Linearer und quadratischer Mittelwert

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1 Linearer und quadratischer ittelwert Erwartungswerte (auch Schar- oder Ensemblemittelwerte) betrachtet wird zunächst eine große Anzahl von Zufallssignalen; dabei ist x k (t) die k-te von insgesamt Realisierungen des Zufallsprozesses linearer ittelwert: m () x = E{x(t )} = lim x k (t ) k= quadratischer ittelwert: m (2) x = E{x 2 (t )} = lim k= x 2 k (t ) es ist zu beachten: um die Scharmittelwerte zu berechnen, müssen unter Umständen alle Realisierungen zur gleichen Zeit t betrachtet werden; zur Zeit t 2 t können sich andere ittelwerte ergeben stationäre Prozesse: hier sind die ittelwerte tatsächlich unabhängig von der Beobachtungszeit; die Ensemblemittelung kann zu jedem beliebigen Zeitpunkt t erfolgen Linearer und quadratischer ittelwert (Fortsetzung) Stationäre ergodische Prozesse Bei ergodischen Prozessen sind alle zeitlichen ittelwerte (auch die höherer Ordnung) gleich den entsprechenden Scharmittelwerten; zur essungen genügt demnach eine einzige usterfunktion, wobei in der Praxis häufig auch nur eine usterfunktion vorliegen wird. Ein Beispiel für einen nicht-ergodischen Prozeß liefert eine Quelle, deren Verhalten vom Initialisierungszustand bestimmt wird (Zustand beim Einschalten bestimmt das weitere Verhalten mit). für den linearen und quadratischen ittelwert stationärer ergodischer Prozesse gilt demnach: m () x = lim x k (t) dt k m (2) x = lim x 2 k (t) dt k

2 ittelwertung höherer Ordnung Für eine vollständigere Beschreibung von Zufallsprozessen ist es notwendig, auch die zeitlichen Wechselbeziehungen benachbarter Beobachtungswerte der einzelnen Zufallssignale x k (t) zu erfassen, wodurch z.b. Aussagen über die frequenzmäßige Zusammensetzung der Signale möglich werden. Zunächst wird wieder eine Schar von Zufallssignalen betrachtet diesmal aber zu den Zeitpunkten t und t 2. Der ittelwert ϕ xx (t, t 2 ) = E{x(t ) x(t 2 )} = x k (t ) x k (t 2 ) lim wird als Autokorrelationsfunktion (AKF) bezeichnet. Für t = t 2 ergibt sich wieder der quadratische ittelwert. k= ittelwertung höherer Ordnung (Fortsetzung) Für stationäre Prozesse sind nicht die Absolutwerte der Zeiten t und t 2 für die AKF entscheidend, sondern es ist nur die Zeitdifferenz τ = t 2 t ; liegen zusätzlich ergodische Prozesse vor, genügt die zeitliche ittelung: ϕ xx (τ) = lim Verteilungsfunktion x k (t) x k (t + τ) dt Eine noch bessere statistische Beschreibung von Zufallssignalen wird durch die Berücksichtigung der relativen Häufigkeit der im Zufallssignal enthaltenen Amplituden möglich. k

3 Verteilungsfunktion (Fortsetzung) Zunächst wird wieder eine Schar von Zufallssignalen s k (t) zum Zeitpunkt t betrachtet. Für die Ermittlung der Verteilungsfunktion wird ausgezählt, wieviele der insgesamt Beobachtungswerte einen Schwellwert x nicht überschreiten. Wird diese Anzahl mit x bezeichnet, folgt für die Verteilungsfunktion allgemein: P s (x, t ) = lim x = Prob{s(t ) x}, wobei Prob{ } für die relative Wahrscheinlichkeit steht, daß die Beobachtungswerte s(t ) kleiner/gleich x sind. Für stationäre, ergodische Prozesse läßt sich P s wieder über den zeitlichen Verlauf einer Realisierung s k (t) ermitteln. Gemäß folgender Skizze gilt P s (x) = lim t i (x) i Verteilungsfunktion (Fortsetzung) s k (t) x t t t 2 t 3 t 4 t 5

4 Verteilungsdichtefunktion Die Differenz P s (x + x) P s (x) sagt aus, mit welcher relativen Häufigkeit die Signalamplituden innerhalb des begrenzten Bereichs (x; x + x) liegen. Für den Grenzübergang x 0 folgt die Verteilungsdichtefunktion p s (x) P p s (x) = lim s (x+ x) P s (x) x 0 x Die Umkehrung lautet x P s (x) = p s (u) du = dp s(x) dx Von besonderer Wichtigkeit ist die Gaußverteilung mit ) ( ) p(x) = 2πσ exp ( (x m)2 x m 2σ und P (x) = 0,5erfc 2 2 σ Verteilungsdichtefunktion einer mittelwertfreien Gaußverteilung p(x) x/σ

5 Verteilungsfunktion einer mittelwertfreien Gaußverteilung P (x) x/σ