Verallgemeinerte Heron-Verfahren für 3., 4., 5... Wurzeln und deren Optimierung

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Etta Waltz
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1 Verallgemeierte Hero-Verfahre für 3., 4., Wurzel ud dere Optimierug Beitrag zum Wettbewerb juged forscht 005 Marti Zöllig Has-ud-Hilde-Coppi-Gymasium Berli Zusammefassug Die Iteratiosfolge des Heroverfahres wird auf -te Wurzel verallgemeiert. Nach Eiführug eies Parameters wird die Kovergezgeschwidigkeit optimiert, dies müdet i das Newto-Verfahre. Außerhalb des Kovergezbereichs erzeugt Feigebaum-Szearie ud Chaos.

2 Ihaltsübersicht Eileitug 3. Verallgemeierug des Hero-Verfahres 4. Kovergezachweis 7 3. Optimierug der Kovergezgeschwidigkeit 0 4. Hero ud Feigebaumszeario Dak, Literatur 4

3 Eileitug Diese Arbeit hat ihre Ursprüge im Mathematikuterricht des elfte Jahrgags. Auf der Ageda stade Näherugsverfahre zur Nullstellebestimmug wie das Newtoverfahre oder die Regula Falsi. Parallel dazu wurde im Iformatikuterricht das Heroverfahre erarbeitet. I der ächste Mathematikstude bekam ich die Idee, das Heroverfahre zur Näherug vo Quadratwurzel (=) zu erweiter auf -te Wurzel mit. Das Heroverfahre fuktioiert folgedermaße: Es sei die zweite Wurzel aus c gesucht ud eie Afagsäherug gegebe, da errechet sich die ächste Näherug aus folgeder Iteratiosfolge: c, i 0. () Die Folge ( ) mit i kovergiert gege c.

4 4. Verallgemeierug des Hero-Verfahres Eie direkte Erweiterug des Verfahres kote ich zuächst icht fide, es etstad ei Algorithmus folgeder Art : -gesucht sei die -te Wurzel aus c 0, gegebe ei beliebiger Startwert x 0 -ma defiiere u eie rekursive Folge (c,c,c,..., c ) mit c als Afagsglied: c x 0 c x 0 ; c x 0 c x 0 ;... ; c x 0 3 c 3 x 0 c x 0 c x 0. Es liegt u ahe, de ächste Näherugswert x als x = c = x 0 c zu setze, die Folge also über die x 0 ursprügliche Hero-Formel zu defiiere, was ja agesichts der (bewiesee) Kovergez derselbe ahe liegt, de i = c ist c ei positiver reeller Ausdruck, ei solcher sid auch c,c 3,c 4,... aus der obige Rekursiv-Folge. Betrachte wir Folge mit =,3,4, um eie allgemeie Bildugsvorschrift der Iteratiosfolge für beliebige herzuleite.

5 Für = -gesucht sei die.wurzel aus c > 0 -gegebe sei ei beliebiger Wert, i. Da ergibt sich für c c = c ud für c c c c. Für = 3 -gesucht sei die 3. Wurzel aus c 3 > 0 -gegebe sei ei Wert, i. Da ergibt sich für die Rekursiosfolge c 3 c 3 ; c c c c ud für 3 c 3 x i 4 x i 4 c 3 4 x i 3 4 c c 3 = 4 3 c 3 x i. (3)

6 6 für = 4 -ges. sei die 4. Wurzel aus c 4 > 0 -geg. sei ei Wert, i c 3 4 c 4 ; c 3 c 3 ; c c ; ud für c c 3 c 3 x i 3 4 c 4 4 x i 4 4 c 4 8 x 3 i c 4 8 x 3 i 4 x 3 i x 4 i c 4 8 c 4 8 x 3 i = 8 7 c 4 x 3 i. (4) Eie verallgemeierte Iteratiosfolge für die -te Wurzel aus c lässt sich aus dem Vergleich der Iteratiosfolge (), (3), (4) für =,3,4 ermittel : x i c x i := ( ), (5) mit der Fuktio : x: x c, x (6) wobei, i 0, x ; kost.

7 Die Kovergez der Iteratiosfolge (5) für beliebiges wird später achgewiese. Eiige Beispielrechuge mit der Iteratiosfolge (5) ließe aufgrud der lagsame Kovergezgeschwidigkeit erahe, dass es bessere Koeffiziete als ud gebe muss. Der zweite Koeffiziet ist Spezialfall eies allgemeie Parameters mit 0 < < : = ud daher ( - ) = Damit werde (5) ud (6) zu = ( - ) + c ud (x) = ( - ) x + c (7) x. (8). Kovergez-Nachweis Der Nachweis für die Kovergez der Iteratiosfolge (7) gege x : = c stützt sich auf eie Kovergezsatz aus de Themehefte Mathematik. Er folgt aus dem Baachsche Fixpuktsatz. Satz 4 S.6 aus Themehefte Mathematik

8 8 Satz : Ist stetig differezierbar i eier Umgebug des Fixpuktes (der Lösug) x ud ist '(x ) <, so kovergiert die Iteratiosfolge {x v } gege x, falls die Afagsäherug x 0 hireiched ahe bei x gelege ist. Die Fuktio, vergleiche (8), ist stetig differezierbar, da x. st Fixpukt, de (x ) = ( c ) = ( - ) c = c = c - c - c = c = x + c c + c + c c Wir zeige, dass '(x ) <, wobei x = c. Aus (8) folgt : '(x) = ( - ) - ( - ) c x (9) ud '(x ) = '( c ) = - - ( - ) c c = = - (0)

9 -zu zeige : '(x ) < - < - > - - < < > 0 < w.a., da > 0 > 0 Wir sehe : Für Werte vo I : = 0 ; ist die Iteratiosfolge (7) koverget. Um die Kovergez der Iteratiosfolge (5) achzuweise, muss ma ur bestätige, dass sich der hier verwedete Spezialfall vo = im Kovergezitervall I befidet, de für dieses Itervall ist die Kovergez achgewiese. 0 < < <, wahr für alle. w.z.z.w.

10 0 3. Optimierug der Kovergezgeschwidigkeit Die Kovergezgeschwidigkeit ist atürlich icht für alle I gleich, es köte auch sei - ud das ist erwüscht -, dass die Kovergezgeschwidigkeit für ei spezielles maximal wird. Dazu muss der Betrag der Fixpuktsteigug auf seie kleistmögliche Wert, also auf Null, gesetzt werde. We '(x ) = 0 für ei spezielles max, da ist für dieses max die Kovergezgeschwidigkeit maximal. '(x ) = 0 - = 0 siehe (0) = =. Für max : = kovergiert die Iteratiosfolge (7) mit maximaler Geschwidigkeit. Es liegt im Kovergezitervall I : max = I = 0 ;. Welche Iteratiosfolge erhält ma u für de optimale Wert max = als spezieller Parameter i der Fuktio (8) mit (x) = ( - ) x + c x?

11 Wir setze = max ud erhalte die optimale Iteratiosfolge max mit max (x) : = ( - max ) x + max c x = ( - ) x + c x = ( ( - ) x + c x ) = ( x c x ) () Eiige Beispielrechuge, i welche zum Vergleich das erweiterte, mit max optimierte Hero-Verfahre ud das Newto-Verfahre für -te Wurzel ( ) zur Aäherug der jeweils gesuchte -te Wurzel aus c > 0 verwedet wurde, zeigte, dass die beide Verfahre bei gleichem Afagswert dasselbe Kovergezverhalte hatte. Tatsächlich ka ma die Fuktio max so umforme, dass sie dem Newtoverfahre für -te Wurzel etspricht, dieses wird u gezeigt. -Erweiterter Hero für c : max (x) = ( x c x ) (siehe ()) -Newto für -te Wurzel, d.h. die Nullstelle der Fuktio f : x x - c ist gesucht : (x) : = x - fx f 'x = x - x c x

12 -zu zeige : max = max (x) = ( x c x ) = ( x x + x c x ) w.z.z.w. = ( x - x c x ) = x - x c x = (x) Die Übereistimmug der beide Verfahre bedeutet, dass die optimale Erweiterug des Hero-Verfahres letztedlich im Newto-Verfahre resultiert. 4. Hero ud Feigebaumszeario Wir wisse, dass die Folge (7) für -Werte ierhalb des Itervalls I = 0 ; gege de Fixpukt x = c kovergiert. Die optimale Kovergez tritt für = max ei, dieses etspricht dem Newtoverfahre für -te Wurzel. Frage : Welches Ifiitesimal-Verhalte zeige u die Iteratiosfolge der Fuktio (8) für? Für diese Fragestellug beutze wir eie grafische Darstellug für das Ifiitesimalverhalte vo Folge : das Feigebaumdiagramm. Abei liege eiige exemplarische Diagramme für x = 0, 3 x = 8 ud 5 x = 00.

13 Es ist zu erkee, dass die Diagramme vom Aussehe her für gerade (Bsp.: =) ud ugerade (Bsp.: = 3; 5) bzw. für = ud > (Bsp.: = 3; 5) sehr differiere : Für > fidet bei = eie Bifurkatio statt (icht bei =), das heißt, dass sich der attraktive Fixpukt x aufgabelt i zwei jeweils attraktive periodische Pukte, es etsteht ei Feigebaumszeario mit weitere Bifurkatioe. Die Azahl der bis = hitereiader auftretede Bifurkatioskaskade köte - sei. Für gerade ist für eie Puktwolke zu sehe, desse Dichte vom Zetrum (,0) aus ach auße hi abimmt, außerdem hat die Puktwolke isbesodere i der Nähe der positive ud egative Fixpuktwerte + c ud - c vertikale Lücke, welche mit steigedem verschwide. Für ugerade fide für Chaos (keie Periodizität) mit Ordugsfester (es gibt spezielle -Werte mit gazzahlige Periode) ud daach Rückbifurkatioe bis zur etgültige Periode statt, mit steigedem strebe die beide periodische Pukte jeweils dem Uedliche zu. Außerdem ist der Wert vo c für die qualitative Struktur der Diagramme uerheblich, bei geeigeter Vergrößerugseistellug ähel sich Bilder mit verschiedee c-werte.

14 4 Dak Ich dake meiem Iformatiklehrer Dr.rer.at. Wolf Bayer für seie Aregug, die erweiterte Hero-Formel als Basis für diese Arbeit zu verwede ud für seie Uterstützug. Literatur [] Themehefte Mathematik, Erst Klett Verlag, Stuttgart 975 ( S ) [] "Katze auf Zyper ; Feigebaum ud Chaos" vo Wolf Bayer, P.M. Computerpraxis Nr. /45, Jg. 003

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