2 gewürfelt.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Bei 10 dieser Würfe wurde gleichzeitig eine 1 gewürfelt. Bei 25 dieser Würfe wurde gleichzeitig eine Augenzahl größer als 2 gewürfelt."

Transkript

1 3 Wahrscheinlichkeiten 1 Kapitel 3: Wahrscheinlichkeiten A: Beispiele Beispiel 1: Ein Experiment besteht aus dem gleichzeitigen Werfen einer Münze und eines Würfels. Nach 100 Wiederholungen dieses Experiments erhielt man folgendes Ergebnis: 40mal wurde mit der Münze Kopf geworfen: Bei 10 dieser Würfe wurde gleichzeitig eine 1 gewürfelt. Bei 25 dieser Würfe wurde gleichzeitig eine Augenzahl größer als 2 gewürfelt. Eine 1 wurde insgesamt 21mal gewürfelt. 4mal wurde eine 2 gewürfelt und gleichzeitig mit der Münze Zahl geworfen Nach 1000 Wiederholungen des Experiments erhielt man folgendes Ergebnis: 166mal wurde eine 1 gewürfelt Bei 82 Versuchen davon warf man gleichzeitig mit der Münze Kopf 165mal wurde eine 2 gewürfelt Bei 79 Versuchen davon warf man gleichzeitig mit der Münze Zahl Insgesamt wurde 508mal mit der Münze Kopf geworfen a) Stellen Sie eine Tabelle mit den relativen Häufigkeiten aller Ereignisse des Experiments (i) nach 100 Wiederholungen, (ii) nach 1000 Wiederholungen, auf. b) Auf welche Werte werden sich die relativen Häufigkeiten einpendeln, wenn man das Experiment sehr oft wiederholt? Unterstellen Sie dabei, daß es sich um eine faire Münze und einen fairen Würfel handelt. c) A sei das Ereignis, keine 1 zu würfeln und gleichzeitig mit der Münze Kopf zu werfen. B sei das Ereignis, eine 2 zu würfeln. Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten: (i) P(A), P(B), P(A c ), P(B c ) (ii) P(A B), P(A B) (iii) P(A c B)

2 3 Wahrscheinlichkeiten 2 Lösung: (a) Ereignisraum des Experiments Ω = {(1,K); (2,K); (3 +,K); (1,Z); (2,Z); (3 +,Z)} (i) relative Häufigkeit = absolute Häufigkeit/Anzahl der Wiederholungen Relative Häufigkeiten nach 100 Wiederholungen: Münze Würfel gesamt K Z gesamt (ii) Relative Häufigkeiten nach 1000 Wiederholungen Münze Würfel gesamt K Z gesamt (b) Der Wert, auf den sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses nach sehr vielen Wiederholungen des Experiments einpendelt, ist die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses. Jede Augenzahl wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 gewürfelt. Bei einer fairen Münze haben 6 Kopf und Zahl jeweils die Wahrscheinlichkeit 1 2. Es ergibt sich die folgende Wahrscheinlichkeitstabelle für die Elementarereignisse: Münze K Z gesamt Würfel gesamt 1 12 = = = = = = = = = = = (c) (i) A = {(2,K); (3 +,K)}; A c = {(1,K); (1,Z); (2,Z); (3 +,Z)} B = {(2,K); (2,Z)}; B c = {(1,K); (3 +,K); (1,Z); (3 +,Z)} P(A) = P(2,K) + P(3 +,K) = = 5 12 P(B) = P(2,K) + P(2,Z) = = 1 6

3 3 Wahrscheinlichkeiten 3 P(A c ) = P(1,K) + P(1,Z) + P(2,Z) + P(3 +,Z) = = 7 12 oder P(A c ) = 1 P(A) = = 7 12 P(B c ) = P(1,K) + P(3 +,K) + P(1,Z) + P(3 +,Z) = = 5 6 P(B c ) = 1 P(B) = = 5 6 (ii) A B = {(2,K)}; A B = {(2,K); (3 +,K); (2,Z)} P(A B) = P(2,K) = 1 12 P(A B) = P(2,K) + P(3 +,K) + P(2,Z) = = 1 2 oder P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = = 1 2 (iii) A c B = {(1,K); (2,K); (1,Z); (2,Z); (3 +,Z)} P(A c B) = P(1,K) + P(2,K) + P(1,Z) + P(2,Z) + P(3 +,Z) = = 2 3 oder (A c B) c = {3 +,K)}; P((A c B) c ) = P(3 +,K) = 1 3 P(A c B) = 1 P((A c B) c ) = = 2 3 B: Übungsaufgaben [ 1 ] Ein fairer Würfel wurde 20 - mal geworfen. Die Ergebnisse waren: Welche Aussagen sind WAHR? Augenzahl Häufigkeit a) Die relative Häufigkeit ist für alle Augenzahlen gleich, nämlich 1/6. b) Die Wahrscheinlichkeit der Augenzahl 2 ist 1/5. c) Die Wahrscheinlichkeit der Augenzahl 6 ist gleich der Wahrscheinlichkeit der Augenzahl 4. d) Die relative Häufigkeit der Augenzahl 5 ist 3. e) Die relative Häufigkeit der Augenzahl 3 ist 3/20.

4 3 Wahrscheinlichkeiten 4 [ 2 ] Sei Ω der Ereignisraum; A, B und C seien Ereignisse. Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) P(A B) = P(A), wenn B A b) P(A) + P(B) = P(A B), falls A B = /0 c) P(Ω) < 1 d) P(/0 c ) = 1 e) P(A c ) = P(Ω) P(A) [ 3 ] Folgender Ereignisraum Ω mit den Teilmengen A,B und D (schwarz) ist gegeben. Ω Α Β Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? a) P(D) P(B) b) P(A D) = P(A) + P(D) c) P(D) = P(B \ A) d) P(A c B) = P(D) e) P(D) = P(B) P(A) [ 4 ] Welche Aussagen sind WAHR? a) Der Stichprobenmittelwert x eines Merkmals X pendelt sich bei wachsender Stichprobengröße auf einen festen Wert ein. b) Bei abzählbaren Ergebnisräumen ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse immer gleich eins. c) Die relativen Häufigkeiten eines Ereignisses ändern sich nicht, wenn man verschiedene Stichproben gleicher Größe aus einer Population nimmt. d) Die relativen Häufigkeiten eines Ereignisses pendeln sich bei wachsender Stichprobengröße auf einen festen Wert ein, dem in der Theorie die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses entspricht. e) Bei höherem Stichprobenumfang erwartet man auch eine größere relative Häufigkeit für ein bestimmtes Ereignis.

5 3 Wahrscheinlichkeiten 5 [ 5 ] Wir werfen zwei faire identische Münzen gleichzeitig und betrachten das Ereignis, dass die beiden Münzen unterschiedliche Seiten zeigen. Auf welchen Wert pendeln sich die relativen Häufigkeiten für dieses Ereignis bei sehr vielen Würfen ein? [ 6 ] Ω sei der Ereignisraum. A, B, C, D seien Teilmengen von Ω mit A C, B D, C D = /0. Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? (Hinweis: Zeichnen Sie sich ein Bild der Ereignisse) a) P(A Ω) = 1 b) P(A) + P(B) + P(A B) > 1 c) P(A B) + P(Ω) = P(A) + P(B) d) P(C A) = P(D B) = 1 e) P(A B) = P(C D) = 0 [ 7 ] Es wurden alle 300 Absolventen des Fachbereichs Wirtschaftswissenschaften eines bestimmten Examenstermins nach ihren Examensnoten und ihrer Klausurnote in Statistik I (Grundstudium) befragt. A sei die Menge der Absolventen, die ein Prädikatsexamen ablegten (Note 2.5 und besser). B sei die Menge der Absolventen, die eine bessere Note als 2.7 im Grundstudium in Statistik I erzielten. Insgesamt haben von den 300 befragten Absolventen 100 ein Prädikatsexamen abgelegt und 120 eine Statistik I-Note erzielt, die besser als 2.7 war. 90 Absolventen erzielten ein Prädikatsexamen UND erreichten eine bessere Note als 2.7 in Statistik I. Bestimmen Sie den Anteil der Studenten, die EIN Prädikatsexamen ablegten unter der Bedingung, dass sie eine 2.7 oder schlechtere Note im Grundstudium in Statistik I erzielten. Bestimmen Sie nun den Anteil der Studenten, die KEIN Prädikatsexamen ablegten unter der Bedingung, dass sie eine bessere Note als 2.7 im Grundstudium in Statistik I erzielten.

6 3 Wahrscheinlichkeiten 6 [ 8 ] Es beschreibe Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ein symmetrisches Zufallsexperiment. Ferner sei A = {2, 4, 5, 6}, B = {2, 3, 4}, C = {3, 5, 6}. Berechnen Sie P(B C). P(B C) = Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Die Mengen A und B sind unabhängig. b) P(A B) = P(B). c) P(B A) = P(B). d) Die Mengen B und C sind unabhängig. e) P(B C) = P(B). [ 9 ] In der Fontham Studie zum Passivrauchen ( Lung Cancer in Non Smoking Women: A Multicenter Case Control Study, 1991) ergab sich folgende Häufigkeitstabelle: Ehemann Ehefrau Lungenkrebs kein Lungenkrebs Raucher Nichtraucher Bestimmen Sie den Anteil der untersuchten lungenkrebskranken Ehefrauen unter der Bedingung, dass ihr Ehemann Raucher ist. Bestimmen Sie den Anteil der untersuchten Ehefrauen, die NICHT an Lungenkrebs erkrankt sind, unter der Bedingung, dass der Ehemann Nichtraucher ist.

7 3 Wahrscheinlichkeiten 7 [ 10 ] Sei Ω = {e 1,e 2,...,e n } die Ergebnismenge eines Zufallsexperimentes, und A Ω ein Ereignis. Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? n a) P(e i ) = 1. i=1 b) Ist das oben beschriebene Zufallsexperiment symmetrisch, so gibt es nur zwei mögliche Elementarereignisse, d. h. n = 2. c) Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A ist gegeben durch die Summe der Wahrscheinlichkeiten der in A enthaltenen Elementarereignisse. d) A Ω e) e i Ω [ 11 ] Betrachtet werden zwei Ereignisse. Ereignis A beschreibt das Ereignis, dass ein Kino dienstags ausverkauft ist. Ereignis B beschreibt das Ereignis, dass das Popcorn nicht für alle Kinobesucher ausreicht. Aus Erfahrung weiß der Kinobesitzer, dass das Ereignis A mit einer Wahrscheinlichkeit von 4 eintritt. Unter der Bedingung, dass das Kino dienstags ausverkauft ist, ist die Wahrscheinlichkeit 7 dafür, dass das Ereignis B eintritt, 1 2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(A B), also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Kino dienstags ausverkauft ist und es kein Popcorn mehr gibt? P(A B) = C: Klausuraufgaben [ 12 ] IV07S Ein elektronisches Gerät besteht aus den beiden Komponenten 1 und 2. Das Ereignis A sei der Ausfall der Komponente 1, Ereignis B sei der Ausfall der Komponente 2. Aus langjähriger Erfahrung weiß man, dass Komponente 1 mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.05 ausfällt, d.h. P(A) = Die Wahrscheinlichkeit, dass Komponente 1 ausfällt, wenn Komponente 2 ausgefallen ist, beträgt 0.2, d.h. P(A B) = 0.2. Außerdem ist bekannt, dass beide zusammen mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.02 ausfallen, d.h. P(A B) = Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: P(B) = P(B A) =

8 3 Wahrscheinlichkeiten 8 [ 13 ] II07S Sie werfen gleichzeitig zwei faire Münzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(A), dass beide Münzen mit der gleichen Seite oben liegen? P(A) = [ 14 ] IV07S1 Sie werfen gleichzeitig zwei faire Würfel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(A), dass die Summe der Augenzahlen kleiner oder gleich 4 ist? P(A) = [ 15 ] II07S1 Es sei Ω = {2,3,4,5,6,7,8,9} A = {3,5,7,9} B = {2,3,4,5,6,7}. Die Elementarereignisse besitzen alle dieselbe Wahrscheinlichkeit. Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten, wobei B \ A = {x : x B und x / A}. P(A B) = P(B \ A) = [ 16 ] IV07S1 Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Die Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments ist die Ergebnismenge Ω. b) Falls Ω endlich ist, besitzen alle Elemente von Ω, d.h. die sogenannten Elementarereignisse, dieselbe Wahrscheinlichkeit. c) Man spricht von einem symmetrischen Zufallseperiment, wenn der Ergebnisraum endlich ist und alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. d) Es ist das Besondere an einem symmetrischem Zufallsexperiment, dass das unmögliche Ereignis die Wahrscheinlichkeit 0 und das sichere Ereignis die Wahrscheinlichkeit 1 hat. e) Für jedes Ereignis A gilt P(A Ā) = P(A) + P(Ā) = 1.

9 3 Wahrscheinlichkeiten 9 [ 17 ] II07S Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig, wenn P(A B) = P(A) P(B). b) Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig, wenn P(A B) = P(A). c) P(A B) = P(A B) P(A) d) P(A B) + P(Ā B) = P(A B) + P(Ā B) P(B) = P(B) P(B) = 1 e) P(A Ω) = P(A) = P(A) 1 = P(A) P(Ω), d.h. die Ereignisse A und Ω sind unabhängig.

10 3 Wahrscheinlichkeiten 10 D: Lösungen 1) c, e 2) a, b. d, e 3) a, b, c, d 4) a, b, d 5) 1 2 6) a, d, e 7) 1 18 ; 1 4 8) 1 3 ; a, c 9) ; ) a, c, e 11) ) 0.1 ; ) ) ) 1 2 ; ) a, c, e 17) a, b, d, e

Stochastik - Kapitel 2

Stochastik - Kapitel 2 " k " h(a) n = bezeichnet man als die relative Häufigkeit des Ereignisses A bei n Versuchen. n (Anmerkung: für das kleine h wird in der Literatur häufig auch ein r verwendet) k nennt man die absolute Häufigkeit

Mehr

Ereignis E: ist ein oder sind mehrere Ergebnisse zusammen genommen. Bsp. E = {2; 4; 6}

Ereignis E: ist ein oder sind mehrere Ergebnisse zusammen genommen. Bsp. E = {2; 4; 6} Laplace-Experimente Begriffsklärung am Beispiel eines Laplace-Würfel mit Augenzahlen (AZ) 1-6: Ergebnis: ist jeder Ausgang eines Zufallsexperimentes heißt ein Ergebnis ω dieses Zufallsexperimentes. Die

Mehr

Es werden 120 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 120 Schülern besitzen 99 ein Handy.

Es werden 120 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 120 Schülern besitzen 99 ein Handy. R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 08..2009 Von der relativen Häufigkeit zur Wahrscheinlichkeit Es werden 20 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 20 Schülern

Mehr

Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren

Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren ÜBUNG - LÖSUNGEN. Zweimaliges Werfen eines Würfels mit Berücksichtigung der Reihenfolge a. Ergebnismenge (Ereignisraum)

Mehr

Zusammenfassung Stochastik

Zusammenfassung Stochastik Zusammenfassung Stochastik Die relative Häufigkeit Ein Experiment, dessen Ausgang nicht vorhersagbar ist, heißt Zufallsexperiment (ZE). Ein Würfel wird 40-mal geworfen, mit folgendem Ergebnis Augenzahl

Mehr

Teil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung

Teil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil II Wahrscheinlichkeitsrechnung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (SS 2014) Folie 129 5 Zufallsexperimente Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) 5 Zufallsexperimente Ergebnisse Ereignisse

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Abiturvorbereitung Wahrscheinlichkeitsrechnung S. 1 von 9 Wahrscheinlichkeitsrechnung Kombinatorik Formeln für Wahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeiten Zusammenfassung wichtiger Begriffe Übungsaufgaben

Mehr

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Sommersemester 2013 Hochschule Augsburg Unabhängigkeit von Ereignissen A, B unabhängig:

Mehr

Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein Element aus,

Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein Element aus, V. Stochastik ================================================================== 5.1 Zählprinzip Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein

Mehr

UE Statistik 1, SS 2015, letztes Update am 5. März Übungsbeispiele

UE Statistik 1, SS 2015, letztes Update am 5. März Übungsbeispiele UE Statistik, SS 05, letztes Update am 5. März 05 Übungsbeispiele Beispiele mit Musterlösungen finden Sie auch in dem Buch Brannath, W., Futschik, A., Krall, C., (00) Statistik im Studium der Wirtschaftswissenschaften..

Mehr

15 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

15 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 5 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Alles, was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch. ( Descartes ) Trau keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast. ( Churchill zugeschrieben

Mehr

Unabhängigkeit KAPITEL 4

Unabhängigkeit KAPITEL 4 KAPITEL 4 Unabhängigkeit 4.1. Unabhängigkeit von Ereignissen Wir stellen uns vor, dass zwei Personen jeweils eine Münze werfen. In vielen Fällen kann man annehmen, dass die eine Münze die andere nicht

Mehr

4. Die Laplacesche Gleichverteilung

4. Die Laplacesche Gleichverteilung Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Grundlagen der Stochastik Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Die Ereignismenge 2. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung 3. Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

Mehr

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung Motivation bisher: Beschreibung von Datensätzen = beobachteten Merkmalsausprägungen Frage: Sind Schlußfolgerungen aus diesen Beobachtungen möglich? Antwort: Ja, aber diese gelten nur mit einer bestimmten

Mehr

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lausthal Begriffe Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,

Mehr

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lausthal Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Begriffe Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,

Mehr

2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit

2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit 2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit Literatur: [Papula Bd., Kap. II.2 und II.], [Benning, Kap. ], [Bronstein et al., Kap. 1.2.1] Def 1 [Benning] Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft wiederholbarer,

Mehr

Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen

Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen Wichtige Tatsachen und Formeln zur Vorlesung Mathematische Grundlagen für das Physikstudium 3 Franz Embacher http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/

Mehr

Übungsaufgaben zum Kapitel Baumdiagramme - Bernoulli

Übungsaufgaben zum Kapitel Baumdiagramme - Bernoulli BOS 98 S I Im ahmen einer statistischen Erhebung wurden 5 repräsentative Haushalte ausgewählt und im Hinblick auf ihre Ausstattung mit Fernsehern, adiorecordern sowie Homecomputern untersucht. Dabei gaben

Mehr

Übungsaufgaben, Statistik 1

Übungsaufgaben, Statistik 1 Übungsaufgaben, Statistik 1 Kapitel 3: Wahrscheinlichkeiten [ 4 ] 3. Übungswoche Der Spiegel berichtet in Heft 29/2007 von folgender Umfrage vom 3. und 4. Juli 2007:,, Immer wieder werden der Dalai Lama

Mehr

Ist P(T) = p die Trefferwahrscheinlichkeit eines Bernoulli-Experiments,

Ist P(T) = p die Trefferwahrscheinlichkeit eines Bernoulli-Experiments, . Binomialverteilung ==================================================================.1 Bernoulli-Experimente und Bernoullikette -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie

Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitstheorie Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden II Wahrscheinlichkeitstheorie 1 / 24 Lernziele Experimente, Ereignisse und Ereignisraum Wahrscheinlichkeit Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

Mehr

Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem

Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Wahrscheinlichkeitsrechnung Theorie Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Ziegenproblem,

Mehr

Kapitel 6. Kapitel 6 Mehrstufige Zufallsexperimente

Kapitel 6. Kapitel 6 Mehrstufige Zufallsexperimente Mehrstufige Zufallsexperimente Inhalt 6.1 6.1 Mehrstufige Experimente 6.2 6.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Seite 2 6.1 Mehrstufige Experimente Grundvorstellung: Viele Viele Experimente werden der der

Mehr

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Wahrscheinlichkeit

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Wahrscheinlichkeit Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Wahrscheinlichkeit Dozentin: Wiebke Petersen 8. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 1 Motivation Bsp.: In vielen Bereichen der CL kommt Wahrscheinlichkeitstheorie

Mehr

Satz 16 (Multiplikationssatz)

Satz 16 (Multiplikationssatz) Häufig verwendet man die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit in der Form Damit: Pr[A B] = Pr[B A] Pr[A] = Pr[A B] Pr[B]. (1) Satz 16 (Multiplikationssatz) Seien die Ereignisse A 1,..., A n gegeben.

Mehr

Wirtschaftsstatistik I [E1]

Wirtschaftsstatistik I [E1] 040571-1 WMS: Wirtschaftsstatistik 1 :: WiSe07/08 Wirtschaftsstatistik I [E1] Schwab, Harald 1 harald.schwab@univie.ac.at http://homepage.univie.ac.at/harald.schwab October 7, 2007 1 Sprechstunde: MO 17-18h

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 27. Oktober 2010 Teil III Wahrscheinlichkeitstheorie 1 Zufallsereignisse Vorüberlegungen Der Ereignisraum Konstruktionen

Mehr

Übungen zur Mathematik für Pharmazeuten

Übungen zur Mathematik für Pharmazeuten Blatt 1 Aufgabe 1. Wir betrachten den Ereignisraum Ω = {(i,j) 1 i,j 6} zum Zufallsexperiment des zweimaligem Würfelns. Sei A Ω das Ereignis Pasch, und B Ω das Ereignis, daß der erste Wurf eine gerade Augenzahl

Mehr

1.1 Ergebnisräume einfacher Zufallsexperimente. 2) Es gibt mindestens zwei mögliche Ausgänge des Experiments.

1.1 Ergebnisräume einfacher Zufallsexperimente. 2) Es gibt mindestens zwei mögliche Ausgänge des Experiments. Übungsmaterial 1 1 Zufallsexperimente 1.1 Ergebnisräume einfacher Zufallsexperimente Damit ein Experiment ein Zufallsexperiment ist, müssen folgende Eigenschaften erfüllt sein: 1) Das Experiment lässt

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Mittelstufe

Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Mittelstufe Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Mittelstufe Wir beginnen mit einem Beispiel, dem Münzwurf. Es wird eine faire Münze geworfen mit den Seiten K (für Kopf) und Z (für Zahl). Fair heißt, dass jede Seite

Mehr

Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26)

Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26) Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26 Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ist eine Menge Ω (Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments: Ergebnismenge versehen mit einer Abbildung

Mehr

0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5

0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 1 Kapitel 4: Verteilungen und ihre Kennzahlen A: Beispiele Beispiel 1: Eine diskrete Zufallsvariable X, die nur die Werte 1,, 3, 4, 5 mit positiver Wahrscheinlichkeit

Mehr

Statistik Einführung // Wahrscheinlichkeitstheorie 3 p.2/58

Statistik Einführung // Wahrscheinlichkeitstheorie 3 p.2/58 Statistik Einführung Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel 3 Statistik WU Wien Gerhard Derflinger Michael Hauser Jörg Lenneis Josef Leydold Günter Tirler Rosmarie Wakolbinger Statistik Einführung // Wahrscheinlichkeitstheorie

Mehr

Satz 18 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)

Satz 18 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit) Ausgehend von der Darstellung der bedingten Wahrscheinlichkeit in Gleichung 1 zeigen wir: Satz 18 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit) Die Ereignisse A 1,..., A n seien paarweise disjunkt und es gelte

Mehr

Dr. H. Grunert Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Vorlesungscharts. Vorlesung 1. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Dr. H. Grunert Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Vorlesungscharts. Vorlesung 1. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Vorlesungscharts Vorlesung 1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsvorgänge und Zufallsereignisse Definitionen der Wahrscheinlichkeit Seite 1 von 11 Chart 1: Vorgänge deterministisch zufällig

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Sven Garbade Fakultät für Angewandte Psychologie SRH Hochschule Heidelberg sven.garbade@hochschule-heidelberg.de Statistik 1 S. Garbade (SRH Heidelberg) Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

7 Unabhängigkeit von Ereignissen; bedingte Wahrscheinlichkeit

7 Unabhängigkeit von Ereignissen; bedingte Wahrscheinlichkeit Übungsmaterial 7 Unabhängigkeit von reignissen; bedingte Wahrscheinlichkeit 7. Unabhängigkeit von reignissen Wir betrachten folgendes Beispiel: Zwei unterscheidbare Münzen werden geworfen. Man betrachtet

Mehr

Beispiele: Beim Zahlenlotto sollte jede Sechserserie von Zahlen mit derselben Wahrscheinlichkeit auftreten.

Beispiele: Beim Zahlenlotto sollte jede Sechserserie von Zahlen mit derselben Wahrscheinlichkeit auftreten. 3. Laplaceexperimente. Beispiele: Beim Zahlenlotto sollte jede Sechserserie von Zahlen mit derselben Wahrscheinlichkeit auftreten. Laplace-Münze: p(k) = p(z) = / Laplace-Würfel: p() =... = p(6) = / 6.

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Marco Cattaneo Institut für Statistik Ludwig-Maximilians-Universität München Sommersemester 2011 1. Wahrscheinlichkeitsrechnung 2. Diskrete Zufallsvariable 3. Stetige Zufallsvariable 4. Grenzwertsätze

Mehr

P (A B) P (B) = P ({3}) P ({1, 3, 5}) = 1 3.

P (A B) P (B) = P ({3}) P ({1, 3, 5}) = 1 3. 2 Wahrscheinlichkeitstheorie Beispiel. Wie wahrscheinlich ist es, eine Zwei oder eine Drei gewürfelt zu haben, wenn wir schon wissen, dass wir eine ungerade Zahl gewürfelt haben? Dann ist Ereignis A das

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil 1

Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil Einführung in die Grundbegriffe Sekundarstufe Datei Nr 30 Stand September 2009 Friedrich W Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK wwwmathe-cdde Inhalt Zufallsexperimente,

Mehr

Kombinatorik. 1. Beispiel: Wie viele fünfstellige Zahlen lassen sich aus den fünf Ziffern in M = {1;2;3;4;5} erstellen?

Kombinatorik. 1. Beispiel: Wie viele fünfstellige Zahlen lassen sich aus den fünf Ziffern in M = {1;2;3;4;5} erstellen? 1 Kombinatorik Aus einer Grundgesamtheit mit n Elementen wird eine Stichprobe k Elementen entnommen. Dabei kann die Stichprobe geordnet oder ungeordnet sein. "Geordnet" bedeutet, dass die Reihenfolge der

Mehr

3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit

3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit 3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit Bisher : (Ω, A, P) zur Beschreibung eines Zufallsexperiments Jetzt : Zusatzinformation über den Ausgang des Experiments, etwa (das Ereignis) B ist eingetreten.

Mehr

Gründe für die Behandlung von stochastischen Problemen (nach KÜTTING)

Gründe für die Behandlung von stochastischen Problemen (nach KÜTTING) Vorlesung 03.01.09 Stochastik Gründe für die Behandlung von stochastischen Problemen (nach KÜTTING) Der Mathematikunterricht der Schule hat die Aufgabe, eine Grundbildung zu vermitteln, die auf ein mathematisches

Mehr

Aufgabe 2.1. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis

Aufgabe 2.1. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis Aufgabe 2. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis Ergebnis und Ergebnismenge Vorgänge mit zufälligem Ergebnis, oft Zufallsexperiment genannt Bei der Beschreibung der Ergebnisse wird stets ein bestimmtes Merkmal

Mehr

Basiswissen Daten und Zufall Seite 1 von 8 1 Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist ein Versuchsaufbau mit zufälligem Ausgang, d. h. das Ergebnis kann nicht vorhergesagt werden. 2 Ergebnis (auch Ausgang)

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 1. Vorlesung - 7.10.2016 Im Alltag... Laut den meteorologischen Vorhersagen wird es morgen regnen. Ob ich riskiere und die Wette verlieren werde? Ich werde mit Sicherheit gewinnen! Ist das wirklich unmöglich?

Mehr

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Universität Duisburg-Essen Essen, den 15.0.009 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Winkler C. Stinner Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Lösung Die Klausur gilt als bestanden,

Mehr

Hinweis: Es sind 4 aus 6 Aufgaben zu bearbeiten. Werden mehr als 4 Aufgaben bearbeitet, werden nur die ersten vier Aufgaben gewertet.

Hinweis: Es sind 4 aus 6 Aufgaben zu bearbeiten. Werden mehr als 4 Aufgaben bearbeitet, werden nur die ersten vier Aufgaben gewertet. 11.01.2012 Prof. Dr. Ingo Klein Klausur zur VWA-Statistik Hinweis: Es sind 4 aus 6 Aufgaben zu bearbeiten. Werden mehr als 4 Aufgaben bearbeitet, werden nur die ersten vier Aufgaben gewertet. Aufgabe 1:

Mehr

Population und Stichprobe: Wahrscheinlichkeitstheorie

Population und Stichprobe: Wahrscheinlichkeitstheorie Population und Stichprobe: Wahrscheinlichkeitstheorie SS 2001 4. Sitzung vom 15.05.2001 Wahrscheinlichkeitstheorie in den Sozialwissenschaften: Stichprobenziehung: Aussagen über Stichprobenzusammensetzung

Mehr

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 6 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 1 Vorbemerkungen

Mehr

Stochastik Klasse 10 Zufallszahlen

Stochastik Klasse 10 Zufallszahlen Thema Grit Moschkau Stochastik Klasse 10 Zufallszahlen Sek I Sek II ClassPad TI-Nspire CAS. Schlagworte: Urnenmodell, Histogramm, absolute und relative Häufigkeit, Zufallsexperiment, Wahrscheinlichkeit,

Mehr

Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume II. Beispiel II. Beispiel I. Definition 6.3 (Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum)

Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume II. Beispiel II. Beispiel I. Definition 6.3 (Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum) Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume I Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume II Verallgemeinerung von Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsräumen: Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Ω endlich

Mehr

Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s

Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s X. Zufallsgrößen ================================================================= 10.1 Zufallsgrößen und ihr Erwartungswert --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT. Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück

STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT. Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück 1 GLIEDERUNG 1) Bedingte Wahrscheinlichkeiten 2) Unabhängigkeit für mehr als zwei Ereignisse 3) Unabhängigkeit für Zufallsvariable

Mehr

Überblick. Linguistische Anwendungen: æ Spracherkennung æ Textretrival æ probabilistische Grammatiken: z.b. Disambiguierung. Problem: woher Daten?

Überblick. Linguistische Anwendungen: æ Spracherkennung æ Textretrival æ probabilistische Grammatiken: z.b. Disambiguierung. Problem: woher Daten? 1 Überblick æ Beschreibende Statistik: Auswertung von Experimenten und Stichproben æ Wahrscheinlichkeitsrechnung: Schlüsse aus gegebenen Wahrscheinlichkeiten, Hilfsmittel: Kombinatorik æ Beurteilende Statistik:

Mehr

Kapitel ML:IV. IV. Statistische Lernverfahren. Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen

Kapitel ML:IV. IV. Statistische Lernverfahren. Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen Kapitel ML:IV IV. Statistische Lernverfahren Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen ML:IV-1 Statistical Learning c STEIN 2005-2011 Definition 1 (Zufallsexperiment,

Mehr

P (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,...

P (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,... 2.3 Zufallsvariablen 2.3 Zufallsvariablen Meist sind die Ereignisse eines Zufallseperiments bereits reelle Zahlen. Ist dies nicht der Fall, kann man Ereignissen eine reelle Zahl zuordnen. Zum Beispiel

Mehr

9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung I. Zufällige Ereignisse Beispiel (Einmaliges Würfeln): Alle möglichen Ausgänge 1, 2,, 6 des Experiments werden zur Ergebnismenge Ω ( Ergebnisraum ) zusammengefasst.

Mehr

Stochastische Unabhängigkeit. 01. Dezember 2014

Stochastische Unabhängigkeit. 01. Dezember 2014 Stochastische Unabhängigkeit 0. Dezember 204 Der Begriff der Unabhängigkeit Großbritannien, im November 999. Die Anwältin Sally Clark wird wegen Mordes an ihren Kindern angeklagt. Clark geriet unter Verdacht

Mehr

4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4.1 Wahrscheinlichkeitsräume, Ereignisse und Unabhängigkeit Definition: Ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Paar (Ω, Pr), wobei Ω eine endliche oder

Mehr

Stochastik - Kapitel 2

Stochastik - Kapitel 2 Aufgaben ab Seite 7 2. Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten und Laplace-Experimente 2.1 Die absolute und die relative Häufigkeit 1. Beispiel: Ich werfe mal einen Würfel und möchte herausfinden, wie oft jeweils

Mehr

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zusammenfassung Mathe II Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zufallsexperiment: Ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ereignisse möglich sind

Mehr

Aufgabe 3 Was ist der Erwartungswert der größten gezogenen Zahl M beim Zahlenlotto 6 aus 49 (ohne Zusatzzahl)?

Aufgabe 3 Was ist der Erwartungswert der größten gezogenen Zahl M beim Zahlenlotto 6 aus 49 (ohne Zusatzzahl)? Erwartungswert Aufgaben Aufgabe Bei der Flugplatz Party haben Sie die Wahl ob Sie 3 Euro Eintritt bezahlen, oder Sie würfeln den Eintrittspreis mit einem normalen Würfel. Die Frage die sich dabei stellt

Mehr

Marek Chudý. Institut für Statistik und Operations Research UE Statistik 1. Sommersemester, 4.

Marek Chudý. Institut für Statistik und Operations Research  UE Statistik 1. Sommersemester, 4. Marek Chudý Institut für Statistik und Operations Research http://homepage.univie.ac.at/marek.chudy/ UE Statistik 1 Sommersemester, 4. März 2015 Programm 1 Organisatorisches Literatur Anforderungen Notenschlüssel

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil V Wahrscheinlichkeitsrechnung Inhaltsangabe 6 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 125 6.1 Kombinatorik......................... 125 6.2 Grundbegri e......................... 129 6.3 Wahrscheinlichkeiten.....................

Mehr

Diskrete Strukturen WiSe 2012/13 in Trier

Diskrete Strukturen WiSe 2012/13 in Trier Diskrete Strukturen WiSe 2012/13 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 11. Januar 2013 1 Diskrete Strukturen Gesamtübersicht Organisatorisches und Einführung Mengenlehre Relationen

Mehr

Kurs 2 Stochastik EBBR Vollzeit (1 von 2)

Kurs 2 Stochastik EBBR Vollzeit (1 von 2) Erwachsenenschule Bremen Abteilung I: Sekundarstufe Doventorscontrescarpe 172 A 281 Bremen Kurs 2 Stochastik EBBR Vollzeit (1 von 2) Name: Ich 1. 2. 3. 4.. 6. 7. So schätze ich meinen Lernzuwachs ein.

Mehr

Übersicht Wahrscheinlichkeitsrechnung EF

Übersicht Wahrscheinlichkeitsrechnung EF Übersicht Wahrscheinlichkeitsrechnung EF. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (eite ). Regeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten (eite ). Bedingte Wahrscheinlichkeit und Vierfeldertafel

Mehr

Stochastik (Laplace-Formel)

Stochastik (Laplace-Formel) Stochastik (Laplace-Formel) Übungen Spielwürfel oder Münzen werden ideal (oder fair) genannt, wenn jedes Einzelereignis mit gleicher Wahrscheinlichkeit erwartet werden kann. 1. Ein idealer Spielwürfel

Mehr

Einführung. Wahrscheinlichkeit. 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation. 2 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung, bedingte

Einführung. Wahrscheinlichkeit. 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation. 2 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung, bedingte Einführung 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation 2 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung, bedingte Wahrscheinlichkeit Axiome nach Kolmogorov Gegeben sei ein Zufallsexperiment mit Ergebnisraum

Mehr

Discrete Probability - Übungen (SS5) Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 5: 2. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 7:

Discrete Probability - Übungen (SS5) Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 5: 2. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 7: Discrete Probability - Übungen (SS5) Felix Rohrer Wahrscheinlichkeitstheorie 1. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 5: Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme von zwei geworfenen Würfeln

Mehr

Wahrscheinlichkeiten

Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeiten Bestimmung der Wahrscheinlichkeit Bei einem Zufallsexperiment kann man nicht voraussagen, welches Ereignis eintritt, aber manche Ereignisse treten naturgemäß mit einer größeren Wahrscheinlichkeit

Mehr

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Universität Duisburg-Essen Essen, den 12.02.2010 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. M. Winkler C. Stinner Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Lösung Die Klausur gilt als bestanden,

Mehr

Grundwissen Stochastik Grundkurs 23. Januar 2008

Grundwissen Stochastik Grundkurs 23. Januar 2008 GYMNSIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ math.-technolog. u. sprachl. Gymnasium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRSSE 7 91257 PEGNITZ FERNRUF 09241/48333 FX 09241/2564 Grundwissen Stochastik Grundkurs 23. Januar 2008 1.

Mehr

A: Beispiele Beispiel 1: Zwei Zufallsvariablen X und Y besitzen die beiden folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen:

A: Beispiele Beispiel 1: Zwei Zufallsvariablen X und Y besitzen die beiden folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen: 5 Diskrete Verteilungen 1 Kapitel 5: Diskrete Verteilungen A: Beispiele Beispiel 1: Zwei Zufallsvariablen X und Y besitzen die beiden folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen: 5 0.6 x 0.4 5 x (i) P x (x)

Mehr

1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6

1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Grenzwertsätze Benötigtes Vorwissen: Der Stoff der Vorlesung,,Statistik wird als bekannt vorausgesetzt, insbesondere

Mehr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Karin Haenelt

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Karin Haenelt Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie Karin Haenelt 1 Inhalt Wahrscheinlichkeitsraum Bedingte Wahrscheinlichkeit Abhängige und unabhängige Ereignisse Stochastischer Prozess Markow-Kette 2 Wahrscheinlichkeitsraum

Mehr

3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit

3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit 28 3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit Oft ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B gesucht unter der Bedingung (bzw. dem Wissen), dass ein Ereignis A bereits eingetreten ist. Man bezeichnet diese Wahrscheinlichkeit

Mehr

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master)

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Thema dieser Vorlesung: Wahrscheinlichkeit und Zufallsvorgänge Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften

Mehr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Algorithmen und Datenstrukturen 349 A Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Für Entwurf und Analyse randomisierter Algorithmen sind Hilfsmittel aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung erforderlich.

Mehr

Diskrete Verteilungen

Diskrete Verteilungen KAPITEL 6 Disrete Verteilungen Nun werden wir verschiedene Beispiele von disreten Zufallsvariablen betrachten. 1. Gleichverteilung Definition 6.1. Eine Zufallsvariable X : Ω R heißt gleichverteilt (oder

Mehr

Übungsscheinklausur,

Übungsscheinklausur, Mathematik IV für Maschinenbau und Informatik (Stochastik) Universität Rostock, Institut für Mathematik Sommersemester 27 Prof. Dr. F. Liese Übungsscheinklausur, 3.7.27 Dipl.-Math. M. Helwich Name:...

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 3. Vorlesung - 21.10.2016 Bedingte Wahrscheinlichkeit In einer Urne sind 2 grüne und 3 blaue Kugeln. 2 Kugeln werden ohne Zürücklegen gezogen. Welches ist die Wahrscheinlichkeit, dass : a) man eine grüne

Mehr

Beurteilende Statistik

Beurteilende Statistik Beurteilende Statistik Wahrscheinlichkeitsrechnung und Beurteilende Statistik was ist der Unterschied zwischen den beiden Bereichen? In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden aus gegebenen Wahrscheinlichkeiten

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung. Semester Begleitendes Skriptum zur Vorlesung im FH-Masterstudiengang Technisches Management von Günther Karigl FH Campus Wien 206/7 Inhaltsverzeichnis. Semester: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

1 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen

1 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen Zoltán Zomotor Versionsstand: 18. Mai 2015, 09:29 Die nummerierten Felder bitte während der Vorlesung ausfüllen. This work is licensed under the Creative

Mehr

Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können.

Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können. 2 Zufallsvariable 2.1 Einführung Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können. Eine Zufallsvariable X ordnet jedem elementaren Versuchsausgang

Mehr

1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem P( ) = 0.

1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem P( ) = 0. 1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem Folg. 2 Sei (Ω, E, P) W.-raum. Seien A, B,A 1,...,A n Ereignisse. Es gelten die folgenden Aussagen: 1. P(A) = 1 P(A). 2. Für das unmögliche Ereignis gilt:

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungsvorschläge zu Übungsblatt 2

Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungsvorschläge zu Übungsblatt 2 TUM, Zentrum Mathematik Lehrstuhl für Mathematische Physik WS 2013/14 Prof. Dr. Silke Rolles Thomas Höfelsauer Felizitas Weidner Tutoraufgaben: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie svorschläge

Mehr

2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung

2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung 2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung Die einfachste Verteilung ist die Gleichverteilung, bei der P(X = x i ) = 1/N gilt, wenn N die Anzahl möglicher Realisierungen von

Mehr

KAPITEL 2. Kombinatorik

KAPITEL 2. Kombinatorik KAPITEL 2 Kombinatori In der Kombinatori geht es um das Abzählen von Kombinationen 21 Geburtstagsproblem Beispiel 211 (Geburtstagsproblem In einem Raum befinden sich 200 Studenten Wie groß ist die Wahrscheinlicheit,

Mehr

Kapitel 2. Zufällige Versuche und zufällige Ereignisse. 2.1 Zufällige Versuche

Kapitel 2. Zufällige Versuche und zufällige Ereignisse. 2.1 Zufällige Versuche Kapitel 2 Zufällige Versuche und zufällige Ereignisse In diesem Kapitel führen wir zunächst anschaulich die grundlegenden Begriffe des zufälligen Versuchs und des zufälligen Ereignisses ein und stellen

Mehr

1. Experimente, zufällige Ereignisse

1. Experimente, zufällige Ereignisse KAPITEL I: EINFÜHRUNG 1. Experimente, zufällige Ereignisse Die Wahrscheinlichkeitstheorie gründet sich auf die Existenz des Zufalls. Die Frage nach dem Charakter des Zufalls beschäftigt seit langer Zeit

Mehr

Kapitel 9 WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME

Kapitel 9 WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME Kapitel 9 WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME Fassung vom 12. Januar 2001 121 WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME Stichproben-Raum. 9.1 9.1 Stichproben-Raum. Die bisher behandelten Beispiele von Naturvorgängen oder Experimenten

Mehr

Relative Häufigkeiten: Grundlagenaufgaben: Weitere tolle Übungsbeispiele mit Lösungen:

Relative Häufigkeiten: Grundlagenaufgaben: Weitere tolle Übungsbeispiele mit Lösungen: Relative Häufigkeiten: Grundlagenaufgaben: Weitere tolle Übungsbeispiele mit Lösungen: http://www.serlo.org/ 1. In einer Schulklasse ergaben sich bei einer Mathematikschulaufgabe folgende Noten: Note 1

Mehr

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit Aufgaben Aufgabe 1 Beim Drucken im Computer Pool kommt es immer wieder zu einem Papierstau.Einer der Poolmgr hat rausgefunden das die Wahrscheinlichkeit einen Papierstau zu

Mehr

Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA. für Betriebswirtschaft und International Management

Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA. für Betriebswirtschaft und International Management Statistik für Betriebswirtschaft und International Management Sommersemester 2014 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Zufallsvorgänge, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Zufallsvorgang: Geschehen mit ungewissem

Mehr