Geometrie. 26. Juni Inhaltsverzeichnis. 1 Zweidimensionale Geometrie 2. 2 Dreidimensionale Geometrie 6

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1 Geometrie 6. Juni 017 Inltsverzeicnis 1 Zweidimensionle Geometrie Dreidimensionle Geometrie 6 1

2 1 Zweidimensionle Geometrie In diesem Kpitel wollen wir uns mit einigen einfcen geometriscen Formen bescäftigen und ire Fläceninlte bzw. ire Inlte berecnen. Wir beginnen dbei im zweidimensionlen Fll und konzentrieren uns der uf die Fläceninlte der Figuren. Dbei untersucen wir uptsäclic einfce Figuren, deren Fläceninlt mn direkt ngeben knn. Komplizierte Figuren müssen dnn us diesen zusmmengesetzt werden, um dort den Fläceninlt zu berecnen. Beispiele 1.1 Sei M ein Recteck gegeben mit den Seitenlängen und b, dnn ist der Fläceninlt (oft wegen dem engliscen re gennnt) von M gegeben durc = b. b = b Änlic lässt sic der Fläceninlt eines Prllelogrmms berecnen: Ist M ein Prllelogrmm mit Grundseite und Höe, so berecnet sic der Fläceninlt durc bscneiden einer Ecke und Zusmmenkleben zu einem Recteck zu =. = Ds Beispiel des Prllelogrmm weißt uf ein llgemeineres Prinzip in, ds Prinzip von Cvlieri. Es besgt, dss bei einer gegebenen Höe und Grundfläce jede Figur den Fläceninlt = t, wenn jeder vertikle Querscnitt der Figur ebenflls die Länge t.

3 Prinzip von Cvlieri liefert = Hier sollte erwänt werden, dss es in diesen Fällen ntürlic immer druf nkommt, die Höe der Figur und nict die Länge der Seiten zu kennen. Kennt mn lediglic die Seiten, so ist es meist ufwändiger den Fläceninlt einer solcen Figur zu bestimmen. Dies beendet bereits unsere Betrctung der Vierecke, jetzt wollen wir uns den Dreiecken widmen. Ist eine Seite und die Höe des Dreiecks bezüglic dieser Seite beknnt, so lässt sic der Fläceninlt des Dreiecks durc Erweiterung zu einem Prllelogrmm berecnen. Wir erlten dnn ls Fläceninlt =. Sind sttt der = Höe des Dreiecks weitere Seiten beknnt, so knn der Fläceninlt bei Kenntnis einiger Winkel des Dreiecks berecnet werden. uf diese Möglickeiten wollen wir ier llerdings nict eingeen. Einen Spezilfll von Dreiecken wollen wir llerdings noc untersucen, die rectwinkligen Dreiecke. Diese ben einen recten Winkel, lso einen Winkel, der genu 90 beträgt. Eine der Seiten (b) stet lso ortogonl uf einer der nderen (), sodss b uc eine Höe des Dreiecks ist. b c = b In solcen Dreiecken ben wir eine einfce Möglickeit, us der Länge zweier Seiten 3

4 die Länge der dritten zu bestimmen. Hier gilt nämlic der berümte Stz des Pytgors: Stz 1. (Pytgors) In einem rectwinkligen Dreieck gilt folgende Gleicung der Seitenlängen, b, c: + b = c Hierbei ist c die Seite, die dem recten Winkel gegenüberliegt. So können wir lso durc uflösen der Gleicung nc einer Seitenlänge jede Seite us den beiden nderen berecnen. Insbesondere können wir so den Fläceninlt eines rectwinkligen Dreiecks berecnen, uc wenn die Höe des Dreiecks nict beknnt ist. Beispiel 1.3 Wir berecnen den Fläceninlt des folgenden rectwinkligen Dreiecks: 4 b 5 Zunäcst berecnen wir mit Hilfe des Stzes des Pytgors die felende Seite b: b + 4 = 5 b + 16 = 5 b = 9 b = 3 Dnn berecnet sic der Fläceninlt zu = b = 1 = 6. ls letzte grundlegende zweidimensionle Figur wollen wir noc den Kreis betrcten. Die meisten Figuren lssen sic dnn us den besprocenen Formen zusmmen- 4

5 setzen und so nceinnder berecnen. Ein Kreis mit Rdius r (bzw. Durcmesser r) besitzt den Fläceninlt = πr ; ier bezeicnet π 3, die Kreiszl. r = πr Wir wollen ier nict die Formel für den Fläceninlt eines Kreises erleiten, dfür bräucten wir uc eine genuere Definition von π. Stttdessen betrcten wir ein Beispiel einer komplexeren Form, die sic us vorigen zusmmensetzen. Beispiel 1.4 Wir berecnen den Fläceninlt der folgenden Figur: Wir zerlegen die Form n der gestricelten Linie in ein Recteck 5 und ein rectwinkliges Dreieck. Dnn zieen wir die Fläce des Hlbkreises b und erlten die Fläce der gesmten Figur. Wir beginnen mit dem Dreieck: Änlic wie oben berecnen wir mit dem Stz des Pytgors die Länge der unteren Seite 3 = 9 und erlten dmit ls Fläceninlt: ( ) = 9. Die untere Seite des Rectecks t dmit Länge 5 9 und dmit ist ( ) = 5 9. Scließlic erlten wir für den Hlbkreis einen Durcmesser von 5 9 = 3 9 und somit t der Hlbkreis den Rdius 9. Dmit berecnet sic der Fläceninlt zu ( π ( ) = 3 ) 9. 5

6 Insgesmt erlten wir lso insgesmt für den Fläceninlt der gesmten Figur: = ( ) + ( ) ( ) = 5 9 ( π 3 ) 9. Dreidimensionle Geometrie Wir wollen uns nun mit dreidimensionlen Figuren und irem Volumen bescäf-tigen. Ds Volumen dieser Figuren bezeicnen wir äufig mit V. Für einen Quder mit den Kntenlängen, b, c gilt dnn: V = bc Dies können wir uc erlten durc Multiplizieren der Grundfläce des Quders = c mit der Höe b. Hier siet mn, dss b c V = bc jeder Querscnitt des Quders wieder die Grundfläce t. Wir erlten lso eine dreidimensionle Form des Prinzips von Cvlieri: Hben wir eine Figur gegeben mit einer Grundfläce und einer Höe und t jeder Querscnitt der Figur ebenflls Fläce, so ist ds Volumen des Körpers V = : Prinzip von Cvlieri liefert: V = Können wir lso für eine Figur die Höe und die Fläce der Grundfläce bestimmen (mit den Metoden des vorigen bscnitts), so lässt sic mit dem Prinzip von Cvlieri 6

7 ds Volmen bestimmen. Zum Beispiel errecnet sic so ds Volumen eines Zylinders mit Höe und Rdius r zu V = πr. r V = πr Ein weiterer Körper den wir uns nscuen wollen, ist die Pyrmide. Diese muss im llgemeinen keine qudrtisce Grundfläce ben; solnge lle Knten in einer bestimmten Höe zusmmenlufen zu einer Spitze, können wir ds Volumen einer solcen Pyrmide direkt ngeben ls V = 1 3, ierbei ist die Höe der Pyrmide und der Fläceninlt der Grundfläce. V = 1 3 Diese Formel gilt lso für lle Pyrmiden, egl, wie genu die Grundfläce ussiet. Zum Beispiel beträgt lso ds Volumen eines Kegels (eine spezielle Pyrmide mit einem Kreis ls Grundfläce) mit unterem Rdius r und Höe : V = 1 3 πr. 7

8 r V = 1 3 πr ls letztes geben wir noc die Volumenformel für die Kugel n; ier uc wieder one Beweis: Für eine Kugel mit Rdius r gilt: Ds Volumen V der Kugel beträgt V = 4 3 πr3. r V = 4 3 πr3 Mit diesen grundlegenden Körpern und Fläcen lssen sic viele Fläceninlte und Volumin von uc komplexeren Körpern bestimmen, indem mn diese in bendelte Figuren oder Teile dvon unterteilt. 8