2. Übung zur Vorlesung Statistik 2

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Oswalda Dunkle
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1 2. Übung zur Vorlesung Statistik 2 Aufgabe 1 Welche der folgenden grafischen Darstellungen und Tabellen zeigen keine (Einzel-)Wahrscheinlichkeitsverteilung? Kreuzen Sie die richtigen Antworten an und begründen Sie ihre Antwort! Aufgabe 2 Welche der folgenden Funktionen ist keine Dichtefunktion? Kreuzen Sie die richtigen Antworten an und begründen Sie ihre Antwort! { 0, falls x 0, 3. f (x) = x f (x) = e x, falls x >

2 Aufgabe 3 Welche der folgenden Funktionen ist keine Verteilungsfunktion? Kreuzen Sie die richtigen Antworten an und begründen Sie ihre Antwort! { 0, falls x 0, 4. F (x) = 1 e x 1. F (x) = (1 + e x ), falls x > 0 5. { 0, falls x < 0, 2. F (x) = (1 e x ), falls x 0 3. Aufgabe 4 In einem Lieferung von 5 Motorteilen befinden sich 2 defekte Teile. Zur Qualitätskontrolle werden nacheinander 3 Teile gezogen, ohne sie nach der Ziehung wieder ins die Lieferung zurück zu legen. Sei X die Anzahl der unter diesen 3 gezogenenen Teilen vorhandenen defekten Teile. 1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X, d.h. p o = P(X = 0), p 1 = P(X = 1) und p 2 = P(X = 2). 2. Berechnen Sie den Erwartungswert E(X ), die Varianz Var(X ) und das untere Quartil x Aufgabe 5 Die zufällige Zeit X, die eine S-Bahn in München verspätet an einer Haltestelle eintrifft, liegt zwischen 0 und 3 Minuten. Die Dichtefunktion ist in folgender Skizze gegeben. Berechnen Sie 1. die Verteilungsfunktion von X. 2

3 2. den Anteil der Fällen, in denen die Verspätung eine Minute überschreitet. Stellen Sie diesen Anteil grafisch dar! 3. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die S-Bahn sich mehr als 2 Minuten verspätet, wenn man bereits eine Minute (Verspätung) auf die S-Bahn gewartet hat. Stellen Sie diese Wahrscheinlichkeit grafisch dar. 4. Welche Verspätungszeit wird in 90% aller Fälle überschritten? 5. Wie groß ist die Verspätung im Mittel? Aufgabe 6 Die Dichtefunktion des zufälligen Lebensdauer X in Jahren eines Bauelementes hat folgende Gestalt: Berechnen Sie 1. A und geben Sie f (x) als Funktionsgleichung an. 2. die Verteilungsfunktion f(x) von X. 3. die erwartete mittlere Lebensdauer. 4. den Anteil der Bauelemente, deren Lebensdauer 11,5 Jahre überschreitet. Stellen Sie diesen Anteil in der obigen Dichtefunktion grafisch dar. 5. die Lebensdauer, die nur 15% alle Bauelemente überschreiten. Aufgabe 7 Gegeben ist eine stetige Zufallsvariable mit folgender Dichtefunktion: 3x 2 3x, 1 x 0 f (x) = 3x 2 + 3x, 0 < x 1 0, sonst 1. Berechnen Sie die Verteilungsfunktion. 2. Berechnen Sie den Erwartungswert. 3. Berechnen Sie P( 0, 5 x 0, 25). 3

4 4. Berechnen Sie P(x 0, 5 x 0). Aufgabe 8 Die Anzahl der eintreffenden Signale an einem Empfänger ist poissonverteilt mit λ = 2/ms. 1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 3 Signale pro ms am Empfänger eintreffen? 2. Wie viele Signale treffen im Durchschnitt pro ms beim Empfänger ein? Aufgabe 9 Die Lebensdauer T von KFZ-Batterien des Typs Bleinix ist exponentialverteilt mit der erwarteten Lebensdauer E(T) = 3 Jahre. 1. Wieviel % aller Batterien haben eine Lebensdauer > 3 Jahre? 2. Welche Lebensdauer überschreiten 90% aller Batterien nicht? Aufgabe 10 In der Fabrik eines großen Automobilunternehmens werden an einem Fließband unter anderem 4 Werkzeugmaschinen W 1, W 2, W 3 und W 4 eingesetzt. Die Ausfallwahrscheinlichkeit jeder Werkzeugmaschine pro Tag beträgt 0, 01. Die Ausfälle an den einzelnen Werkzeugmaschinen sind stochastisch unabhängig. Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten: a) genau die Werkzeugmaschine W 2 fällt aus. b) genau einer der Werkzeugmaschinen fällt aus. c) genau die Werkzeugmaschinen W 1 und W 4 fallen aus. d) genau zwei Werkzeugmaschinen fallen aus. e) höchstens eine Werkzeugmaschine fällt aus. Aufgabe 11 Bei der Produktion von Rohren schwankt der Normwert des Innendurchmessers X wie folgt normalverteilt um 100mm: X N (100, (0, 1) 2 ). Alle Rohre, deren Innendurchmesser nicht im Intervall [99, 85; 100, 15] mm liegen, gelten als Ausschuß! 1. Berechnen Sie die Ausschußrate (Anteil aller Rohre, die Ausschuss sind) der Produktion! 2. Berechnen Sie den Toleranzbereich um 100 mm herum, d.h. das ɛ, so dass genau 1% aller Rohre außerhalb des Toleranzbereiches [100 ɛ, ɛ] liegen! 4

5 Aufgabe 12 Die zufällige Übertragungszeit T von Bildsignalen durch einen Kanal K sei normalverteilt mit dem Erwartungswert µ = 50 ms und der Varianz σ 2 = 4ms 2, d.h. es gelte T N (50, 4). Signal K Empfänger a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Übertragungszeit genau 42 ms dauert? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Übertragungszeit zwischen 42 und 53 ms? c) Geben Sie einen symmetrischen Bereich [50 c, 50+c] ms um die mittlere Übertragungszeit an, in dem 90 % aller Zeiten liegen! d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit beträgt die Übertragungszeit eines Bildsignales mehr als 50ms? e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 5 (stochastisch unabhängigen) Übertragungen bei mindestens einer die Übertragungszeit mehr als 50 ms beträgt? f) Wie viele Übertragungen, die länger als 50ms dauern, würden Sie durchschnittlich bei 100 stochastisch unabhängigen Übertragungen erwarten? g) Angenommen, Sie schalten 2 dieser Kanäle in Reihe. Mit welcher Wahrscheinlichkeit überschreitet die Gesamt-Übertragungszeit dann 100 ms? Signal K1 K2 Empfänger Aufgabe 13 Bei der Herstellung von Wellen sind alle Wellen Ausschuss, die 2mm oder mehr vom Sollmaß von 150mm Länge abweichen. Die zufällig schwankende Länge hat den Erwartungswert 150mm, und die Standardabweichung 0,2mm. Wie groß ist der Aussschussanteil höchstens? Aufgabe 14 Eine Gerät besteht aus 3 Bauelementen, wie in der Skizze dargestellt. Das Gerät fällt aus, wenn beide Reihen ausfallen. Eine Reihe fällt aus, wenn mindestens eines der in Reihe geschalteten Elemente ausfällt. Die zufällige Zeit T i bis zum Ausfall eines Bauelements B i ist wie folgt gegeben (alle Angaben in Stunden): Bauelement B 1 : T 1 N (100, 1) Bauelement B 2 : Die Verteilung von T 2 ist nicht vollständig bekannt. Bauelement B 3 : T 3 E(0, 01) 5

6 B 1 fällt unabhängig von B 3 aus, gleichfalls fällt B 2 unabhängig von B 3 aus (d.h. T 1 und T 2 sind stochastisch unabhängig von T 3 ). Die Ausfallwahrscheinlichkeit von B 2 ist von der Lebensdauer von B 1 abhängig; es gilt: P(T 2 < 100/T 1 < 100) = 0, 99 und P(T 2 < 100/T 1 100) = 0, 2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Lebensdauer des Gerätes 100 Stunden nicht überschreitet! 6

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