a) 3a + 4b (5a + 3b) (8a 3b) + ( 3a 5b) = 13a b Probe: 29 b) 5a 2b [3a (3a + 2b) ( 2a + 3b)] (3a + 7b) 4b + 3a = 3a 8b Probe: 18

Transkript

1 B Algebra I 4. Addieren und Subtrahieren mit Variablen Lösungen 1 Berechne und mache die Probe mit a und b 3. 3a + 4b (5a + 3 (8a 3 + ( 3a 5 13a b Probe: 9 5a b [3a (3a + ( a + 3] (3a + 7 4b + 3a 3a 8b Probe: 18 Schreibe als Rechnung und löse. Die Differenz von 4e und 8f ist um die Differenz von f und 3e zu vermindern. (4e 8f) (f 3e) 7e 10f Die Summe von 4a und 5b ist um die Differenz dieser Zahlen zu vermindern. (4a + 5 (4a 5 10b Von der Differenz von 8x und 3y ist die Summe dieser Zahlen abzuziehen. (8x 3y) (8x + 3y) 6y 3 Vervollständige zu einem Zauberquadrat. Lösung: 3x y Summe ist 3a 3 x + y x y x a a 5 a + x y x x a + 1 a 1 a 3 x y x + y x y a 4 a + 3 a 4 Vereinfache die Terme. Mache die Probe mit a. (11a + 5) [(5a 4) (a 1) + a] 7a + 8; Probe: (11a + 5) + [(5a 4) + (a + 1) a] 17a + ; Probe: 36 5 Berechne den Term und mache die Probe mit x 3. 3x + {1 [(4x 14)+ (6 + 18x) 4]} x + 4; Probe: 7 3x {1 + [(4x 14) (6 + 18x) + 4]} 37x + 4; Probe: 115 Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien Mach mit Mathematik 4 ISBN

2 B Algebra I 4. Addieren und Subtrahieren mit Variablen Lösungen 1 Berechne und mache die Probe mit a und b 3. 3a + 4b (5a + 3 (8a 3 + ( 3a 5 13a b Probe: 9 5a b [3a (3a + ( a + 3] (3a + 7 4b + 3a 3a 8b Probe: 18 Schreibe als Rechnung und löse. Die Differenz von 4e und 8f ist um die Differenz von f und 3e zu vermindern. (4e 8f) (f 3e) 7e 10f Die Summe von 4a und 5b ist um die Differenz dieser Zahlen zu vermindern. (4a + 5 (4a 5 10b Von der Differenz von 8x und 3y ist die Summe dieser Zahlen abzuziehen. (8x 3y) (8x + 3y) 6y 3 Vervollständige zu einem Zauberquadrat. Lösung: 3x y Summe ist 3a 3 x + y x y x a a 5 a + x y x x a + 1 a 1 a 3 x y x + y x y a 4 a + 3 a 4 Vereinfache die Terme. Mache die Probe mit a. (11a + 5) [(5a 4) (a 1) + a] 7a + 8; Probe: (11a + 5) + [(5a 4) + (a + 1) a] 17a + ; Probe: 36 5 Berechne den Term und mache die Probe mit x 3. 3x + {1 [(4x 14)+ (6 + 18x) 4]} x + 4; Probe: 7 3x {1 + [(4x 14) (6 + 18x) + 4]} 37x + 4; Probe: 115 Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien Mach mit Mathematik 4 ISBN

3 B Algebra I 5. Multiplizieren mit Variablen Potenzen Lösungen 1 Multipliziere und mache die Probe mit a 3. (a a (5a 3 + 4a a + 5) ( a ) 10a5 5a3 ; Probe: a 5 8a4 + 4a3 10a ; Probe: Vereinfache und kontrolliere mit x ( ) und y ( 3). 6x y (3x y 4xy ) 18x 4 y 4x3y 3 Probe: 59 3 Vereinfache [(3a 3 a + 4a 1) 5a] [4a (3 a 3 a + 5)] 3a 4 5a3 + 1a + 15a (5a 3 a a + 5) a 6a ( 3a 5a + ) 10a a4 + 8a3 8a 4 Berechne ( a 4b + 3c ) ( a ) a + ab a 3c 5a (a 3 4a + a 5) ( a ) a 4 a 3 + a ( a 5c 3 + b 6 ) c 5 Vereinfache und mache die Probe mit x. 3x_ 5 + ( 3x 5 ) + ac 6 + bc 5c 1 3x_ 5 15x + 4 x 5 Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien Mach mit Mathematik 4 ISBN

4 B Algebra I 5. Multiplizieren mit Variablen Potenzen Lösungen 1 Multipliziere und mache die Probe mit a 3. (a a (5a 3 + 4a a + 5) ( a ) 10a5 5a3 ; Probe: a 5 8a4 + 4a3 10a ; Probe: Vereinfache und kontrolliere mit x ( ) und y ( 3). 6x y (3x y 4xy ) 18x 4 y 4x3y 3 Probe: 59 3 Vereinfache [(3a 3 a + 4a 1) 5a] [4a (3 a 3 a + 5)] 3a 4 5a3 + 1a + 15a (5a 3 a a + 5) a 6a ( 3a 5a + ) 10a a4 + 8a3 8a 4 Berechne ( a 4b + 3c ) ( a ) a + ab a 3c 5a (a 3 4a + a 5) ( a ) a 4 a 3 + a ( a 5c 3 + b 6 ) c ac 6 + bc 5c 1 5 Vereinfache und mache die Probe mit x. 3x_ 5 + ( 3x 5 ) + 3x_ 5 15x + 4 x 5 Probe: 5,04 oder Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien Mach mit Mathematik 4 ISBN

5 B Algebra I 7. Dividieren mit Variablen Lösungen 1 Dividiere 0f3 t : 5tf 4f t 0f 3 t : ft 0ft 4u 3 v : ( 48u) Dividiere und mache die Probe. (16r 4 + 8r ) : 4r ( 3 s 5 16s 3 ) : ( 8s 3 ) (4s 4 16c ) : ( 8s ) 4r3 + r 4s + 3s + u 3 Führe die Division durch. (35x 3 y + 15xy ) : 5xy 7x + 3y ( 4x 5 y 4 3x 3 y 4 ) : ( 4x 3 y ) 6x y + 8y ( 1a 5 b 3 10a b a 3 b ) : ( ab ) 6a 3 b + 5ab 8 a d) ( 0x 5 y 10x 3 y 3 +5x 4 y 5 ) : 5x y 4x3 xy + xy 4 Besonders große und kleine Einheiten haben Namen. Schreibe die Zahl mit allen Ziffern und mit Zehnerpotenzen an. 1 Yota: eine Quadrillion Zeta: eine Trilliarde Exa: eine Trillion Peta: eine Billiarde Terra: eine Billion (derzeitige Einheit für Speicherkapazität von Festplatten) 1 Mikro: ein Millionstel 0, Nano: ein Milliardstel 0, Piko: ein Billionstel 0, Femto: ein Billiardstel 0, Dividiere und mache die Multiplikationsprobe. (x + 8x + 8) : (x + 4) x + (9x + 9x + ) : (3x + ) 3x + 1 (48x + 50 xy + 7 y ) : (8x + 7 y) 6x + y d) (10a 1b + 9a : (5a 3 a 7b 6 Dividiere (9x 3 + 9x + 8x + ) : (3 x + x + ) 3x + 1 (s 4 s t + st 3 t4) : ( s st + t ) s 3 t Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien Mach mit Mathematik 4 ISBN

6 B Algebra I 7. Dividieren mit Variablen Lösungen 1 Dividiere 0f3 t : 5tf 4f t 0f 3 t : ft 0ft 4u 3 v : ( 48u) Dividiere und mache die Probe. (16r 4 + 8r ) : 4r ( 3 s 5 16s 3 ) : ( 8s 3 ) (4s 4 16c ) : ( 8s ) 4r3 + r 4s + 3s + u v 3 Führe die Division durch. (35x 3 y + 15xy ) : 5xy 7x + 3y ( 4x 5 y 4 3x 3 y 4 ) : ( 4x 3 y ) 6x y + 8y ( 1a 5 b 3 10a b a 3 b ) : ( ab ) 6a 3 b + 5ab 8 a d) ( 0x 5 y 10x 3 y 3 +5x 4 y 5 ) : 5x y 4x3 xy + xy 4 4 Besonders große und kleine Einheiten haben Namen. Schreibe die Zahl mit allen Ziffern und mit Zehnerpotenzen an. 1 Yota: eine Quadrillion Zeta: eine Trilliarde Exa: eine Trillion Peta: eine Billiarde Terra: eine Billion (derzeitige Einheit für Speicherkapazität von Festplatten) 1 Mikro: ein Millionstel 0, Nano: ein Milliardstel 0, Piko: ein Billionstel 0, Femto: ein Billiardstel 0, Dividiere und mache die Multiplikationsprobe. (x + 8x + 8) : (x + 4) x + (9x + 9x + ) : (3x + ) 3x + 1 (48x + 50 xy + 7 y ) : (8x + 7 y) 6x + y d) (10a 1b + 9a : (5a 3 a + 7b 6 Dividiere (9x 3 + 9x + 8x + ) : (3 x + x + ) 3x + 1 (s 4 s t + st 3 t 4 ) : (s st + t ) s + st t Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien Mach mit Mathematik 4 ISBN

7 D Algebra II 11. Kürzen von Brüchen Faktorenzerlegung Lösungen 1 Kann hier noch weiter gekürzt werden? _ 1x + 8 6x ja 3x + ab 3x a 4ab ja b 4b 9a + 4b 6ab + 4a nein d) (a 5 4a 10b ja a 5b Zerlege in ein Produkt. x 3 + 3x 5x x ( x + 3x 5) 4a b 8ab 1a 4a (6ab b 3) 30a 4 b 1a 5 b 3 mehrere Möglichkeiten: 6 a b (5a a3 d) 18a 6 b 4 1a 3 b mehrere Möglichkeiten: a 3 b (9a3b 6) 3 Kürze soweit wie möglich. 14t 18 t_ 3 7a b 36ab 1(a + )(a 7) _ 6t 18ab 4a t 3a 4b 3(a 7) 3t d) 3r 3 7r 6r + 18r r 3 4 Schreibe als Produkt. Denke an die binomischen Formeln. x + 1x a 40ab + 5 b 3x 3y d) a 8b (x + 6)(x + 6) (4a 5(4a 5 3 (x + y)(x y) (x (x + 5 Wo steckt der Fehler? Korrigiere ihn. 15ab _ 9ab 5a 3b 3a + 4b_ 3a + b a + b _ 9d + 3e _ 6de + 3d e 3d e a im Nenner vergessen zu kürzen aus der Summe gekürzt aus der Summe gekürzt 6 Gib zwei mögliche Brüche an, die gekürzt folgende Form haben können. 3a 5_ 7x a 3x + 5 ( + 3x) x 1 _ 5ab 5b ab 5a b 5ab a b 14x 4 + 6x _ 14x 3 4x + 6 x 15x x 5 15x + 5x 10x 5x Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien Mach mit Mathematik 4 ISBN

8 D Algebra II 11. Kürzen von Brüchen Faktorenzerlegung Lösungen 1 Kann hier noch weiter gekürzt werden? _ 1x + 8 6x ja (3x + ) ab 3x a 4ab ja b 4b 9a + 4b 6ab + 4a nein d) (a 5 4a 10b ja a 5b Zerlege in ein Produkt. x 3 + 3x 5x x ( x + 3x 5) 4a b 8ab 1a 4a (6ab b 3) 30a 4 b 1a 5 b 3 mehrere Möglichkeiten: 6 a b (5a a3 d) 18a 6 b 4 1a 3 b mehrere Möglichkeiten: a 3 b (9a3b 6) 3 Kürze soweit wie möglich. 14t 18 t_ 3 7a b 36ab 1(a + )(a 7) _ 6t 18ab 4a t 3a 4b 3(a 7) 3t d) 3r 3 7r 6r + 18r r 3 4 Schreibe als Produkt. Denke an die binomischen Formeln. x + 1x a 40ab + 5 b 3x 3y d) a 8b (x + 6)(x + 6) (4a 5(4a 5 3 (x + y)(x y) (a (a + 5 Wo steckt der Fehler? Korrigiere ihn. 15ab _ 9ab 5a 3b 3a + 4b_ 3a + b a + b _ 9d + 3e _ 6de + 3d e 3d e a im Nenner vergessen zu kürzen aus der Summe gekürzt aus der Summe gekürzt 6 Gib zwei mögliche Brüche an, die gekürzt folgende Form haben können. 3a 5_ 7x a 3x + 5 ( + 3x) x 1 _ 3ab 5b ab 3a b 5ab a b 14x 4 + 6x _ 14x 3 4x + 6 x 15x x 5 15x + 5x 10x 5x Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien Mach mit Mathematik 4 ISBN

9 D Algebra II 13. Addieren und Subtrahieren von Brüchen Lösungen 1 Kürze nie aus einer Summe. Zerlege zuerst in ein Produkt. 3st + 7 t_ 7x 7t y 36xy 1(x + ) (x 7) 18xy 4x + 8 s + 9t 3x 4y 3(x 7) 9 Berechne k + m + _ r + 3k 4m + 3r _ k 4m + 5r _ k + m r 5a 1b + 5_ _ a + 3b 7_ _ 5a b a 13b +6 a + b a + b a + b a + b 3 Die Division durch 0 ist nicht definiert. Welche Zahlen müssen daher vor der Berechnung aus der Grundmenge ausgeschlossen werden? 3x 8 _ x + 3 x +5 3x + 5 _ d) 4x x 7 (x 4) (x 5) 3 x 5 x 7 x 4 x 5 3 e) f) x _ g) x _ h _ (3x ) _ (3x 3) (x + 5)(x ) (x + 3)(x 1) (x + 1)x (x + 1) x +, x 5 x 3, x 1 x 1, x 0 x 1 4 Vereinfache 4x + 5_ x 3 8x + _ 7a 1x _ a + 4_ 4b 0 b _ 16x a 14 4x 0b _ 3a 4b_ 4a 5b 6a 9a d) a b 18a 6x 1y_ 3x + 5y 3y + 3x 7y 4y 5y 39a 81y 60y 5 Vereinfache die Bruchterme. Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit der Nenner nicht 0 wird? 3x + 8_ x + 5 x + 4 _ x + 3 x + 4 x + 4 x 4 6 (x + 3) _ 4 (x + 3) _ 8x + 6 x 7 x + 7 x + 7 x Vereinfache und mache die Probe mit a 1. _ a + 4 _ 1 5a + 5 _ 5(a + 1) Probe: Angabeterm: Ergebnisterm: 10 Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien Mach mit Mathematik 4 ISBN

10 Lösungen 13. Addieren und Subtrahieren von Brüchen 7 Ermittle den kleinsten gemeinsamen Nenner und vereinfache. 8 Berechne 1 _ 6 y y y (y + 5)(3 y) y _ y + 1 y + + _ y 3y 3 + 3y + (y + )(y ) 10 _ x _ 5 x + 1 x 1 a + 1_ a 4 a 1_ a + 4 a + 3a (a 4) a + _ 4a a_ 6a 9 4a + 3a (4a 9) 9 Vereinfache 1 _ a + a 1 _ a 1 + a _ a(a 1) 1 a 3e _ ef f 3e _ e ef e + _ f ef e 3 5ef + e + ef + e f f ef(e f)(e 1) Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien Mach mit Mathematik 4 ISBN

11 D Algebra II 13. Addieren und Subtrahieren von Brüchen Lösungen 1 Kürze nie aus einer Summe. Zerlege zuerst in ein Produkt. 3st + 7 t_ 7x 7t y 36xy 1(x + ) (x 7) 18xy 4x + 8 s + 9t 3x 4y 3(x 7) 9 Berechne k + m + _ r + 3k 4m + 3r _ k 4m + 5r _ k + m r 5a 1b + 5_ _ a + 3b 7_ _ 5a b a 13b +6 a + b a + b a + b a + b 3 Die Division durch 0 ist nicht definiert. Welche Zahlen müssen daher vor der Berechnung aus der Grundmenge ausgeschlossen werden? 3x 8 _ x + 3 x +5 3x + 5 _ d) 4x x 7 (x 4) (x 5) 3 x 5 x 7 x 4 x 5 3 e) f) x _ g) x _ h _ (3x ) _ (3x 3) (x + 5)(x ) (x + 3)(x 1) (x + 1)x (x + 1) x +, x 5 x 3, x 1 x 1, x 0 x 1 4 Vereinfache 4x + 5_ x 3 8x + _ 7a 1x _ a + 4_ 4b 0 b _ 16x a 14 4x 0b _ 3a 4b_ 4a 5b 6a 9a d) a b 18a 6x 1y_ 3x + 5y 3y + 3x 7y 4y 5y 39a 81y 60y 5 Vereinfache die Bruchterme. Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit der Nenner nicht 0 wird? 3x + 8_ x + 5 x + 4 _ x + 3 x + 4 x + 4 x 4 6 (x + 3) _ 4 (x + 3) _ 8x + 6 x 7 x + 7 x + 7 x Vereinfache und mache die Probe mit a 1. _ a + 4 _ 1 5a + 5 _ 5(a + 1) Probe: Angabeterm: Ergebnisterm: 10 Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien Mach mit Mathematik 4 ISBN

12 Lösungen 13. Addieren und Subtrahieren von Brüchen 7 Ermittle den kleinsten gemeinsamen Nenner und vereinfache. 8 Berechne 1 _ 6 y y y (y + 5)(3 y) y _ y + 1 y + + _ y 3y 3 + 3y + (y + )(y ) 10 _ x _ 5 x + 1 x 1 a + 1_ a 4 a 1_ a + 4 a + 3a (a 4) a + _ 4a a_ 6a 9 4a + 3a (4a 9) 9 Vereinfache 1 _ a + a 1 _ a 1 + a _ a(a 1) 1 a 3e _ ef f 3e _ e ef e + _ f ef e 3 5ef + e + ef + e f f ef(e f)(e 1) Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien Mach mit Mathematik 4 ISBN

13 D Algebra II 14. Multiplizieren und Dividieren von Brüchen Lösungen 1 Vereinfache x y_ 5a 6a b_ 4y 3abx 5 9x y_ 4a 4ab _ 5x 9abxy 5 7d e_ 18fg 4g_ de 7d 9ef Multipliziere und fasse zusammen. 5y + _ 3y 9y (3 y) 1 _ (5a 9) (5a + 3) (5y + ) 3y 3 Berechne 5y + 3 5y 3 4 b_ a b 4a 4ab + b ab a + b ab 4ab _ 4a 9b _ a 3b_ 1 8ab 4a + 6b _ 9a 1_ 4b 4 b + _ 3a 1 3a + 1 b 4 Dividiere und mache die Multiplikationsprobe. 3x_ 5y : 6x y x 3 _ 3 1y : 5x_ 8r 3 s : 4rs_ 3 3y r y 10x x 10y 4r 3 5 Dividiere a b a_ 4a3 + a 3 b : _ a _ 8x y 8 7a 3x + 3y : 16x _x y _ y _ 7(4 (x y) a(b + 4) 3(4x + y) 16x 4y_ : _ 4x + y_ x y x + y d) 4ab _ 4a 9b : _ 8ab _ a 3b (x y) 1 x y (a Berechne. Achte auf die Vorrangregeln. [ a + b_ 6ab 1 3 ] 3a (a b 3b [ a + b_ a b ab a b ] 3(a + b _) ab [ a b _ 4a b a b ] a (a a ab d) ab [ a b _ a b ab ] (a b Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien Mach mit Mathematik 4 ISBN

14 D Algebra II 14. Multiplizieren und Dividieren von Brüchen Lösungen 1 Vereinfache x y_ 5a 6a b_ 4y 3abx 5 9x y_ 4a 4ab _ 5x 9abxy 5 7d e_ 18fg 4g_ de 7d 9ef Multipliziere und fasse zusammen. 5y + _ 3y 9y (3 y) 1 _ (5a 9) (5a + 3) (5y + ) 3y 3 Berechne 5y + 3 5y 3 4 b_ a b 4a 4ab + b ab a + b ab 4ab _ 4a 9b _ a 3b_ 1 8ab 4a + 6b _ 9a 1_ 4b 4 b + _ 3a 1 3a + 1 b 4 Dividiere und mache die Multiplikationsprobe. 3x_ 5y : 6x y x 3 _ 3 1y : 5x_ 8r 3 s : 4rs_ 3 3y r y 10x x 10y 4r 3 5 Dividiere a b a_ 4a3 + a 3 b : _ a _ 8x y 8 7a 3x + 3y : 16x _x y _ y _ 7(4 (x y) a(b + 4) 3(4x + y) 16x 4y_ : _ 4x + y_ x y x + y d) 4ab _ 4a 9b : _ 8ab _ a 3b (x y) 1 x y (a Berechne. Achte auf die Vorrangregeln. [ a + b_ 6ab 1 3 ] 3a (a b 3b [ a + b_ a b ab a b ] 3(a + b _) ab [ a b _ 4a b a b ] a (a a ab d) ab [ a b _ a b ab ] (a b Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien Mach mit Mathematik 4 ISBN